高二上学期期末复习填空题压轴题二十三大题型专练（范围：第一、二、三章）-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第二册）

2024-2025学年高二上学期期末复习填空题压轴题二十三大题型专练（范围：第一、二、三章） 【人教A版（2019）】 题型1 向量共线、共面的判定及应用 1．（24-25高二下·全国·课后作业）设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则 ． 2．（23-24高二下·江苏·单元测试）已知点，若点的坐标为，且点四点共面，则实数m的值为 . 3．（24-25高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期中）如图所示，若为平行四边形所在平面外一点，为棱上的点，且，点在上，且，若，，，四点共面，则实数的值是 . 4．（24-25高二·全国·课后作业）在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则 ． 题型2 空间向量的数量积问题 5．（23-24高二上·广东佛山·期中）已知棱长为1的正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则 . 6．（23-24高三上·四川成都·期末）已知四棱柱底面ABCD为平行四边形，且，则异面直线与的夹角余弦值为 . 7．（23-24高一下·河北邢台·期末）如图所示，在四棱柱中，侧面都是矩形，底面四边形是菱形，且，，若异面直线和所成的角的大小是，则的长度是 . 8．（24-25高二上·福建三明·阶段练习）已知球内切于正四棱锥是球的一条直径，点为正四棱锥表面上的点，则的取值范围为 . 题型3 空间向量基本定理及其应用 9．（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，若，则 . 10．（23-24高二上·上海·课后作业）已知是平行六面体．设是底面的中心，是侧面的对角线上的点，且，设， ． 11．（23-24高二上·吉林长春·期中）已知点是所在平面内的任意一点，是平面外的一点，满足，则的最小值是 ． 12．（23-24高一下·吉林通化·期末）如图，在正四面体中，分别在棱上，且，若，则 ； .    题型4 空间向量平行、垂直的坐标表示 13．（24-25高二上·天津北辰·期中）设，向量，，且，，则 . 14．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知向量则实数的值为 ． 15．（2024·西藏拉萨·一模）已知，空间向量．若，则 ． 16．（23-24高二上·吉林延边·阶段练习）向量，，，且，，则 . 题型5 利用空间向量研究点、线、面的距离问题 17．（24-25高二上·上海松江·期中）如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，，E，F分别是，的中点，则直线到平面的距离为 . 18．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）在长方体中，已知异面直线与，与所成角的大小分别为和，为中点，则点到平面的距离为 . 19．（23-24高二上·上海虹口·阶段练习）已知是棱长为1的正方体，则平面与平面的距离为 ． 20．（24-25高二上·北京·期中）在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，则点到直线的距离的最小值为 . 题型6 利用空间向量求空间角 21．（24-25高二上·重庆·期中）在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，且△是正三角形，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 ． 22．（24-25高二上·云南·期中）如图，在四棱台体中，平面ABCD，底面ABCD为正方形， ，P为线段的中点，直线与平面所成角的大小为 . 23．（24-25高二上·浙江·期中）中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为2，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为，则图中平面与平面所成角的余弦值为 . 24．（2024高三·北京·专题练习）如图所示，，分别是正四棱柱上，下底面的中心，是的中点，，则下列结论正确序号有 .    ①； ②； ③异面直线与所成角的余弦值为； ④平面与平面夹角的余弦值为. 题型7 立体几何中的探索性问题 25．（23-24高三下·四川巴中·阶段练习）如图，棱长为的正方体中，为线段上的动点（不含端点），以下正确的是 .    ①； ②存在点，使得//面； ③的最小值为； ④存在点，使得与面所成线面角的余弦值为. 26．（24-25高二上·北京大兴·期中）如图，在正方体中，，为的中点，为棱（含端点）上的动点，给出下列四个结论： ①存在，使得； ②存在，使得平面； ③当为线段中点时，三棱锥的体积最小； ④当与重合时，直线与直线所成角的余弦值最小. 其中所有正确结论的序号是 ． 27．（2024·北京海淀·二模）如图，在正方体中，为棱上的动点，平面为垂足.给出下列四个结论： ①； ②线段的长随线段的长增大而增大； ③存在点，使得； ④存在点，使得 平面. 其中所有正确结论的序号是 . 28．（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，，分别是线段，的中点，是线段上的一个动点（含端点，），则下列说法正确的是 . （1）存在点，使得； （2）存在点，使得异面直线与所成的角为； （3）三棱锥体积的最大值是； （4）当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大. 题型8 直线与线段的相交关系求斜率范围 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 29．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）已知点，若直线与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围是 ． 30．（24-25高二上·广东梅州·阶段练习）已知，，若点在线段上，则的取值范围是 . 31．（23-24高二上·四川内江·期中）经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则的倾斜角的取值范围是 . 32．（24-25高二上·上海青浦·阶段练习）已知线段两端点的坐标分别为和，若直线恒过，且与线段有交点，则的斜率的取值范围是 ． 题型9 根据两直线平行、垂直求参数 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 33．（24-25高二上·天津河西·期中）已知直线与直线垂直，点为垂足，则等于 ． 34．（24-25高二上·北京西城·期中）已知直线：，：．若，则实数m的值为 ． 35．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线过点，直线过点，若直线，则 ． 36．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知直线和垂直且，则的最小值为 . 题型10 与距离有关的最值问题 37．（24-25高二上·辽宁大连·阶段练习）若三条直线相交于同一点，则点到原点的距离的最小值为 . 38．（23-24高二上·湖北·期末）点到直线的距离最大值是 ． 39．（2024高二上·江苏·专题练习）已知两条直线，，且，当两平行线距离最大时， . 40．（23-24高二上·浙江温州·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事修．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为 ． 题型11 点、线间的对称问题 41．（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）光线由点射到直线上，反射后过点，则反射光线所在直线的一般式方程为 ． 42．（2024·福建厦门·模拟预测）已知直线：关于直线的对称直线为轴，则的方程为 . 43．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图，已知直线与轴和轴分别交于点，，从点射出的光线经直线反射后再射到轴上，最后经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程是 . 44．（23-24高二上·吉林长春·期末）唐代诗人李颀的《古从军行》中两句诗为：“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,怎样走才能使总路程最短?在平面角坐标系中,设军营所在位置为,若将军从处出发,河岸线所在直线方程为.则“将军饮马”的最短总路程为 . 题型12 圆的切线长及切线方程问题 45．（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知过点的直线与圆相切，则直线l的方程为 . 46．（24-25高二上·陕西咸阳·期中）由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为 . 47．（23-24高二上·四川南充·阶段练习）已知圆，点为轴上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为 . 48．（23-24高二上·河北·期中）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为 ． 题型13 直线与圆有关的最值（范围）问题 49．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与圆为直线上一动点，直线与圆相切于点，则线段长度的最小值为 ． 50．（23-24高二下·浙江杭州·阶段练习）已知，，过轴上一点分别作两圆的切线，切点分别是，，求的最小值为 . 51．（23-24高二下·湖北·阶段练习）过点的直线交：于，两点，则的最小值为 . 52．（23-24高二上·福建厦门·期末）已知圆和圆，过动点分别作圆，圆的切线，（A，为切点），且，则的最大值为 . 题型14 直线与圆有关的面积问题 53．（24-25高二上·海南海口·期中）已知圆，直线，点在上运动，过点作圆的切线、，切点为、，则四边形的面积的最小值为 . 54．（24-25高二上·内蒙古·阶段练习）过点作两条互相垂直的直线，分别交圆O：于和，则四边形面积的最大值为 . 55．（2024·甘肃兰州·三模）过点且互相垂直的两直线与圆分别相交于A、B和C、D，若，则四边形ACBD的面积等于 ． 56．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知点的坐标为，点是圆上的两个动点，且满足，则面积的最大值为 ． 题型15 求圆锥曲线的离心率或其取值范围 57．（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）已知椭圆的右焦点是，过点作直线交椭圆于点，过点与直线垂直的射线交椭圆于点，，且三点共线（其中是坐标原点），则椭圆的离心率为 ． 58．（24-25高二上·安徽芜湖·期中）加斯帕尔•蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆，若直线上存在点，过可作的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是 . 59．（24-25高二上·天津南开·期中）如图，已知F1，F2分别为双曲线的左，右焦点，过F1作圆的切线与双曲线C的左，右两支分别交于M，N两点，若则双曲线C的离心率为 . 60．（24-25高二上·陕西渭南·期中）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且斜率为2的直线与的一条渐近线在第四象限相交于点，四边形为平行四边形.若直线的斜率，则的离心率的取值范围为 . 题型16 椭圆的弦长与“中点弦”问题 61．（23-24高二上·山东聊城·期末）已知椭圆的上顶点为A，过点A的直线与C交于另一点B，则的最大值为 ． 62．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知椭圆C：，，是椭圆C上两点，，则弦长为 ． 63．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆＋＝1内有一点P(2,3)，过点P的一条弦恰好以P为中点，则这条弦所在的直线方程为 ． 64．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知圆内有一点，经过点的直线与圆交于两点，当弦恰被点平分时，直线的方程为 . 题型17 双曲线的弦长与“中点弦”问题 65．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知双曲线C：，过点的直线l与双曲线C交于M、N两点，若P为线段的中点，则弦长 . 66．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线l与双曲线交于A、B两点，且弦的中点为，则直线l的方程为 ． 67．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）过双曲线的右焦点且弦长为8的直线有 条. 68．（23-24高二上·重庆·期中）已知直线与双曲线交于、两点，若弦的中点为，则直线的方程为 . 题型18 抛物线的弦长与焦点弦问题 69．（23-24高二下·全国·课后作业）若，是抛物线上不同的两点，线段的垂直平分线交轴于点，则的最大值为 ． 70．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）过抛物线的焦点作直线l交C于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于M，N两点，若，则 ． 71．（2024·海南·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过点的直线 与抛物线 交于两点，若 ，则直线 的斜率为 . 72．（2024·上海·三模）过抛物线的焦点的直线交于点，交的准线于点，，点为垂足.若是的中点，且，则 . 题型19 圆锥曲线中的切线与切点弦问题 73．（2024高二·全国·专题练习）过点作双曲线： 的两条切线，切点分别为，求直线的方程 ． 74．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，顶点为的抛物线，焦点为，点是上一点，已知的外接圆与的准线相切，且外接圆的面积为，过点作的两条切线，切点分别为，则的面积为 ． 75．（2024高三·全国·专题练习）已知点是抛物线上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则线段长度的最小值为 ． 76．（2024高三·全国·专题练习）定义：若点在椭圆上，则以为切点的切线方程为：，已知椭圆，点为直线上一个动点，过点作椭圆的两条切线，，切点分别为，，则直线恒过定点 . 题型20 圆锥曲线中的面积问题 77．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）椭圆的左､右焦点分别为，点在上，直线过左焦点，且与椭圆相交于两点，若直线的倾斜角为，则的面积等于 . 78．（2024·陕西商洛·三模）已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，点满足，其中为坐标原点，直线交于另一点，直线交于另一点，记的面积分别为，则 ．（结果用表示） 79．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知是双曲线：上的一点，、两点在双曲线的两条渐近线上，且分别位于第一、第二象限，若，，则面积的取值范围为 ． 80．（2024·全国·模拟预测）过双曲线的右焦点的直线与的右支交于两点，为原点，线段的中点与线段的中点重合，则四边形面积的取值范围是 ． 题型21 圆锥曲线中的参数范围及最值问题 81．（24-25高二上·天津北辰·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为在椭圆上且关于原点对称，则的最大值与最小值之和为 . 82．（2024·辽宁朝阳·一模）已知椭圆是椭圆上两点，线段的垂直平分线与轴交于，则的取值范围是 . 83．（2024·全国·模拟预测）已知、两点是双曲线的左、右顶点，点是的右焦点，点是过点且与实轴垂直的直线上的动点，则的最小值为 . 84．（2024·全国·模拟预测）已知直线过抛物线的焦点，且与交于点，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，记直线的斜率分别为，则的取值范围是 ． 题型22 圆锥曲线中的向量问题 85．（2024·浙江温州·模拟预测）椭圆的右焦点是F， 过F的直线交椭圆C于A，B两点.点O是坐标原点，若直线AB上存在异于F的点P，使得，则的取值范围是 . 86．（2024·河南·模拟预测）已知为坐标原点，点在抛物线上，过直线上一点作抛物线的两条切线，切点分别为．则的取值范围为 ． 87．（2024·四川遂宁·三模）已知抛物线的焦点为F，准线为，点在抛物线上，点为与轴的交点，且，过点向抛物线作两条切线，切点分别为，则 . 88．（2024高二上·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上且在第一象限内，，在轴上任取一点，直线与直线相交于点，则的最大值为 . 题型23 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题 89．（2024高三下·江苏·专题练习）已知椭圆的长轴为双曲线的实轴，且椭圆过点.设点是椭圆上异于点的两个不同的点，直线与的斜率均存在，分别记为，若，则直线过定点 . 90．（2024·全国·模拟预测）已知A，B是双曲线上的两个动点，动点P满足，O为坐标原点，直线OA与直线OB斜率之积为2，若平面内存在两定点、，使得为定值，则该定值为 ． 91．（2024高三下·江苏·专题练习）已知抛物线：过点，，是抛物线上的两个动点，直线的斜率与直线的斜率之和为4，则直线恒过定点 ． 92．（2024高三·全国·专题练习）已知点和椭圆C：，点，在上，且，，为垂足．存在定点，使得为定值，则定点的坐标为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二上学期期末复习填空题压轴题二十三大题型专练（范围：第一、二、三章） 【人教A版（2019）】 题型1 向量共线、共面的判定及应用 1．（24-25高二下·全国·课后作业）设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则 ． 【解题思路】先根据三点共线得出向量共线，再根据向量共线求参即可. 【解答过程】由已知得， ，B，D三点共线，与共线，即存在，使得． ， ，不共线，，． 故答案为：. 2．（23-24高二下·江苏·单元测试）已知点，若点的坐标为，且点四点共面，则实数m的值为 1 . 【解题思路】利用空间共面向量定理求解即可. 【解答过程】∵,, ∴,，， ∵四点共面，故根据空间向量基本定理 可知存在实数，使得， 则有 ，解得， 故答案为：. 3．（24-25高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期中）如图所示，若为平行四边形所在平面外一点，为棱上的点，且，点在上，且，若，，，四点共面，则实数的值是 . 【解题思路】用表示，根据四点共面的向量表达关系，即可求得参数的值. 【解答过程】根据题意可得：， 又因为四点共面，故，解得. 故答案为：. 4．（24-25高二·全国·课后作业）在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则 ． 【解题思路】法一：根据空间向量运算结合共面向量定理即可得到相关方程组，解出即可；法二：利用四点共面的结论即可. 【解答过程】法一：由题意， ，， 因为，，共面， 所以存在实数唯一实数对，使得， 即 ， 所以，解得． 法二：由，，共面得四点共面， 则根据四点共面的充要条件可得，，即． 故答案为：. 题型2 空间向量的数量积问题 5．（23-24高二上·广东佛山·期中）已知棱长为1的正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则 . 【解题思路】由题意可得：，根据空间向量的数量积运算求解. 【解答过程】由题意可知：，且， 因为M为BC中点，N为AD中点，    则， 所以 . 故答案为：. 6．（23-24高三上·四川成都·期末）已知四棱柱底面ABCD为平行四边形，且，则异面直线与的夹角余弦值为 . 【解题思路】将用不共面的向量表示出来，从而得到，然后由公式计算夹角余弦值即可. 【解答过程】， ， ， 底面ABCD为平行四边形，所以， 所以， . 所以， 故异面直线与的夹角的余弦值为:， 故答案为：. 7．（23-24高一下·河北邢台·期末）如图所示，在四棱柱中，侧面都是矩形，底面四边形是菱形，且，，若异面直线和所成的角的大小是，则的长度是 . 【解题思路】利用基底表示向量和，利用数量积公式，即可求解. 【解答过程】由题意可知，，，且， ， ， ， 由题意可知，，所以，所以. 故答案为：. 8．（24-25高二上·福建三明·阶段练习）已知球内切于正四棱锥是球的一条直径，点为正四棱锥表面上的点，则的取值范围为 . 【解题思路】令是正四棱锥底面正方形中心，利用向量的数量积的运算律可得，根据的范围可求的取值范围. 【解答过程】令是正四棱锥底面正方形中心，则平面， 而，则，故， 显然球的球心在线段上，设球半径为， 则， 在中，，于是， 又是球的一条直径，则为半径， 因此， 而，则，， 所以的取值范围为.    故答案为：. 题型3 空间向量基本定理及其应用 9．（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，若，则 . 【解题思路】利用空间向量的线性运算求解. 【解答过程】解：， ， 所以，解得， 所以， 故答案为：1. 10．（23-24高二上·上海·课后作业）已知是平行六面体．设是底面的中心，是侧面的对角线上的点，且，设， ． 【解题思路】由空间向量基本定理得到，从而求出，，，从而得到答案. 【解答过程】∵，， ∴ ， 又， ∴，，，故. 故答案为：. 11．（23-24高二上·吉林长春·期中）已知点是所在平面内的任意一点，是平面外的一点，满足，则的最小值是 ． 【解题思路】利用共面向量的基本定理结合空间向量的基本定理可得出，将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【解答过程】因为点是所在平面内的任意一点，则存在、，使得， 即， 所以，， 又因为是平面外的一点，则、、不共面， 因为，则，，， 所以，，所以，， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值是. 故答案为：. 12．（23-24高一下·吉林通化·期末）如图，在正四面体中，分别在棱上，且，若，则 ； .    【解题思路】根据空间向量线性运算法则及基本定理求出、、，再根据及数量积的运算律计算可得. 【解答过程】依题意，， 因为 ， 又，所以，所以； 则 . 故答案为：；. 题型4 空间向量平行、垂直的坐标表示 13．（24-25高二上·天津北辰·期中）设，向量，，且，，则 . 【解题思路】根据空间向量共线与空间向量垂直的坐标运算求解. 【解答过程】因为，所以，即，解得， 又因为∥，所以存在实数使得，即，解得， 所以， 所以， 故答案为：. 14．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知向量则实数的值为 7 ． 【解题思路】根据题意，利用空间向量垂直坐标表示，列式求解作答. 【解答过程】由题， ， ， 解得. 故答案为：7. 15．（2024·西藏拉萨·一模）已知，空间向量．若，则 1 ． 【解题思路】根据，从而可求出，即可求解. 【解答过程】因为，所以，即，得． 故答案为：. 16．（23-24高二上·吉林延边·阶段练习）向量，，，且，，则 . 【解题思路】利用向量平行、垂直的坐标表示求出x，y，再利用坐标求出向量的模作答. 【解答过程】因，，而，则有，解得，即 又，且，则有，解得，即， 于是得，， 所以. 故答案为：. 题型5 利用空间向量研究点、线、面的距离问题 17．（24-25高二上·上海松江·期中）如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，，E，F分别是，的中点，则直线到平面的距离为 . 【解题思路】建立空间直角坐标系，结合直线到平面的距离公式，代入计算，即可求解. 【解答过程】，，． 又，，平面， 面ABCD， 故建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，， ，，， 设为平面PEF的法向量，， 令，则，，，， 因为，平面，平面， 所以平面，所以直线AC到平面PEF的距离等于点A到平面PEF的距离， 设点A到平面PEF的距离为，，则． 故答案为：. 18．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）在长方体中，已知异面直线与，与所成角的大小分别为和，为中点，则点到平面的距离为 . 【解题思路】建立为空间直角坐标系设，根据异面直线与，与所成角求出，再应用空间向量公式计算点到平面距离即可. 【解答过程】如图建立以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为x轴，所在直线为z轴的空间直角坐标系， 且设， 则，则， 因为异面直线与所成角为，所以 因为异面直线与所成角为，所以 计算可得， 设平面法向量为，则， 令，则 因为， 则点到平面的距离. 故答案为：. 19．（23-24高二上·上海虹口·阶段练习）已知是棱长为1的正方体，则平面与平面的距离为 ． 【解题思路】建立空间直角坐标系，可证得平面 平面，从而平面与平面的距离等于点到平面的距离．求得平面的法向量和，结合点到平面的距离的向量公式，即可得解． 【解答过程】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 可得， 因为，则， 所以， 因为平面，平面，平面，平面， 所以 平面， 平面， 又，平面， 所以平面 平面， 所以平面与平面的距离等于点到平面的距离， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 又因为，所以． 所以平面与平面的距离为． 故答案为：． 20．（24-25高二上·北京·期中）在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，则点到直线的距离的最小值为 . 【解题思路】建立空间直角坐标系，借助空间向量求出点Р到直线距离的函数关系，再求其最小值作答 【解答过程】以D为原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则，,， 所以，，， 因点P在线段上，则，， ， 所以向量在向量上投影长为， 而， 则点Р到直线的距离， 当且仅当时取等号， 所以点Р到直线的距离的最小值为. 故答案为：. 题型6 利用空间向量求空间角 21．（24-25高二上·重庆·期中）在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，且△是正三角形，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 ． 【解题思路】建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量，利用公式计算即可. 【解答过程】 取中点，连接，取中点，连接， 因为四边形是正方形，所以， 因为△是正三角形，所以， 因为平面平面，平面，所以平面， 因为平面，平面， 所以，， 因此以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方形的边长为2， ，，，， 因为是的中点，所以， 所以，， 设异面直线与所成角为， 所以 ， 故答案为：. 22．（24-25高二上·云南·期中）如图，在四棱台体中，平面ABCD，底面ABCD为正方形， ，P为线段的中点，直线与平面所成角的大小为 . 【解题思路】根据题意建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用线面角的向量计算公式求解即可. 【解答过程】根据题意建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， ，，设平面的法向量为， 则，则平面的一个法向量， 所以，即直线平面， 故直线与平面所成角的大小为. 故答案为：. 23．（24-25高二上·浙江·期中）中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为2，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为，则图中平面与平面所成角的余弦值为 . 【解题思路】建立空间直角坐标系，用向量法求解平面与平面夹角的余弦值. 【解答过程】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，，，以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 则，，，， 设为平面的一个法向量， 则，令可得，所以， 设为平面的一个法向量， 则，令可得，所以 设平面与平面所成角为，， 则， 故平面与平面所成角的余弦值为. 故答案为：. 24．（2024高三·北京·专题练习）如图所示，，分别是正四棱柱上，下底面的中心，是的中点，，则下列结论正确序号有 ①③④ .    ①； ②； ③异面直线与所成角的余弦值为； ④平面与平面夹角的余弦值为. 【解题思路】根据题意，证得平面，进而得到，可判定①正确；根据题意，得到平面，结合平面，可得判定②错误；以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求得，以及和的法向量，结合向量的夹角公式，可判定③正确、④正确． 【解答过程】对于①中，因为底面为正方形，且分别是正四棱柱上、下底面的中心，所以，    又因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，所以①正确； 对于②中，由分别是正四棱柱上底面的中心， 可得是的中点，则平面，因为平面， 所以与不平行，所以②错误； 以点为原点，直线所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，设，则，，，，，，， 可得， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 又由， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 对于③中，由，所以③正确； 对于④中，由于平面的法向量为，平面的法向量为， 可得，所以平面与平面夹角的余弦值为，所以④正确． 故选：①③④．   题型7 立体几何中的探索性问题 25．（23-24高三下·四川巴中·阶段练习）如图，棱长为的正方体中，为线段上的动点（不含端点），以下正确的是 ①② .    ①； ②存在点，使得//面； ③的最小值为； ④存在点，使得与面所成线面角的余弦值为. 【解题思路】建立如图空间直角坐标系，设，则，利用空间向量法即可证明①②④；将平面与平面沿展开成平面图，得，利用余弦定理计算即可判断③. 【解答过程】由题意，建立如图空间直角坐标系，    则， 所以， 设，则，所以， 所以. ①：， 所以，故①正确； ②：设平面的一个法向量为， 则，令，得，所以， 有，当时，，此时，即平面， 所以当点P为的中点时，平面，故②正确； ③：将平面与平面沿展开成平面图，线段即为的最小值.    在中，，由余弦定理， 得， 即，故③错误； ④：由平面， 得平面，即平面，则为平面的一个法向量， 假设存在点P，使得与平面所成线面角的余弦值为， 设该线面角为，则， 所以， 整理得，由知方程无实根， 所以不存在点P，使得与平面所成线面角的余弦值为，故④错误. 故答案为：①②. 26．（24-25高二上·北京大兴·期中）如图，在正方体中，，为的中点，为棱（含端点）上的动点，给出下列四个结论： ①存在，使得； ②存在，使得平面； ③当为线段中点时，三棱锥的体积最小； ④当与重合时，直线与直线所成角的余弦值最小. 其中所有正确结论的序号是 ②④ ． 【解题思路】先建立合适空间直角坐标系，设，对于①：根据求得的值并判断是否正确；对于②：考虑与重合时的情况；对于③：根据，分析的最小值即可判断；对于④：利用向量法先表示出，然后结合换元法和二次函数性质求解出最小值并判断. 【解答过程】建立如图所示空间直角坐标系设， ①：因为，所以， 当时，，解得，不符合题意，故①错误； ②：当与重合时， 因为，所以四边形为平行四边形， 所以，且平面，平面， 所以平面，故②正确； ③：设到平面的距离为， 所以，且为定值， 所以当最小时，三棱锥的体积最小， 因为，所以， 设平面的法向量为， 所以，所以，取，所以， 又，所以， 当时有最小值，故③错误； ④：设直线与直线所成角为， 因为， 所以， 令，所以，所以， 因为，所以时取最大值，此时取最小值， 此时，即与重合，故④正确； 故答案为：②④. 27．（2024·北京海淀·二模）如图，在正方体中，为棱上的动点，平面为垂足.给出下列四个结论： ①； ②线段的长随线段的长增大而增大； ③存在点，使得； ④存在点，使得 平面. 其中所有正确结论的序号是 ①②④ . 【解题思路】根据给定条件，以点为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量坐标，进而求出点的坐标，再逐一计算判断各个命题即得答案. 【解答过程】在正方体中，令，以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，， 令平面的法向量，则，取，得， 由平面于，得，即， ，显然，解得， 于是， 对于①，，①正确； 对于②，在上单调递增，②正确； 对于③，而，， 若， 显然，即不存在，使得，③错误； 对于④，平面的一个法向量，而， 由，得，即，整理得， 令，显然函数在上的图象连续不断， 而，因此存在，使得，此时平面， 因此存在点，使得平面，④正确. 所以所有正确结论的序号是①②④. 故答案为：①②④. 28．（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，，分别是线段，的中点，是线段上的一个动点（含端点，），则下列说法正确的是 . （1）存在点，使得； （2）存在点，使得异面直线与所成的角为； （3）三棱锥体积的最大值是； （4）当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大. 【解题思路】以为原点，建立空间直角坐标系，假设存在点，根据，利用向量的数量积的运算公式，列出方程，求得的值，可判定A正确； 结合向量的夹角公式，列出方程，可得判定B不正确；连接，设，求得，棱锥的体积公式，可判定C正确； 求得平面的法向量，利用向量的夹角公式和二次函数的性质，可判定D错误. 【解答过程】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图（1）所示，可得，， 对于（1）中，假设存在点，使得， 则， 所以，解得， 即点与重合时，，所以A正确； 对于（2）中，假设存在点， 因为， 所以，此时方程无解， 所以不存在点使得异面直线与所成的角为，所以B不正确； 对于（3）中，如图（2）所示，连接，设， 因为， 所以，当时，即点点与重合时，取得最大值， 又因为平面，且分别是线段的中点， 可得点到平面的距离为， 所以三棱锥的体积的最大值为，所以C正确； 对于（4）中，由， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以， 因为，设直线与平面所成的角为， 可得， 所以，当点自向处运动时，的值由到变大，单调递增， 此时也单调递增，所以D正确. 故答案为：（1）（3）（4）. 题型8 直线与线段的相交关系求斜率范围 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 29．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）已知点，若直线与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围是 ． 【解题思路】先判断直线过定点，再根据直线与线段相交，求出直线斜率的取值范围，最后根据正切函数的性质，求出倾斜角的取值范围即可. 【解答过程】直线过定点， 则，， 如图，要使直线与线段相交， 则直线l的的斜率应满足， 所以直线l的倾斜角的取值范围是. 故答案为:. 30．（24-25高二上·广东梅州·阶段练习）已知，，若点在线段上，则的取值范围是 . 【解题思路】根据的形式，可转化为线段AB上点与连线的斜率，结合图形即可求解. 【解答过程】的几何意义是点与点连线的斜率， 又点在线段上，由图知， 因为，，所以， 因为点P是线段AB上的动点，所以， 故答案为：. 31．（23-24高二上·四川内江·期中）经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则的倾斜角的取值范围是 . 【解题思路】利用直线斜率与倾斜角的关系计算即可. 【解答过程】    如图所示，可知直线自位置绕P旋转至位置的过程中都可符合题意， 该过程中直线的斜率在， 易知，， 故，则倾斜角. 故答案为：. 32．（24-25高二上·上海青浦·阶段练习）已知线段两端点的坐标分别为和，若直线恒过，且与线段有交点，则的斜率的取值范围是 ． 【解题思路】根据已知条件及直线的斜率公式即可求解. 【解答过程】因为直线恒过,和， 所以，. 由题意可知，直线的斜率存在且的斜率，若直线与线段有交点，如图所示 由图象可知，或,即或， 所以的斜率的取值范围是为. 故答案为：. 题型9 根据两直线平行、垂直求参数 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 33．（24-25高二上·天津河西·期中）已知直线与直线垂直，点为垂足，则等于 ． 【解题思路】利用两直线的垂直条件求解参数，再计算代数式即可. 【解答过程】因为，所以， 因为两条直线垂直，且， 所以，解得，此时， 将代入中，得到， 解得，此时垂足为点，将代入中， 得到，解得， 故. 故答案为：. 34．（24-25高二上·北京西城·期中）已知直线：，：．若，则实数m的值为 －3 ． 【解题思路】根据两直线平行的条件列式求解即可. 【解答过程】若，则，解得或， 当时，直线：与：重合，不符合题意； 当时，直线：与：，符合题意， 综上， 故答案为：－3. 35．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线过点，直线过点，若直线，则 ． 【解题思路】根据题意，由条件可得，代入计算，即可求解. 【解答过程】由题得，即，解得． 故答案为：. 36．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知直线和垂直且，则的最小值为 . 【解题思路】根据直线垂直得到方程，求出，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【解答过程】由题意得，故， 因为，由基本不等式得 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 题型10 与距离有关的最值问题 37．（24-25高二上·辽宁大连·阶段练习）若三条直线相交于同一点，则点到原点的距离的最小值为 . 【解题思路】先求出线和的交点，进而得到，再根据点到直线的距离公式结合二次函数的性质求解即可. 【解答过程】由，解得， 把代入，可得，所以， 所以点到原点的距离为 ， 所以当时，此时，此时， 所以点到原点的距离的最小值为. 故答案为：. 38．（23-24高二上·湖北·期末）点到直线的距离最大值是 ． 【解题思路】根据直线过定点，得到，进而得到答案. 【解答过程】由题意得，直线过定点，则， 如图所示，当直线与直线垂直时， 此时点到直线的距离最大值，且最大值为. 故答案为：. 39．（2024高二上·江苏·专题练习）已知两条直线，，且，当两平行线距离最大时， . 【解题思路】求出恒过的定点，故，距离的最大值为，所以，求解即得出答案. 【解答过程】由题意，由， 解得，故过定点． ，由， 解得，故过定点， 故，距离的最大值为． 此时，直线的斜率为，则， 直线的斜率为，解得， 故． 故答案为：5. 40．（23-24高二上·浙江温州·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事修．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为 ． 【解题思路】将转化成到点的距离与到点的距离之差，再结合进行求解. 【解答过程】， 可转化成x轴上一点到点的距离与到点的距离之差. ， 所以的最大值为. 故答案为：. 题型11 点、线间的对称问题 41．（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）光线由点射到直线上，反射后过点，则反射光线所在直线的一般式方程为 ． 【解题思路】首先求点关于直线的对称点，再根据点也在反射光线上，即可求解. 【解答过程】设点关于直线的对称点， 则，解得：，即， 点在反射光线上，则， ，整理为， 所以反射光线所在直线方程的一般式为. 故答案为：. 42．（2024·福建厦门·模拟预测）已知直线：关于直线的对称直线为轴，则的方程为 或 . 【解题思路】根据题意，求出与轴的交点，设出直线的方程，根据点关于直线的对称点在轴上，列出方程，即可得到结果. 【解答过程】    直线交轴于点，交轴于点， 设直线的方程为，则关于直线的对称点在轴上， 所以，则的中点 在直线上，所以①， 又②，联立①②可得或， 所以直线的方程为或. 故答案为：或. 43．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图，已知直线与轴和轴分别交于点，，从点射出的光线经直线反射后再射到轴上，最后经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程是 . 【解题思路】作出点关于直线的对称点，点关于轴的对称点C，从而将题目问题转化为求解. 【解答过程】如图， 点关于直线的对称点为，则，即， 解得，即点关于直线的对称点为，又点关于轴的对称点为， 则光线所经过的路程为. 故答案为：. 44．（23-24高二上·吉林长春·期末）唐代诗人李颀的《古从军行》中两句诗为：“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,怎样走才能使总路程最短?在平面角坐标系中,设军营所在位置为,若将军从处出发,河岸线所在直线方程为.则“将军饮马”的最短总路程为 . 【解题思路】首先利用点关于线的对称求出点,进一步利用两点间的距离公式的应用求出的长． 【解答过程】设军营所在位置为， 若将军从处出发，河岸线所在直线方程为， 故点关于对称点的坐标， 所以，解得；即． 设直线上任一点N，，即当且仅当Q，N，三点共线时取最小值， 即． 即“将军饮马”的最短总路程为. 故答案为：. 题型12 圆的切线长及切线方程问题 45．（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知过点的直线与圆相切，则直线l的方程为 . 【解题思路】根据题意知，点在圆上，若直线与圆相切，则直线与直线垂直，即可求出直线的斜率，根据点斜式直线方程即可求出直线的方程. 【解答过程】由圆的方程知：，即， 将代入方程可知，点在圆上，且， 所以，因为直线与圆相切，所以直线与直线垂直， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 故答案为：. 46．（24-25高二上·陕西咸阳·期中）由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为 . 【解题思路】先确定圆的圆心和半径，由点到直线距离公式求出圆心到直线距离，结合得取得最小值时取得最小值和的最小值为即可求解. 【解答过程】圆的圆心坐标为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 因为，所以当取得最小值时，取得最小值， 而的最小值为，所以. 故答案为：. 47．（23-24高二上·四川南充·阶段练习）已知圆，点为轴上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为 . 【解题思路】根据题意由四边形的面积与的面积关系，设可得，利用单调性即可求出的最小值为. 【解答过程】易知圆的圆心为，半径为，如图所示： 易知，设，则 由图可得，又， 可得，因为， 所以当时，的最小值为. 故答案为：. 48．（23-24高二上·河北·期中）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为 ． 【解题思路】数形结合，利用，即可解题. 【解答过程】    由图可知，其中一条切线为轴，切点为坐标原点． 因为,， 则， 所以直线的方程为． 故答案为：. 题型13 直线与圆有关的最值（范围）问题 49．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与圆为直线上一动点，直线与圆相切于点，则线段长度的最小值为 ． 【解题思路】先根据圆的标准方程得出圆心半径，再根据勾股定理得出，当最小时，最小，即可求出最值. 【解答过程】圆的标准方程为，圆心为，圆心到直线的距离为，故直线与圆相离， 又直线为圆的切线，则， 当最小时，最小，即直线， 此时，故线段长度的最小值为． 故答案为：. 50．（23-24高二下·浙江杭州·阶段练习）已知，，过轴上一点分别作两圆的切线，切点分别是，，求的最小值为 . 【解题思路】根据圆的切线的几何性质可推出，可看作点到的距离的和，结合几何意义即可求得答案. 【解答过程】由题意知的圆心为，半径， 的圆心为，半径， 设，则， ， 则， 设，则， 当且仅当三点共线时取等号， 此时的最小值为， 故答案为：. 51．（23-24高二下·湖北·阶段练习）过点的直线交：于，两点，则的最小值为 . 【解题思路】将转化为，此式为的中点到直线的距离10倍，求出的轨迹后可求最小值. 【解答过程】 过分别作直线的垂线，垂足分别为， 设的中点为，过作直线的垂线，垂足为，连接， 又 . 因为为的中点，故， 故的轨迹为以的直径的圆，其方程为， 即，其圆心为，半径为， 到直线的距离为， 故到直线的距离的最小值为， 故的最小值为. 故答案为：. 52．（23-24高二上·福建厦门·期末）已知圆和圆，过动点分别作圆，圆的切线，（A，为切点），且，则的最大值为 . 【解题思路】根据题意得出P的轨迹方程，结合图像即可求解. 【解答过程】    如图，连接，因为，与圆相切， 所以， 设，所以， 整理得，所以在以为圆心，3为半径的圆上运动， ，当且仅当在时等号成立， 故答案为：. 题型14 直线与圆有关的面积问题 53．（24-25高二上·海南海口·期中）已知圆，直线，点在上运动，过点作圆的切线、，切点为、，则四边形的面积的最小值为 . 【解题思路】根据题意，由四边形的面积公式可知，当最小时，四边形的面积最小，结合点到直线的距离公式代入计算，即可得到结果. 【解答过程】将圆方程化为，知其圆心，半径， 又易知，，所以四边形的面积： ， 所以当最小时，即直线与直线垂直时，四边形面积最小， 而，所以. 故答案为：. 54．（24-25高二上·内蒙古·阶段练习）过点作两条互相垂直的直线，分别交圆O：于和，则四边形面积的最大值为 . 【解题思路】根据圆的几何性质求弦长，，再由均值不等式及四边形面积即可求得四边形面积的最大值. 【解答过程】 记圆心O到直线，的距离分别为，， 则， 因为，， 所以，即， 则四边形的面积，即四边形面积的最大值为97. 故答案为：. 55．（2024·甘肃兰州·三模）过点且互相垂直的两直线与圆分别相交于A、B和C、D，若，则四边形ACBD的面积等于 ． 【解题思路】假设两直线都有斜率，设，求出的值，再求出,即得解；再考虑斜率不存在时，的斜率为0，即得解. 【解答过程】由题得圆的方程为，点在圆的内部， 假设两直线都有斜率，设， 因为，则圆心到两直线的距离相等， 直线的方程为， 所以圆心到直线的距离为， 直线的方程为， 所以圆心到直线的距离为， 所以或， 圆心到两直线的距离为， 所以， 此时四边形的面积等于. 当斜率不存在时，的斜率为0， 所以直线方程为，直线的方程为， 联立和，得或， 所以， 联立和，得或， 所以， 因为，所以这种情况不存在. 故答案为：. 56．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知点的坐标为，点是圆上的两个动点，且满足，则面积的最大值为 ． 【解题思路】 设，，的中点，由题意求解的轨迹方程，得到的最大值，写出三角形的面积，结合基本不等式求解． 【解答过程】设，，的中点， 点，为圆上的两动点，且， ，①， ，②， ③ 由③得，即④， 把②中两个等式两边平方得：，， 即⑤， 把④代入⑤，可得，即在以为圆心，以为半径的圆上． 则的最大值为． 所以． 当且仅当，的坐标为时取等号． 故答案为：. 题型15 求圆锥曲线的离心率或其取值范围 57．（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）已知椭圆的右焦点是，过点作直线交椭圆于点，过点与直线垂直的射线交椭圆于点，，且三点共线（其中是坐标原点），则椭圆的离心率为 ． 【解题思路】先证明四边形是矩形，然后利用已知条件求出三边的比例，再利用椭圆的定义求出和与的关系式，最后利用即得离心率. 【解答过程】设椭圆的左焦点为. 由于三点共线，故由椭圆的对称性知， 而，故四边形是平行四边形.又因为，故四边形是矩形. 由于四边形是矩形，故， . 从而可设， 此时，解得， 所以，所认， 最后由，得到， 即，故.从而椭圆的离心率. 故答案为：. 58．（24-25高二上·安徽芜湖·期中）加斯帕尔•蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆，若直线上存在点，过可作的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是 . 【解题思路】首先通过椭圆的四条特殊切线可知道蒙日圆的半径，问题转化为直线与蒙日圆有交点问题，根据直线与圆的位置关系列式即可求解. 【解答过程】由椭圆方程可知蒙日圆半径为， 所以蒙日圆方程为， ∵点在椭圆的蒙日圆上，又因为点在直线上， ∴直线和蒙日圆有公共点. ∴圆心到直线的距离不大于半径， 即，所以， 所以椭圆离心率，所以. 故答案为：. 59．（24-25高二上·天津南开·期中）如图，已知F1，F2分别为双曲线的左，右焦点，过F1作圆的切线与双曲线C的左，右两支分别交于M，N两点，若则双曲线C的离心率为 . 【解题思路】设直线与圆相切于点，连接，作作，垂足为，运用中位线定理和勾股定理，结合双曲线的定义，即可得到，的关系，即可得到结果． 【解答过程】设直线与圆相切于点，连接，作作，垂足为， 由于圆的半径为，则， 且为的中位线，可得， 又，所以，即有， 在直角三角形中，因为，所以， 则，可得，所以， 由双曲线的定义可得，即，所以， 由，则，所以双曲线C的离心率为. 故答案为：． 60．（24-25高二上·陕西渭南·期中）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且斜率为2的直线与的一条渐近线在第四象限相交于点，四边形为平行四边形.若直线的斜率，则的离心率的取值范围为 . 【解题思路】联立的方程与渐近线方程，可得坐标，根据两点斜率公式结合平行求解的斜率，即可化简得，进而可求解离心率. 【解答过程】由题意可得，， 由于为平行四边形，故, 直线的方程为，渐近线方程， 联立， 故, 所以， 因此，化简得， 故离心率为， 故答案为：. 题型16 椭圆的弦长与“中点弦”问题 61．（23-24高二上·山东聊城·期末）已知椭圆的上顶点为A，过点A的直线与C交于另一点B，则的最大值为 ． 【解题思路】设出点，根据两点间距离公式列式运算得解. 【解答过程】设，则，，又， 所以， 当且仅当时，取得最大值. 所以的最大值为. 故答案为：. 62．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知椭圆C：，，是椭圆C上两点，，则弦长为 ． 【解题思路】由，可得两点在直线上，联立方程，利用韦达定理求出，再根据弦长公式即可得解. 【解答过程】由，得， 故两点在直线上， 联立，消得， 恒成立， 则， 所以. 故答案为：. 63．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆＋＝1内有一点P(2,3)，过点P的一条弦恰好以P为中点，则这条弦所在的直线方程为 ． 【解题思路】根据点差法求出弦所在直线的斜率得解. 【解答过程】设弦为，，， 则，两式相减并化简得， 即，则， 所以弦所在直线的方程为，即. 故答案为：. 64．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知圆内有一点，经过点的直线与圆交于两点，当弦恰被点平分时，直线的方程为 . 【解题思路】求得圆心坐标为，易知，利用斜率之间的关系可得，即可求得直线的方程. 【解答过程】易知可表示为， 可知圆的圆心坐标为，半径为，如下图所示： 根据题意由圆的性质可知，易知，所以； 由直线的点斜式方程可得直线的方程为，即. 故答案为：. 题型17 双曲线的弦长与“中点弦”问题 65．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知双曲线C：，过点的直线l与双曲线C交于M、N两点，若P为线段的中点，则弦长 . 【解题思路】设直线为，联立双曲线方程，应用韦达定理及中点坐标公式求k值，利用弦长公式求解即可. 【解答过程】由题设，直线l的斜率必存在，设过的直线为， 联立，得， 设，则， 所以，解得，经检验符合题意； 则，. 弦长. 故答案为：. 66．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线l与双曲线交于A、B两点，且弦的中点为，则直线l的方程为 ． 【解题思路】设出A，B两点的坐标，代入双曲线方程，然后利用点差法得到直线l的斜率即可求解直线方程． 【解答过程】设，， 则，， 又， ， 两式相减，得， 即，整理得， 直线l的斜率为， 直线l的方程为， 化简得，经检验满足题意. 故答案为：. 67．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）过双曲线的右焦点且弦长为8的直线有 3 条. 【解题思路】先验证直线斜率不存在时是否符合题意，然后斜率存在时，设出直线，与双曲线联立，利用韦达定理和弦长公式计算求出满足条件的直线方程. 【解答过程】双曲线的标准方程为，右焦点 设直线与双曲线交于， 当直线斜率不存在时，直线方程的方程为， 令，则，得，此时弦长为，符合题目； 当直线斜率存在时，设直线方程为 联立，可得， ，解得且 ， 解得 综上，总共有三条直线符合条件 故答案为：3. 68．（23-24高二上·重庆·期中）已知直线与双曲线交于、两点，若弦的中点为，则直线的方程为 . 【解题思路】 利用点差法可求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程. 【解答过程】若直线轴，则的中点在轴上，不合乎题意， 设点、，因为若弦的中点为，则， 因为，可得，即， 所以，， 因此，直线的方程为，即. 联立可得，， 所以，直线与双曲线有两个交点，合乎题意， 因此，直线的方程为， 故答案为：. 题型18 抛物线的弦长与焦点弦问题 69．（23-24高二下·全国·课后作业）若，是抛物线上不同的两点，线段的垂直平分线交轴于点，则的最大值为 6 ． 【解题思路】设，，中点，利用点差法可得直线的斜率，再利用中垂线可得，然后利用抛物线的定义，由即可求解. 【解答过程】 设，，中点， 则， 设斜率为，则， 相减得：， 因为，即， 设抛物线的焦点为，， 所以，当且仅当，，三点共线时等号成立， 此时满足在抛物线内部， 所以的最大值为6. 故答案为：6. 70．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）过抛物线的焦点作直线l交C于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于M，N两点，若，则 ． 【解题思路】联立直线与抛物线方程，得韦达定理，根据焦点弦的公式可得，解得，即可求解得，即可代入求解. 【解答过程】的焦点为， 根据题意可知直线有斜率，且斜率不为0， 根据对称性不设直线方程为， 联立直线与可得， 设，故， 故，解得， 直线，令，则，同理可得， 如下图，故， 故答案为：. 71．（2024·海南·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过点的直线 与抛物线 交于两点，若 ，则直线 的斜率为 . 【解题思路】设，利用弦长公式求解． 【解答过程】抛物线的焦点，设直线l的方程为：， 联立方程，消去y得，， 设，则， 因为，所以， 即，得， 故答案为：. 72．（2024·上海·三模）过抛物线的焦点的直线交于点，交的准线于点，，点为垂足.若是的中点，且，则 4 . 【解题思路】作于点，与轴交于点，借助相似三角形的性质可得，，再结合所给数据与抛物线定义计算即可得解. 【解答过程】作于点，与轴交于点，如图， 则， 又且是的中点，则有， 即，又，故， 又，，， 故，即，则. 故答案为：4. 题型19 圆锥曲线中的切线与切点弦问题 73．（2024高二·全国·专题练习）过点作双曲线： 的两条切线，切点分别为，求直线的方程 ． 【解题思路】设的斜率为，得到，联立方程组，根据和双曲线的方程，求得，得到的方程为，同理的方程为，进而得到，进而求得过的直线方程. 【解答过程】设，易得两条切线的斜率存在，设的斜率为， 则，联立方程， 消去得， 因为与双曲线相切，所以， 即，即， 即， 因为，所以， 代入可得，即，所以， 所以，即， 同理可得的方程为， 因为在切线上，所以， 所以满足方程， 又由两点确定一条直线，所以满足直线方程， 所以过的直线方程为. 故答案为：. 74．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，顶点为的抛物线，焦点为，点是上一点，已知的外接圆与的准线相切，且外接圆的面积为，过点作的两条切线，切点分别为，则的面积为 ． 【解题思路】利用三角形外心的性质结合圆的面积可确定抛物线方程，再设坐标，结合直线与抛物线相切及同解方程得出切点弦方程，再根据点到直线的距离公式及弦长公式计算即可. 【解答过程】易知，则的外接圆圆心的纵坐标为， 由题意得的外接圆半径为，故，解得， 所以的方程为，即． 设点，直线的方程为， 联立,得． 因为相切，所以，解得， 故直线的方程为，结合得①， 设点，同理得直线的方程为②， 将代入①②得, 所以直线的方程为． 由，得，则，， 故． 又易得点到直线的距离为，所以． 故答案为：.    75．（2024高三·全国·专题练习）已知点是抛物线上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则线段长度的最小值为 ． 【解题思路】 设，由圆的切线方程可得方程为，结合点到直线的距离公式以及二次函数的性质可求得的最小值. 【解答过程】圆的圆心，半径． 设，故方程为， 弦心距， 当时，取得最大值为，则取得最小值． 故答案为：. 76．（2024高三·全国·专题练习）定义：若点在椭圆上，则以为切点的切线方程为：，已知椭圆，点为直线上一个动点，过点作椭圆的两条切线，，切点分别为，，则直线恒过定点 . 【解题思路】设，，，即可表示出的方程，又在上，即可得到，利用同理可得到，即可得到直线的方程，从而求出直线过的定点 【解答过程】解：因为点在直线上，设，，， 所以的方程为，又在上，所以①， 同理可得②； 由①②可得的方程为，即，即， 所以，解得，故直线恒过定点， 故答案为：. 题型20 圆锥曲线中的面积问题 77．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）椭圆的左､右焦点分别为，点在上，直线过左焦点，且与椭圆相交于两点，若直线的倾斜角为，则的面积等于 . 【解题思路】根据点可得椭圆方程，即可得的方程为，联立直线与椭圆方程得韦达定理，利用弦长公式以及点到直线的距离公式，结合面积公式即可求解. 【解答过程】已知点在椭圆上，可得，所以， 又因为直线的斜率，所以的方程为. 设，联立方程组消去得，可得， 所以， 点到直线的距离， 所以. 故答案为:. 78．（2024·陕西商洛·三模）已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，点满足，其中为坐标原点，直线交于另一点，直线交于另一点，记的面积分别为，则 ．（结果用表示） 【解题思路】设直线的方程为，联立抛物线方程结合韦达定理有，同理，从而，同理，结合三角形面积公式即可得解. 【解答过程】 由题意知，又，所以． 显然直线的斜率不为0，设直线的方程为， 由，得，所以． 显然直线的斜率不为0，设，直线的方程为， 由得 ，所以， 又，所以， 设，同理可得， 所以． 故答案为：. 79．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知是双曲线：上的一点，、两点在双曲线的两条渐近线上，且分别位于第一、第二象限，若，，则面积的取值范围为 ． 【解题思路】由以及定比分点公式得，再结合在双曲线上满足，可得与的关系并由的范围求得范围，从而由三角行列式面积公式即可求解面积的取值范围. 【解答过程】设，，，渐近线方程分别为，， ∴①，②， 由三角形行列式面积公式得③， 由于，由定比分点坐标公式得， 由于点在双曲线上，故满足，即为④， 将①②代入④中，即为， 化简为，即为，， 令，则， 所以时，；时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 且， 故．∴． 故答案为：. 80．（2024·全国·模拟预测）过双曲线的右焦点的直线与的右支交于两点，为原点，线段的中点与线段的中点重合，则四边形面积的取值范围是 ． 【解题思路】由题意设直线的方程为，将其与双曲线方程联立化简得，结合韦达定理、弦长公式可用表示出，由点到直线的距离公式可得三角形边上的高，从而可得三角形面积表达式，进一步可得（平行）四边形面积表达式，进一步即可求解. 【解答过程】 由题意得． 因为点在的右支上， 所以设直线的方程为． 与联立，得，， 设，则， 所以 ． 易知点到直线的距离． 由线段的中点与线段的中点重合，得四边形是平行四边形， 其面积． 由，得， 所以，所以． 故答案为：. 题型21 圆锥曲线中的参数范围及最值问题 81．（24-25高二上·天津北辰·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为在椭圆上且关于原点对称，则的最大值与最小值之和为 . 【解题思路】设，得出，整理，令，利用单调性求值域，即可求解． 【解答过程】解：设，且，， ， ， ， ， ， 令， 则在上单调递减， ， ， 则的最大值与最小值之和为， 故答案为：． 82．（2024·辽宁朝阳·一模）已知椭圆是椭圆上两点，线段的垂直平分线与轴交于，则的取值范围是 . 【解题思路】设，，线段的中点为，利用点差法可得，从而可得线段AB的垂直平分线的方程，则，再由点在椭圆内部可求出结果 【解答过程】设，，线段的中点为 . 若，即，则，满足题意； 若，即，则不满足题意，应舍去； 当时，有，作差得： 因为，，所以， 因为，所以 ， 设线段的垂直平分线为，则，得 ：， 令，得，又因为点在椭圆内部，则，则， 故 . 故答案为：. 83．（2024·全国·模拟预测）已知、两点是双曲线的左、右顶点，点是的右焦点，点是过点且与实轴垂直的直线上的动点，则的最小值为 . 【解题思路】分两种情况讨论，①当点与点重合时，直接求出的值；②当点不与点重合时，不妨设点为第一象限内的一点，设点，利用两角差的正切公式结合基本不等式可求得的取值范围，可求得的取值范围，再结合余弦函数的单调性可求得的最小值. 【解答过程】当点与点重合时，，此时，， 当点不与点重合时，不妨设点为第一象限内的一点，如下图所示： 在双曲线中，，，， 设点，则，， 所以， ，当且仅当时，即当时，等号成立， 因为，此时，为锐角，则， 所以，，即的最小值为. 故答案为：. 84．（2024·全国·模拟预测）已知直线过抛物线的焦点，且与交于点，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，记直线的斜率分别为，则的取值范围是 ． 【解题思路】先求出抛物线方程，将其与直线方程联立写出韦达定理，由题意求出点的坐标，推理计算出，从而将求的范围问题转化成求的取值范围即得. 【解答过程】 如图，因为直线过的焦点，令，解得：，即，故由可得，即． 把代入的方程整理得：，设，则，， 于是，，故得：， 则 ， ，所以，由，得． 故答案为: . 题型22 圆锥曲线中的向量问题 85．（2024·浙江温州·模拟预测）椭圆的右焦点是F， 过F的直线交椭圆C于A，B两点.点O是坐标原点，若直线AB上存在异于F的点P，使得，则的取值范围是 . 【解题思路】分类讨论直线AB的斜率是否为0，设设，联立方程，由数量积结合韦达定理可得，结合基本不等式运算求解即可. 【解答过程】由题意可知：，则， 因为直线AB过F，可知直线AB与椭圆必相交， 若直线AB的斜率为0，即直线AB为x轴，不妨设， 则， 因为，则，解得， 当，此时点即为点，不合题意； 当，此时点，； 若直线AB的斜率不为0，设， 则， 联立方程，消去x得， 则， 因为，则， 可得， 整理得，则，， 即， 可得 ， 因为，则，当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以； 综上所述：的取值范围是. 故答案为：. 86．（2024·河南·模拟预测）已知为坐标原点，点在抛物线上，过直线上一点作抛物线的两条切线，切点分别为．则的取值范围为 ． 【解题思路】 根据导数的几何意义，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可. 【解答过程】 因为在抛物线上，所以，解得，所以． 设．由，求导得， 则直线，直线． 由解得所以， 又在直线上，得． 所以 ． 故答案为：.    87．（2024·四川遂宁·三模）已知抛物线的焦点为F，准线为，点在抛物线上，点为与轴的交点，且，过点向抛物线作两条切线，切点分别为，则 1 . 【解题思路】根据题目条件，先求出抛物线的标准方程，然后求出直线的方程，联立消，利用韦达定理即可求得本题答案. 【解答过程】把点，代入抛物线，得，则点， 作，垂直为，设，所以，，易知， 在中，因为，即，得， 所以，得，所以抛物线标准方程为：， 设两点的坐标分别为， 因为，所以，，又， 所以切线的直线方程为：，化简得， 因为经过点，所以，同理可得，， 所以点的坐标满足方程，即直线的方程为， 联立消得，， 所以，， 所以 故答案为：1. 88．（2024高二上·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上且在第一象限内，，在轴上任取一点，直线与直线相交于点，则的最大值为 . 【解题思路】设，根据得到，联立方程组解出点坐标，再设点坐标为，将直线与直线联立解得点坐标，由结合二次函数得性质即可求解. 【解答过程】由椭圆得左，右焦点分别为，，    设， 因为，所以，整理得， 又因为，联立方程组，解得，， 所以点A点坐标为， 设点坐标为，因为直线斜率不为，设直线方程为， 将，代入解得直线方程为， 再将直线与直线联立解得点坐标为， 所以， 当时，取最大值，最大值为， 故答案为：. 题型23 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题 89．（2024高三下·江苏·专题练习）已知椭圆的长轴为双曲线的实轴，且椭圆过点.设点是椭圆上异于点的两个不同的点，直线与的斜率均存在，分别记为，若，则直线过定点 . 【解题思路】求出椭圆方程，当直线的斜率存在时，设其方程为，并与椭圆的方程联立，利用韦达定理及求出的关系，求出定点的坐标，然后再验证直线的斜率不存在时也过该定点即可. 【解答过程】由椭圆 的长轴为双曲线的实轴，得， 由椭圆C过点，得，解得，椭圆C的方程为， 当直线的斜率存在时，设其方程为，， 由消去y得，， 则， 于是 ， 化简得，即， 当，即时，直线的方程为，过定点，不满足题意， 当，即时，满足，直线：，过定点， 当直线的斜率不存在时，设其方程为， 由得， 则， 解得（舍）或， 显然直线：过定点， 综上，直线过定点.    故答案为：. 90．（2024·全国·模拟预测）已知A，B是双曲线上的两个动点，动点P满足，O为坐标原点，直线OA与直线OB斜率之积为2，若平面内存在两定点、，使得为定值，则该定值为 ． 【解题思路】设,根据得到，，根据点,在双曲线上则，代入计算得，根据双曲线定义即可得到为定值. 【解答过程】设,则由, 得， 则，， 点,在双曲线上, ，则 ， 设分别为直线,的斜率,根据题意, 可知,即， ，即 在双曲线上,设该双曲线的左、右焦点分别为， 由双曲线定义可知||为定值，该定值为. 故答案为：. 91．（2024高三下·江苏·专题练习）已知抛物线：过点，，是抛物线上的两个动点，直线的斜率与直线的斜率之和为4，则直线恒过定点 ． 【解题思路】 先由抛物线上的点求得抛物线的方程，再联立直线与抛物线方程，利用直线的斜率与直线的斜率之和为4，结合韦达定理即可得解. 【解答过程】将坐标代入抛物线方程得，解得， 所以抛物线方程为， 显然直线斜率不为0，    故可设：，将的方程与联立得， 所以， 设，，则，， 则，同理：， 由题意，得， 所以，则，即， 代入直线得， 故直线恒过定点. 故答案为：. 92．（2024高三·全国·专题练习）已知点和椭圆C：，点，在上，且，，为垂足．存在定点，使得为定值，则定点的坐标为 ． 【解题思路】方法一：当直线斜率存在时设方程为，联立椭圆消去x，利用韦达定理代入整理可得的关系，可得直线过定点，由可知点D在以AP为直径的圆上，AP中点即为所求，然后验证斜率不存在时是否满足即可；方法二：将原坐标系平移，原来的O点平移至点A处，则在新的坐标系下椭圆的方程为，设直线的方程为，后与方法一相同. 【解答过程】［方法一］：通性通法 设点，若直线斜率存在时，设直线的方程为：， 代入椭圆方程消去并整理得：， 可得，， 因为，所以，即， 根据，代入整理可得： ， 所以， 整理化简得， 因为不在直线上，所以，故, 于是的方程为 ,所以直线过定点. 当直线的斜率不存在时，可得， 由得：， 得，结合可得：， 解得：或（舍），此时直线过点. 令为的中点，即， 若与不重合，则由题设知是的斜边，故， 若与重合，则，故存在点，使得为定值. ［方法二］【最优解】：平移坐标系 将原坐标系平移，原来的O点平移至点A处， 则在新的坐标系下椭圆的方程为， 设直线的方程为． 将直线方程与椭圆方程联立得， 即， 化简得， 即． 设，因为，则 ， 即．代入直线方程中得． 则在新坐标系下直线过定点， 则在原坐标系下直线过定点． 又，D在以为直径的圆上．的中点即为圆心Q． 经检验，直线垂直于x轴时也成立． 故存在，使得． 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$