第六章 反比例函数的应用 课后综合练习 2024—2025学年北师大版数学九年级上册

第六章《反比例函数》 课后综合练习 考试时间:120分钟 满分150分 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1．下列数量关系中，成反比例关系的是（　　） A．橘子的单价一定，购买橘子的数量与总价 B．学校计划种植500棵树，已植的棵数与未植的棵数 C．圆柱的体积一定，它的底面积与高 D. 速度一点，路程与时间 2．下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　） A． B． C． D．y＝x2+1 3．若点（3，﹣4）在反比例函数的图象上，则该图象也过点（　　） A．（2，6） B．（3，4） C．（﹣4，﹣3） D．（﹣6，2） 4．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数图象上的两个点，若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是（　　） A．y1＜0＜y2 B．y1＜y2＜0 C．y2＜0＜y1 D．y2＜y1＜0 5．当作用于一个物体的压力F（N）一定时，这个物体所受的压强p（Pa）与它的受力面积S（m2）的函数表达式为，则下列描述不正确的是（　　） A．当压力F＝5N，受力面积S为1m2时，物体所受压强为5Pa B．图象位于第一、三象限 C．压强p（Pa）随受力面积S（m2）的增大而减小 D．图象不可能与坐标轴相交 6．如图①，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间AB段的平均行驶速度v（km/h） 与行驶时间t（h）是反比例函数关系（如图②），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过120km/h，最低车速不得低于60km/h，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间可能是（　　） A．0.1h B．0.35h C．0.45h D．0.5h 7．已知点A（x1，﹣2），B（x2，﹣1），C（x3，1）在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　） A．x3＜x2＜x1 B．x1＜x2＜x3 C．x3＜x1＜x2 D．x2＜x1＜x3 8．物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图1所示．经测试，发现电流I（A）随着电阻R（Ω）的变化而变化，并结合数据描点，连线，画成图2所示的函数图象．若该电路的最小电阻为1Ω，则该电路能通过的（　　） A．最大电流是36A B．最大电流是27A C．最小电流是36A D．最小电流是27A 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在y、x轴上，BC⊥x轴，点M、N分别在线段BC、AC上，BM＝CM，NC＝2AN，反比例函数y（x＞0）的图象经过M、N两点，P为x轴正半轴上一点，且OP：BP＝1：4，△APN的面积为3，则k的值为（　　） A． B． C． D． 10．如图，已知直线y＝k1x+b与x轴，y轴相交于P，Q两点，与y的图象相交于A（﹣2，m），B（4，n）两点，连接OA，OB，给出下列结论：①k1•k2＞0；②m+2n＝0；③S△BOP＝2S△AOP；④当k1x+b时，x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜4，其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．已知函数是反比例函数，则m的值为 　 　． 12．已知反比例函数y的图象经过点（3，2），则k的值是 　 　． 13．某型号蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，即I，它的图象如图所示，则蓄电池的电压U为 　 　（V）． 14．若反比例函数y过点（1，1），则k2024＝ 　 　． 15．如图所示，平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A在第一象限，点B、C在第二象限，S△OAB，将△OAB沿OB翻折至△OA′B，反比例函数恰好经过点B和点A′，连接A′C交x轴于点M，则点M的坐标为 　 　． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．已知y是x的反比例函数，并且x＝2时，y＝6，求出y与x的函数解析式． 17．元旦假期，李老师驾驶小汽车从甲地匀速行驶到乙地，当小汽车匀速行驶的速度为100km/h时，行驶时间为1.5h；设小汽车匀速行驶的速度为vkm/h，行驶的时间为th． （1）求v关于t的函数表达式； （2）若小汽车匀速行驶的速度为60km/h，则从乙地返回甲地需要几小时？ 18．已知函数 y＝（5m﹣3）x2﹣n+（n+m）， （1）当m，n为何值时是一次函数？ （2）当m，n为何值时，为正比例函数？ （3）当m，n为何值时，为反比例函数？ 19．如图所示，P是反比例函数y的图象上任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M，N． （1）求k的值； （2）求证：矩形OMPN的面积为定值． 20．小明新买了一盏亮度可调节的台灯（如图1所示），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）满足反比例函数关系，其图象如图2所示． （1）求I关于R的函数解析式； （2）当R＝1375Ω时，求I的值； （3）若该台灯工作的最小电流为0.1A，最大电流为0.25A，求该台灯的电阻R的取值范围． 21．如图，一次函数y＝mx+n的图象与反比例函数（k为常数，且x≠0）的图象交于A、B两点．且点A的坐标为（﹣1，4），B的坐标为（3，a）． （1）求反比例函数表达式； （2）当反比例函数的值小于一次函数的值时，请直接写出实数x的取值范围． 22．如图，已知一次函数y＝kx+b与反比例函数交于A（a，3），B（3，1）两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若一次函数y＝kx+c与反比例函数有一个交点，求c的值． 23．某种玻璃原材料需在0℃环境保存，取出后匀速加热至600℃高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温30℃加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于480℃玻璃温度y（℃）与时间x（min）的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，回答下列问题： （1）玻璃加热速度为 　 　℃/min； （2）求能够对玻璃进行加工的时长； （3）玻璃从600℃降至室温30℃需要的时间为 　 　min． 24．生活中许多问题的解决既可以采用“代数”的方法解决．也可以从“图形”的角度来研究．某数学建模小组在综合实践课上探究面积为4，周长为m的矩形问题时，发现矩形的面积与周长存在一定的关系．小组成员进行了如下研究： 【问题探究】 （1）设矩形的长和宽分别为x，y，当m＝10时，这样的矩形存在吗？如果存在，请你求出矩形的长与宽；如果不存在，请你说明理由． （2）从矩形的面积为4可得到y与x的函数关系式为y（x＞0），从矩形的周长为10可得到y与x的函数关系式为：　 　，在图1中画出该函数图象（无需画图过程）将满足要求的（x，y）可以看成这两个函数图象在第一象限内的交点坐标．观察图象可看出交点坐标为 　 　即当矩形面积为4周长是10时，这样的矩形是存在的． 【拓展应用】 （3）我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图2，函数y（x＞0）的图象G经过点A（4，1），直线l：yx+b与图象G交于点B，与y轴交于点C．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为W．若区域W内恰好有4个整点，结合图象请直接写出b的取值范围 　 　． 25．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+b与双曲线交于A（m+4，1），B（m，﹣3）．（1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； （3）如图2，将直线y＝x+b向上平移a个单位长度得到直线l，直线l与反比例函数的图象交于C，D两点，与双曲线在第一象限内交于点E，连接BD，EA，若四边形ABDE是平行四边形，求a的值． 参考答案 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1-5．CBDAB． 6-10．BDABD． 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．±2． 12．6． 13．64． 14．1． 15．． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解：设该函数解析式为y， 得6， 解得k＝12， ∴y与x的函数解析式为y． 17．解：（1）由题意可得从甲地到乙地路程为：100×1.5＝150（km）， ∴v与t的关系式为：v； （2）当小汽车匀速行驶的速度为60km/h，即v＝60km/h， 在v中，令v＝60得60， 解得t＝2.5， 答：小汽车速度为60km/h时，从乙地到甲地需要2.5h． 18．解：（1）当函数y＝（5m﹣3）x2﹣n+（m+n）是一次函数时， 2﹣n＝1，且5m﹣3≠0， 解得：n＝1且m； （2）当函数y＝（5m﹣3）x2﹣n+（m+n）是正比例函数时，， 解得：n＝1，m＝﹣1． （3）当函数y＝（5m﹣3）x2﹣n+（m+n）是反比例函数时，， 解得：n＝3，m＝﹣3． 19．解：（1）如图，∵反比例函数y的图象上一点的坐标为（1，4）， ∴k＝4×1＝4； （2）∵k＝4， ∴反比例函数的解析式为：y， ∵P是反比例函数y的图象上任意一点， PM⊥x轴，PN⊥y轴， ∴矩形OMPN的面积＝|k|＝4， ∴矩形OMPN的面积为定值 20．解：（1）设，由图象可知， 当R＝1100Ω时，I＝0.2A， ∴k＝0.2×1100＝220， ∴I； （2）当R＝1375Ω时，I0.16（A）； （3）当I＝0.1A，R2200（Ω）， 当I＝0.25A，R880（Ω）， ∴该台灯的电阻R的取值范围为880Ω≤R≤2200Ω． 21．解：（1）将点A坐标代入y得， k＝﹣1×4＝﹣4， 所以反比例函数的表达式为y． （2）由函数图象可知， 当x＜﹣1或0＜x＜3时，反比例函数的图象在一次函数图象的下方， 所以当反比例函数的值小于一次函数的值时，x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜3． 22．解：（1）把点B（3，1）代入，得，则m＝3， 所以反比例函数解析式为：， 把点A（a，3）代入， 得， 即a＝1，则A（1，3）． 把点A（1，3），B（3，1），代入y＝kx+b， 得，解得， ∴一次函数的解析式为y＝﹣x+4． （2）由（1）知k＝﹣1，即y＝kx+c＝﹣x+c， 将一次函数y＝﹣x+c与反比例函数联立， 得， ∴． 整理得x2﹣cx+3＝0，则Δ＝c2﹣4×1×3＝0， 即． 23．解：（1）∵600÷4＝150， ∴玻璃加热速度为150（℃/min）， 故答案为：150； （2）由题可得，（4，600）在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为y， 代入点（4，600）可得，k＝2400， ∴玻璃温度下降时，y与x的函数关系式是y； ∴设玻璃温度上升时的函数表达式为y＝k1x， 由题可得，（4，600）在正比例函数图象上， 代入点（4，600）可得，k1＝150， ∴玻璃温度上升时，y与x的函数关系式是y＝150x， ∴将y＝480代入y＝150x，得x＝3.2， ∴将y＝480代入y，得x＝5， ∴5﹣3.2＝1.8（min）， ∴能够对玻璃进行加工时长为1.8min； （3）将y＝30代入y得，x＝80， ∴80﹣4＝76（min）， ∴玻璃从600降至室温30需要的时间为76min． 故答案为：76． 24．解：（1）这样的矩形存在，长为4，宽为1；理由如下： 当矩形周长m＝10时，x+y＝5， ∵矩形面积S＝4， ∴xy＝4， 联立得， 解得：（舍去），， ∴矩形的长为4，宽为1； （2）由矩形的周长为10，得：2（x+y）＝10， ∴y＝5﹣x， 在同一坐标系中画出函数y（x＞0）和y＝5﹣x（0＜x＜5）的图象，如图1， 观察图象可知：函数y（x＞0）和y＝5﹣x（0＜x＜5）的图象有2个交点（1，4）或（4，1），故这样的矩形存在． 故答案为：y＝5﹣x，（1，4）或（4，1）； （3）如图2， 当直线yx+b经过（0，﹣1）时，区域内部有3个整数点（1，0）、（2，0）、（3，0）， 此时，b＝﹣1， 当直线yx+b经过（1，﹣1）时，区域内部有4个整数点（1，0）、（2，0）、（3，0），（4，0）， 此时，﹣1b， ∴b， ∴当区域W内恰好有4个整点时，b＜﹣1。 25．解：（1）将点A、B的坐标代入反比例函数的表达式得：m+4＝﹣3m， 则m＝﹣1， 则反比例函数的表达式为：y； 即点A、B的坐标分别为：（3，1）、（﹣1，﹣3）， 将点A的坐标代入一次函数表达式得：1＝3+b，则b＝﹣2， 则一次函数的表达式为：y＝x﹣2； （2）观察函数图象知，的解集为：0＜x＜3或x＜﹣1； （3）直线y＝x+b向上平移a个单位长度得到直线l，则直线l的表达式为：y＝x﹣2+a（a＞0）， 联立直线l和y2的表达式并整理得：x2+（a﹣2）x+13＝0， 则Δ1＝（a﹣2）2﹣52， 则xD； 联立直线l和y1的表达式并整理得：x2+（a﹣2）x﹣3＝0， 则Δ2＝（a﹣2）2+12， 则xE， ∵四边形ABDE是平行四边形， 则xA+xD＝xB+xE， 整理得：xE﹣xD＝4， 即4， 即8且Δ1＝（a﹣2）2﹣52，Δ2＝（a﹣2）2+12， 解得：a﹣2＝±2（舍去负值）， 则a＝2+2。 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$