第2章 有理数及其运算 知识点 讲义 2024--2025学年鲁教版六年级数学上册

第2章 有理数及其运算 知识点一 正数和负数 一、正负数概念 · 具有相反意义的两个量，其中一种意义的量规定为正（＋），另一种与之相反的量规定为负（－） . 正数：像＋2，＋5……这样﹥0的数（“＋”正号可省略） ★0：分界点，既不是正数也不是负数 负数：像－2，－5……这样正数前加“－”（负号）的数（﹤0的数） 二、实际中：用正数和负数表示具有相反意义的量 具有相反意义的同类量 具体数量 ★2要素 1、判断是否是相反意义的量： 上涨和下降（ ）；零上5℃和零下3℃（ ）；温度上升5℃和水位下降0.3m（ ） 三、0的实际意义 表示数的性质 0是自然数、是有理数 表示没有 3个苹果用＋3表示，没有苹果用0表示 某种量的基准 0℃表示冰点 表示正数与负数的分界点 0非正非负，是一个中性数 小试牛刀 1、下列说法正确的是（　　） A．一个数前面加上“－”号，这个数就是负数 B．零既是正数也是负数 C．若a是正数，则－a不一定是负数 D．零既不是正数也不是负数 2、﹣a一定是（　　） A．负数 B．0 C．正数 D．以上都不正确 3、若火箭发射点火前5秒记为－5秒，那么火箭发射点火后10秒应记为（ ） A．－10秒 B．－5秒 C．＋5秒 D．＋10秒 4、“甲比乙大－1岁”表示的意义是（ ） A．甲比乙小1岁 B．甲比乙大1岁 C．乙比甲大－1岁 D．乙比甲小1岁 5、在下列选项中，具有相反意义的量是（　　） A．盈利3万元和支出3万元 B．增长和亏损 C．胜两局和负三局 D．前进和后退 6、超市出售的面粉袋上，标有质量为（25±0.2）kg的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（　　） A．0.2 kg B．0.3 kg C．0.4 kg D．50.4 kg 7、如图是加工零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（　　） A．Φ45.02 B．Φ44.9 C．Φ44.98 D．Φ45.01 知识点二 有理数的分类 一、有理数：整数和分数统称有理数。 二、分类： 按定义分： 按符号分： 小试牛刀 1、下列说法中，正确的是（ ） A．正整数、负整数统称为整数 B．正分数、负分数统称为分数 C．零既可以是正整数，也可以是负整数 D．一个有理数不是正数就是负数 2、下列说法正确的有（ ） ①正有理数是正整数和正分数的统称； ②整数是正整数和负整数的统称； ③偶数包括正偶数、负偶数和零； ④0是偶数，但不是自然数； ⑤有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称； ⑥0℃表示没有温度。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3、下列说法中，不正确的是（ ） A．－3.14既是负数、分数，也是有理数 B．0既不是正数，也不是负数，但是整数 C、－2000既是负数，也是整数，但不是有理数 D．0是正数和负数的分界 4、下列各数：，0.7，25，π，0，7.3中，分数有（ ）个。 A．1 B． C． D． 5、将下面有理数填入它的集合： 15，，－5，，，0.1，－5.32，－80，123，2.333 （1）负数：{　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　，…}； （2）正整数：{　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　，…}； （3）负分数：{　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　，…}． 6、把下列各数填在相应集合中： ，0，，，，． （1）分数集合：{_______________________________}； （2）负整数集合：{______________________________}； （3）非负数集合：{_______________________________} 知识点三 有理数的相关概念 一、数轴：规定了原点、正方向和单位长度【数轴三要素★】的直线． ❶任何有理数都可用数轴上的点表示，有理数与数轴上的点是一一对应的． ❷利用数轴比较大小： ★ 数轴上两个点表示的数 ①右边的总是＞左边的； ②正数＞0，负数＜0，正数＞负数； ③两个负数 绝对值大的反而小。 · 如图，A、B、C、D、E表示的五个数中，A－E______0（填>或<）；B－C______0；A－C______0． ❸数轴上点的移动问题 例：到－1的距离为2个单位长度的点是___________。 小试牛刀 1．如图是一些同学在作业中所画的数轴，其中，画图正确的是（　　） A． B． C． D． 2．下列说法中，错误的是（　　） A．数轴上表示－3的点距离原点3个单位长度 B．规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴 C．有理数0在数轴上表示的点是原点 D．表示十万分之一的点在数轴上不存在 3．如图，在数轴上手掌遮挡住的点表示的数可能是（　　） A．0.5 B．－0.5 C．－1.5 D．－2.5 4．如图，将一个半径为1的圆片上的点A放在原点，并把圆片沿数轴滚动1周，A到达A'，则A'表示 　　　　　　　　；若A开始时与－1重合，则滚动2周后点A'表示　　　　　　　　． 5．a，b在数轴上的对应点位置如图所示，把a，﹣a，b，﹣b由小到大排列是（ ） A． B． C． D． 6．数轴上点A表示－4，点B表示3，则A、B两点间的距离是（　　） A．－1 B．－5 C．7 D．1 7．点A位于原点左侧且距原点3个单位长度，若一个点从点A处左移4个单位长度，再右移1个单位长度，此时终点所表示的数是（　　） A．－8 B．－6 C．－2 D．0 8．已知A、B均为数轴上的点，A到原点距离为3，B到A的距离为个单位长度，且B在A的左边，则点B表示的数为　　　　　　． 9．数轴上有5个点A，B，C，D，E，每两个相邻点间的距离如图所示，若C表示－1，则E表示　　　　． 10．快递员骑车从快递公司出发，先向北骑行200m到达A小区，继续向北骑行400m到B小区，然后向南骑行1000m到C小区，最后回到快递公司。（1）以快递公司为原点，向南为正方向，用1个单位长度表示100m画出数轴，并在该数轴上表示出A，B，C三个小区的位置；（2）C离B小区有多远? （3）快递员一共骑了多少千米？ 二、相反数：只有符号不同的两个数叫互为相反数.（数值相同，符号相反 和为0★） · 几何意义：数轴上，相反数位于原点两侧，且到原点距离相等． · 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可 ★ a－b ①－（a－b）； ②－a＋b； ③b－a。 小试牛刀 1．数轴上表示数m和m＋2的点到原点的距离相等，则m＝（　　） A．－2 B．2 C．1 D．－1 2．若x、y互为相反数，＝______________． 3．若代数式1﹣8x与9x﹣3的值互为相反数，则x＝___________． 4．若a、b互为相反数，cd互为倒数，则的值是（　　） A． B．－1 C． D．1 5．（1）π﹣3的相反数是______________，π＋1的相反数是_______________； （2）a﹣b的相反数是_____________，a＋b的相反数是_____________； （3）a﹣b＋c的相反数是_____________________． 6．多重符号的化简：（1）； （2） （3）； （4） 三、绝对值：一个数到（原点）的距离【几何意义★】 · 代数意义 ①正数的绝对值是：它本身； ②0的绝对值是：0； ③负数的绝对值是：它的相反数。 · 去绝对值问题 注意：①绝对值等于它本身的数是_____________. ②非负性：“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则★． 小试牛刀 1．下列说法正确的是（　　） A．一个数的绝对值一定比0大 B．一个数的相反数一定比它本身小 C．绝对值等于它本身的数一定是正数 D．最小的正整数是1 2．点A在数轴上，点A所对应的数用2a＋1表示，且点A到原点的距离等于3，则a＝（ ） A．或1 B．或2 C． D．1 3．下列各对数互为相反数的是（ ） A．＋（＋3）与－（－3） B．＋（－3）与－（＋3） C．＋|＋3|与＋|－3| D．＋|－3|与－|＋3| 4．已知a＝－4，|a|＝|b|，则b的值为（ ） A．4 B．±4 C．0 D．－1 5．如图，若点M，N表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（ ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 6．若x是3的相反数，|y|＝4，则x－y的值是（　　） A．-7 B．1 C．-1或7 D．1或-7 7．若|x|＝﹣x，则x的值是（　 　） A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数 8．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 9．绝对值不大于3.5的正整数有_____________________，和为__________，积为__________． 10．把下列各数表示在数轴上，然后把这些数按从小到大的顺序用“”连接起来． 0， ，，，，． 11．若│a│＝8，│b│＝3，且a＜b，求a－b的值． 12．│a│＝3，│b│＝5，且a＋b＜0，求a－b的值． 13．|a－3|＋|b－2|＝0，求a＋b的值？ 14．已知有理数a，b，c在数轴上对应位置如图所示： （1）用“＜”将a，b，c连接起来为____________； （2）判断：a＋b__________0，b＋c__________0； （3）化简：； 15．如图，已知a、b、c在数轴上的位置，求的值. 16．已知，有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：|c+b|﹣|a﹣c|+|b﹣a|． 17．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，请利用数轴回答下列问题： （1） 若点A表示数﹣3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点B表示的数是 ，A，B两点间的距离是 。 （2） 若点A表示数3，将点A先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是 ，A、B两点间的距离是 ； （3） 一般地，若点A表示的数为m，将点A向右移动n个单位长度，再向左移动p个单位长度，请你猜想终点B表示什么数，A、B两点间的距离是多少。 18．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示4和1的两点间距离是　　　；表示﹣3和2的两点间距离是　　　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点间距离等于　　　　　　． （2）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是 　　　　　，最小距离是　　　　　． （3）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|＝　　　　． 知识点四 有理数的加减运算 一、有理数的加法（先确定符号 再算绝对值） ❶加法法则 同号两数相加：取相同符号，并把绝对值相加 异号两数相加 绝对值相等：互为相反数 和为0 绝对值不等：取绝对值较大的加数的符号，并用较大绝对值减去较小绝对值 与0相加：仍得这个数 ❷加法运算律： 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变 ； 加法结合律：3个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变 二、有理数的减法 · 减去一个数等于加上这个数的相反数 三、加减混合运算（统一为加法 ） · 第1步：减法化加法； · 第2步：省略括号和加号； · 第3步：运用加法运算律使计算简便； · 第4步：运用加法法则进行计算 “五法”★ ❶同号结合法 23＋（－17）＋27＋（－23）＝ ❷同分母分数或比较易通分的分数相结合 ❸相反数结合法 ❹凑整法 ❺拆项结合法：带分数分为整数和分数，再分别相加 小试牛刀 1．下列变形，运用加法运算律错误的是（ ） A． B． C． D． 2．较小的数减去较大的数，所得的数一定是（ ） A．0 B．正数 C．负数 D．0或负数 3．把写成省略加号和的形式为（ ） A． B． C． D． 4．若a，b是有理数，则下列各式成立的是（ ） A．若a＜0，b＜0，则a＋b＞0 B．若a＞0，b＜0，则a＋b＞0 C．若a＞0，b＜0，则a＋b＜0 D．若a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，则a＋b＜0 5．若表示运算x＋z－（y＋w），则的结果是（ ） A．5 B．7 C．9 D．11 6．1月份小明妈妈到银行开户，存入10000元之后每月根据家里收支情况到银行去取钱或存钱，下表为小明妈妈做的记录；从2月份到8月份中，　　　　月份存人的钱最多，截至8月份，存折上共有　　　　　元。 7．分别输人－1，－2，按如图所示的程序运算，则输出的结果依次是　　　　，　　　　。 8．计算： （1）0.5＋（）＋（﹣2.75）； （2）18.56＋（﹣5.16）＋（﹣1.44）＋（＋5.16）＋（﹣18.56）； （3）（＋6）＋（﹣5）＋（＋4）＋（﹣1）． （4）； （5）＋（－）＋＋（－）＋（－） （6） （7） （8） 10．根据图示对话，解答下列问题。（1）分别求出a，b，c的值； （2）求9－a＋b－c的值。 9．如图是王叔叔10月11日至15日的微信零钱明细，其中正数表示收款，负数表示付款，王叔叔于10月15日扫二维码付款给超市后的余额为　　　　　　　。 11．出租车上午以某商场为出发地在东西大街上运行，规定向东为正，出租车的行驶里程（单位：km）如下： ＋9，－3，－5，＋4，－8，＋6，－3，－6，－4，＋10． （1）将最后一名乘客送到目的地时，相对于商场，出租车的位置在哪里？____________________________； （2）这天上午出租车总共行驶了_____________km； （3）已知出租车每行驶1km耗油0.08L，每升汽油售价6.5元．若不计其他成本，出租车平均每千米收费2.5元，那么这半天出租车盈利（或亏损）了多少元？ 12．一口水井，水面比井口低3m，一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬，第一次往上爬了0.42m，却下滑了0.15m；第二次往上爬了0.5m，又下滑了0.1m；第三次往上爬了0.7m，又下滑了0.15m；第四次往上爬了0.75m，又下滑了0.1m；第五次往上爬了0.55m，没有下滑；第六次蜗牛又爬了0.48m，没有下滑．请回答： （1）第二次爬之前，蜗牛离井口还有　　　　m，第四次爬之前，蜗牛离井口还有　　　　　m． （2）最后一次，蜗牛有没有爬到井口？如果没有，那么离井口有多少米？ 知识点五 有理数的乘除运算 一、有理数的乘法 · 乘法法则 ❶两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘 ❷任何数同0相乘，都得0 有0 积为0 无0 负因数个数 偶数个 积为正 奇数个 积为负 再把绝对值相乘 · 多个有理数相乘：奇负偶正，有0为0 · 乘法运算律： 交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等 a×b＝b×a 结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积相等 （a×b）×c＝a×（b×c） 分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个 数分别同这两个数相乘，再把积相加 a×（b＋c）＝a×b＋a×c 二、倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数 · 0没有倒数 （数的倒数是） · 倒数等于它本身的数有1和－1。 三、有理数的除法法则（注：带分数首先化为假分数） （1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的（倒数） （2）两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除； （3）0除以任何不为0的数，都得0。 小试牛刀 1．若a＋b＜0，并且ab＞0，则（　　） A．a＜0，b＜0 B．a＞0，b＞0 C．a＜0，b＞0 D．a＞0，b＜0 2．若干个不等于0的有理数相乘，积的符号（　　） A．由因数的个数决定  B．由正因数个数决定 C．负因数决定  D．由负因数个数决定 3．计算（−3）×|−2|的结果等于（　　） A．6 B．5 C．−6 D．−5 4．|−1.5|的倒数是_____________。 5．若a、b是互为倒数，则2ab−5＝_____________。 6．计算：（1）（）×36 （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 7、请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： （1）999×（-15）； （2） （3）999×+999×（）-999×. 8．2012年“十一”黄金周期间（9月30日至10月7日），某家电商场大力促销，收银情况一直看好．下表为每天与前一天的营业额的涨跌情况（单位：万元）．已知9月29日的营业额为300万元 9月30日 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 30 50 40 20 ﹣10 ﹣10 ﹣30 ﹣40 （1）黄金周内营业额最高的是哪一天？是多少？营业额最低的是哪一天？是多少？ （2）黄金周内平均每天的营业额是多少？（注意：本问要列式进行计算，直接写出答案不得分） 知识点六 有理数的乘方 一、乘方（）：求n个相同因数的积的运算叫乘方，乘方的结果叫幂。 正数：的任何次幂都是正数 0：的任何次幂都是0 负数 奇次幂为负数 偶次幂为正数 · 乘方的规律：奇负偶正 非负数 绝对值：|a|≥0 偶次幂：a2≥0 若a2＋|b|＝0，则a＝0，b＝0； 即若几个非负数的和等于0，则这几个非负数分别等于0 小试牛刀 1、填空：（1）23中底数是_________，指数是_______。（2）在中底数是_________，指数是_______。 2、下列各式：①﹣（﹣2）；②﹣|﹣2|；③﹣22；④（﹣2）2， 计算结果为负数的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3、下列各组数中，互为相反数的是（　　 ） A．2与 B．（﹣1）2与1 C．﹣1与（﹣1）2 D．2与|﹣2| 4、计算（指数管辖范围★）： （1） （2） （3） （4） （5） 5、《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完.若按此方式截一根长为1的木棍，第五天截取后木棍剩余的长度是（　　 ） A． B． C． D． 6、下列各数：，，，0，|1|，在数轴上所对应的点一定在原点右边的个数是（　　 ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7、，则m＝______________。 8、计算（多个有理数相乘：★奇负偶正，有0为0★）： （1）（－1）2014－（－1）2015　　　　　　 　 （2） （3） （4） 知识点七 有理数的混合运算 一、有理数的混合运算顺序 ❶先乘方，再乘除，最后加减； ❷有括号，按小括号、中括号、大括号先算括号里的 二、科学记数法（） · 把一个大于10的数表示成 的形式（其中a是整数数位只有一位的数，1≤a≤10，n是正整数），这种记数方法叫做科学记数法。 · 注意：n＝小数点移动的位数＝整数的位数－1。 小试牛刀 1．下列等式正确的是（ ） ①0.000126＝1.26×10－4； ②3.10×104＝31000； ③1.1×10－5＝0.000011； ④12600000＝1.26×106 A．①② B．②④ C．①②③ D．①③④ 2．2023年5月28日，我国自主研发的C919国产大飞机商业首航取得圆满成功，C919可储存约186000升燃油，将数据186000用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 3．“一带一路”建设进行5年多来，中资金融机构为“一带一路”相关国家累计发放贷款约亿元，重点支持了基础设施、社会民生等项目．数据亿用科学记数法表示为______________。 4．科学计数法： （1）15000 ＝ ______________； （2）－56700000 ＝______________； （3）236×108的原数是________________。 5．填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出a＋b＋c＝_____________． 6、计算： （1）；     （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 7、若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2，求式子的值． 8、计算 【倒数的应用】 9、在一条可以折叠的数轴上，A，B表示的数分别是﹣13、5，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若A在B的右边，且AB﹣2，则C点表示的数是　　　　　　　。 10、定义一种新运算：a*b＝a2﹣b＋ab．例：1*3＝12﹣3＋1×3＝1． （1）求2*（﹣3）．（2）求（﹣2）*[2*（﹣3）]． 知识点八 近似数和精确度 近似数：与实际接近，但还有一定区别的数字。 精确度：表示近似数与准确数的接近程度；四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位 · 由“四舍五入”得到的数或大约估计的数即近似数（近似数小数点后的末位数是0时，不能去掉0.） · 一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。 小试牛刀 1．用四舍五入法，把7.9463精确到百分位，取得的近似数是（　　） A．7.9 B．7.94 C．7.946 D．7.95 2．下列说法正确的是（　　） A．近似数3.6与3.60精确度相同 B．数2.9954精确到百分位为3.00 C．近似数1.3×104精确到十分位 D．近似数3.61万精确到百分位 3．若a=20.18是由四舍五入得到的近似数，则a可能的取值范围是（　　） A．20.175≤a≤20.185 B．20.175≤a<20.185 C．20.175<a≤20.185 D．20.175 <a<20.185 4．四舍五入对圆周率π取近似数时，有（π≈3.1415926…） （1）π≈_____________（精确到个位）； （2）π≈______________（精确到0.1，或叫精确到十分位） （3）π≈______________（精确到0.001，或叫精确到_______________） 5．用四舍五入对下列各数按括号中的要求取近似数： （1）130.96（精确到十分位）≈_________________； （2）46 021（精确到百位）________________． （3）7.912 2（精确到个位）_______________． （4）8.16万是精确到_______________． 6．2.30×精确到_______________位，有_________个有效数字． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$