第28章 锐角三角函数素养提升卷 2023—2024学年人教版数学九年级下册

锐角三角函数素养提升卷（含答案） 一、单选题 1．如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．为倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点为跷跷板中点，支柱垂直于地面，垂足为，，跷跷板的一端落到地面时与地面的夹角，则点离地面的距离是（   ） A． B． C． D． 3．在等腰，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．在中，，都是锐角，且，，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形 5．小明沿着坡比为的斜山坡向上走了，则他升高了（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，，那么的值为（   ） A． B． C． D． 7．在中，，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 8．如图，已知为的直径，于点，弦为，半径为2，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）为．已知，冬至时北京的正午日光入射角约为，则立柱高为（    ） A． B． C． D． 10．在中，，现把这个三角形的三边都扩大为原来的5倍，则的正切值（    ） A．扩大为原来的5倍 B．缩小为原来的5倍 C．不变 D．不能确定 二、填空题 11．如图所示，小明在家里楼顶上的点处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点处看电梯楼顶部点处的仰角为，在点处看这栋电梯楼底部点处的俯角为，两栋楼之间的距离为，则电梯楼的高为 米（精确到0.1）．（参考数据：，） 12．计算：= ． 13．如图，在中，，，D为AC上一点，，，则 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限内．若与x轴负半轴的夹角α的正切值为，则m的值为 ． 三、解答题 15．暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处，已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）． (1)求登山缆车上升的高度； (2)若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟．（参考数据：，，） 16．（1）计算． （2）解方程：． 17．已知是锐角，且，求和的值． 18．如图，在中，，点分别在边，上，平分，，，． (1)求的长． (2)求的值． 19．图①是象山亚帆中心地标性建筑亚帆灯塔．某数学兴趣小组测量亚帆灯塔的高度后绘制了如图②所示的示意图．在其附近高为的高台上的处测得塔顶处的仰角为，塔底部处的俯角为．求亚帆灯塔的高．（结果精确到）【参考数据：，，】 20．如图，A，B两城市相距，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段），经测量．森林保护中心在城市的北偏东和城市的北偏西的方向上．已知森林保护区的范围在以点为圆心，为半径的圆形区域内，请问：计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区？请说明理由．（参考数据） 21．如图所示，在中，，，，求的长． 22．如图，在中，，，．求、、． 23．如图，在中，a、b、c分别为的对边，且．试求最小角的三角函数值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D C C B C A B C 1．A 【分析】本题考查了坐标与图形，菱形的性质，锐角三角函数，掌握特殊角的三角函数值是解题关键．根据菱形的性质可知，，再结合特殊角的三角函数值，求出的长，即可得到点的坐标． 【详解】解：点的坐标为， ， 四边形是菱形，， ，， 在中，， ， ， 点在轴的负半轴上， ， 故选：A 2．D 【分析】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识．求出，过点B作垂直底面于点D，判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，， 在中，， 如图，过点B作垂直底面于点D， ， ， ∴， ∴， 点O为跷跷板的中点， ∴， 是的中位线， ， 故选：D． 3．D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、正弦的定义，过点A作于点D，根据三角形的面积公式求出，再根据等腰三角形“三线合一”求出，根据勾股定理求出的值，最后根据正弦的定义即可求解． 【详解】解：过点A作于点D， ，，， ， ， ，，， ， ， ， 故选：D． 4．C 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值．直接利用特殊角的三角函数值得出，的度数，进而得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴的形状是锐角三角形． 故选：C． 5．C 【分析】首先根据题意画出图形，由坡度为，可求得坡角的正切值为，于是可设，则，根据勾股定理可求得，进而可求得，根据小明沿着该山坡向上走了，即可求得他升高的高度，于是得解． 【详解】解：如图，过点作于点， ， 坡比为， ， 可设，则， ， ， 小明沿着该山坡向上走了，则他升高了： ， 故选：． 【点睛】本题考查了坡度坡比问题，垂线的性质，求角的正切值，勾股定理，求角的正弦值等知识点，能构造直角三角形并用解直角三角形的知识求解是解题的关键，要注意数形结合思想的应用． 6．B 【分析】本题考查了求一个角的正切值，勾股定理，先根据，，，运用勾股定理列式得，然后代入数值到进行计算，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 7．C 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值．根据，，即可求出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 故选：C 8．A 【分析】本题考查垂径定理、圆周角定理、解直角三角形，根据垂径定理及解直角三角形可得，根据圆周角定理求解即可． 【详解】∵是的直径，的弦于点E，弦为， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 9．B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．在中利用正切函数即可得出答案． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 10．C 【分析】本题考查锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的表示是解题的关键，由于把直角三角形的三边都扩大为原来的5倍，那么的对边和邻边的比值是不变的，则的正切值也是不变的，从而得到答案． 【详解】解：在中，各边的长度都扩大为原来的5倍， ∴扩大后的三角形与原三角形相似，的度数不变， ∴的正切值不变， 故选：C． 11． 【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点作，分别求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：过点作，则：， 由题意，得：，， ∴，， ∴； 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了锐角三角函数的计算，根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 13．20 【分析】根据在中，，，为上一点，，，可以求得的长，的长．本题考查锐角三角函数，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】 解：在中，，，，， ， ，，， ， 故答案为：20． 14． 【分析】过点作，交轴于点，根据题意得出，即可求出；本题主要考查解直角三角形，熟练掌握锐角正切值的定义是解题的关键． 【详解】过点作，交轴于点 点在第二象限 故答案为：． 15．(1) (2) 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用．熟练掌握含30度的直角三角形性质，锐角三角函数解直角三角形，路程与速度和时间的关系，是解题关键． （1）过B点作于C，则四边形是矩形，在中，利用含30度的直角三角形的性质求得的值，结合山高即可求出的值； （2）在中，求得的长，再计算段和段所用时间和即得出答案． 【详解】（1）解：如图，过B点作于C， 则四边形是矩形， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 答：登山缆车上升的高度； （2）解：在中，，， ∴， ∴， 答：从山底A处到达山顶处大约需要． 16．（1）4；（2）， 【分析】本题考查实数的混合运算、解一元二次方程、特殊角三角函数等： （1）先计算绝对值、零次幂、特殊角三角函数值，再进行加减运算； （2）先移项，再利用因式分解法解一元二次方程． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， ， ， 或， 解得，． 17．， 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值运算，先由是锐角，且得到，即得，，再把的三角函数值代入计算即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵是锐角，且， ∴， ∴，， ∴ ； ． 18．(1)6 (2) 【分析】（1）由，，，并结合勾股定理可求出、的长，由角平分线的性质可得，即可获得答案； （2）首先证明，由全等三角形的性质可得，然后由，求出的长，从而求出的值． 【详解】（1）解：∵，， 在，， 设，， 由勾股定理可得，即， 解得 （舍去）或， ∴，， ∵平分，，， ∴； （2）∵，，， 又∵， ∴， ∴， 设，在中，， 解得，即， ∴在中，． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理、三角函数的定义、勾股定理以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 19．米 【分析】本题考查直角三角形的应用—仰角俯角问题，过点作于点，连接、，证明四边形为矩形，得出，在中，在中，分别解直角三角形得出、的长，最后再由计算即可得解．解题的关键是掌握仰角俯角定义及解直角三角形． 【详解】解：如图，过点作于点，连接、， ∴， 由题意知：，，，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴（米）． 答：亚帆灯塔的高的值为米． 20．不会，理由见解析 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键． 过点P作，E是垂足．与都可以根据三角函数用表示出来．根据的长，得到一个关于的方程，解出的长．从而判断出这条路会不会穿越保护区． 【详解】解：如图，过点P作，E是垂足． 则线段的长，就是点P到直线的距离， 根据题意，，， 则在和中， ， ， 而， 即， ∴， ∵，即保护区中心到公路的距离大于半径100千米， ∴公路不会穿越保护区． 21．． 【分析】本题主要考查了解直角三角形．如图，过点A作于D，先解求出，，再解求出的长即可． 【详解】解：如图，过点A作于D， ∴， 在中，，， ∴，， 在中，， ∴，， ∴． 22．，， 【分析】本题考查解直角三角形，根据锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴，， 23．，， 【分析】本题主要考查了锐角三角函数值，首先表示出各边长，进而求出锐角三角函数值即可． 【详解】解：∵a、b、c分别为的对边，且， ∴设，，， ∴， ∴最小， ∴，，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$