全册综合复习 试题 2024-2025学年湘教版数学九年级下册

湘教版2024-2025学年数学九年级下册 全册综合复习素质评价 限时: 120分钟 满分: 120分 一、选择题(每题3分，共30分) 1．下列事件中是必然事件的是(　　) A．翻开教材恰好翻到68页 B．任意画两条直线，这两条直线必相交 C．在一个只装有白球的盒子里摸出黑球 D．三角形的内角和等于180° 2．小玲参加综合知识竞赛活动，现有语文题6道、数学题5道、综合题9道，她从中随机抽取1道，抽中数学题的概率是(　　) A． B． C． D． 3．已知二次函数y＝－x2＋2mx－3(m>0)在自变量x满足－1≤x≤3时，其对应的函数值y的最大值为1，则m的值为(　　) A．4 B． C．2 D．1 4．如图，AB是⊙O的直径，若∠CDB＝60°，则∠ABC的度数等于(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 5．一次函数y＝－ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) 6．如图，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20 cm，到屏幕的距离为60 cm，且幻灯片上的图形的高度为6 cm，则屏幕上图形的高度为(　　) A．6 cm B．12 cm C．18 cm D．24 cm 7．某几何体是由完全相同的小正方体组合而成的，如图是这个几何体的三视图，那么构成这个几何体的小正方体的个数是(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 8．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点F，则图中阴影部分的面积是(　　) A．π－2 B．2π－2 C．2π－4 D．4π－4 9．已知如图所示的抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点A的坐标为，与x轴的一个交点位于0和1之间，小明同学观察后得出以下结论：①abc>0；②2b＋c<0；③若抛物线经过点(－3，y1)，(3，y2)，则y1>y2；④若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c－3＝0无实数根，则m<3.其中正确结论的个数是(　　) A．1　　 B．2　　 C．3　　 D．4 10．如图，AC是⊙O的直径，AC＝4，∠ACB＝60°，点D是弦AB上的一个动点，那么OD＋BD的最小值为(　　) A．2 B． C．2 D．4 二、填空题(每题3分，共24分) 11．土圭之法是在平台中央竖立一根6尺长的杆子，观察杆子的日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至时日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻太阳光线与杆的夹角∠BAC和第二时刻太阳光线与地面的夹角∠ADB相等，测得第一时刻杆的影长为1.5尺，则第二时刻杆的影长为________尺． 12．已知抛物线C1与C2关于原点成中心对称，若抛物线C1所表示的二次函数的表达式为y＝－3(x＋2)2－1，则抛物线C2所表示的二次函数的表达式为________． 13．如图，∠C＝90°，⊙C与AB相交于点A，D，AC＝5，CB＝12，则AD＝________． 14．如图，是由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，则这个几何体的搭法有________种． 15．如图，正八边形ABCDEFGH的边长为4，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则阴影部分的面积为________(结果保留π)． 16．如图是一个圆锥形冰淇淋外壳(不计厚度)，已知其母线长为12 cm，底面圆的半径为3 cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于________cm2(结果保留π)． 17．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽为4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米，则水面下降1米时，桥下水面的宽度为________米． 18．如图，在△ABC中，AB＝5，tan C＝2，则AC＋BC的最大值为________． 三、解答题(19，20题每题6分，21，22题每题8分，23，24题每题9分，25，26题每题10分，共66分) 19．如图①是由10个边长为1的小正方体组合成的简单几何体． (1)在图②中画出该几何体的主视图、左视图和俯视图； (2)该几何体的表面积(含底面)是________． (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加________个小正方体． 20．周末清晨，小敏和爸爸来到家附近的河堤散步，如图，梯形CDEF是露在地上的河堤的横截面，河堤的一侧有一棵树，小敏想测量这棵树的高度．她和爸爸查询资料得知，河堤两侧的坡度iCD＝1∶，iEF＝∶1. 某一时刻，在太阳光的照射下，树的影子一部分落在地面BC处，一部分落在斜坡CM处，M刚好是CD的中点，同时，小敏观察到此刻太阳光线与EF所在的直线平行，经测量，坡面CD＝4 m，BC＝7 m，请你帮小敏求出树AB的高度．(参考数据：≈1.7，结果保留整数) 21．为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A(优秀)，B(良好)，C(一般)，D(不合格)，并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中所给信息解答下列问题： (1)这次抽样调查共抽取________名学生，条形统计图中的m＝________； (2)将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求C等级所在扇形圆心角的度数； (3)学校要从答题成绩为A等级且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率． 22．某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y(单位：件)与销售单价x(单位：元)之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． (1)求这段时间内y与x之间的函数表达式； (2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？ 23．问题情境：如图①，两条宽为16 m、互相垂直的马路组成十字路口，可看成中心对称图形，交通白线AB，CD间的距离与交通白线EF，GH间的距离均为64 m，双向安装红绿灯． 安全条件：当绿灯亮时的最后一秒(即绿灯读数为0)，甲从交通白线AB骑出，能及时穿过路口，不与另一方向绿灯亮时从交通白线EF出来的汽车相撞，即可保证交通安全． 实验数据：测试时，甲沿BC骑行，汽车沿公路中线行驶，当绿灯亮起，汽车起步后的速度y(m/s)、行驶距离s(m)关于时间t(s)的函数图象分别为图②、图③，已知s＝a(t－1)2(1≤t≤4)． 解决问题： (1)求图③中m的值． (2)当t>4时，求s关于t的函数表达式． (3)如图①，若甲骑车速度为5 m/s，汽车与电动车长度忽略不计，设红绿灯时间差为T s．当T满足什么条件时，才能使汽车与甲不相撞？试通过计算说明． 24．如图，BE为⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，连接AB，AE，AD，DE，过点A作射线交BE的延长线于点C，使∠EAC＝∠D. (1)求证：AC是⊙O的切线； (2)若AD⊥BC于点F，DE＝6，OF＝3，求图中阴影部分的面积． 25．已知二次函数y＝－x2＋c的图象经过点A(－2，5)，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是此二次函数的图象上的两个动点． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图①，此二次函数的图象与x轴的正半轴交于点B，点P在直线AB的上方，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D，连接AC，DQ，PQ.若x2＝x1＋3，求证：的值为定值； (3)如图②，点P在第二象限，x2＝－2x1，若点M在直线PQ上，且横坐标为x1－1，过点M作MN⊥x轴于点N，求线段MN长度的最大值． 26．定义：如果三角形两边的乘积是第三条边上高线平方的4倍，则称这个三角形是“小屋三角形”，这条高线称为“小屋线”． (1)如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，求证：△ABC是“小屋三角形”． (2)如图②，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB是钝角，AD是△ABC的“小屋线”，设AD的长为x，⊙O的周长为y，求的值． (3)如图③，在(2)的条件下，P是优弧BAC的中点，连接PA，PB，当PB与PA的平方差为20时，求⊙O的周长． 答案 一、1．D　2．C　3．C　4．A　5．D　6．C　7．A　8．C 9．D 【点拨】①∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点A的坐标为，∴－＝－，∴＝，∴ab>0，且a＝b，由题图知，当x＝0时，y＝c>0，∴abc>0，故①正确； ②由①知a＝b，由题图可得当x＝1时，y＝a＋b＋c<0， ∴2b＋c<0，故②正确； ③易知直线x＝－是抛物线的对称轴，设(－3，y1)，(3，y2)两点到对称轴的距离分别为d1，d2，则d1＝＝，d2＝＝，∴d2>d1，根据图象可得，距离对称轴越近的点对应的函数值越大，∴y1>y2，故③正确； ④∵关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c－3＝0无实数根，∴b2－4a(c－3)<0，∴b2－4ac＋12a<0，∴b2－4ac<－12a，∴4ac－b2>12a，∵m＝，易知a<0，∴m<3，故④正确．故选D. 10．B 【点拨】如图，作BK∥CA，DE⊥BK于E，OM⊥BK于M，连接OB. ∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°.∵∠ACB＝60°，∴∠BAC＝30°.∵BK∥CA，∴∠DBE＝∠BAC＝30°，∴在Rt△DBE中，DE＝BD， ∴OD＋BD＝OD＋DE. 根据垂线段最短可知，当点E与点M重合时，OD＋BD的值最小，最小值为OM.∵OB＝OA，∴∠ABO＝∠BAO＝30°，∴∠OBM＝∠OBA＋∠ABM＝60°.∵AC＝4，∴OB＝2.在Rt△OBM中，∠OBM＝60°，∴∠BOM＝30°， ∴BM＝OB＝1.由勾股定理得OM＝，∴OD＋BD的最小值为. 二、11．24　12．y＝3(x－2)2＋1　13． 14．5　15．6π　16．36π　17．2 18．5 【点拨】过点B作BD⊥AC，垂足为D，如图①所示．∵tan C＝2，∴在Rt△BCD中，＝2，∴设DC＝x，则BD＝2x， 由勾股定理可得BC＝x，∴＝＝， 即BC＝DC，∴AC＋BC＝AC＋DC. 延长DC到E，使EC＝CD＝x，连接BE， 则AC＋DC＝AC＋CE＝AE. ∵BD⊥DE，DE＝2x＝BD， ∴△BDE是等腰直角三角形，∴∠E＝45°. 在△ABE中，AB＝5，∠E＝45°， 作△ABE的外接圆⊙O. 由圆周角定理可知，点E在⊙O上运动，AE是⊙O的弦，求AC＋BC的最大值就是求弦AE的最大值，根据圆的性质可知，当弦AE过圆心O，即AE是直径时，弦最长，如图②所示． ∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°. ∵∠E＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形． ∵AB＝5，∴BE＝AB＝5. 由勾股定理可得AE＝＝5， 即AC＋BC的最大值为5. 19．【解】(1)该几何体三个视图如图所示． (2)38　(3)4 20．【解】如图，过点M作MH⊥AB，垂足为点H，过点M作MQ⊥CF，垂足为点Q，再过点E作EG⊥CF，垂足为点G，并连接AM. ∵M为CD的中点，且CD＝4 m，∴CM＝CD＝2 m. ∵iCD＝1∶，∴tan∠MCQ＝，∴∠MCQ＝30°， ∴MQ＝CM＝1 m，CQ＝ m，∴BH＝MQ＝1 m，HM＝BQ＝(7＋) m. ∵太阳光线与EF所在的直线平行， ∴△AHM∽△EGF，∴AH∶HM＝EG∶GF. 又∵iEF＝∶1，∴＝，∴AH＝(7＋3)m， ∴AB＝AH＋BH＝7＋4≈16(m)． 答：树AB的高度约为16 m. 21．【解】(1)50；7 (2)由(1)知，m＝7，等级为A的学生有50－16－15－7＝12(名)，补充完整的条形统计图如图所示，C等级所在扇形圆心角的度数为360°×＝108°. (3)画出树状图如图所示： 由图可得，一共存在12个等可能的结果，其中抽出的两名学生恰好是甲和丁的结果有2个， ∴抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率为＝. 22．【解】(1)由题意，设一次函数的表达式为y＝kx＋b， ∵函数图象过点(100，300)，(120，200)， ∴ ∴ ∴y与x之间的函数表达式为y＝－5x＋800. (2)由题意得∴100≤x≤116. 设商场获得的利润为z元，则z＝(x－80)(－5x＋800)＝－5(x－120)2＋8 000. ∵－5<0，100≤x≤116， ∴当x＝116时，z最大，最大值为7 920. 答：当销售单价为116元时，商场获得利润最大，最大利润是7 920元． 23．【解】(1)将(3，10)代入s＝a(t－1)2，得10＝4a， ∴a＝2.5，∴s＝2.5(t－1)2.当t＝4时，m＝2.5×(4－1)2＝22.5. (2)当t>4时，v＝15， ∴s＝22.5＋(t－4)×15＝15t－37.5. (3)如图，BM＝FN＝(64－16)÷2＝24(m)， 当绿灯亮时甲从B出发，骑行到BC中点处时，需要的时间为64÷2÷5＝6.4(s)． ∵汽车从EF出发到路口MN的行驶路程FN＝24 m>22.5 m， ∴当s＝24时，15t－37.5＝24，解得t＝4.1， ∴汽车到路口MN的行驶时间为4.1 s. ∵要保证安全，电动车需及时通过路口， ∴6.4<4.1＋T，解得T>2.3， ∴T大于2.3时才能使汽车与甲不相撞． 24．(1)【证明】连接OA，如图． ∵BE为⊙O的直径， ∴∠BAE＝90°， ∴∠BAO＋∠OAE＝90°. ∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠B. 易知∠D＝∠B，∴∠OAB＝∠D. ∵∠EAC＝∠D，∴∠EAC＝∠OAB， ∴∠EAC＋∠OAE＝90°，即∠OAC＝90°. ∵OA是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线． (2)【解】∵AD⊥BC，∴＝，∴AE＝DE＝6. 设⊙O的半径为r， 在Rt△OAF中，AF2＝OA2－OF2＝r2－9， 在Rt△AEF中，AF2＝AE2－EF2＝36－(r－3)2， ∴r2－9＝36－(r－3)2，∴r＝6或r＝－3(舍去)， ∴OA＝OE＝6. 又∵AE＝6，∴△OAE是等边三角形，∴∠AOE＝60°. 在Rt△OAC中，AC＝OA·tan 60°＝6， ∴阴影部分的面积＝S△OAC－S扇形AOE＝×6×6－＝18－6π. 25．(1)【解】将点A的坐标代入二次函数的表达式，得5＝－4＋c，解得c＝9， ∴此二次函数的表达式为y＝－x2＋9. (2)【证明】令－x2＋9＝0，解得x＝±3，∴点B(3，0)， 由点A，B的坐标易得直线AB所表示的函数表达式为y＝－x＋3. 由图象可知点P，Q，D，C的坐标分别为(x1，－x12＋9)，(x2，－x22＋9)，(x1，－x1＋3)，(x1，0)， ∴S△PDQ＝PD×(x2－x1)＝×(－x12＋9＋x1－3)(x2－x1)＝(－x12＋x1＋6)， S△ADC＝CD×[x1－(－2)]＝×(－x1＋3)(x1＋2)＝(－x12＋x1＋6)， ∴＝3，为定值． (3)【解】由题意易知点P，Q的坐标分别为(x1，－x12＋9)，(－2x1，－4x12＋9)，由点P，Q的坐标易得直线PQ所表示的函数的表达式为y＝x1x－2x12＋9， 则MN＝yM＝x1(x1－1)－2x12＋9＝－＋.∵点P在第二象限，∴x1<0，∴MN≤，即MN长度的最大值为. 26．(1)【证明】如图①，过A点作AD⊥BC于D. ∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝×(180°－120°)＝30°， ∴AD＝AB＝AC，∴AB＝AC＝2AD， ∴AB·AC＝2AD·2AD＝4AD2， ∴△ABC是“小屋三角形”． (2)【解】如图②，作CE⊥AB于E，作直径CF，连接BF， 则CE＝AC·sin∠BAC，∠CBF＝90°，∴BC＝CF·sin F. ∵＝，∴∠BAC＝∠F，∴BC＝CF·sin∠BAC. ∵S△ABC＝AB·CE＝BC·AD， ∴AB·AC·sin∠BAC＝CF·sin∠BAC·AD， ∴AB·AC＝CF·AD. ∵AD是△ABC的“小屋线”，∴AB·AC＝4AD2， ∴4AD2＝CF·AD，∴CF＝4AD，∴AD＝CF， ∴＝＝4π. (3)【解】如图③，连接PO并延长，交BC于N，作AM⊥PN于点M，连接OB，设⊙O的半径为R，OM＝d，则PM＝R＋d. ∵P是优弧BAC的中点，∴PN⊥BC， ∴∠PNB＝∠PND＝90°.∵∠D＝∠AMN＝90°， ∴四边形ADNM是矩形，∴MN＝AD. ∴ON＝R＋d，PN＝R＋R＋d＝R＋d. 在Rt△OBN中，BN2＝OB2－ON2＝R2－， 在Rt△PBN中，PB2＝BN2＋PN2， ∴PB2＝R2－＋＝3R2＋2Rd. 在Rt△AOM中，AM2＝OA2－OM2＝R2－d2， 在Rt△PAM中，PA2＝PM2＋AM2， ∴PA2＝(R＋d)2＋R2－d2＝2R2＋2Rd. ∵PB2－PA2＝20，∴(3R2＋2Rd)－(2R2＋2Rd)＝20， ∴R2＝20，∴R＝2.∴⊙O的周长为4π. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$