24.4 解直角三角形 课件 2024—2025学年华东师大版数学九年级上册

24.4 解直角三角形 华师版九年级上册 学习目标 一．学习目标： 1 2 理解解直角三角形的含义. 会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形. (重点、难点) 能运用相关知识解决一些简单的问题(难点) 3 2 知识梳理 二．直 角 三 角 形 的 性 质： B A C 斜边c ∠A 的 对 边 a ∠A的邻边b (1) 三边之间的关系:a2+b2=_____； (2)锐角之间的关系：∠A+∠B=_____； (3)边角之间的关系：sinA=_____， cosA=_____，tanA=_____. 在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角），其中∠C=90°，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢？ c2 90° 3 情境导入 情景导入：一天，小明家中装修房子，需要买一个梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，小明正在纠结买多长的梯子合适，你能帮帮他吗？ 到底买多长的梯子好呢？ 探究新知 例1 ：如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处。大树在折断之前高多少？ 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC =5m， BC=12m. 由勾股定理得 ∴ 13+5 =18（米） 答：大树在折断之前高为18米。 【思考】折断处的夹角和树顶与地面的夹角分别是多少度？ Arctan A C B 5m 12m 5 探究新知 例1 ：如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处。大树在折断之前高多少？ 12m 5m 总结：在直角三角形中，如果已知两条边的长度，那么就可利用勾股定理求出另外的一条边。 还可以借助锐角三角函数求出锐角的度数 6 探究新知 例2： 如图,在相距2000米的东、西两座炮台A、B处同时发现入侵敌舰C，在炮台A处测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，在炮台B处测得敌舰C在它的正南方.试求敌舰与两炮台的距离.（已知：tan 50°≈1.192，cos50°≈0.643精确到1米）。 解：∵ ∠CAB＝90°- ∠DAC=50° 在Rt△ABC中， ∵ ∴ ∴ 答：敌舰与A、B 两炮台的距离分别约为3111米和2384米. 40° A B C 2000m 探究新知 例2： 如图,在相距2 000米的东、西两座炮台A、B处同时发现入侵敌舰C，在炮台A处测得敌舰 C 在它的南偏东40°的方向，在炮台B处测得敌舰C 在它的正南方.试求敌舰与两炮台的距离.（精确 到1米）。 总结：在直角三角形中，如果已知一边和一锐角，那么就可利用两锐角互余求出另外的一个锐角，三角函数求出其他两条边。 40° A B C 2000m 探究新知 思考： 由前面两个例题我们可以发现，对于直角三角形除直角外五个元素 （两个锐角，三条边）中， （1）当知道几个元素时，可以求出直角三角形所有的元素？ （2）已知元素的的共同特征是什么？ （3）如果已知两个锐角可以求出其他元素吗？ 9 总结归纳 三．解直角三角形： 总结： 分别给出其中的两个元素（至少有一条边），求其余三个要素。像这样，在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程叫做解直角三形。 深度理解： 1. 已知两个角不能解直角三角形，因为只有角的条件，三角形边的大小不唯一，即有无数个三角形符合条件. 2. 已知一角一边时，角必须为锐角，因为若已知直角，则不能求解. 10 典例精讲 练习1．在Rt △ ABC 中，∠C= 90°，由下列条件，解直角三角形： 遵循“求对用正，求邻用余，有斜用弦，无斜用切，取原避中” （1）已知AC=15 , ∠A=, 求BC （2）已知AB=30, ∠A=, 求AC （3）已知BC=6, AC=6 , 求AB （4）已知BC=20, AB=, 求∠B 典例精讲 练习2. 一天，小明家中装修房子，需要买一个梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，小明纠结买多长的梯子合适，你能帮帮他吗？（精确到 0.1m， ≈1.732 ） 解：如图所示，依题意可知， 答：梯子的长至少4.6米 在Rt △ ABC 中，∠A=60° ∵sin60°= ∴AB==4.6m A B C 典例精讲 练习3.小丽用两锐角分别为 30°和 60°的三角尺测量一棵树的高度。如图，已知∠CAD=30°,AB=DE=1.75m,BE=6m，那么这棵树大约有多高?(结果精确到 0.1m, ≈1.732) 遵循“求对用正，求邻用余，有斜用弦，无斜用切，取原避中” 解： 根据题意，四边形ABED是矩形 ∴ AD=BE=6m,∠CDA=90° 在Rt△ACD中，∠CAD=30° ∴CD=AD·tan30°=6×=2（m） ∴CD+DE=2+1.75≈5.2（m） 典例精讲 练习4. 如图，为了测量河流某一段的宽度，在河北岸选了一点A，在河南岸选了相距100m的B，C两点.现测得∠ABC=60°，ㄥACB=45°，求这段河流的宽度(结果精确到0.1m，参考数据、≈1.414， ≈1.732)。 D 解：过A作AD⊥BC于D 在Rt△ADB中，∠B=60° 在RtAADC中，∠C=45°. ∴CD=AD，且BC=100m 解得AD≈63.4m 答:这段河的宽约为63.4米 解直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线构造直角三角形（作某边上的高是常用的辅助线）尽量保留特殊角 课堂小结 课堂小结 1.直角三角形除直角外五个元素只要知道其中的2个元素(至少有1个是边)，就可以求出其余的3个未知元素， 2.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫解直角三角形 3. 解题思想与方法：数形结合、转化（化归）思想、方程思想 $$