8 数学广角——数与形-【拔尖特训】2024-2025学年六年级上册数学（人教版）广东专用

8 数学广角——数与形 第1课时 数形结合 1. ★(探究创新)下面的图形和对应的算式有什 么关系? 填一填。 1=12 1+2+1=4=22 1+2+3+2+ 1=9=32 1+2+3+4+3+ 2+1=16=( )2 根据规律,直接写出下面算式的结果。 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+ 7+6+5+4+3+2+1=( )=( )2 2. (数形结合)观察下图,填一填,写一写。 1-12- 1 4- 1 8= ( ) 1-( )-( )- ( )-( )= ( ) 你发现了什么规律? 利用你发现的规律,接着填一填。 (1) 1-12- 1 4- 1 8- …- 1128= ( ) (2) 1-12- 1 4- 1 8- …-( )= 11024 3. 按照下面的方式摆桌子,每种摆法分别可以 坐多少人? 填一填。 桌子/张 1 2 3 4 … 人 数 … (1) 按照这样的方式摆下去,摆20张桌子可 以坐( )人。 (2) 按照这样的方式摆下去,若要坐150人, 则需要摆( )张桌子。 4. 用一根长为96厘米的绳子在地上摆正方形。 正方形个数 1 2 3 4 … 每个正方形的边长/厘米 24 12 … 顶点个数 4 7 … (1) 通过观察、思考,填写上表。 (2) 像这样摆下去,当这根绳子摆出6个正方 形时,每个正方形的边长是( )厘米;当这根 绳子摆出30个正方形时,顶点个数是( )。 5. (思维过程)周日,笑笑和弟弟到离家800m 的书店看书。笑笑骑自行车,弟弟步行,他们 分别以均匀的速度同时从家出发。当弟弟走 了全程的1 3 时,笑笑已经到达书店。然后笑 笑骑车沿原路返回与弟弟相向而行,遇到弟 弟后再掉头骑向书店;到达书店后再与弟弟 相向而行……直到弟弟到达书店为止。笑笑 一共骑了多少米? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 97 讲 解 视 频 错 题 本 第2课时 练 习 课 1. 下面每个图形中最多有几个交点? 填一填。 … 直线/条 2 3 4 … 7 … 交点/个 1 3 6 … … 规 律 1 1+21+2+3 … … 2. 选择。 (1) 周末,妈妈先到菜市场买菜,然后继续前 行去服装店买衣服,最后回家。下面的图 ( )能大致反映妈妈的行程。 A. B. C. D. (2) 如图,一个长方体水箱里有 一个顶部无盖的圆柱形容器,其 底部与长方体水箱连接在一起, 打开注水口往水箱里注水。下面四幅图中, 图( )能准确地描述水箱内水面的高度随 时间的变化关系。 A. B. C. D. 3. 笑笑、豆豆、丽丽、雯雯、琪琪五人进行乒乓球 比赛,每两人之间都要比赛一局。笑笑、豆豆 都已经比赛了4局,丽丽、雯雯都已经比赛了 3局,琪琪比赛的局数最少。琪琪已经比赛 了( )局,分别是和( )比 赛的。 4. (数学文化)德国数学家莱布尼茨发现了如图 所示的单位分数(分子是1,分母是正整数) 三角形。请你根据规律把第五行补充完整。 第一行: 1 1 第二行: 1 2 1 2 第三行: 1 3 1 6 1 3 第四行: 1 4 1 12 1 12 1 4 第五行: 1 5 ( )( )( )15 5. (探究应用)在一张边长为a的正方形纸上剪 去一个边长为b(b<a)的小正方形,可以怎 样求剩余部分的面积? 东东想了两种不同的 方法(如图): 由此可得a2-b2=(a-b)×(a+b)。 根据上面的结论计算:1- 12 2􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 ×1- 13 2􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 × 1- 14 2􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 ×…×1- 110 2􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 08 数学(人教版·广东专用)六年级上 讲 解 视 频 错 题 本 提分真题集训 1. 填空。 (1) (东莞)下面是用木棒摆的“金鱼”,请观 察木棒的数量和“金鱼”的数量,回答问题。 照这样摆下去,第6个图形的6条“金鱼”需 要( )根木棒;第9个图形的9条“金鱼” 需要( )根木棒。 (2) (梅州兴宁)观察下面图形的变化规律, 回答问题。 用同样长的小棒摆第20个图形需要( ) 根小棒;照这样摆下去,第24个图形的形状 是( )形。 (3) (黄冈麻城)如图,把边长是1cm的正 方形拼成一层、两层、三层……第4个图形的 周长是( )cm;第n 个图形的周长是 ( )cm。 (4) (咸宁嘉鱼)运用“数形结合”的思想方法 可以帮助我们进行思考。观察一下,下面的 图形和算式有什么关系? 把算式补充完整。 ① 2+4+ + = × ② 按照上面的规律,想一想: ( )=6×7 2. (温州瓯海区)在数学学习中,我们常常用 “数形结合”的方法将复杂的问题简单化,抽 象的问题具体化。 (1) 我们在探究分数乘法的算理和算法时就 运用了这一思想方法,请画图解释1 2× 3 4 的 算理。 (2) 玲玲在解决12+12+22+32+52+82+ 132 +212+342+…这个问题时,想到了用数 形结合的办法来探索,于是她以这组数中各 个数作为正方形的边长构造正方形,再拼成 长方形来研究。 12+12 12+12+22 12+12+ 22+32 … … ① 根据前面的规律,把图④和对应的算式补 充完整。 ② 观察上面的图形和算式,找出规律,把下 面的算式补充完整。 12+12=1×2 12+12+22=2×3 12+12+22+32=3×5 12+12+22+32+52=( )×( ) 12+12+22+32+52+82+132=( )× ( ) ③ 如果按此规律继续拼长方形,有一个长方 形的面积是1870,那么它表示的算式为 ( )。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 18 8　数学广角——数与形 讲 解 视 频 错 题 本 第8单元整合提升 类型一 数形结合与计算 运用数形结合思想,理解计算方法,进行简便计算。 1. 如图,先算出每幅图中有几个 ,再找出其中 的规律,然后根据规律算一算。 ① ② ③ ④ ① 1 ② 1+2=(1+2)×2÷2=( ) ③ 1+2+3=(1+3)×3÷2=( ) ④ 1+2+3+4=(1+4)×4÷2=( ) 我发现的规律:( )。 根据上面的规律,完成下面各题。 (1) 1+2+3+4+5+…+59+60= (2) 7+8+9+10+…+97= 类型二 利用数形结合思想探究数学规律并 解决问题 先要观察图形的哪些部分发生了变化,是按照什么规 律发生变化的,再根据找到的规律解答。 2. (操作探究)将一张正三角形的纸按如图①所 示的方式折叠,展开后沿折痕剪开就剪出四 个正三角形,我们称之为第1次操作;如图②, 再拿出其中一个正三角形,将它同样也剪成四 个正三角形,我们称之为第2次操作…… 若这个操作可以一直继续下去,则第n次操 作后,一共剪出了( )个正三角形;第 ( )次操作后,一共剪出了100个正三角形。 类型三 用观察分析法解决图象问题 解决有关图象问题时,关键是先理解横轴和纵轴表示 的是什么,再根据图象的变化,以及对应横轴和纵轴 的数据来分析。 3. (生活应用)下图描述的是昨天早上关老师开 车先去教育局办事,再去学校上班的情况。 (1) 昨天关老师开车从家到学校一共行驶了 ( )千米。 (2) 关老师从教育局到学校,开车的速度是 ( )千米/时。 易错点 解决数与形问题时,没有找准规律 解决数与形问题时,应先观察图形或数字,找出图形 或数字变化规律,然后利用发现的规律解决问题,最 后进行验证。 4. (思维过程)如图,照这样画下去,第10个图 形有( )个蓝色正方形,有( )个白色 正方形;当一个图形中有30个蓝色正方形 时,这个图形中有( )个白色正方形。 素养点 细胞分裂问题 5. 有1个细胞,1分钟后分裂为2个,再过1分 钟,又分别分裂为2个,总共分裂为4个。照 这样分裂下去,1个细胞分裂成满满一瓶需 要1小时。如果该瓶内放入同样的8个该种 细胞,那么( )分钟后,细胞总数量会达到 满瓶数量的1 2 。 思路提示:用列表的方法分析题意。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 28 数学(人教版·广东专用)六年级上 讲 解 视 频 错 题 本 节约用水　　 讲 解 视 频 错 题 本 1. (1) 30 32.5 31 29.5 27 (2) 1时=60分 (30+32.5+31+29.5+27)×60=9000(毫升) 9000毫升=9升 (3) 9×24×30=6480(升) 2. 6÷(0.25×3)=8(次) 3. (1) (2) 1时=60分 200÷4×60=3000(mL) 3000×24×10=720000(mL) 720000÷500=1440(瓶) 1440÷12=120(箱) 4. 319.6-312=7.6(立方米) 解:设每户每月规定的用水量是x立方米。 2.5x+(7.6-x)×4.5=26 x=4.1 解析:根据题意可知,题中的等量关系:每月用水规 定量×2.5+超过规定量的部分×4.5=当月应缴 水费,据此列方程解答。 8　数学广角——数与形 第1课时 数形结合 讲 解 视 频 错 题 本 1. 4 100 10 知识归纳 数形结合思想 通过图形找出对应算式的规律,是数形结 合思想的应用。运用数形结合思想,可以更好 地理解计算方法、探究规律和解决问题。 2. 1 8 1 2 1 4 1 8 1 16 1 16 被减数是1,减数 的分子是1,分母依次是2、4(2×2)、8(2×2× 2)……差是最后一个减数(合理即可) (1) 1 128 (2) 1 1024 3. 6 10 14 18 (1) 82 解析:每多摆1张桌子就可以多坐4人, 1张桌子可以坐4×1+2=6(人),2张桌子可以坐 4×2+2=10(人)……依次类推,20张桌子可以坐 4×20+2=82(人)。 (2) 37 解析:由(1)知,摆n张桌子可以坐(4n+ 2)人,因此可列方程4n+2=150,求出n 的值 即可。 4. (1) 8 10 6 13 (2) 4 91 解析:当摆出的正方形个数为n时,每 个正方形的边长是96÷4n=(24÷n)厘米,顶点个 数是(3n+1)。 5. 1÷13=3 800×3=2400 (m) 解析:当弟弟 走了全程的1 3 时,笑笑骑了800m;当弟弟走完全 程时,笑笑骑了1÷13 个800m。 第2课时 练 习 课 讲 解 视 频 错 题 本 1. 21 1+2+3+4+5+6 2. (1) C (2) C 解析:观察题图可知,顶部无盖的圆柱形容 器在长方体水箱内部,其底部与长方体水箱连接在 一起,所以在水面达到一定高度,开始向圆柱形容 器注水时,水箱内水面的高度不随时间的增加而升 高,当注满圆柱形容器后,水箱内水面的高度再随 时间的增加而升高,且升高的速度比之前慢。 3. 2 笑笑、豆豆 解析:根据题意可知,笑笑、豆豆都分别与除自己外 的其他所有人比赛了,即丽丽、雯雯、琪琪都至少比 赛了2局。因为丽丽、雯雯已经比赛了3局且琪琪 比赛的局数最少,所以丽丽和雯雯相互间也比赛了 1局,琪琪只和笑笑、豆豆比赛了。本题也可以通 过画图来帮助理解题意,如图,根据图能直观地看 出五人之间比赛的情况。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 63 4. 1 20 1 30 1 20 解析:这些分数的排列规律:每行 相邻的两个数的和等于它们上面的数,即求第五行 第二个分数(从左往右)时,可以想1 5+ ( )= 1 4 ,( )里所填的分数为14- 1 5 =120 ,依次类推 可以求出其他两个分数。 5. 原 式 = 1-12 × 1+12 × 1-13 × 1+13 × 1-14 × 1+14 ×…× 1-110 × 1+110 =12×32×23×43×34×54×…×910× 11 10= 1 2× 11 10= 11 20 解析:1- 12 2 可 以 看 成 是 12 - 12 2 = 1-12 ×1+12 =12×32。把中括号里的每一 部分都转化后,会发现中间的分数可以约分。 提分真题集训 讲 解 视 频 错 题 本 1. (1) 38 56 (2)41 平行四边 (3) 16 4n (4) ① 6 8 4 5 ② 2+4+6+8+10+12 解析:从2开始,连续几个偶数相加,和等于加数的 个数与比加数的个数多1的数的积。 2. (1) (2) ① 12+12+22+32+52 ② 5 8 13 21 解析:每个算式等于对应图形的最大正方形的边长 乘下个图形的最大正方形的边长,据此填空。 ③ 12+12+22+32+52+82+132+212+342 第8单元整合提升 讲 解 视 频 错 题 本 1. 3 6 10 答案不唯一,如若干个连续自然数 的和,等于首、尾两个自然数的和与自然数的个数 的积,再除以2 (1) (1+60)×60÷2=1830 (2) (7+97)×(97-7+1)÷2=4732 2. 3n+1 33 解析:从第1次操作开始,每操作 1次就增加3个正三角形,即第1次操作增加3个 正三角形,一共剪出了(1×3+1)个正三角形;第 2次操作增加3个正三角形,一共剪出了(2×3+ 1)个正三角形;第3次操作增加3个正三角形,一 共剪出了(3×3+1)个正三角形……第n 次操作 增加3个正三角形,一共剪出了(n×3+1)个正三 角形。此外,当3n+1=100时,n=33,所以第33次 操作后,一共剪出了100个正三角形。 3. (1) 40 (2) 60 4. 20 28 38 5. 56 解析:1时=60分,可以通过列表的方法帮 助理解题意。 时 间 1分 2分 3分 … 60分 个 数 2 22 23 … 260 由表可知,一瓶细胞的数量为(2×2×2×…×2􀮩 􀮫􀮪􀪁􀪁􀪁 􀪁􀪁􀪁 60个2 )个, 从(2×2×2)个开始分裂,到细胞总数量达到满瓶数 量的1 2 ,此时细胞总数量为(2×2×2×…×2􀮩 􀮫􀮪􀪁􀪁􀪁 􀪁􀪁􀪁 59个2 )个, 所以要60-1-3=56(分)。 9　总 复 习 第1课时 数与代数(1) 讲 解 视 频 错 题 本 1. (1) 200 128 (2) 8 4 (3) < = > > > < (4) 2 3× 4 5= 8 15 (5) 3 4 4 3 (6) ① 126 ② 162 ③ 162 (7) 1 21 21 解析:要使商最小,则被除数最小,除 数最大,因此算式为5 7÷15 ;反之,要使商最大,则 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 73