练习1 根据一元二次方程的解求代数式的值-练习4 一元二次方程的解法拓展-【课时提优计划作业本】2024-2025学年九年级数学上册（苏科版）

九年级 上 练习1 根据一元二次方程的解求代数式的值 【方法提示】根据一元二次方程的解的定义得到相应代数式的值,再整体代入或变形后代 人,从而求出代数式的值. 1. 已知n是方程x-2x-1-0的一个根,则代数式3十2n-”^*的值是 ) B. 4 C.-2 A.2 D.-4 2. 已知m为方程x②+3x-2024-0的一个根,则m}+2m{-2027m+2024的值为 3. 阅读下列材料: 32-2-7. (2)a+b-(a+b)(-ab+b):a-b-(a-b)(a+ab+b) 根据以上材料,解答下列问题; (1)已知{}-4x+1-0(x-0),则+1- 2 -的值. 71 提分练习 练习2 与一元二次方程的解有关的新定义阅读题 【方法提示】在正确理解新定义的基础上,根据一元二次方程的相关知识解答 1. 综合与探究;如果关于x的一元二次方程ax十bx十c一0(a关0)有两个实数根,且其中 一个根比另一个根大1,那么称这样的方程是“邻根方程”,例如:一元二次方程x②十 x-0的两个根分别是x.一0,x。=-1,则方程x*十x一0是“邻根方程” (1)通过计算判断方程:十x一6一0是否是“邻根方程” (2)已知关于x的一元二次方程x2-(n-2)x-2m=0(m是常数)是“邻根方程”,求 n的值. (3)若关于x的一元二次方程ax②}十bx十2一0(a、b是常数,且a0)是“邻根方程”,令 一2一,求:的最大值 2. 阅读下列材料: 问题:已知方程x十x-1一0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍 解:设所求方程的根为y,则y一2c,所以x-. 把x-一代入已知方程,得(){}一1-0. 化简,得+2y-4-0,故所求方程为+2v-4-0 这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法” 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求:把所求方程化为一般形式): (1)已知方程;*十2x-1一0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的相 反数,则所求方程为 (2)已知关于x的一元二次方程ax{十bx十c一0(a去0)有两个不等于零的实数根,求一 个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的倒数 2 九年级 上 练习3 配方法的应用 【方法提示】应用完全平方公式将代数式构造成完全平方的形式,再解决问题 1. 若实数a、b、c满足a--2-0,2a②-4-c-0,则c的最小值是 A.6 B. 7 C.8 D.9 2. 利用(a士)可求某些整式的最值.例如:xr2-2x+3=(x2-2x+1)+2-(x-1)*}+2 由(x-1)}0知,当x-1时,多项式x-2x+3有最小值2.对于多项式3x^*+2x+1; 时,有最小值 3. 已知等腰三角形两边的长a、6满足a2十-4a-10b十29-0,则这个等腰三角形的周 长为 4. 若W-5.x2-4.xy+y-2y+8x+3(x、y为实数),则W的最小值为 5. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程,其实配方法还有其他重要应用,例如:已 知文可取任何实数,试求二次三项式十2x十3的最小值 解:x2+2x+3-x+2x+1+2-(x+1)+2 .无论x取何实数,都有(x十1)>0 ..(x十1)+2>2,即+2x+3的最小值为2. 【尝试应用】(1)请直接写出2x*+4x+10的最小值: 【拓展应用】(2)试说明:无论x取何实数,二次根式、十x十2都有意义 【创新应用】(3)如图,在四边形ABCD中,ACIBD.若AC十BD=10,求四边形ABCD 的面积的最大值 (③ 提分练习 练习4 一元二次方程的解法拓展 【方法提示】用阅读理解的形式给出一元二次方程的新解法,在理解新解法的基础上尝试 应用. 1. 根据多项式乘法可知(x十)(x十q)一x{十(十g)x十p,从而我们可得十字相乘法进 行因式分解的一般公式为x十(p十q)x十n=(x十p)(x十q),例如:x-5x-6-*十 (一6十1)x十(-6×1)一(x-6)(x十1).据此回答下列问题 (1)将二次三项式x*十2x-3因式分解 (2)解一元二次方程-4x十3-0. (3)某数学兴趣小组发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法解一元二次方 程,例如:3x十x-2-0,方程可转化为(x十1)(3x-2)-0,从而可以快速求出方程 的解,请你利用此方法尝试解方程5+7x一6一0. 2. 问题背景: 我们知道,配方法、公式法、因式分解法都是解一元二次方程的基本方法,降次转化是解方程 的基本思想,我们还可以用换元法来解某些高次方程,例如:解方程一一6一0①,可以 将^*}看成一个整体,设xc*}-y,则xt-y^},所以原方程转化为y{}-y-6-0②,解得 y-3,--2.当y-3时,-3,所以x-v3,x=-v3;当y--2时,2=-2,此方 程无实数解.所以原方程的解为x一、3,x。二一/③. 解决问题: (1)上面的解法中,由方程①得到方程②,实质上是利用换元法达到 的目的: 体现了数学的 思想. (2)用适当的方法解下列方程 ①3-4-0. ②(*十x)-4(r”+x)-12-0. 4)爹考答案与详解 练习1 根据一元二次方程的解求代数式的值 4-c-02a-4(a-2)-c-0c-2a-4a+8-2( 1. A解析:',n是方程x-2r-1-0的一个根,.,r-2n 1)+6,当a-2时,c取最小值,最小值是2×(2-1)2+6 $-0.-2n-1.3+2n-r-3-(n-2n)-3-1-2. 2十6-8. 2.0 解析;.n是方程x+3x-2024-0的一个根,,n^+ 解析:3+2c+1-3(+2)+1- 3m-2024-0.+3m-2024.n+2n-2027m+ 2024-m(n+3n-2027)-n+2024-n(2024-2027) 3[(+)第-1+1-3(+)+2- 当-3时, n+2024--3n-n+2024--2024+2024-0 多项式3{②+2x+1有最小值}. 3.(1)4 14 194 解析:-4x+1-0.-4+1=0. 3. 12 解析:,a+-4a-10b+29-0.(a-4a+4)+ (-10+25)=0.'(-2)+(-5)=0'(a-2= 14.(+)-196.++2-196.+-194. (-5)0.'a-2-0,b-5-0,解得a-2,b-5..长为2 2、5的三条线段不能组成三角形..'.这个等腰三角形三边的长 分别为5、5、2.^,这个等腰三角形的周长为5+5+2-12. 4 -2解析:W=5-4ry+-2y+8r+3=+4$ -(+)*-2-()*-2-41+寸-(r+ $y+-2y+8r+3-4-4ry+-2y+r+8r+3= (4-4xy+y)-2y++8c+3-(2x-y)-2++ )(-1+)-×(-1)-259 (3):a是方程 4+4+3-(2r-y)+4r-2y+”+4r+3-(2x-y)+ 2(2-)+1-1+x+4r+4-4+3-[(2x-)+2(2 +r-1=0的-个根,a+a-1-0,即a-1--a,+$ y)+1]+(r+4x+4)-2-(2r-y+1)+(+2)-2.'、 y均为实数,(2r-y+1)0.(x+2)0.*W-2.即 3-1-2. W的最小值为一2. 练习2 与一元二次方程的解有关的新定义阅读题 5.(1)8 解析:2+4x+10-2(+2x)+10-2(+2x$+ 1-1)+10-2(x+1)+8..无论x取何实数,都有2(十 1.(1,+x-6-0.(r+3)(x-2)-0x--3, 2..2-(-3)-51..方程r^十r-6-0不是“邻根方程” D0..2(x+1+88,即2+4r+10的最小值为8 (2)+七十2-(+)+:(x+)*→0..+十 (2)整理方程,得(x-n)(x+2)-0.x.=n,=-2.·方 程一(m-2)x-2n-0(m是常数)是“邻根方程”..'.m 一1或m--3. (3)解方程ax”十hbr+2-0,得x= 20...无论x取何实数,二次根式十十2都有意义. -h-8 (3).AC BD...四边形ABCD的面积为号AC·BD. 2 2 ·AC+BD-10..'.BD-10-AC...四边形ABCD的面积为 br+2-0o(a、是常数,a<0)是“邻根方程”.v.--8 1AC·(10-AC)--- 2 善.当AC-5时,四边形ABCD的面积最大,最大值为25. 2u -8a-a.-a+80.a>0或a<-8..a<0. 练习4 一元二次方程的解法拓展 '-8.:1-2-.1-2-(a+8a)--(a+4)+18. 1.(1+2x-3-(x+3)(-1).(2)-4x+3-0,原方 '当a一一8时,.取得最大值,最大值为2. 程转化为(x-3)(r-1)-0...x-3-0或x-1-0..=3, 2.(1)y-2y-1-0 解析:设所求方程的根为y,则y一 x=1.(3)5+7x-6-0,原方程转化为(5x-3)(x+2) -x.x--y,把r-y代入方程+2r-1=0,得- 2-1-0. .-1(y学0),把r-1代人方程ax*+br十c=0,得 2.(1)降次 转化 (2)①因式分解,得x(x+2)(x-2)-0. -0或r+2-0或x-2-0,解得x=0,r=-2,x=2. a(1){}+6(-)+c-0,去分母,得cy+by十a-0.若c-0. ②设十r=y,则原方程转化为y-4y-12-0...(y $)(y+2)-0,解得y-6,y=-2.当y-6时,r+x-6 有ar*十bx-0,则方程ax2十br十c-0有一个根为0,不符合 '.-2,x=-3;当y=-2时,r十x=-2,此方程无实数 题意...c0,故所求方程为cy+by+a-o(c字0). 解,',原方程的解为x-2,x.=-3. 练习3 配方法的应用 练习5 5 一元二次方程的有理根问题 1. C 解析:'a--2=0...=a-20..a→2.'2a- 1. 2或6或12 解析:根据题意,得m0.若方程有有理根, 《4