直线与圆的位置关系专项练习-2025届高三数学一轮复习

高考一轮复习 2024-2025学年度高三一轮复习33--直线与圆的位置关系专项练习 一、单选题 1．（24-25高三上·四川成都·期中）直线被圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·福建福州·模拟预测）已知圆与轴相切，则（    ） A．1 B．0或 C．0或1 D． 3．（24-25高三上·北京顺义·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，且，则值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．（24-25高三上·福建福州·期中）设直线与圆相交于A，B两点，则的面积为（    ） A．12 B．4 C．8 D． 5．（24-25高三上·江苏徐州·期中）在直角坐标系中，已知直线与圆相交于两点，则的面积的最大值为（   ） A．1 B． C．2 D． 6．（2024·四川德阳·模拟预测）已知 过坐标原点O作的两条切线，切点为A、B，则四边形的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 7．（2024·湖北·模拟预测）已知圆，点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为和，以为直径作圆，则圆的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）已知直线与圆有两个交点，则整数的可能取值有（    ） A．0 B． C．1 D．3 10．（2024·广西·模拟预测）已知直线与曲线有公共点，则整数k的取值可以为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 11．（2024·山西太原·二模）已知两定点，，动点M满足条件，其轨迹是曲线C，过B作直线l交曲线C于P，Q两点，则下列结论正确的是（    ） A．取值范围是 B．当点A，B，P，Q不共线时，面积的最大值为6 C．当直线l斜率时，AB平分 D．最大值为 三、填空题 12．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）已知直线与圆交于两点，写出满足“”的实数的一个值： . 13．（2024·内蒙古赤峰·二模）已知直线 与圆 交于两点，则直线倾斜角之和为 . 14．（2023·安徽马鞍山·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，，若直线：上存在点使得，实数的取值范围是 . 四、解答题 15．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知点在圆上． (1)求该圆的圆心坐标及半径长； (2)过点，斜率为的直线与圆相交于两点，求弦的长． 16．（2024高三·全国·专题练习）已知圆，过圆外一点引圆的两条切线，切点分别为，且. (1)求圆的标准方程； (2)若直线l的横截距为，纵截距为，直线l被圆C截得的弦长为，求的最小值． 17．（2024高三·全国·专题练习）已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值． (2)求的最大值和最小值． (3)求的最大值和最小值 18．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，，是平面内的一动点，且满足，记点的运动轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于，两点，若的面积是的面积的3倍，求直线的方程． 19．（2024高三·全国·专题练习）已知圆：，为圆心，动直线过点，且与圆交于，两点，记弦的中点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过作两条斜率分别为，的直线，交曲线于，两点，且，求证：直线过定点 参考答案： 1．D 【分析】求出圆心和半径，得到圆心到的距离，利用垂径定理求出弦长. 【详解】的圆心为，半径为2， 圆心到的距离， 故直线被圆截得的弦长为 . 故选：D 2．D 【分析】根据一般式得圆的标准式方程，即可根据相切得求解. 【详解】将化为标准式为：， 故圆心为半径为，且或， 由于与轴相切，故， 解得，或（舍去）， 故选：D 3．B 【分析】利用点到直线的距离公式结合勾股定理建立方程，求解参数即可. 【详解】由题意得圆的圆心为，半径为， 直线可化为，且设圆心到直线的距离为， 由点到直线的距离公式得， 因为，所以由勾股定理得， 解得或，故B正确. 故选：B 4．C 【分析】求出圆心到直线的距离，再由求出弦长，进一步可得，再利用三角形的面积公式即可得出答案. 【详解】圆心到直线的距离为， ，由， 则，由三角形的面积公式可得， 故选：C. 5．D 【分析】根据点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离，利用勾股定理可表示出弦长，代入面积公式，结合二次函数求最值即可求解. 【详解】圆心到直线的距离， ， 又，所以，即. 故选：D. 6．B 【分析】求出⊙C圆心坐标，半径，，求出和，求出四边形的面积. 【详解】 由题意得⊙C圆心为，半径，， 则， 则四边形的面积. 故选：B. 7．B 【分析】由题设可得，利用导数可得，再根据等积法可，故可求圆的面积的最小值. 【详解】由题设有，设，则， 设，则， 因为为上的增函数，故为上的增函数， 而，故当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故，故，    由等积法可得， 故， 故， 故圆的面积的最小值为， 故选：B. 8．B 【分析】先得到直线过定点，作出直线与曲线C，由图求出直线过点时的斜率和直线与曲线C相切时的斜率即可树形结合得解. 【详解】由可知直线过定点， 曲线两边平方得， 所以曲线C是以为圆心，半径为1且位于直线x轴上方的半圆， 当直线过点时，直线与曲线C有两个不同的交点，此时， 当直线与曲线C相切时，直线和圆有一个交点，圆心到直线的距离，两边平方解得， 所以结合图形可知直线与曲线C恰有两个交点，则. 故选：B. 9．AC 【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可求参数的范围，从而可得正确的选项. 【详解】圆即为：， 故圆心，半径为， 因为直线与圆有两个不同的交点，故， 故，结合选项可知AC符合题意. 故选：AC. 10．BCD 【分析】分类去绝对值可得，当时，曲线C是以为圆心，为半径的圆在y轴及y轴右侧的部分，当时，曲线C是以为圆心，为半径的圆在y轴左侧的部分，利用点到线的距离可求解. 【详解】曲线可化为， 即， 当时，曲线C是以为圆心， 为半径的圆在y轴及y轴右侧的部分，直线， 则当直线l与曲线C相切时，有， 解得或（舍去）； 当时，曲线C是以为圆心，为半径的圆在y轴左侧的部分， 直线，则当直线l与曲线C相切时，有， 解得或（舍去）．综上，若直线l与曲线C有公共点，则． 故选：BCD． 11．ACD 【分析】分析可知曲线C是以为圆心，半径的圆.对于A：根据圆的性质分析求解；对于B：设，联立方程，利用韦达定理可得，即可得面积最大值；对于C：利用韦达定理可得，进而分析角度关系即可；对于D：根据AB平分，结合切线分析求解即可. 【详解】设， 因为，即，整理可得， 可知曲线C是以为圆心，半径的圆. 对于选项A：因为，可知点B在曲线C内，且直线l与曲线C必相交， 且，则的最大值为，最小值为， 所以取值范围是，故A正确； 设， 联立方程，消去x可得， 则. 对于选项B：可得， 令，则， 可得， 因为在内单调递增，则的最小值为， 即，则， 可得的面积， 所以面积的最大值为，故B错误； 对于选项C：因为， 又因为， 则， 即，可知，所以AB平分，故C正确； 对于选项D：因为AB平分，则， 可知当与曲线C相切时，取到最大值， 此时，且为锐角，则， 即的最大值为，则的最大值为， 所以最大值为，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：根据题意结合两点间距离公式分析可知曲线C是以为圆心，半径的圆，结合圆的性质逐项分析判断. 12．或（写出其中一个即可） 【分析】利用勾股定理求弦长的方法求解． 【详解】圆心为，到直线的距离为， 又，圆半径为2，则，解得， 故答案为：或． 13．/ 【分析】结合图象，设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线倾斜角为，由求解． 【详解】如图所示：    设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线倾斜角为， 则，得， 因为，所以， 则， 得， 得， 故答案为： 14． 【分析】设点，由，求出点P的轨迹方程为：，将问题转化为直线与圆：相交即可求解． 【详解】解：设点，由，得， 化简得，， 依题意，直线与圆：相交， 得， 解得， 故答案为： 15．(1)圆心坐标为，半径长为 (2) 【分析】（1）先根据点在圆上求出参数，再将圆的方程化为标准方程，即可得出圆心及半径； （2）先写出直线方程，求出圆心到直线的距离，再根据圆的弦长公式即可得解. 【详解】（1）因为点在圆上， 所以，解得， 所以该圆的标准方程为， 所以该圆的圆心坐标为，半径长为； （2）因为直线过点，斜率为， 所以直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以. 16．(1) (2) 【分析】（1）根据相切可得四边形为正方形，即可利用求解半径， （2）根据圆的弦长公式可得可得，利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）∵与圆相切，且， ∴ 四边形为正方形， ∴，即， ∴ 圆的标准方程为.    （2）∵ 直线被圆截的弦长为, ∴ 圆心到直线的距离为， 又直线的横截距为，纵截距为 则直线的方程可设为，即， ∴，即， 由，得， 解得或， ∵，∴，故， 当且仅当时取得“＝”， ∴的最小值为 17．(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）转化为圆心到直线的距离的最大值和最小值； （2）解法一，转化为直线与圆有公共点，解法二，利用三角换元求最值； （3）首先设，再转化为直线与圆有交点， 【详解】（1）圆心到直线的距离为． ∴P点到直线的距离的最大值为，最小值为． （2）解法一 ：设，则直线与圆有公共点， ∴，解得， 则，即的最大值为，最小值为． 解法二：设，则，其中， ∴得，即的最大值为，最小值为． （3）表示圆上的点与点连线的斜率为k， 设，即，直线与圆有交点， 设， 解得． 则，即的最大值为，最小值为． 18．(1) (2) 【分析】（1）设，结合题意可得，化简即可得解； （2）将直线方程代入圆的方程中，借助韦达定理计算即可得. 【详解】（1）设，因为， 所以， 化简得， 故曲线的方程为； （2）若直线垂直于轴，则，，，四点共线，不能构成三角形；    故可设直线的方程为， 代入曲线的方程可得， ， 则，， 又，, ，故， 因为，故， 则， 故， 则有， 可得，故， 则直线方程为. 19．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意可得：，，即点的轨迹为以为直径的圆，从而得到曲线的方程； （2）讨论当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，联立，结合韦达定理可得：，，化简，可得，从而得到，得到直线过定点，当直线斜率不存在时，设直线：，可得，可得，从而得到直线过定点，得证. 【详解】（1）因为是弦的中点， 所以，即， 所以点的轨迹为以为直径的圆，所以曲线的方程为. （2）当直线的斜率存在时， 设直线的方程为， 代入，得. 设，，则，是方程的两解， 则，，， 根据根与系数的关系，得， 即. 若，则直线过点，舍去； 所以，即， 直线的方程为，故直线过定点. 当直线斜率不存在时，设直线：， 与曲线的方程联立，可得，，则，解得， 故直线的方程为，恒过点. 综上，直线过定点. 不是因为有希望而去努力，而是努力了才能看见希望1 学科网（北京）股份有限公司 $$