圆与圆的位置关系专项练习-2025届高三数学一轮专题复习

高考一轮复习 2024-2025学年度高三一轮复习34--圆与圆的位置关系专项练习 一、单选题 1．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知圆，若圆与圆恰有三条公切线，则实数（    ） A．9 B． C．8 D． 2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（   ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 3．（2024·广东·模拟预测）已知圆与圆交于两点，则（为圆的圆心）面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·北京·三模）已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·江西鹰潭·三模）已知，直线与的交点在圆：上，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·山东济南·二模）已知圆，若圆C上有且仅有一点P使，则正实数a的取值为（    ） A．2或4 B．2或3 C．4或5 D．3或5 7．（2024·广西河池·模拟预测）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数（）的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点，，动点满足，若点的轨迹与圆：（）有且仅有三条公切线，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 8．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知曲线的方程为，若经过点的直线l与曲线有四个交点，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高三上·湖南·阶段练习）若圆：和：（）有且仅有一条公切线l，则下列结论正确的是（    ） A．圆与圆内切 B． C．公切线l的方程为 D．公切线l的方程为 10．（24-25高三上·湖南永州·开学考试）已知点，圆，则（    ） A．圆与圆公共弦所在直线的方程为 B．直线与圆总有两个交点 C．圆上任意一点都有 D．是的等差中项，直线与圆交于两点，当最小时，的方程为 11．（2024·江西南昌·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知圆的动弦，圆，则下列选项正确的是（   ） A．当圆和圆存在公共点时，则实数的取值范围为 B．的面积最大值为1 C．若原点始终在动弦上，则不是定值 D．若动点满足四边形为矩形，则点的轨迹长度为 三、填空题 12．（2024·江西景德镇·一模）已知与，若存在实数的值使得两圆仅有一条公切线，则的最小值为 . 13．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知圆和圆，M、N分别是圆C、D上的动点，P为x轴上的动点，则的最小值是 . 14．（23-24高三下·安徽黄山·阶段练习）已知圆和圆，若点在两圆的公共弦上，则的最小值为 . 四、解答题 15．（2024高三下·全国·专题练习）求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程. 16．（2024高三·全国·专题练习）平面上有两个圆，它们的方程分别是和，求这两个圆的内公切线方程． 17．（2024高三·全国·专题练习）已知圆O1：x2＋y2－8x－8y＋48＝0，圆O2过点A（0，－4）. (1)若圆O2与圆O1相切于点B（2，2），求圆O2的方程； (2)若圆O2过点C（4，0），圆O1，O2相交于点M，N，且两圆在点M处的切线互相垂直，求直线MN的方程． 18．（2024高三·全国·专题练习）在①圆过点C（－9，2）；②圆心在直线x－y＋1＝0上；③圆与直线2x－y－10＝0相切，且圆的半径小于等于10，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行求解． 已知圆E过点A（1，12），B（7，10），且________． (1)求圆E的方程． (2)已知点C（－2，0），D（2，－20），在圆E上是否存在点P，使得PC2＋PD2＝258？若存在，求出点P的个数；若不存在，请说明理由． 19．（16-17高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知圆和圆. (1)判断圆O和圆C的位置关系； (2)过圆C的圆心C作圆O的切线l，求切线l的方程； (3)过圆C的圆心C作动直线m交圆O于A，B两点.试问：在以为直径的所有圆中，是否存在这样的圆P，使得圆P经过点？若存在，求出圆P的方程；若不存在，请说明理由. 参考答案： 1．B 【分析】根据两圆公切线的条数确定两圆的位置关系，再把两圆的位置关系转化为圆心距与半径和差的数量关系求参数的值. 【详解】圆可化为，圆心为，半径为. 若圆M与圆恰有三条公切线，则两圆外切. 圆可化为，圆心为，半径为，. 由，所以，解得. 故选：B 2．A 【分析】求出两圆圆心坐标与半径，再求出圆心距与半径之和、半径之差的绝对值比较，即可判断. 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径， 则，故，所以两圆内含； 故选：A 3．C 【分析】求出两圆的半径，从而可得，因为为锐角，所以要使的面积最大，只要取得最大值即可，此时，解出的面积，即可得解. 【详解】由题意得：，所以圆心，半径， 由两圆相交于两点可知：， 所以的面积 ， 因为是半径为1的圆，所以， 当时，，又， 此时由，解得，，故可以取最大值2； 所以当时，最大，且是锐角， 根据函数的单调性可知：当时，最大， 在中由余弦定理可得：， 所以， 所以， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：利用三角形的面积公式表示面积之后，关键点在于利用圆的几何性质寻找的最大值，从而确定面积的的最大值. 4．B 【分析】由知点的轨迹方程是以位直径的圆，可得，即可求出的取值范围. 【详解】说明在以为直径的圆上， 而又在圆上，因此两圆有公共点， 则圆心距位于半径差的绝对值与半径和的闭区间中， 所以，即，又，解得. 故选：B 5．D 【分析】根据两直线方程可知两直线分别过定点且垂直，可求得点轨迹方程，再由圆与圆的位置关系找出圆心距与两圆半径之间的关系可得结果. 【详解】易知直线恒过定点， 直线恒过定点， 且，易知直线与互相垂直，即可得， 所以点轨迹是以为直径的圆，圆心为的中点，半径为； 可得点轨迹方程为； 又因为点在圆上，所以可得圆与圆有公共点， 当两圆内切（圆在外）时，取得最大值； 此时满足，解得. 故选：D 6．D 【分析】根据题意可知：点P的轨迹为以的中点为圆心，半径的圆，结合两圆的位置关系分析求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径，且， 因为，可知点P的轨迹为以线段的中点为圆心，半径的圆， 又因为点P在圆上， 可知圆与圆有且仅有一个公共点，则或， 即或，解得或. 故选：D. 7．D 【分析】由题意计算可得点的轨迹为圆，由公切线条数可知两圆外切，借助两圆外切的性质计算即可得解. 【详解】由题意可得，化简得， 即，即动点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 由：（），可得， 故圆以为圆心，为半径，由两圆有且仅有三条公切线， 故两圆外切，即有，即. 故选：D. 8．A 【分析】易得曲线表示以，为圆心，为半径的两个圆，计算可得两圆外切，设过点且与圆相切的直线方程并借助点到直线的距离公式计算，可得两切线斜率，再排除直线的斜率即可得解. 【详解】如图，曲线表示以，为圆心，为半径的两个圆， 由，故此时两圆位置为外切， 设过点且与圆相切的直线方程为， 则点到该直线的距离，解得，， 即图中直线的斜率为1，直线的斜率为，又直线的斜率为， 所以直线斜率的取值范围为. 故选：A． 9．ABD 【分析】A项，由圆心在圆内可知两圆内切；B项，由两圆内切条件建立关于的方程求解即可；CD项，法一由两圆心连线斜率求出切线斜率，再求出切点可得方程，法二由两圆方程作差化简即得公切线方程. 【详解】圆与圆有且仅有一条公切线l，两圆相切. 圆：的圆心为，半径为， 圆：（）， 即，圆心，半径为. A项，将代入方程左边得， 则圆心在圆内，故两圆不可能外切，所以与内切，故A正确； B项，圆， 由圆与内切，所以， 由，即，解得，故B正确； CD项， ，得，则公切线斜率为， 法一：联立方程和，解得， 所以切点的坐标为， 故所求公切线的方程为，即． 法二： ①；②， 两圆方程作差得，即． 设两圆切点，则点的坐标适合方程①②，则也适合方程， 又直线斜率为，即与两圆圆心连线垂直， 故直线是过点且垂直于的直线，即为两圆公切线. 故C错误，D正确． 故选：ABD．    10．BCD 【分析】A通过圆的方程相减即可判断，B通过直线过定点，点在圆内即可判断；C：求得的轨迹方程即可判断；D通过等差中项得到，确定直线过定点，由最小，得到圆心和弦中点的连线与直线，即可求解. 【详解】对于A:两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程：；错误 对于B：过定点，而在圆的内部，所以直线与圆总有两个交点，正确； 对于C:设，由可得：化简可得： ，所以满足条件的轨迹就是圆，正确； 对于D：因为是的等差中项，所以（不同时为0） 所以可化为，即 可令， 解得，则直线过定点， 设的圆心为， 当与直线垂直时，最小，此时， 即，得，结合 所以，解得 直线的方程为.正确 故选：BCD 11．ABD 【分析】根据两圆位置关系列不等式求解实数的范围判断A，根据三角形面积结合正弦函数可求出面积最大值判断B，分类讨论，设直线方程，利用韦达定理结合数量积数量积坐标运算求解判断C，先根据矩形性质结合垂径定理得到点的轨迹，然后利用圆的周长公式求解判断D. 【详解】对于A，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 当圆和圆存在公共点时，， 所以，解得，所以实数的取值范围为，正确； 对于B，的面积为， 当时，的面积有最大值为1，正确； 对于C，当弦垂直x轴时，，所以， 当弦不垂直x轴时，设弦所在直线为， 与圆联立得，， 设， 则，， 综上，恒为定值，错误； 对于D，设，OP中点，该点也是AB中点，且， 又，所以， 化简得，所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆， 其周长为长度为，正确. 故选：ABD 12． 【分析】先确定两圆的圆心和半径，然后根据条件分析出两圆的位置关系，再由圆心距和半径的数量关系求解出结果. 【详解】因为， ∴，半径为， 因为， ∴，半径为， 若两圆仅有一条公切线，即两圆相内切， ∴， 由于，故， 解得，即的最小值为， 故答案为：. 13． 【分析】先得到，当且仅当三点共线，且三点共线时，等号成立，设C关于x轴的对称点，求出的最小值，进而得到的最小值. 【详解】的圆心为，半径为1， ，圆心为，半径为2， 结合两圆位置可得，， 当且仅当三点共线，且三点共线时，等号成立， 设C关于x轴的对称点，连接，与轴交于点，此点即为所求， 此时， 故即为的最小值， 故的最小值为 故答案为： 14．1 【分析】两圆方程相减即可得到公共弦所在直线方程，根据P在公共弦上可得，再利用基本不等式即可求最小值． 【详解】圆和圆的两个方程相减即可得到两圆的公共弦所在直线方程为， 所以点在两圆的公共弦上，∴，当且仅当时取等号， 所以 所以，当且仅当时取等号. 故答案为：1 15． 【分析】根据题意，求得两圆的公共弦的方程为，再设出所求圆的方程，结合题意和圆的性质，求得的值，即可求解. 【详解】由圆和， 两圆的方程相减，可得两圆的公共弦方程为， 过直线与圆的交点的圆， 可设为，即， 要使得所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径， 圆心必在公共弦所在直线上， 即，解得， 代回圆系方程得所求圆方程. 16． 【分析】判断出两圆外切，两圆的方程相减可得答案. 【详解】圆，圆心，半径， 圆， 其圆心，半径， ，∴这两圆外切， ∴， 可得， ∴所求的两圆内公切线的方程为：． 17．(1)x2＋y2＝16 (2) 【详解】 解：（1） 由已知得圆O1的圆心坐标为（4，4），∵ 圆O2与圆O1相切于点（2，2），∴ 圆O2的圆心在直线y＝x上，不妨设其圆心为（a，a）.∵ 圆O2过点（2，2），（0，－4），∴ a2＋（a＋4）2＝2（a－2）2，∴ a＝0，∴ a2＋（a＋4）2＝16，∴ 圆O2的方程为x2＋y2＝16. （2） ∵ 圆O2过点（0，－4），（4，0），∴ 圆O2的圆心所在的直线为y＝－x，不妨设圆心坐标为O2（m，－m）.∵ 两圆在交点处的切线相互垂直，且圆O1的圆心坐标为（4，4），半径为4，∴ （m－4）2＋（－m－4）2＝42＋m2＋（－m＋4）2，∴ m＝－4，∴ 圆O2的方程为（x＋4）2＋（y－4）2＝80，圆O1与圆O2的方程相减，整理得直线MN的方程为x＋（3－2）y－12（－1）＝0. 18．(1)（x－1）2＋（y－2）2＝100 (2)存在，2 【详解】 解：（1）若选①，设圆E的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由已知可得 解得D＝－2，E＝－4，F＝－95， 所以圆E的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0. 若选②，由已知得AB的中点为（4，11），直线AB的斜率为－， 所以AB的垂直平分线的方程为y－11＝3（x－4），即y＝3x－1. 因为圆心在直线x－y＋1＝0上，所以联立方程 解得所以圆心E的坐标为（1，2）， 半径为AE＝10， 所以圆E的方程为（x－1）2＋（y－2）2＝100. 若选③，设圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2， 因为圆E过点A（1，12），B（7，10）， 所以 因为圆与直线2x－y－10＝0相切， 所以＝r，解得a＝1，b＝2，r＝10， 所以圆E的方程为（x－1）2＋（y－2）2＝100. （2）设P（x，y），由已知PC2＋PD2＝（x＋2）2＋y2＋（x－2）2＋（y＋20）2＝2x2＋2y2＋40y＋408＝258， 所以x2＋y2＋20y＋75＝0，即x2＋（y＋10）2＝25， 所以点P在圆M：x2＋（y＋10）2＝25上，圆M的圆心M的坐标为（0，－10），半径r1＝5. 因为点P在圆E：（x－1）2＋（y－2）2＝100上，圆E的圆心E的坐标为（1，2），半径r＝10， 又ME＝＝，r－r1＝5，r＋r1＝15， 所以r－r1<ME<r＋r1， 所以圆M与圆E相交，两圆有两个公共点，所以符合题意的点P的个数是2. 19．(1)圆O与圆C相离. (2)或 (3)存在圆，圆的方程为：或 【分析】（1）求出两圆的圆心距，在比较其与 的大小关系，从而确定两圆的位置关系； （2）由点 斜式设出切线方程，然后用点线距离公式建立关于的方程； （3）斜率不存在时，易知圆也是满足题意的圆；斜率存在时，假设存在以为直径的圆经过点，则，所以，则可得，再把韦达定理式代入上式可得关于的方程． 【详解】（1）因为圆O的圆心，半径，圆C的圆心，半径， 所以圆O和圆C的圆心距， 所以圆O与圆C相离. （2）显然当直线的斜率不存在时不合题意， 则设切线l的方程为：，即， 所以O到l的距离，解得. 所以切线l的方程为或 （3）（i）当直线m的斜率不存在时，直线m经过圆O的圆心O， 此时直线m与圆O的交点为，， 即为圆O的直径，而点在圆O上， 即圆O也是满足题意的圆. （ii）当直线m的斜率存在时，设直线， 由，消去y整理，得， 由，得或. 设，， 则有① 由①得，② ，③ 若存在以为直径的圆P经过点，则，所以， 因此， 即， 则，所以，，满足题意. 此时以为直径的圆的方程为， 即，亦即. 综上，在以为直径的所有圆中， 存在圆或，使得圆P经过点.    【点睛】关键点睛：本题第三问的关键是利用设线法，将其与圆的方程联立得到韦达定理式，根据，展开化简，将韦达定理式整体代入求出直线方程，同时不忘考虑直线斜率不存在的情况. 不是因为有希望而去努力，而是努力了才能看见希望1 学科网（北京）股份有限公司 $$