第27章 相似（知识点及常考题型专题复习） 2023—2024学年人教版数学九年级下册

第27章 相似 知识点一 相似图形及比例线段 一、相似图形：形状相同（大小不一定相同）的图形（similar figures）. 二、相似多边形：对应角相等、对应边成比例的边数相同的两个多边形。 · 相似比：相似多边形对应边的比。 小试牛刀 1．如图所示的相似四边形中，未知边x＝_______、y＝_______和角α＝_______. 2．一个多边形边长为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形最长边为24，则这个多边形的最短边为（   ） A．6 B．8 C．12 D．10 3．如图，正方形ABCD中，BE＝BC，EF⊥AB，EG⊥BC，则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比＝_________． 4．矩形ABCD中，AB＝1，将ΔABE沿AE向上折叠，使B落在F点，若EFDC与ABCD相似，则AD＝（  ） A． B． C． D．2 5．ABCD中，AE平分∠BAD，EF∥AB．（1）求证：BF平分∠ABC；（2）若AB＝6，ABCD与四边形CEFD相似，求BC的长． 三、比例线段 （一）概念：对于四条线段a、b、c、d，若其中两条线段的比与另两条线段的比相等，例：a：b＝c：d（），则这四条线段是成比例线段，简称比例线段．组成比例的四个数叫比例的项；两端的两项叫比例的外项；中间的两项叫比例的内项。 ①成比例线段是有顺序的，即a：b＝c：d，不能写成a：b＝d：c； ②四条线段的单位应一致；或a、b单位一致；c、d单位一致； ③内项之积＝外项之积；即：若，则ad＝bc； ④若，则b2＝ac （b称为a、c的比例中项）． （二）判断步骤 ①统一单位：将四条线段的单位统一； ②大小排序：将四条线段的长度按从小到大的顺序排列 ③计算判断： 方法1：a：b＝c：d （前两个的比＝后两个的比） 方法2：ad＝bc（前后两个的积＝中间两个的积） 小试牛刀 1．下列四条线段中，不能成比例的是（　　） A．a＝4，b＝8，c＝5，d＝10 B．a＝2，b＝2，c＝，d＝5 C．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4 D．a＝1，b＝2，c＝2，d＝4 2．比例尺是1：8000的南京市城区地图上，太平南路长度约为25cm，它的实际长度约为（ ） A．320cm B．320m C．2000cm D．2000m 3．若a、b、c、d是成比例线段，其中a＝5cm，b＝2.5cm，c＝10cm，则线段d＝（    ） A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm 4．若3a＝2b，则＝（　　） A． B． C． D． 5．已知线段b＝2，c＝8，若线段a是b与c的比例中项，则a＝________． 6．若（abc≠0），求的值． 知识点二 相似三角形 一、相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形。 符号语言：∵△ABC∽△A'B'C'， ∴∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C' 二、平行线分线段成比例：两直线被一组平行线所截，所得对应线段成比例。 小试牛刀 1．下列能够相似的一组三角形为（ ） A．所有的直角三角形 B．所有的等腰三角形 C、所有的等腰直角三角形 D．所有一边和这边上的高相等的三角形 2．如图，a//b//c，且AB＝2，BC＝3，DE＝1.6，则EF＝（ ） A．2.4 B．1.8 C．2.6 D．2.8 3．如图，abc，且AB＝3，BC＝4，EF＝4.8，则DE＝__________． 三、相似三角形的判定★ （一）判定❶：平行得相似：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 1．如图，AD经过△ABC的重心，点E是AC中点，GE∥BC，若BC＝12，则GE＝（　　） A．6 B．4 C．5 D．3 2．如图，ABCD中，，若，则ABCD的周长为（      ） A．21 B．28 C．34 D．42 3．如图，△ABC中，DE//BC，EF//AB，且AD：DB＝3：5，则CF：CB＝（    ） A．5∶8 B．3∶8 C．3∶5 D．2∶5 4．如图，在△ABC中，DE//AC、AE//DF，BD：AD＝3：2，BF＝6，则EF＝　　　　；FC＝　　　　． 5．如图，△ABC中，AD：DC＝1：2，O是BD中点，则BE：EC＝（     ） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3 6．如图，AG：GD＝4：1，BD：DC＝2：3，则 AE：EC ＝（     ） A．3：2 B．4：3 C．6：5 D．8：5 7．如图，ABCD中，AB＝5，BC＝8，E是BC中点，∠BFC＝90°．若EF∥AB，则DG＝（　　） A． B． C．3 D．2 8．如图，正方形ABCD中，若AE＝3ED，DF＝CF，则＝（ ） A． B． C． D． 9．Rt△ABC中，AB＝5，BC＝4．P是AC上一动点，，D为PQ中点，BD平分时，AP＝（　　 ） A． B． C． D． （二）判定❷：三边对应成比例的两个三角形相似.【SSS】 （三）判定❸：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.【SAS】 小试牛刀 1．如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ） A． B． C． D． 2．将△ABC沿虚线剪开，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6．阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） 3．如图，正方形ABCD中，AE＝ED，DF＝DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G． （1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形边长为4，求BG的长． （四）判定❹：两角对应相等的两个三角形相似. （五）判定❺：斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 小试牛刀 1．下面四组图形中，必是相似三角形的为（　　） A．两个直角三角形 B．两边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形 C．有一个角为40°的两个等腰三角形 D．有一个角为100°的两个等腰三角形 2．△ABC中，AG⊥BC，AF⊥DE，∠EAF＝∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD＝3，AB＝5，求． 3．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，CF∥AB，求证：BP2＝PE·PF．【线段的等量转移】 4．Rt△ABC，AB为直径，．（1）求证：DE是⊙O切线；（2）求证：． 5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是直径，AD平分∠BAC，BC//DP． （1）求证：PD是⊙O切线；（2）求证：△ABD∽△DCP；（3）当AB＝5cm，AC＝12cm时，求PC的长． 四、相似三角形的性质★ ①对应角相等，对应边成比例 ②对应高，对应中线，对应角平分线的比＝相似比k ③周长比＝相似比，面积比＝相似比的平方★ 小试牛刀 1．如图，△ABC中，DE∥BC，，则下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 2．如图，ABCD中，E为AD中点．已知△DEF的面积为S，则S△DCF＝（ ） A．S B．2S C．3S D．4S 3．如图，DE∥BC，CD与BE相交于点O，若，则＝（　　） A． B． C． D． 4．如图，在△ABC中，EF∥BC，AB＝3AE，若S四边形BCFE＝16，则S△ABC＝（　　 ） A．16 B．18 C．20 D．24 5．如图，D是BC中点，且∠CAD＝∠B，若△ABC的周长为10，则△ACD的周长是（　　） A．5 B．5 C． D． 知识点三 相似三角形的应用 1．图1是装了液体的高脚杯示意图，用去一部分液体后如图2，此时液面AB＝（     ） A．1cm B． C． D． 2．如图，矩形ABCD，OD＝2OA＝6，AD：AB＝3：1，则C点坐标是（　　） A．（2，7） B．（3，7） C．（3，8） D．（4，8） 3．如图．利用标杆BE测建筑高度．已知BE＝1.2m，AB＝1.6m．BC＝12.4m．则CD＝（　　） A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m 4．Rt△ABC铁片中，直角边AB＝3cm，BC＝4cm，现把它加工成一个正方形，则正方形边长为（　　） A． B． C． D． 5．如图，小军、小珠间距离为2.7m，他们在同一盏路灯下影长分别为1.8m，1.5m，已知小军、小珠的身高分别为1.8m，1.5m，则路灯高为＝____________m． 6．李明和张龙利用灯光下的影长来测量路灯D的高度．如图，当李明走到A处时，测得李明身高AM与影子长AE正好相等；走到B处时，李明身高BN的影子恰好是AB，测得AB＝1.25m，已知李明身高为1.75m，求路灯CD的长．（结果精确到0.1m） 7．同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图所示，其中木杆AB＝2米，它的影子BC＝1.6米，木杆PQ的影子有一部分落在墙上，PM＝1.2米，MN＝0.8米，求木杆PQ的长度． 知识点四 射影定理/又称“欧几里德定理” 【等面积法】 在Rt△ABC中：∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴△ABC∽△ACD∽△CBD 【“AA”】 ∴ ； ； 小试牛刀 1．如图，Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC；AB＝6，BC＝9，则BD＝________，AD＝_______，AC＝_________。 2．如图，锐角△ABC中，BD⊥AC，DE⊥BC，AB＝14，AD＝4，BE：EC＝9：2，则CD＝_________。 3．如图，矩形ABCD中，E是AD中点，且BE⊥AC，则AB：BC＝__________。 知识点五 位似 一、位似图形 · 若两个图形不仅相似，且每组对应点所在直线都经过同一点，则这样的两个图形叫位似图形，这个点叫位似中心【 注意：位似图形是相似图形的一种特殊形式】． 二、位似图形的性质 ①对应角相等，对应边成比例 ②对应点连线相交于一点，即经过位似中心 ③对应边相互平行或在同一条直线上 ④位似图形的对应点到位似中心的距离之比＝相似比 三、画位似图形 ❶确定位似中心； ❷确定原图形的关键点； ❸确定位似比； ❹根据对应点所在直线经过位似中心且到位似中心的距离之比＝相似比，作出关键点的对应点，按照原图的顺次连接各点（对应点都在位似中心同侧，或两侧） . 四、平面直角坐标系中的位似变化 · 当以原点为位似中心且变换前后的两个图形相似比＝k时，原图上点E（x，y）的对应点坐标为 E＇（kx，ky）或（－kx，－ky）（即对应点坐标之比的绝对值＝位似比）。 小试牛刀 1．已知，A（-3，6）、B（-9，-3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则A的对应点A′的坐标是（ ） A．（-1,2） B．（-9,18） C．（-9,18）或（9,-18） D．（-1,2）或（1,-2） 2．如图，△ABC中：A（1，2），B（1，1），C（3，1），以O为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，则DF＝（ ） A． B．2 C．4 D． 3．如图，以某点为位似中心，将△AOB进行位似变换得到△CDE，记△AOB与△CDE对应边的比为k，则位似中心的坐标和k的值分别为（ ） A．（0，0），2 B．（2，2）， C．（2，2），2 D．（2，2），3 4．以O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，OB＝3OB′，则S△A′B′C′：S△ABC＝（　　 ） A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：9 5．如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且S△ABC＝S△DEF，则AO：AD＝（　　） A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．4：13 6．如图，以O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA＝10cm，OA′＝20cm，则 五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长比是（　　） A．1：2 B．2：1 C．1：3 D．3：1 7．△DEF和△ABC以O为位似中心，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，若S△DEF＝2，则S△ABC＝（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．如图，△ABC中，以C（1，0）为位似中心，在x轴下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B横坐标是a，则点B对应点的横坐标是（ ） A． B． C． D． 9．如图，S正方形ABCD＝4，以它的对角线交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆周长＝___________． 10．如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）． （1）请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1； （2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在图中y轴右侧，画出△A2B2C． 知识点六 常见相似三角形模形 平行线型 1．△ABC中，CD//AB，E是AC中点；（1）求证：AFCD是平行四边形．（2）若，，，求AB的长． 2．如图，⊙O中，AB为直径，AB＝8，AC与⊙O相切，E为BD上一点（不与B重合），且OE＝DE． （1）若∠B＝35°，则＝______________（结果保留π）； （2）若AC＝6，则＝____________. 【子母型】 3．如图，等边△ABC边长为6，BP＝2，D为AC上一点，若∠APD＝60°，则CD＝（ ） A．2 　　　 B． 　　　 C． D．1 4．如图，BD⊥AC，CE⊥AB，AB＝4，AC＝3，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，△ABC中，AC＝2，BC＝4，且．若△ADC的面积为a，则S△ABD＝（　　） A． B． C． D． 6．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE∥BC，把△ADE绕点A逆时针旋转（如图2），则＝（ ） A．2 B． C．3 D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$