6.6一次函数、一元一次方程和一元一次不等式同步练习 2024-2025学年苏科版数学八年级上册

6.6一次函数、一元一次方程和一元一次不等式 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．一次函数y1=kx+b与y2=mx+n的部分自变量和对应函数值如下表： x … 0 1 2 3 … y1 … 2 1 … x … 0 1 2 3 … y2 … ﹣3 ﹣1 1 3 … 则关于x的不等式kx+b＞mx+n的解集是（　　） A．x＞2 B．x＜2 C．x＞1 D．x＜1 2．如图，直线与的交点的横坐标为，则关于x的不等式的整数解可能是（    ） A． B． C． D．1 3．如图，函数和的图象相交于点A，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．如图，直线与直线交于点P（2，4），对关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 6．如图，直线与直线相交于点．根据图象可知，关于x的不等式的解集是（    ）    A． B． C． D． 7．若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于x的不等式组的解集为（   ） A． B． C． D． 9．一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围（    ） A． B． C． D． 10．如图，函数与的图象交于，则的解集为（    ） A． B． C． D． 11．如图，一次函数与的图象交于点P．下列结论中，所有正确结论的个数是（    ） ①；②；③当时，；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．如图，已知正比例函数和一次函数的图象相交于点，则根据图象可得不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．如图，一次函数的图象经过点A（1，2），关于x的不等式的解集为 ． 14．若点P在函数的图象上，且到x轴的距离等于1，则点P的坐标是 ． 15．已知直线与x轴和y轴的交点分别是和，那么关于x的不等式的解集是 ． 16．如图，函数和的图相交于点，则不等式的解集为 ． 17．一次函数与的图象如图所示，当时，，则满足条牛的k的取值范围是 ． 三、解答题 18．小星在学习中遇到这样一个问题：如图（1），Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，AC＝10cm，点E在线段CB上，且EC＝2cm，点P是线段BE上一动点，连接AP，以A为圆心、AP的长为半径画弧交线段AE于点Q，连接PQ，当BP是△PQE中某条边的1.5倍时，求BP的长． 小星的探究过程如下： (1)小星分析发现，有三种可能存在的情况，其中，当BP＝1.5PE时，通过推理计算可得BP的长为_____cm．但当他进一步研究其余两种情况时，发现很难通过常规的推理计算得到BP的长，于是尝试利用学习函数的经验解决问题． (2)小星将线段BP的长度记为x，PQ和QE的长度分别记为y1，y2，并分别对函数y1，y2随着自变量x的变化规律进行探究．小星通过取点、画图、测量，得到了下表中的几组对应值： x/cm 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 y1/cm 4.59 3.71 2.91 2.15 1.42 0.71 0 y2/cm ？ 2.40 2.16 1.78 1.27 0.68 0 在探究过程中，小星发现当BP＝0时，无需测量可以求出QE的长，此时QE的长约为_____cm（结果精确到0.01．参考数据：≈1.414）． ②利用表格中的数据，小星已经在如图（2）所示的平面直角坐标系中画出了y1关于x的函数图象，请你根据上文中y2和x的7组对应值在此平面直角坐标系中描点，并画出y2关于x的函数图象 (3)小星发现，想用函数图象彻底解决这个问题，还需要在平面直角坐标系内再画出一个函数的图象，请直接写出这个函数的解析式：____，并在上述平面直角坐标系中画出该函数的图象． (4)请结合图象直接写出：当BP是PQ或QE的1.5倍时，BP的长约为____（结果精确到0.1cm）． 19．如图，正比例函数的图象经过点．    (1)求k的值； (2)请在如图所示的平面直角坐标系中画出一次函数的图象； (3)根据图象，直接写出关于x的不等式的取值范围是 ． 20．如图，在矩形中，．动点P从点A出发，沿折线运动（运动路线不包含点A、点C），当它到点C时停止，设点P运动的路程为x，连接．设的面积为y．    (1)求出y与x的函数关系式，并注明x的取值范围，在x的取值范围内画出该函数图象； (2)根据函数图象，写出该函数的一条性质； (3)若直线与该函数图象有两个交点，直接写出k的取值范围． 21．已知某服装厂现有布料70米，现计划用这种布料生产M、N两种型号的时装共80套．已知做一套M型号的时装需用布料1.6米，可获利100元；做一套N型号的时装需用布料0.6米，可获利45元．设生产M型号的时装套数为x，用这批布料生产两种型号的时装所获得的总利润为y元． (1)求y（元）与x（套）之间的函数表达式． (2)当生产M型号的时装多少套时，能使该厂所获利润最大？最大利润是多少？ 22．为进一步加强“书香校园”建设，某学校拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购买的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高，用元购进的甲种书柜的数量比用元购进乙种书柜的数量少个． (1)每个甲种书柜的进价是多少元？ (2)若该校拟购进这两种规格的书柜共个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的倍．该校应如何进货使得购进书柜所需费用最少？ 23．已知：直线：（）． (1)求证：直线恒过定点； (2)已知点、坐标分别为，，若直线与线段相交，求的取值范围； (3)在范围内，任取3个自变量，，，它们对应的函数值分别为，，，若以，，为长度的3条线段能围成三角形，直接写出的取值范围． 24．一次函数（k，b是常数，）和的图象交于点A． (1)若点A在x轴上，求的值． (2)若点，当时，，直接写出k的取值范围． (3)若，点在一次函数图象上，求证：． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B C A A A D D B 题号 11 12 答案 C C 1．B 【分析】根据表格数据可得两个函数图像的交点坐标是（2，1），结合函数的增减性，即可求解． 【详解】解：根据表可得 中y随x的增大而减小； 中y随x的增大而增大．且两个函数图像的交点坐标是（2，1）． 则当 时，   故选B． 【点睛】本题主要考查一次函数图像和不等式的解，从表格中得出两个函数图像的交点坐标是（2，1）是关键． 2．A 【分析】满足关于x的不等式nx＋4n＞−x＋m＞0就是在x轴的上方且直线y＝nx＋4n位于直线y＝−x＋m的上方的图象，据此求得自变量的取值范围，进而求解即可． 【详解】解：∵直线y＝−x＋m与y＝nx＋4n的交点的横坐标为−2， ∴关于x的不等式nx＋4n＞−x＋m的解集为x＞−2， ∵−x＋m＞0 ∴由图象可知，x＜m 又∵−2＜m＜0， ∴−2＜x＜0， ∴整数解可能是−1． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系，要熟练掌握． 3．B 【分析】利用函数图象，找出直线y=bx不在直线y=ax+4的下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：根据函数图象，当x≥2时，ax+4≤bx． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 4．C 【分析】根据函数图象，可以发现当x＞2时，一次函数y=x+b的图象在y=kx+5的图象的上方，从而可以得到不等式x+b＞kx+5的解集． 【详解】解：由图象可得， 当x＞2时，一次函数y=x+b的图象在y=kx+5的图象的上方， ∴不等式x+b＞kx+5的解集是x＞2， 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，利用数形结合的思想解答问题是解答本题的关键． 5．A 【分析】本题主要考查了一元一次方程解的定义，一次函数的性质，先把代入方程中得到，进而得到当时，，据此可得答案． 【详解】解：∵关于x的方程的解是， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∴当时，，即直线一定经过点， 故选：A． 6．A 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，利用图象法求不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可知：当时，直线在直线的上方， ∴的解集为：； 故选A． 7．A 【分析】根据方程可知当x=2，y=0，从而可判断直线y=-2x+b经过点（2，0）． 【详解】解：由方程的解可知：当x=2时，-2x+b=0，即当x=2，y=0， ∴直线y=-2x+b的图象一定经过点（2，0）， 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键． 8．D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，观察分析函数图象是解题的关键． 首先求出，，得到当时，，观察函数图象得到，当时，的图象都在的图象的上方，且，由此即可得到不等式组的解集． 【详解】解：将代入得， 解得 ∴ ∴将代入得， 解得 ∴ ∴当时，， 当时，的图象都在的图象的上方，且 ∴关于x的不等式组的解集为． 故选：D． 9．D 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，观察图象知，直线与x轴交于．在交点左边，图象在x轴上方，即当时，． 【详解】观察图象知，当时，． 故选：D． 10．B 【分析】先把P（n，-2）代入y=-2x+3求出n得到P的坐标，根据图象直接写出直线y=- x+m在直线y=-2x+3的上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：把P（n，-2）代入y=-2x+3得-2n+3=-2，解得n=； ∴P（，-2）， 观察图象，当x＞时，直线y=- x+m在直线y=-2x+3的上方， ∴不等式-x+m＞-2x+3的解集为x＞． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 11．C 【分析】仔细观察图象：①根据一次函数y＝ax＋b图象从左向右变化趋势及与y轴交点即可判断a、b的正负；②根据一次函数y＝cx＋d图象从左向右变化趋势及与y轴交点可判断c、d的正负，即可得出结论；③以两条直线的交点为分界，哪个函数图象在上面，则哪个函数值大；④由两个一次函数图象的交点坐标的横坐标为1可得出结论；⑤由一次函数y＝cx＋d图象与x轴的交点坐标为（，0），可得＞-1，解此不等式即可作出判断． 【详解】解：①由图象可得：一次函数y＝ax＋b图象经过一、二、四象限， ∴a＜0，b＞0，故①错误； ②由图象可得：一次函数y＝cx＋d图象经过一、二、三象限， ∴c＞0，d＞0， ∴ac＜0，故②正确； ③由图象可得：当x＞1时，一次函数y＝ax＋b图象在y＝cx＋d的图象下方， ∴ax＋b＜cx＋d，故③错误； ④∵一次函数y＝ax＋b与y＝cx＋d的图象的交点P的横坐标为1， ∴a＋b＝c＋d，故④正确； ⑤∵一次函数y＝cx＋d图象与x轴的交点坐标为（，0），且＞-1， ∵c＞0， ∴-d>-c， ∴c＞d．故⑤正确． 正确的有②④⑤， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数与一元一次不等式，掌握一次函数的图象与性质并利用数形结合的思想是解题的关键． 12．C 【分析】观察图象得：当时，正比例函数的图象位于一次函数的图象上方，即可求解． 【详解】解：观察图象得：当时，正比例函数的图象位于一次函数的图象上方， ∴不等式的解集是． 故选：C 【点睛】本题主要考查了一次函数与不等式的关系，利用数形结合思想解答是解题的关键． 13．x>1 【分析】观察函数图象得到即可． 【详解】解：由图象可得：当x>1时，kx+b>2， 所以关于x的不等式kx+b>2的解集是x>1， 故答案为x>1． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，理解题意，利用数形结合思想求解是解题关键． 14．（-1，1）或（1，1） 【分析】根据点P到x轴的距离等于1可得y=1或y=-1，根据点P在函数的图象上，可得当y=1时，x=1或-1，当y=-1时，x无解，从而得出答案． 【详解】解：∵点P到x轴的距离等于1， ∴点P的纵坐标为1或-1， 即y=1或y=-1， ∵点P在函数的图象上， 当y=1时，x=1或-1， ∴点P(-1,1)或(1,1)， 当y=-1时，x无解， 综上所述，点P的坐标是(-1,1)或(1,1)． 故答案为(-1,1)或(1,1)． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及解一元一次方程．点到x轴的距离等于该点的纵坐标的绝对值；点在函数解析式上，点的横纵坐标适合这个函数解析式． 15． 【分析】由题意可以求得k和b的值，代入不等式即可得到正确答案 ． 【详解】解：由题意可得：， ， ∴原不等式即为， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式的综合应用，利用直线与坐标轴的交点求出不等式的系数是解题关键． 16．/ 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，图象法解不等式即可． 【详解】解：由图象可知：的解集为：． 故答案为：． 17．且 【分析】本题考查根据两条直线的交点求不等式的解集，联立与，求出两条直线交点的横坐标，根据当时，，结合图象列不等式，即可求解． 【详解】解：联立与， 得， 解得， 即一次函数()与的图像的交点的横坐标为， 当时，， ， ∴， 解得； 当时，与两条直线平行，且的图象在直线的下方，所以，当时，，满足题意； 又， 满足条件的的取值范围是且， 故答案为：且． 18．(1)3.6； (2)①2.48；②见解析； (3)，函数图象见解析； (4)2.8cm或3.1cm． 【分析】（1）先通过勾股定理求出BC的长度，根据EC＝2cm，即可求出BE的长度，最后通过BP＝1．5PE即可求出BP的长度； （2）①根据题意可知AP=AQ，当BP＝0时则点P与点B重合，此时勾股定理求出AE的长度，用AE-AQ即可求出QE的长度；②根据表格中的数据描点画图即可； （3）根据BP是△PQE中某条边的1.5倍，可得到BP=1.5PQ或BP=1.5QE，即PQ=BP或QE=BP；将线段BP的长度记为x，PQ和QE的长度分别记为y1，y2，直接写出y与x的函数表达式再画出该函数的图象即可； （4）结合图象，分别找出与（2）中的两个函数图象的交点，找出交点的横坐标即可． 【详解】（1）在Rt△ABC中，由勾股定理可得：BC=（cm） ∵EC＝2cm， ∴BE=BC-EC=8-2=6（cm）， ∵BP＝1.5PE， ∴设PE=m，则BP=1.5m， 列出方程得：m+1.5m=6，解得：m=2.4， ∴BP=1.5m=1.5×2．4=3.6（cm）， 故答案为：3.6； （2）①∵以A为圆心、AP的长为半径画弧交线段AE于点Q， ∴AP=AQ， 当BP=0时，点P与点B重合，此时AP=AB=6cm， ∴AQ=6cm， 由（1）可得：BE=6cm， 在Rt△ABE中，由勾股定理可得：AE=（cm）， ∴QE=AE-AQ=≈2.48（cm）， 故答案为：2.48； ②如图： （3）∵BP是△PQE中某条边的1.5倍， ∴BP=1.5PQ或BP=1.5QE，即PQ=BP或QE=BP； 将线段BP的长度记为x，PQ和QE的长度分别记为y1，y2， ∴，， 故还需要画出的函数图象， 如图： （4）由图可知，与两函数的交点分别为点M和点N， ∵点M的横坐标约为2.8；点N的横坐标约为3.1； ∴当BP是PQ或QE的1.5倍时，BP的长约为2.8cm或3.1cm， 故答案为：2.8cm或3.1cm 【点睛】本题主要考查了函数图象的画法，函数图象交点的意义以及勾股定理，仔细体会题意运用数形结合的思想来解决问题是解题的关键． 19．(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）把点代入可得的值； （2）根据一次函数经过的点和，然后画出图象即可； （3）结合图象，直接求解即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象经过点， ∴，解得． （2）根据一次函数经过的点和，过这两点画一条直线，如图所示，    直线即为所画． （3）由图象得：的解为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了一次函数的性质，以及函数图象上点的坐标特点，待定系数法求一次函数解析式，关键是掌握一次函数图象上点的坐标特征． 20．(1)，见解析 (2)见解析，（合理即可） (3) 【分析】（1）由题意知，当时，，则；当时，，则；然后作图象即可； （2）根据图象作答即可； （3）当时，，即为过的直线，如图3，将代入，可求；将代入，可求；结合图象进而可得取值范围． 【详解】（1）解：由题意知，当时，， ∴； 当时，， ∴； ∴； 作图如图2；    （2）解：由图象可知，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小； （3）解：当时，， ∴为过的直线， 如图3，    将代入得，， 解得，； 将代入得，， 解得，； 由图象可知，当时，直线与该函数图象有两个交点． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式，一次函数的图象与性质，两直线交点．熟练掌握一次函数的图象与性质并数形结合是解题的关键． 21．(1) (2)生产M型号的时装22套时，该厂所获利润最大，最大利润是4810元 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题时首先正确理解题意，然后利用题目的数量关系列出函数解析式． （1）由于计划用这两种布料生产M、N两种型号的时装共80套，生产M型号的时装套数为x，做一套M型号的时装可获利100元，做一套N型号的时装可获利45元，由此即可求解． （2）首先利用不等式组得出x的取值范围，再根据一次函数的性质可得最大利润． 【详解】（1） 故答案为：； （2）两种型号的时装共用布料米米， 解得， 随x的增大而增大， 当时，， 即生产M型号的时装22套时，该厂所获利润最大，最大利润是4810元． 22．(1)每个甲种书柜的进价为元 (2)购进甲书柜个，购进乙书柜个，费用最少 【分析】本题考查分式方程，一元一次不等式，一次函数的知识，解题的关键是掌握分式方程，一元一次不等式的运用，一次函数的运用，即可． （1）设每个乙种书柜的进价为元，每个甲种书柜的进价为元，根据题意，列出分式方程，即可； （2）设甲书柜的数量为个，则乙书柜的数量为个，求出的范围，设使得购进书柜所需费用为，根据题意，求出函数关系，根据函数的性质，即可． 【详解】（1）设每个乙种书柜的进价为元，每个甲种书柜的进价为元， ∴， 解得：， 经检验，是方程的解， ∴， 答：每个甲种书柜的进价为元． （2）设甲书柜的数量为个， ∴乙书柜的数量为个， ∵乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的倍， ∴， 解得：， ∴， 设使得购进书柜所需费用为， ∴， 整理得：， 当时，有最小值，， 答：购进甲书柜个，购进乙书柜个，费用最少． 23．(1) (2) (3)或 【分析】（1）将整理成，进而求解即可； （2）根据点A、坐标分别为，，直线与线段相交，直线l：，恒过某一定点得当时，，当时，，即可得，进行计算即可得； （3）当时，直线l：中，随的增大而增大，可得当时，， 根据以、、为长度的条线段能围成三角形得，解得，即可得，当时，直线中，随的增大而减小，当时，，根据以、、为长度的条线段能围成三角形得，解得，则，即可得． 【详解】（1）证明：， 当时，， 直线恒过定点； （2）解：∵点A、坐标分别为，，直线与线段相交，直线l：，恒过某一定点， 当时，，当时，， ∴， 解得； （3）解：当时，直线l：中，随的增大而增大， 当时，， ∵以、、为长度的条线段能围成三角形， ∴， 解得， ∴， 当时，直线中，随的增大而减小， 当时，， ∵以、、为长度的条线段能围成三角形， ∴， 解得， ∴， 由上可得，或． 【点睛】本题考查了一次函数图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形三边关系，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 24．(1)2 (2) (3)见解析． 【分析】（1）点A在x轴上，可以设代入，求得a的值，再将代入整理即可得到的值； （2）将代入求得m的值，再将代入可得，由解不等式，结合解集为，即可求得k的范围； （3）将代入，求得，再代入，即可求证． 【详解】（1）在x轴上， 设，代入，解得， 将代入，得：， 整理，得：． （2）将代入，得：， 将代入，得：， 当时， ， 关于x的不等式的解集为， 即：的解集为， 由不等式的性质可知：， 解得：． （3）将代入，得：， ，解得： ， ． 【点睛】本题主要考查一次函数背景下一次方程与不等式的求解问题，准确理解题意构造相应的不等式是本题的解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$