8 数学广角——数与形-【拔尖特训】2024-2025学年六年级上册数学（人教版）浙江专用

8 数学广角——数与形 第1课时 数形结合 1. ★(数形结合)下面的图形和对应的算式有什 么关系? 填一填。 1=12 1+2+1=4=22 1+2+3+2+ 1=9=32 1+2+3+4+3+ 2+1=16=( )2 根据规律,直接写出下面算式的结果。 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+ 7+6+5+4+3+2+1=( )=( )2 2. (探索规律)观察下图,填一填,写一写。 1-12- 1 4- 1 8= ( ) 1-( )-( )- ( )-( )= ( ) 你发现了什么规律? 利用你发现的规律,接着填一填。 (1) 1-12- 1 4- 1 8- …- 1128= ( ) (2) 1-12- 1 4- 1 8- …-( )= 11024 3. (温州苍南)将长是10cm、宽是5cm的长方 形按如图所示的方式一层一层地画下去。画 到第3层时图形的周长是( )cm;画到第 10层时图形的周长是( )cm;画到第n层 时图形的周长是( )cm。 4. 周日,笑笑和弟弟到离家800m的书店看书。 笑笑骑自行车,弟弟步行,他们分别以均匀的 速度同时从家出发。当弟弟走了全程的1 3 时, 笑笑已经到达书店。然后笑笑骑车沿原路返 回与弟弟相向而行,遇到弟弟后再掉头骑向 书店;到达书店后再与弟弟相向而行……直 到弟弟到达书店为止。笑笑一共骑了多 少米? 5. (1) 按如图所示的规律填写表格。 第几幅图 1 2 3 4 5 … 白色方格个数 … (2) 第n幅图白色方格和蓝色方格的总个数 是( )。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 97 讲 解 视 频 错 题 本 第2课时 练 习 课 1. 选择。 (1) (湖州德清)如左下图,先将平行四边形 纸片剪成2个完全一样的等边三角形,再将 其中一个等边三角形剪成4个完全相同的小 等边三角形,然后把小等边三角形剪成4个 完全相同的等边三角形,如此循环下去。剪 4次后,能剪出( )个等边三角形。 A. 11 B. 13 C. 15 D. 17 (2) (数形结合)如右上图,一个长方体水箱 里有一个圆柱形容器,顶部无盖,底部与长方 体水箱连接在一起,打开注水口往水箱里注 水。下面四幅图中,图( )能准确地描述 水箱内水面的高度随时间的变化关系。 A. B. C. D. 2. 笑笑、豆豆、丽丽、雯雯、琪琪五人进行乒乓球 比赛,每两人之间都要比赛一局。笑笑、豆豆 都已经比赛了4局,丽丽、雯雯都已经比赛了 3局,琪琪比赛的局数最少。琪琪比赛了 ( )局,分别和( )、( )比赛。 3. (推理意识)德国数学家莱布尼茨发现了如图 所示的单位分数(分子是1,分母是正整数) 三角形。请你根据规律把第五行补充完整。 第一行: 1 1 第二行: 1 2 1 2 第三行: 1 3 1 6 1 3 第四行: 1 4 1 12 1 12 1 4 第五行: 1 5 ( )( )( )15 4. 如图,把一个正方形四条边的中点连接起来 组成第2个正方形,再把第2个正方形四条 边的中点连接起来组成第3个正方形,然后 把第3个正方形四条边的中点连接起来组成 第4个正方形……依次类推,若最大的正方 形的面积是4m2,则第8个正方形的面积是 多少平方米? 5. 利用所给的图,你能发现(a-b)2等于什么? 运用所学过的面积计算的知识进行探索。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 08 数学(人教版·浙江专用)六年级上 讲 解 视 频 错 题 本 提分真题集训 1. 填空。 (1) (温州瑞安)用蓝白两种颜色的正六边形 地板砖按如图所示的规律拼成若干个图案, 那么第n个图案中有( )块白色地板砖。 (2) (宁波奉化区)观察下面的图形,想一想, 按这样的规律,第7个方框里有( )个点, 第n个方框里有( )个点,第( )个方 框里有201个点。 (3) (杭州滨江区)计算1+3+5+7+…+ 29,如果我们用点子图来表示这个算式(如 图),那么摆到最后一幅图得到的正方形,它 的一条边上有( )个点,这个算式的和是 ( )。 (4) (宁波江北区)小丽用棱长为1cm的小 方块搭建台阶,下图是她搭建台阶的过程,台 阶的高分别为2cm、3cm、4cm。照这样一直 搭下去,当搭建一个台阶用了105个小方块 时,她搭建的台阶的高为( )cm。 2. (温州瓯海区)在数学学习中,我们常常用 “数形结合”的方法将复杂的问题简单化,抽 象的问题具体化。 (1) 我们在探究分数乘法的算理和算法时就运 用了这一思想方法,请画图解释1 2× 3 4 的算理。 (2) 玲玲在解决12+12+22+32+52+82+ 132 +212+342+…这个问题时,想到了用数 形结合的办法来探索,于是她以这组数中各 个数作为正方形的边长构造正方形,再拼成 长方形来研究。 12+12 12+12+22 12+12+ 22+32 … … ① 根据前面的规律,把图④和对应的算式补 充完整。 ② 观察上面的图形和算式,找出规律,把下 面的算式补充完整。 12+12=1×2 12+12+22=2×3 12+12+22+32=3×5 12+12+22+32+52=( )×( ) 12+12+22+32+52+82+132=( )× ( ) ③ 如果按此规律继续拼长方形,有一个长方 形的面积是1870,那么它表示的算式为 ( )。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 18 8　数学广角——数与形 讲 解 视 频 错 题 本 第8单元整合提升 类型一 数形结合与计算 运用数形结合思想,理解计算方法,进行简便计算。 1. (数形结合)如图,先算出每幅图中有几个 , 再找出其中的规律,然后根据规律算一算。 ① ② ③ ④ ① 1 ② 1+2=(1+2)×2÷2=( ) ③ 1+2+3=(1+3)×3÷2=( ) ④ 1+2+3+4=(1+4)×4÷2=( ) 我发现的规律:( )。 根据上面的规律,完成下面各题。 (1) 1+2+3+4+5+…+59+60= (2) 7+8+9+10+…+97= 类型二 利用数形结合思想探究数学规律并解 决问题 先要观察图形的哪些部分发生了变化,是按照什么规 律发生变化的,再根据找到的规律解答。 2. (操作探究)将一张正三角形的纸按如图①所 示的方式折叠,展开后沿折痕剪开就剪出四个 正三角形,我们称之为第1次操作;如图②,再 拿出其中一个正三角形,将它同样也剪成四个 正三角形,我们称之为第2次操作…… 若这个操作可以一直继续下去,则第n次操 作后,一共剪出了( )个正三角形;第 ( )次操作后,一共剪出了100个正三角形。 类型三 用观察分析法解决图象问题 解决有关图象问题时,关键是先理解横轴和纵轴表示 的是什么,再根据图象的变化,以及对应横轴和纵轴 的数据来分析。 3. (生活应用)下图描述的是昨天早上关老师开 车先去教育局办事,再去学校上班的情况。 (1) 昨天关老师开车从家到学校一共行驶了 ( )千米。 (2) 关老师从教育局到学校,开车的速度是 ( )千米/时。 易错点 解决数与形问题时,没有找准规律 解决数与形问题时,应先观察图形或数字,找出图形 或数字变化规律,然后利用发现的规律解决问题,最 后进行验证。 4. 如图,照这样画下去,第10个图形有( ) 个蓝色正方形,有( )个白色正方形;当一 个图形中有30个蓝色正方形时,这个图形中 有( )个白色正方形。 素养点 细胞分裂问题 5. 有1个细胞,1分钟后分裂为2个,再过1分 钟,又分别分裂为2个,总共分裂为4个。照 这样分裂下去,1个细胞分裂成满满一瓶需 要1小时。如果该瓶内放入同样的8个该种 细胞,那么( )分钟后,细胞总数量会达到 满瓶数量的1 2 。 思路提示:用列表的方法分析题意。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 28 数学(人教版·浙江专用)六年级上 讲 解 视 频 错 题 本 4. 0.7千米=700米 30÷(1-25%)=40(分) 700÷(40-30)=70(米) 解析:观察题图可知,鲁 阿姨从公司下班,坐公交车到超市买菜及在超市买 菜一共用了30分钟,这30分钟占她回家的总时间 的(1-25%),所以她回家的总时间是30÷(1- 25%)=40(分),她步行回家的时间是40-30= 10(分),而这10分钟内,鲁阿姨正好走了0.7千 米,即700米,根据“路程÷时间=速度”求解即可。 节约用水　　 讲 解 视 频 错 题 本 1. (1) 30 32.5 31 29.5 27 (2) 1时=60分 (30+32.5+31+29.5+27)×60=9000(毫升) 9000毫升=9升 (3) 9×24×30=6480(升) 2. (1) 6÷(0.25×3)=8(次) (2) (6-0.25×3)× 2×365=3832.5(升) 3832.5÷2≈1916(个) 3. (1) (2) 1时=60分 200÷4×60=3000(mL) 3000×24×10=720000(mL) 720000÷500= 1440(瓶) 1440÷12=120(箱) 4. 332.6-325=7.6(立方米) 7.6×3=22.8(元) 22.8<25.2 二月份用水量超过规定量 解:设每户每月规定的用水量是x立方米。 3x+(7.6-x)×4.5=25.2 x=6 解析:先求出兰兰家二月份的用水量为332.6- 325=7.6(立方米),再假设她家二月份用水量在规 定量及以内,则应缴水费7.6×3=22.8(元),实际 上她家二月份缴水费25.2元,说明她家二月份用 水量超过了规定量,即有一部分按4.5元/立方米 的价格缴费,此时设每户每月规定的用水量是x立 方米,列方程解答即可。 8　数学广角——数与形 第1课时 数形结合 讲 解 视 频 错 题 本 1. 4 100 10 知识归纳 数形结合思想 通过图形找出对应算式的规律,是数形结 合思想的应用。运用数形结合思想,可以更好 地理解计算方法、探究规律和解决问题。 2. 1 8 1 2 1 4 1 8 1 16 1 16 被减数是1,减数 的分子是1,分母依次是2、4(2×2)、8(2×2× 2)……差是最后一个减数(合理即可) (1) 1 128 (2) 1 1024 3. 90 300 30n 解析:第1个图形的周长是 (10+5)×2=30(cm),第2个图形的周长是(10× 2+5×2)×2=60(cm),第3个图形的周长是 (10×3+5×3)×2=90(cm)……依次类推,画到 第10层时,得到第10个图形的周长是30×10= 300(cm),画到第n层时,得到第n 个图形的周长 是30×n=30n(cm)。 4. 1÷13=3 800×3=2400 (m) 解析:当弟弟走了全程的1 3 时,笑笑骑了800m;当 弟弟走完全程时,笑笑骑了1÷13 个800m。 5. (1) 4 12 24 40 60 (2) (2n+1)2 解析:观察题图可知,第1幅图方 格的总个数是(2×1+1)2,第2幅图方格的总个数 是(2×2+1)2,第3幅图方格的总个数是(2×3+ 1)2……依次类推,第n幅图方格的总个数是(2× n+1)2,即(2n+1)2。 第2课时 练 习 课 讲 解 视 频 错 题 本 1. (1) A 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 53 (2) C 解析:观察题图可知,圆柱形容器在长方体 水箱内部,顶部无盖,底部与长方体水箱连接在一 起,所以在水面达到一定高度,开始向圆柱形容器 注水时,水箱内水面的高度不随时间的增加而升 高,当注满圆柱形容器后,水箱内水面的高度再随 时间的增加而升高,且升高的速度比之前慢。 2. 2 笑笑 豆豆 解析:根据题意可知,笑笑、豆 豆都分别与除自己外的其他所有人比赛了,即丽 丽、雯雯、琪琪都至少比赛了2局。因为丽丽、雯雯 已经比赛了3局且琪琪比赛的局数最少,所以丽丽 和雯雯相互间也比赛了1局,琪琪只和笑笑、豆豆 比赛了。本题也可以通过画图来帮助理解题意,如 图,根据图能直观地看出五人之间比赛的情况。 3. 1 20 1 30 1 20 解析:这些分数排列规律:每一行 相邻的两个数的和等于它们上面的数,即求第五行 第二个分数(从左往右)时,可以想1 5+ ( )=14 , ( )里所填的分数为14- 1 5 =120 ,依次类推可以 求出其他两个分数。 4. 4×12× 1 2× 1 2× 1 2× 1 2× 1 2× 1 2= 1 32 (m2) 5. (a-b)2+b2+b(a-b)×2=a2 (a-b)2+ b2+2ab-2b2=a2 (a-b)2=a2-2ab+b2 解析:观察题图可知,边长为a的大正方形的面积 是两个涂色部分小正方形面积与两个形状完全相 同的白色长方形面积的和,即(a-b)2+b2+ b(a-b)×2=a2,根据乘法分配律、等式的性质推 导出(a-b)2=a2-2ab+b2。 提分真题集训 讲 解 视 频 错 题 本 1. (1) 4n+2 (2) 25 4n-3 51 (3) 15 225 (4) 6 解析:观察题图可知,第一个台阶用了(5× 1+5×2)个小方块,第二个台阶用了(5×1+5× 2+5×3)个小方块,第三个台阶用了(5×1+5× 2+5×3+5×4)个小方块……依次类推,第五个台 阶用了5×1+5×2+5×3+5×4+5×5+5×6= 105(个)小方块,即台阶的高为6cm。 2. (1) (2) ① 12+12+22+32+52 ② 5 8 13 21 解析:每个算式等于对应图形的最大正方形的边长 乘下个图形的最大正方形的边长,据此填空。 ③ 12+12+22+32+52+82+132+212+342 第8单元整合提升 讲 解 视 频 错 题 本 1. 3 6 10 答案不唯一,如若干个连续自然数 的和,等于首、尾两个自然数的和与自然数的个数 的积,再除以2 (1) (1+60)×60÷2=1830 (2) (7+97)×(97-7+1)÷2=4732 2. 3n+1 33 解析:从第1次操作开始,每操作 1次就增加3个正三角形,即第1次操作增加3个 正三角形,一共剪出了(1×3+1)个正三角形;第 2次操作增加3个正三角形,一共剪出了(2×3+ 1)个正三角形;第3次操作增加3个正三角形,一 共剪出了(3×3+1)个正三角形……第n 次操作 增加3个正三角形,一共剪出了(n×3+1)个正三 角形。此外,当3n+1=100时,n=33,所以第33次 操作后,一共剪出了100个正三角形。 3. (1) 40 (2) 60 4. 20 28 38 5. 56 解析:1时=60分,可以通过列表的方法帮 助理解题意。 时 间 1分 2分 3分 … 60分 个 数 2 22 23 … 260 由表可知,一瓶细胞的数量为(2×2×2×…×2􀮩 􀮫􀮪􀪁􀪁􀪁 􀪁􀪁􀪁 60个2 )个, 从(2×2×2)个开始分裂,到细胞总数量达到满瓶数 量的1 2 ,此时细胞总数量为(2×2×2×…×2􀮩 􀮫􀮪􀪁􀪁􀪁 􀪁􀪁􀪁 59个2 )个, 所以要60-1-3=56(分)。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 63