专题05 全等三角形50道压轴题型专训（10大题型）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（华东师大版）

专题05 全等三角形50道压轴题型专训（10大题型） 题型一 全等三角形的性质压轴 题型二 全等三角形动点压轴 题型三 利用全等三角形的性质探究边的关系 题型四 全等三角形的新定义压轴 题型五 全等三角形判定与性质综合 题型六 倍长中线模型 题型七 一线三等角模型 题型八 旋转模型 题型九 对角互补模型 题型十 半角模型 【经典例题一 全等三角形的性质压轴】 1．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，已知，，，，． (1)求的度数与的长； (2)求证：． 2．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在等腰中，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为．    (1)______．（用的代数式表示） (2)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 3．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图，中，，，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F．设运动时间为t秒，解答下列问题： (1)用含t的式子表示______，______； (2)探究t取何值时，与全等？              4．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，直线，平分，过点B作交于点C．动点E，D同时从点A出发，其中动点E以的速度沿射线运动，动点D以的速度在直线上运动．已知，设动点D，E的运动时间为． (1)的度数为 ； (2)当点D沿射线运动时，若，求t的值； (3)当动点D在直线上运动时，若与全等，则t的值为 ． 5．（2024·江苏徐州·模拟预测）（1）阅读理解： 如图①，在中，若，求边上的中线的取值范围．可以用如下方法：将绕着点D逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是_______； （2）问题解决： 如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点E，DF交于点F，连接，求证：； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作一个的角，角的两边分别交于E、F两点，连接EF，探索线段之间的数量关系，并说明理由． 【经典例题二 全等三角形动点压轴】 6．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，点D在线段上，且，动点P从的延长线上距A点的点E出发，以每秒的速度沿射线的方向运动了． (1)直接用含有t的代数式表示______； (2)在运动过程中，是否存在在某个时刻，使与以A，D，P为顶点的三角形全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 7．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）在中，，，点在的延长线上，是的中点，是射线上一动点，且，连接，作，交延长线于点． (1)如图1，当点在上时，求证：． (2)如图2，当点在的延长线上时，请根据题意将图形补全，判断与的数量关系并证明． 8．（23-24八年级上·全国·期末）如图，在中，，D为射线上一动点（不与点B、C重合），在的右侧作，使得，连接． (1)当点D在线段上时，求证：； (2)若点D运动到线段上某一点时，恰好有，问：线段与线段有什么位置关系并说明理由； (3)在点D的运动过程中，当垂直于的某边时，则 （用含α的代数式表示）． 9．（24-25八年级上·全国·期中）定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． (1)互补四边形中，若，则°； (2)已知：如图1，在四边形中平分．求证：四边形是互补四边形； (3)如图2，互补四边形中，，点E，F分别是边的动点，且，周长是否变化？若不变，请求出不变的值；若有变化，说明理由． 10．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：中，，，D为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点D在线段上时，过点E作于H，连接，求证：； (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点M．求证：； (3)当点D在直线上时，连接交直线于M，若，请直接写出的值． 【经典例题三 利用全等三角形的性质探究边的关系】 11．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，．    (1)如图①，求证：； (2)如图②，当点在的延长线上时，交的延长线于点，求证：； (3)在（2）的条件下，若点为线段上一点，过点作于点，连接，且，，延长，交于点，求的度数． 12．（23-24八年级上·湖南娄底·期末）（初步探索） (1)如图1：在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ___________； （灵活运用） (2)如图2，若在四边形中，，E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 13．（2024八年级上·全国·专题练习）（1）阅读理解：如图①，在中，若，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法： 延长到点E使，再连接，这样就把集中在中，利用三角形三边的关系可判断线段的取值范围是　　；则中线的取值范围是　　； （2）问题解决：如图②，在中，D是边的中点，于点D，交于点E，交于点F，连接，此时：　　（填“＞”或“＝”或“＜”）； （3）问题拓展：如图③，在四边形中，，以C为顶点作，边分别交于E，F两点，连接，此时：　　（填“＞”或“＝”或“＜“）； （4）若在图③的四边形中，且（3）中的结论仍然成立，则　　（用含α的代数式表示）． 14．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．” 即：作一个已知角的平分线． 欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边，则就是的平分线． 请证明平分； 类比迁移： （2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图2，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理论依据是______； 拓展实践： （3）小明将研究应用于实践．如图3，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请在对应的示意图4中画出路灯E的位置，并说明图中所画各组线段的数量关系． 15．（24-25八年级上·河南·期中）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段、、集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是______． 【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，，试说明：； 【问题拓展】（3）如图3，是的中线，过点分别向外作、，使得，，判断线段与的位置关系，并说明理由． 【经典例题四 全等三角形的新定义压轴】 16．（24-25八年级上·河北邢台·期中）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，，为边上一点，若与是积等三角形，求的长； 【理解运用】 （2）如图2，在中，为边上一点，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长． 17．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如1，在四边形中，若或，则四边形是“对补四边形”． (1)如图2，四边形是“对补四边形”，是四边形的一个外角，求证：； (2)在（1）的条件下，，，在上取点E，使，在上取点F，使，连接，点G是的中点，过点E作与的延长线相交于点H，连接，，探索与的关系，并证明． 18．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）定义：若两个三角形，有两边相等且其中一组等边所对的角对应相等，我们就称这两个三角形为珺琟友谊三角形． (1)若两个三角形全等，它们_____（填是或否）珺琟友谊三角形； (2)如图1，在四边形中，平分，，与是珺琟友谊三角形，请探究与之间的关系； (3)如图2，在四边形中，，求证：与是珺琟友谊三角形． 19．（23-24八年级上·辽宁本溪·期末）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，P为边上一点，若与是积等三角形，求的长； 【理解运用】 （2）如图2，与为积等三角形，若，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 （3）如图3，在中，过点C作，点是射线上一点，以为边作，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 20．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”． 【迁移运用】    (1)如图1，，分别是的两条高，两条高交于点 F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是 ； (2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是 ； (3)若是的“边垂角”，且． ①如图2，已知，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且 ，，求证：； 对于上述问题，小明有这样的想法：在上截取，连接，如图3．你明白小明的做法吗？接下来请你求证． ②如图4，若，直接写出四边形ABDC的面积． 【经典例题五 全等三角形判定与性质综合】 21．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）已知，在中，，，，，垂足分别为点，． (1)如图，求证：； (2)如图，点为的中点，连接，请判断的形状？并说明理由． 22．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，已知和，C为上一点，，，O为与的交点． (1)请补充条件，并用“”证明； (2)在（1）的条件下，若，求的度数； (3)在（1）的条件下，求证：． 23．（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）（1）如图①，已知，在中，，D，A，E三点都在直线m上，，判断并说明线段，与的数量关系； （2）如图②，若只保持，，且，点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段上由点E向点F匀速运动，它们运动的时间为．是否存在t，使得与全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由． 24．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）已知，中，，，一条直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F． (1)如图1，求证：； (2)如图2，请直接写出，，之间的数量关系 ； (3)在（2）的条件下，若，，求的面积． 25．（23-24八年级上·福建三明·阶段练习）定义：如图1，A，B为直线l同侧的两点，作点A关于直线l对称的点，连接，连接交直线l于点P，连接AP，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”． (1)由“等角点”的定义可知：如图1，点A和点关于直线l对称， ∴． ∵， ∴∠______＝∠______， 可得若满足∠______＝∠______，则点P为点A，B关于直线l的“等角点”． (2)如图2，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AB＝AC，AD＝AE，然后将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，连接BD，CE，得到图3，试写出BD与CE的数量关系，并说明理由． (3)在（2）的条件下，延长CE交BA的延长线于点N，延长BD至点M，使DM＝EN，连接AM，得到图4，求证：点A为点C，M关于直线BN的“等角点”． 【经典例题六 倍长中线模型】 26．（24-25八年级上·广东广州·期中）（1）温故知新：在小学数学我们认识了等腰三角形，知道了底角、顶角等概念，请用全等的知识证明“等腰三角形的两个底角相等”．已知：如图1，中，若，求证：． （2）运用“等腰三角形的两个底角相等”和全等的知识来解决以下问题：如图2，在中，是边上的中线，E是上一点，延长交于F．若，求证：． 27．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）已知O是四边形内一点，且，，． (1)如图1，连接，交点为G，连接，求证：； (2)如图2，若，是的中点，过点O作，垂足为F，求证：点E，O，F在同一条直线上． 28．（24-25八年级上·甘肃嘉峪关·期中）【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为，从而得到的取值范围是________________________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，，，与互补，连接、，E是的中点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积． 29．（23-24八年级上·广西柳州·开学考试）问题提出： 我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，如图1，△ABC中，，，为上一点，当时，与△CBP是偏等积三角形； 问题探究： （1）如图2，与是偏等积三角形，，，过点作交的延长线于点，则AD的取值范围为 ； 问题解决： （2）如图3，四边形是一片绿色花园，△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，． ①与是偏等积三角形吗？请说明理由； ②已知，的面积为．如图，计划修建一条经过点的笔直的小路，在边上，的延长线经过中点．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价． 30．（23-24八年级上·陕西西安·期中）【发现问题】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小华在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：延长到点E，使，得到，他用到的判定定理是______（用字母表示）． 【解决问题】 小明发现，解题时，条件中若出现“中点”，“中线”字样，可以考虑构造全等三角形，“问题是数学的心脏”，要学好数学一定要多思考，做到举一反三，于是他又提出了一个新的问题：如图2，在中，点D是的中点，点M在边上，点N在边上，若，求证：． 【拓展应用】 如图3，在中，分别以，为边向外作和，使，，，点M是的中点，连接，，当时，求的长． 【经典例题七 一线三等角模型】 31．（24-25八年级上·吉林松原·期中）已知三点均在直线上，且． (1)如图①，若，则线段的长为_________； (2)如图②，判断之间的数量关系，并说明理由； (3)如图③，若将题中的“”变为“”，其他条件不变，且，请直接写出的长． 32．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）已知，在中，三点都在直线上，且，． (1)如图①，若，则与的数量关系为____________， (2)如图②，判断并说明线段与的数量关系； (3)如图③，若只保持，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，当为___________时，能够使与全等． 33．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）（1）提出问题：如图1，在直角中，，点正好落在直线上，则、的关系为______； （2）探究问题： ①如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，将①中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果） 34．（23-24八年级上·四川成都·期中）（1）如图①，已知：中，，，直线经过点，于，于，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，、、三点都在直线上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是16，求与的面积之和． 35．（23-24八年级上·陕西西安·期中）发现问题 （1）已知，如图①，在四边形中，E在上，，，若，，则 ． 探究问题 （2）如图②，已知长方形的周长为36，，点E为边上一点，分别交于点G，交于点F，且，求四边形的面积． 解决问题 （3）如图③，中，，，，，以为边在其左上方作正方形，垂直于延长线于点D，连接，M、N分别为上两动点，连接，，，当的值最小时，求多边形的面积．（注：四边相等，四个角是直角的四边形是正方形，正方形是轴对称图形，对角线是其一条对称轴） 【经典例题八 旋转模型】 36．（2024八年级上·全国·专题练习）已知四边形中，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E，F． （1）当绕B点旋转到时（如图1），求证：． （2）当绕B点旋转到F时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明． 小明第（1）问的证明步骤是这样的： 延长到Q使，连接， 证出得到，； 再证，得到，证出，即． 请你仿照小明的证题步骤完成第（2）问的证明． 37．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）（1）探索发现：如图1，已知中，，，直线过点，过点作，过点作，垂足分别为、．求证：．    （2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N的坐标为，试求出的面积．    （3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点沿逆时针方向旋转后，所得的直线交轴于点．求的面积．    38．（23-24·山东日照·一模）已知，四边形中，，绕B点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于E，F． 当绕B点旋转到时，如图（1），易证：． 当绕B点旋转到时，在图（2）和图（3）中这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 39．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）综合与实践 问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图，与都是等腰直角三角形，其中，，，且点D在延长线上，连接．求证． (1)独立思考：请解答王老师提出的问题． (2)实践探究：在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答． “如图，连接，过A作交于F，探究线段与之间的数量关系，并证明．” (3)问题解决：数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究，将绕点A旋转，使点E在延长线上，点D在延长线上，提出新的问题，请你解答． “如图，当点E在延长线上，点D在延长线上，连接，过B作且，连接交延长线于H，若，求的长．” 40．（23-24八年级上·山东日照·期中）如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上一点，且DE＝CE，连接BD，CD． （1）判断与的位置关系和数量关系，并证明； （2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化？并证明； （3）如图3，将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变，求BD与AC夹角的度数． 【经典例题九 对角互补模型】 41．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知：在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且． (1)为探究上述问题，小宁同学先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小宁的解题思路是：先证明 ；再证明 ；即可得出之间的数量关系是 ． (2)如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，E，F分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： ． 42．（24-25八年级上·湖北随州·期中）（1）问题背景：如图1，在四边形中，，，，E，F分别是上的点，且．探究图中线段之间的数量关系．    小明同学探究此问题的方法是，延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是； （2）探索延伸：如图2，若在四边形中，，．E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，请说明理由；    （3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心O北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，当时，两舰艇之间的距离是多少海里，写出推理过程．    43．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）（1）问题背景：如图1，在四边形中，， E、F分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论．他的结论应是______________________． （2）如图2，在四边形中，分别是边，上的点，且．（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程． （3）在四边形中，，E，F分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系． 44．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图1，在四边形中，，分别是上的点，且，试探究图中线段之间的数量关系． (1)小亮同学认：如图1，延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论是什么？并给出理由． (2)如图2，在四边形中，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． (3)如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． (4)如图4，已知在四边形中，，若点在的延长线上，点在的延长线上，仍然满足1中的结论，请直接写出与的数量关系并加以说明． 45．（23-24八年级上·贵州毕节·期末）如图①，在四边形中，，点E，F分别是边，上的点，且，求线段之间的数量关系．小明提供了这样的思路：延长到点G，使，连接．    (1)根据小明的思路，请直接写出线段之间的数量关系：___________； (2)如图②，在四边形中，，点E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立说明理由． (3)如图③，在四边形中，，点E，F分别是边延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【经典例题十 半角模型】 46．（2024八年级上·江苏·专题练习）【问题背景】 如图1：在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，试探究图中线段、、之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ___________． 【探索延伸】如图2，若在四边形中，，，E、F分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【学以致用】 如图3，四边形是边长为5的正方形，，直接写出的周长 47．（2024八年级上·全国·专题练习）【问题背景】 如图①，在四边形中，，分别是上的点，且．试探究图中线段之间的数量关系． （1）小王同学探究此问题的方法是延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论．他的结论应是_______； 【探索延伸】 （2）如图②若在四边形中，分别是上的点，且．（1）中结论是否仍然成立？请说明理由； 【学以致用】 （3）如图③，四边形是边长为5的正方形，．请直接写出的周长． 48．（23-24八年级上·河南安阳·期中）（1）问题背景：如图1，在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，请探究图中线段，，之间的数量关系． 小明探究此问题的方法是：延长线段到点，使，连接．先证明，得；再由条件可得，证明，进而可得线段，，之间的数量关系是______． （2）拓展应用： 如图2，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，（1）中的线段，，之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）学以致用： 如图3，四边形是边长为5的正方形，，直接写出的周长． 49．（23-24八年级上·湖北武汉·开学考试）【基本模型】    如图，是正方形，，当在边上，在边上时，如图1，、与之间的数量关系为__________． 【模型运用】当点在的延长线上，在的延长线上时，如图2，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论：__________． 【拓展延伸】如图3，已知，，在线段上，在线段上，，请你直接写出、与之间的数量关系． 50．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）已知：四边形ABCD是正方形，，点E，F，G，H分别在边A，DC上.    (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若，点E，F分别是上的动点，求证： 的周长是定值； (3)如图3，若，和交于点O，且，求请直接写出线段的长度. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 全等三角形50道压轴题型专训（10大题型） 题型一 全等三角形的性质压轴 题型二 全等三角形动点压轴 题型三 利用全等三角形的性质探究边的关系 题型四 全等三角形的新定义压轴 题型五 全等三角形判定与性质综合 题型六 倍长中线模型 题型七 一线三等角模型 题型八 旋转模型 题型九 对角互补模型 题型十 半角模型 【经典例题一 全等三角形的性质压轴】 1．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，已知，，，，． (1)求的度数与的长； (2)求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和平行线的判定定理． （1）根据全等三角形的性质可得，再根据三角形内角和定理以及线段的和差关系进一步推理即可求出答案； （2）利用全等三角形的性质可知，再根据平行线的判定定理进行证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴． 2．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在等腰中，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为．    (1)______．（用的代数式表示） (2)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当或时与全等． 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质． （1）根据P点的运动速度可得的长，再利用即可得到的长； （2）此题主要分两种情况①当，时，；当时，，然后分别计算出t的值，进而得到v的值． 【详解】（1）解：依题意，得， ∴． 故答案为：； （2）解：①当，时，， ∵， ∴， ∴， ， 解得：， ， ， 解得：； ②当时，， ∵， ∴， ， 解得：， ， ， 解得：． 综上所述：当或时，与全等． 3．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图，中，，，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F．设运动时间为t秒，解答下列问题： (1)用含t的式子表示______，______； (2)探究t取何值时，与全等？ 【答案】(1)， (2)当秒或秒或12秒时，与全等 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质，解答的关键是运用分类讨论思想解答； （1）根据题意的运动方式，列代数式即可；             （2）分为，，三种情况分别解答即可 【详解】（1）当动点P在上时；当动点Q在上时，，， 当动点P在上时；当动点Q在上时，，， 综上，，； （2）①如图1，Q在上，点P在上时，作，， ∵， ∴， ∴， 当时， 则， 即， 解得：；                             ②如图2，当点P与点Q重合时， 当， 则， ∴． 解得：；                             ③如图3，当点Q与A重合时， ， ∴， 当， 则， 即， 解得：；                         当综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等． 4．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，直线，平分，过点B作交于点C．动点E，D同时从点A出发，其中动点E以的速度沿射线运动，动点D以的速度在直线上运动．已知，设动点D，E的运动时间为． (1)的度数为 ； (2)当点D沿射线运动时，若，求t的值； (3)当动点D在直线上运动时，若与全等，则t的值为 ． 【答案】(1) (2)或4 (3)或 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识： （1）根据角平分线的定义、直角三角形的锐角互余即可解决问题； （2）作于H，于G．由平分，推出，由，可得，解方程即可解决问题． （3）存在．由，可知当时，，列出方程即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1中， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图2中， ①当E在线段上时，作于H，于G． ∵平分， ∴， ∵ ∴， ∴. ②当点E运动到延长线上，同法可得时，也满足条件， ∴当或时，满足． 故答案为：或； （3）解：∵， ∴当时，， ∴ ∴ ∴时，． 当D在延长线上时，， 综上所述，满足条件的t的值为2或6， 故答案为：或． 5．（2024·江苏徐州·模拟预测）（1）阅读理解： 如图①，在中，若，求边上的中线的取值范围．可以用如下方法：将绕着点D逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是_______； （2）问题解决： 如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点E，DF交于点F，连接，求证：； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作一个的角，角的两边分别交于E、F两点，连接EF，探索线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）如图①：将绕着点D逆时针旋转得到可得，得出 ，然后根据三角形的三边关系求出的取值范围，进而求得的取值范围； （2）如图②：绕着点D旋转 得到可得，得出 ，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出 即可得出结论； （3）将绕着点C按逆时针方向旋转得到可得，得出，证出 ，再由证明，得出，进而证明结论． 【详解】解：（1）如图①：将绕着点D逆时针旋转得到 ∴（）， ∴，,即 ∵是边上的中线， ∴， 在中，由三角形的三边关系得：， ∴ ，即， ∴； 故答案为； （2）证明：如图②：绕着点D旋转 得到 ∴（）， ∴， ∵ ∴， 在中，由三角形的三边关系得： ， ∴； （3），理由如下： 如图③，将绕着点C按逆时针方向旋转 ∴△DCF≌△BCH， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴点A、B、H三点共线 ∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴（） ∴， ∵ ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查对全等三角形的性质和判定、三角形的三边关系定理、旋转的性质等知识点，通过旋转得到构造全等三角形是解答本题的关键. 【经典例题二 全等三角形动点压轴】 6．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，点D在线段上，且，动点P从的延长线上距A点的点E出发，以每秒的速度沿射线的方向运动了． (1)直接用含有t的代数式表示______； (2)在运动过程中，是否存在在某个时刻，使与以A，D，P为顶点的三角形全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或时，使与以A，D，P为顶点的三角形全等 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题： （1）根据题意可得； （2）当时，，可得或，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得，； 故答案为：； （2）解：存在，理由如下： 在中，∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，， ∴当时，， ∴或， ∴或， ∴或时，使与以A，D，P为顶点的三角形全等 7．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）在中，，，点在的延长线上，是的中点，是射线上一动点，且，连接，作，交延长线于点． (1)如图1，当点在上时，求证：． (2)如图2，当点在的延长线上时，请根据题意将图形补全，判断与的数量关系并证明． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的综合应用等知识，证明三角形全等是解题的关键． （1）连接，先证，得，再证，得，即可得出结论； （2）连接，先证，得，再证，得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接，如图1所示： ， ，      在和中， ， ，    ，， ，， ， ， 是的中点 ，         在和中， ， ，    ， ， （2）根据题意将图形补全，如图2所示： 与的数量关系：，证明如下： 连接， ，点在的延长线上， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 是的中点， ，     在和中， ， ，      ， ． 8．（23-24八年级上·全国·期末）如图，在中，，D为射线上一动点（不与点B、C重合），在的右侧作，使得，连接． (1)当点D在线段上时，求证：； (2)若点D运动到线段上某一点时，恰好有，问：线段与线段有什么位置关系并说明理由； (3)在点D的运动过程中，当垂直于的某边时，则 （用含α的代数式表示）． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析； (3)或 【分析】（1）由得，利用即可得出结论； （2）由（1）知，根据全等三角形的性质得，，则，可得为等边三角形，则，可得，得出，根据平行线的判定可得； （3）分两种情形：当时，当时，利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质求解即可． 本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考压轴题． 【详解】（1）证明：如图， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：，理由如下： 由（1）知， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ； （3）解：如图，当时， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 如图，当时， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ，， ， ， ． 综上所述，当垂直于的某边时，则或． 故答案为：或． 9．（24-25八年级上·全国·期中）定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． (1)互补四边形中，若，则°； (2)已知：如图1，在四边形中平分．求证：四边形是互补四边形； (3)如图2，互补四边形中，，点E，F分别是边的动点，且，周长是否变化？若不变，请求出不变的值；若有变化，说明理由． 【答案】(1)90 (2)见解析 (3)6 【分析】（1）由互补四边形和四边形内角和定理即可求出的度数； （2）在上截取，连接，证，得，．再证．然后由等腰三角形的性质得出，即可得出结论； （3）延长到G，使，连接，证，得，，再由证，得，，然后由证，得，进而得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是互补四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：90； （2）证明：在上截取，连接，如图1所示： 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴四边形是互补四边形； （3）解：周长不变，值为6．理由如下： 延长到G，使，连接，如图2所示： ∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即的周长． 【点睛】本题主要考查了互补四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定的判定与性质等知识；正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 10．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：中，，，D为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点D在线段上时，过点E作于H，连接，求证：； (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点M．求证：； (3)当点D在直线上时，连接交直线于M，若，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）由结合已知得，结合题意证，利用全等的性质可证； （2）如图2，过点作，由垂直得结合已知证，得到，，再证即可得到结果； （3）作交的延长线于点，先证明，得，，所以，可证明，得，再分两点情况，一是点在的延长线上，设，则，，，，可求得；二是点在线段上，设，则，则，，于是得． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ， 又，， ， ； （2）证明：如图2，过点作， ，， ， ，， ， 又，， ， ， ， ， 又，， ， ； （3）如图，当点在直线上时，连接交直线于，交的延长线于， ∵， 设，则， ， ，， ， ，， ， 又，， ， ，， 又，， ， ， ， ， ， ． 如图4，点在线段上， 同理可证，， ∴， ∴ ∵ ∴，即 ∴设，则， ∵， ∴， ∴ 综上所述，或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形面积公式；解题的关键是证明三角形全等并运用性质进行等量换算． 【经典例题三 利用全等三角形的性质探究边的关系】 11．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，．    (1)如图①，求证：； (2)如图②，当点在的延长线上时，交的延长线于点，求证：； (3)在（2）的条件下，若点为线段上一点，过点作于点，连接，且，，延长，交于点，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）作的中线，证明，即可； （2）作的中线，根据，可得，再证明，即可求证； （3）设，可得．在中， 根据三角形内角和定理可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，作的中线，   ． 在和中， ， ． （2）证明：如图，作的中线，    由（1）可知， ，． ． ， ， ，， ， ． （3）解：，， ． 设， ． 在中，， ， 解得：， ． ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，三角形的内角和定理、等角的余角相等等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质是解题的关键． 12．（23-24八年级上·湖南娄底·期末）（初步探索） (1)如图1：在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ___________； （灵活运用） (2)如图2，若在四边形中，，E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【答案】(1)，证明见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】（1）如图1，延长到点G，使，连接，先证明，得到，再证明，得到即可； （2）同（1）证明即可． 【详解】（1）解：．理由如下： 如图1，延长到点G，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：如图2，延长到点G，使，连接，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 13．（2024八年级上·全国·专题练习）（1）阅读理解：如图①，在中，若，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法： 延长到点E使，再连接，这样就把集中在中，利用三角形三边的关系可判断线段的取值范围是　　；则中线的取值范围是　　； （2）问题解决：如图②，在中，D是边的中点，于点D，交于点E，交于点F，连接，此时：　　（填“＞”或“＝”或“＜”）； （3）问题拓展：如图③，在四边形中，，以C为顶点作，边分别交于E，F两点，连接，此时：　　（填“＞”或“＝”或“＜“）； （4）若在图③的四边形中，且（3）中的结论仍然成立，则　　（用含α的代数式表示）． 【答案】（1）；；（2）＞；（3）=；（4） 【分析】（1）利用证明，得，再利用三角形三边关系可得，从而得出的范围； （2）延长至点G，使，连接，由（1）同理得，得，再根据线段垂直平分线的性质得，从而得出答案； （3）延长至点G，使，连接，先利用证明，得，再根据证明，得，可得答案； （4）由（3）同理可得 ，得，，再利用证明，得，从而解决问题． 【详解】解：（1）在与中， ， ∴， ∴ 在中， 即 ∴ ∴ 故答案为： （2）如图，延长至点G，使，连接 ∵点D是的中点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 在中， ∴ 故答案为：＞； （3）， 如图，延长至点G，使，连接， ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为：＝； （4）由（3）同理可得 ∴ 若则 ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，线段垂直平分线的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 14．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．” 即：作一个已知角的平分线． 欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边，则就是的平分线． 请证明平分； 类比迁移： （2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图2，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理论依据是______； 拓展实践： （3）小明将研究应用于实践．如图3，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请在对应的示意图4中画出路灯E的位置，并说明图中所画各组线段的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的定义与角平分线的性质，作已知角的角平分线，理解题意，熟练的作角的平分线是解本题的关键． （1）先证明，可得，从而可得答案； （2）先证明，可得，可得是的角平分线； （3）在、上截取，用角尺，使角尺的顶点O到点M，N的距离相等，即，连接点与角尺的顶点O，在上截取，则点即为所求作的点． 【详解】解：（1）∵为等边三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线； （2）∵，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线， ∴此做法的理论依据是； （3）如图，在、上截取，用角尺，使角尺的顶点O到点M，N的距离相等，即，连接点与角尺的顶点O，在上截取，则点即为所求作的点． 根据作图可知：，，， ∴， ∴平分， 15．（24-25八年级上·河南·期中）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段、、集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是______． 【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，，试说明：； 【问题拓展】（3）如图3，是的中线，过点分别向外作、，使得，，判断线段与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），，理由见解析． 【分析】（1）由三角形三边关系可得到的取值范围，再根据即可求得的取值范围； （2）由可证，可得，由可证，可得； （3）延长到，使得，连接，先证明，得，再证明，得，，则，然后由三角形的外角性质证出，即可得出结论． 【详解】解：（1）在，，，由三角形三边关系可得： ，即取值范围为：， ∴的取值范围为：； 故答案为：； （2）如图，延长至点，使得，连接，则， ∵是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， ， ∵， ， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； (3)，，理由如下： 如图，延长交于点，延长到，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、倍长中线法、三角形的三边关系、平行线的判定与性质以及三角形的外角性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【经典例题四 全等三角形的新定义压轴】 16．（24-25八年级上·河北邢台·期中）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，，为边上一点，若与是积等三角形，求的长； 【理解运用】 （2）如图2，在中，为边上一点，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题考查了三角形的中线的性质，全等三角形的性质与判定，三角形的三边关系等知识； （1）利用三角形的中线的性质即可解决问题； （2）延长至，使，连接证明，推出A，利用三角形的三边关系即可解决问题； 【详解】（1）解：过点作垂直于， ∵与是积等三角形， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，延长至，使，连接 ∵与为积等三角形， 在与中， ∴ ∴ 在中 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵为正整数， ∴或3； 17．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如1，在四边形中，若或，则四边形是“对补四边形”． (1)如图2，四边形是“对补四边形”，是四边形的一个外角，求证：； (2)在（1）的条件下，，，在上取点E，使，在上取点F，使，连接，点G是的中点，过点E作与的延长线相交于点H，连接，，探索与的关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，，见解析 【分析】本题考查四边形的外角，全等三角形的判定与性质； （1）根据“对补四边形”可得，再结合外角可得，即可得到； （2）先证明，得到，再证明得到，，最后根据，得到． 【详解】（1）证明：∵四边形是“对补四边形” ∴， ∵， ∴； （2）解：，，证明如下： ∵G为的中点， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）知， ∴ 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∴．． 18．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）定义：若两个三角形，有两边相等且其中一组等边所对的角对应相等，我们就称这两个三角形为珺琟友谊三角形． (1)若两个三角形全等，它们_____（填是或否）珺琟友谊三角形； (2)如图1，在四边形中，平分，，与是珺琟友谊三角形，请探究与之间的关系； (3)如图2，在四边形中，，求证：与是珺琟友谊三角形． 【答案】(1)是 (2)∠B+∠D＝180° (3)证明见解析 【分析】本题主要考查了新定义、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理等知识点，理解珺琟友谊三角形的定义是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质即可解答； （2）如图1中，在上取一点H，使得．再证明，然后根据全等三角形的性质及等量代换即可解答； （3）如图2中，根据三角形的内角和可得，如图：延长到点G，连接，使，易证可得，再结合为公共边以及珺琟友谊三角形的定义即可证明结论． 【详解】（1）解：∵全等三角形的对应边相等，对应角相等， ∴两个三角形全等，必有有两边相等且其中一组等边所对的角对应相等， ∴若两个三角形全等，它们是珺琟友谊三角形． 故答案为：是． （2）解：∵平分， ∴， ∵，与是珺琟友谊三角形， ∴， 如图1中，在上取一点H，使得． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）证明：如图2中， ∵， ∴， 如图：延长到点G，连接，使， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵为公共边， ∴与是珺琟友谊三角形． 19．（23-24八年级上·辽宁本溪·期末）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，P为边上一点，若与是积等三角形，求的长； 【理解运用】 （2）如图2，与为积等三角形，若，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 （3）如图3，在中，过点C作，点是射线上一点，以为边作，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 【答案】（1）2；（2）2；（3）是积等三角形，证明见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题. （1）利用三角形的中线的性质即可解决问题； （2）证明，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题； （3）过过点作于点，先证明 则，然后再依据积等三角形的定义进行证明即可. 【详解】（1）解：过点作于， 与是积等三角形， ， ， ， ； （2）解：如图2，延长至，使，连接， 与为积等三角形， 在和中， ， 在中 为正整数， ； （3）是积等三角形 证明：如图3，过点作于点，      在和中， ， 与为积等三角形． 20．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”． 【迁移运用】    (1)如图1，，分别是的两条高，两条高交于点 F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是 ； (2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是 ； (3)若是的“边垂角”，且． ①如图2，已知，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且 ，，求证：； 对于上述问题，小明有这样的想法：在上截取，连接，如图3．你明白小明的做法吗？接下来请你求证． ②如图4，若，直接写出四边形ABDC的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)①见解析；② 【分析】（1）根据“边垂角”的定义即可得到答案； （2）分两种情况画出图形，根据四边形的内角和定理以及等角的余角相等即可得出结论； （3）①延长交于点，先证明，再证明，依据题意得出，即可得到结论； ②连接，过点作与延长交于点，根据等腰三角形性质证明即可得到答案． 【详解】（1）解：根据“边垂角”的定义，的“边垂角”是； （2）解：若是的“边垂角”，分两种情况 ①如图，是的“边垂角”， ， ， ， ，    ②如图， 是的“边垂角”， ， ， ， ，    综上所述，与的数量关系是或； （3）解：①延长交于点， 是的“边垂角”， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点关于直线对称点为点， ， ， ；    ②连接，过点作与延长交于点， 是的“边垂角”， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 过点作于点， ， ， ．    【点睛】本题主要考查新定义，四边形的内角和定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练理解“边垂角”的定义是解题的关键． 【经典例题五 全等三角形判定与性质综合】 21．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）已知，在中，，，，，垂足分别为点，． (1)如图，求证：； (2)如图，点为的中点，连接，请判断的形状？并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)是等腰直角三角形，理由见解析． 【分析】(1)根据垂直的定义及直角三角形中两个锐角互余得出角相等，再由全等三角形的判定和性质即可证明； (2)连接，根据等腰直角三角形的性质及斜边上的中线的性质得出，，，再由全等三角形的判定得出，，最后结合图形证明即可． 【详解】（1）解：证明：，， ， ． ， ， ． 在和中， ， ，， ， 即； （2）是等腰直角三角形． 理由：如图2，连接． ， ， 点是中点， ， ， ， ． ， ， 且， ． 在和中， ，． 在和中， ． ， ， ，且， 是等腰直角三角形． 【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 22．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，已知和，C为上一点，，，O为与的交点． (1)请补充条件，并用“”证明； (2)在（1）的条件下，若，求的度数； (3)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)，证明见解析； (2)； (3)证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）补充：，即可用“”证明； （2）根据，可得，继而可求出，即可求解； （3）根据，可得，根据，可证明． 【详解】（1）解：补充：， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； （3）证明：∵， ∴， ∵， ∴． 23．（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）（1）如图①，已知，在中，，D，A，E三点都在直线m上，，判断并说明线段，与的数量关系； （2）如图②，若只保持，，且，点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段上由点E向点F匀速运动，它们运动的时间为．是否存在t，使得与全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），理由见解析；（2）存在，1或． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，得到，再证明，即可得出结论； （2）分当，两种情况，分别根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）存在，理由如下： 当时，，， ∵， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴， 综上所述，存在t，使得与全等，或． 24．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）已知，中，，，一条直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F． (1)如图1，求证：； (2)如图2，请直接写出，，之间的数量关系 ； (3)在（2）的条件下，若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形面积公式，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． （1）证明，得出，，即可得证； （2）证明，得出，，即可得证； （3）由（2）得且，求出，，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，即； （3）解：由（2）得且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积． 25．（23-24八年级上·福建三明·阶段练习）定义：如图1，A，B为直线l同侧的两点，作点A关于直线l对称的点，连接，连接交直线l于点P，连接AP，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”． (1)由“等角点”的定义可知：如图1，点A和点关于直线l对称， ∴． ∵， ∴∠______＝∠______， 可得若满足∠______＝∠______，则点P为点A，B关于直线l的“等角点”． (2)如图2，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AB＝AC，AD＝AE，然后将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，连接BD，CE，得到图3，试写出BD与CE的数量关系，并说明理由． (3)在（2）的条件下，延长CE交BA的延长线于点N，延长BD至点M，使DM＝EN，连接AM，得到图4，求证：点A为点C，M关于直线BN的“等角点”． 【答案】(1)APC，BPD，APC，BPD； (2)BD=CE，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据等量代换直接得出结果，然后结合新定义求解即可； （2）由旋转的性质得出∠CAE=∠BAD，由全等三角形的判定和性质即可证明； （3）利用（2）的结论及各角之间的关系得出∠ADM=∠AEN，由全等三角形的判定和性质得出∆ADM≅△AEN，∠DAM=∠EAN，结合图形证明∠MAN=∠BAC，依据新定义即可证明． 【详解】（1）解：由“等角点”的定义可知：如图1，点A和点关于直线l对称， ∴∠APC=∠PC． ∵∠A′PC=∠BPD， ∴∠APC=∠BPD， 可得若满足∠APC=∠BPD，则点P为点A，B关于直线l的“等角点”； 故答案是：APC，BPD，APC，BPD； （2）BD=CE，理由如下： ∵∠DAE=∠BAC， ∴∠DAE＋∠CAD=∠BAC+∠CAD， ∴∠CAE=∠BAD， 在△CAE和△BAD中， ， ∴∆CAE≅△BAD(SAS) ∴BD=CE； （3）证明：由（2）得：∆CAE≅△BAD， ∴∠ADB=∠AEC， ∴180°–∠ADB=180°–∠AEC， ∴∠ADM=∠AEN， 在△ADM和△AEN中， ， ∴∆ADM≅△AEN(SAS)， ∴∠DAM=∠EAN， ∴∠DAM＋∠MAE=∠EAN+∠MAE， ∴∠MAN=∠DAE， ∵∠DAE=∠BAC， ∴∠MAN=∠BAC， ∴点A为点C，M关于直线BN的“等角点”． 【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，另外还考查了旋转的性质，理解题意，证明三角形全等是解题关键． 【经典例题六 倍长中线模型】 26．（24-25八年级上·广东广州·期中）（1）温故知新：在小学数学我们认识了等腰三角形，知道了底角、顶角等概念，请用全等的知识证明“等腰三角形的两个底角相等”．已知：如图1，中，若，求证：． （2）运用“等腰三角形的两个底角相等”和全等的知识来解决以下问题：如图2，在中，是边上的中线，E是上一点，延长交于F．若，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，涉及倍长中线、全等三角形的判定与性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）取中点，连接．利用证明，由全等三角形的性质可得出结论； （2）延长到点，使得，连接，由“”可证，可得，，进而可得，对顶角相等即可证明结论． 【详解】（1）证明：如图，取中点，则，连接， 在和中， ， ， ； （2）证明：延长到点，使得，连接，如图所示： 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， ， ，即． 27．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）已知O是四边形内一点，且，，． (1)如图1，连接，交点为G，连接，求证：； (2)如图2，若，是的中点，过点O作，垂足为F，求证：点E，O，F在同一条直线上． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质． （1）先推导出，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，则； （2）连接并延长到点，使，连接，由倍长中线，模型可证明，得到，，进一步，，则，而，所以，即可证明，得，所以，则，即可证明点，，在同一条直线上． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：如图2，连接并延长到点，使，连接， 是的中点， ， 在和中， ， ∴， ，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 与在同一条直线上， 点，，在同一条直线上． 28．（24-25八年级上·甘肃嘉峪关·期中）【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为，从而得到的取值范围是________________________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，，，与互补，连接、，E是的中点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据提示证即可求解； （2）延长至点，使得，连接，证得，，进而可得，再证即可； （3）由（2）可得：，，进一步得；根据题意可证，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵是的中线． ∴， ∵，， ∴， ∴， 可得， 即：， ∴， 故答案为：； （2）证明：延长至点，使得，连接，如图所示： 由题意得：， ∵，, ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图， 由（2）可得：，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 29．（23-24八年级上·广西柳州·开学考试）问题提出： 我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，如图1，△ABC中，，，为上一点，当时，与△CBP是偏等积三角形； 问题探究： （1）如图2，与是偏等积三角形，，，过点作交的延长线于点，则AD的取值范围为 ； 问题解决： （2）如图3，四边形是一片绿色花园，△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，． ①与是偏等积三角形吗？请说明理由； ②已知，的面积为．如图，计划修建一条经过点的笔直的小路，在边上，的延长线经过中点．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价． 【答案】（1）（2）①是，理由见详解②元 【分析】（1）由偏等积三角形的定义得，则，再证，则，，得，然后由三角形的三边关系求解即可； （2）①过作于，过作于，证，得，则，再证与不全等，即可得出结论； ②过点作，交的延长线于，证得，得到，再证，得，由余角的性质可证，然后由三角形面积和偏等积三角形的定义得，，求出，即可求解． 【详解】解：（1）设点到的距离为，则，， 与是偏等积三角形， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， ， 在中，，， ， 即：， ∴ （2）①与是偏等积三角形，理由如下： 过作于，过作于，如图3所示： 则， 、是等腰直角三角形， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ，， ， ，， 与不全等， 与是偏等积三角形； ②如图4，过点作，交的延长线于， 则， 点为的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 由①得：与是偏等积三角形， ，， ， 修建小路的总造价为：（元． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了新定义“偏等积三角形”的定义、三边关系，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握“偏等积三角形”的定义，证明和是解题的关键，属于中考常考题型． 30．（23-24八年级上·陕西西安·期中）【发现问题】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小华在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：延长到点E，使，得到，他用到的判定定理是______（用字母表示）． 【解决问题】 小明发现，解题时，条件中若出现“中点”，“中线”字样，可以考虑构造全等三角形，“问题是数学的心脏”，要学好数学一定要多思考，做到举一反三，于是他又提出了一个新的问题：如图2，在中，点D是的中点，点M在边上，点N在边上，若，求证：． 【拓展应用】 如图3，在中，分别以，为边向外作和，使，，，点M是的中点，连接，，当时，求的长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】[发现问题] 延长到，使得，连接，先判断出，由可证，据此即可解答； [解决问题] 延长到，使，连接，，首先根据全等三角形的判定和性质，可得，再根据线段垂直平分线的性质，可得，最后根据三角形三边的关系，即可证得； [拓展应用] 延长到，使得，连接，同上的方法得出，则，进而判断出，进而判断出，得出，即可求解． 【详解】解：[发现问题]如图1，延长到E，使得，连接， 是的中线， ， 在和中， ， ， 故答案为：； [解决问题] 延长到，使，连接，，如图， ∵AD是BC中点， ∴BD=DC， ∵在和中 ∴， ∵， ∴ 在中， ∴ [拓展应用] 如图2，延长到，使得，连接， 由(1)知，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等三角形是解本题的关键． 【经典例题七 一线三等角模型】 31．（24-25八年级上·吉林松原·期中）已知三点均在直线上，且． (1)如图①，若，则线段的长为_________； (2)如图②，判断之间的数量关系，并说明理由； (3)如图③，若将题中的“”变为“”，其他条件不变，且，请直接写出的长． 【答案】(1)5 (2)），理由见解析 (3)3 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质． （1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明，得，据此即可求解； （2）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明，得，可得答案； （3）利用邻补角的定义得，再利用三角形的外角性质可得到，再利用证明，得，可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴． 32．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）已知，在中，三点都在直线上，且，． (1)如图①，若，则与的数量关系为____________， (2)如图②，判断并说明线段与的数量关系； (3)如图③，若只保持，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，当为___________时，能够使与全等． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（1）利用平角的定义和同角的余角相等得，再利用证明得； （2）利用平角定义及三角形的内角和定理得，再利用证明，得，可得答案； （3）分或两种情形，分别根据全等三角形的性质可解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：存在，当时， ∴， ∴，此时； 当时， ∴ ∴，， 综上：或， 故答案为：或． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，邻补角性质，三角形的外角性质，熟练掌握一线三等角基本模型是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． 33．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）（1）提出问题：如图1，在直角中，，点正好落在直线上，则、的关系为______； （2）探究问题： ①如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，将①中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果） 【答案】（1）；（2）①，理由见解析；②，理由见解析；（3）或或． 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，等角的余角相等，内角和定理等． （1）利用平角得定义即可求解； （2）①先证明出，得出即可得出结果；②证明出，得出即可得出结论； （3）由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等，可知，而的表示由的位置决定，所以需要对的位置分别讨论继而得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）①解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； ②解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意得，根据点所在的位置分情况讨论： ①当在上时，在上时，即， ∵点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，，，设运动时间为， ∴，， ∵以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等， ∴， ∴，解得：； ②当在上时，在上时，即， ∴，， ∵以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等， ∴， ∴，解得：； ③当到达时，在上时，即， ∴，， ∵以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等， ∴， ∴，解得：， 综上所述：当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 34．（23-24八年级上·四川成都·期中）（1）如图①，已知：中，，，直线经过点，于，于，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，、、三点都在直线上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是16，求与的面积之和． 【答案】（1）见解析；（2）结论成立；理由见解析；（3）6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质及不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，结合题目所给条件，得出是解决问题的关键． （1）根据直线，直线得，而，根据等角的余角相等得，由证得，则，，即可得出结论； （2）由，则，得出，由证得即可得出答案； （3）由，，可得，得出，由证得，得出，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出即可得出结果． 【详解】（1）证明：直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）解：结论成立；理由如下： ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）解：，， ， 在和中， ， ， ， 设的底边上的高为，则的底边上的高为， ，， ， ， ， 与的面积之和为8． 35．（23-24八年级上·陕西西安·期中）发现问题 （1）已知，如图①，在四边形中，E在上，，，若，，则 ． 探究问题 （2）如图②，已知长方形的周长为36，，点E为边上一点，分别交于点G，交于点F，且，求四边形的面积． 解决问题 （3）如图③，中，，，，，以为边在其左上方作正方形，垂直于延长线于点D，连接，M、N分别为上两动点，连接，，，当的值最小时，求多边形的面积．（注：四边相等，四个角是直角的四边形是正方形，正方形是轴对称图形，对角线是其一条对称轴） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查三角形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、利用轴对称性质求最值等知识，利用全等三角形的性质求解是解答的关键． （1）根据三角形的内角和定理证得，再证明得到即可求解； （2）先求得，再证明得到，，由求解即可； （3）连接，由题意知B、F关于对称，则，当F、M、N在同一直线上等号成立，且当时，最小，此时四边形是矩形，则，，证明得到，，则，，由求解即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7； （2）∵长方形的周长为36，， ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即四边形的面积为48； （3）连接，如图， 由题意知B、F关于对称， ∴， ∴， 当F、M、N在同一直线上等号成立，且当时，最小，此时四边形是矩形，，， ∵，， 由（2）可知， ∴， ∴，， ∴，， ∵， 则，， 即当最小时，多边形的面积为：， ∴多边形的面积为144． 【经典例题八 旋转模型】 36．（2024八年级上·全国·专题练习）已知四边形中，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E，F． （1）当绕B点旋转到时（如图1），求证：． （2）当绕B点旋转到F时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明． 小明第（1）问的证明步骤是这样的： 延长到Q使，连接， 证出得到，； 再证，得到，证出，即． 请你仿照小明的证题步骤完成第（2）问的证明． 【答案】(1)见解析(2)图2成立；图3不成立，见解析 【分析】（1）延长到Q使，连接，先证明，证出得到，；再证，得到，证出，即 （2）在图2仿照（1）的解法证明即可，图3也可以仿照（1）证明，只是结论不成立． 本题考查了三角形全等的判定和性质，半角模型的应用，熟练掌握半角模型，构造半角模型是解题的关键． 【详解】（1）如图，延长到Q使，连接， ∵，，， ， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∴． （2）图2成立，图3不成立． 证明：如图2，延长到K使，连接， ∵，，， ， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∴． 如图3，如图，延长到Q使，连接， ∵，，， ， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∴． 37．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）（1）探索发现：如图1，已知中，，，直线过点，过点作，过点作，垂足分别为、．求证：．    （2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N的坐标为，试求出的面积．    （3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点沿逆时针方向旋转后，所得的直线交轴于点．求的面积．    【答案】（1）见解析；（2）5；（3） 【分析】（1）先判断出，再判断出，进而判断出，即可得出结论； （2）过点作轴，垂足为，过点作，判断出，，设列方程组求解，即可得出结论； （3）过点作，交于，过点作轴于，先求出，由得，进而得出，，再判断出，即可判断出，，进而求出直线的解析式，即可得出结论． 【详解】（1）证明：，， ． ，， ， ，． ， ， （2）解：如图2，过点作轴，垂足为，过点作，交的延长线于，    由已知得，且， 由（1）得， ，， 设， ，， ，， 点的坐标为， ， 解得， 点的坐标为； ∴， （3）解：如图3，    过点作，交于，过点作轴于， 对于直线，由得， ， ， 由得， ，， ， ． ． 由（1）得，． ，． ， 设直线为， 则， 解得． 直线为． 由得，， ，． ∴，． 【点睛】本题主要考查一次函数的综合应用，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键． 38．（23-24·山东日照·一模）已知，四边形中，，绕B点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于E，F． 当绕B点旋转到时，如图（1），易证：． 当绕B点旋转到时，在图（2）和图（3）中这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 【答案】图（2）成立，有，证明见解析；图（3）不成立，有，理由见解析 【分析】证明图（2）．延长至点K，使，连接，证明，然后证明，根据线段之间的数量关系可得之间的关系，然后进行判断即可； 证明图（3），延长至G，使，同理可证，，，据线段之间的数量关系可得之间的关系，然后进行判断即可． 【详解】解：图（2）成立，图（3）不成立， 的关系是．证明如下： 证明图（2）．理由如下： 延长至点K，使，连接， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图（3），延长至G，使， 同理可证，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的关系是． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质．正确作出辅助线，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 39．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）综合与实践 问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图，与都是等腰直角三角形，其中，，，且点D在延长线上，连接．求证． (1)独立思考：请解答王老师提出的问题． (2)实践探究：在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答． “如图，连接，过A作交于F，探究线段与之间的数量关系，并证明．” (3)问题解决：数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究，将绕点A旋转，使点E在延长线上，点D在延长线上，提出新的问题，请你解答． “如图，当点E在延长线上，点D在延长线上，连接，过B作且，连接交延长线于H，若，求的长．” 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）通过证明，即可求证； （2）过E作交延长线于M．通过证明和，即可求证； （3）过G作交延长线于点N，通过证明和，利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：如图，∵， ∴．即． 又∵， ∴， ∴． （2）解：，证明如下： 证明：如图，过E作交延长线于M． ∵． ∴． ∵． ∴， ∴． ∵， ∴， ∵． ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 又∵． ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． （3）解：如下图，过G作交延长线于点N． ∵， ∴， ∴， 又∵． ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵． ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，作辅助线构造出全等三角形． 40．（23-24八年级上·山东日照·期中）如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上一点，且DE＝CE，连接BD，CD． （1）判断与的位置关系和数量关系，并证明； （2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化？并证明； （3）如图3，将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变，求BD与AC夹角的度数． 【答案】（1）， ；（2）， ；（3）． 【分析】（1）先判断出，再判定，再判断， （2）先判断出，再得到同理（1）可得结论； （3）先判断出，再判断出，最后计算即可． 【详解】解：（1）与的位置关系是：，数量关系是． 理由如下： 如图1，延长交于点． 于， ． ，， ， ，，． ， ． AE⊥BC ∴， ， ． （2）与的位置关系是：，数量关系是． 如图，线段AC与线段BD交于点F，线段AE与线段BD交于点G， ， ， 即． ，， ， ，． AE⊥BC ∴， 又∵ ， ． （3）如图，线段AC与线段BD交于点F， 和是等边三角形， ，，，， ， ， 在和中， ， ∴， ， 与的夹角度数为． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，判断垂直的方法，解本题的关键是判断． 【经典例题九 对角互补模型】 41．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知：在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且． (1)为探究上述问题，小宁同学先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小宁的解题思路是：先证明 ；再证明 ；即可得出之间的数量关系是 ． (2)如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，E，F分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： ． 【答案】(1)见解析， (2)（1）中的结论仍然成立，见解析 (3)或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． （1）由题意补图，补充思路即可； （2）延长到G，使，连接，证明即可； （3）分三种情况讨论，分别采用截长补短，证明即可，再进行线段和差计算． 【详解】（1）解：补全图形，如图： 小明的解题思路：先证明，再证明，即可得出之间的数量关系是， 证明如下：延长到点G，使，连接， ， 在和中， ， ，， 又， ， ， 即， 又， ， ， ， ， 故答案为：； （2）（1）中结论仍成立，理由如下： 延长到G，使，连接，如图所示， ，， ， 在和中， ， ，， 又， ， ， 即， 又， ， ， ， ， （3） E，F分别是边上，则有，第（2）问已证明； 点E在边延长线上，点F在边延长线上，此时，证明如下： 在上截取，使，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 即， 又， ， ， ， ； 当点E在延长线上，点F在延长线上，如图，在上截取，连接， 同上可证明：， ， ， 即， 综上所述：线段之间的数量关系为或或． 42．（24-25八年级上·湖北随州·期中）（1）问题背景：如图1，在四边形中，，，，E，F分别是上的点，且．探究图中线段之间的数量关系．    小明同学探究此问题的方法是，延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是； （2）探索延伸：如图2，若在四边形中，，．E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，请说明理由；    （3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心O北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，当时，两舰艇之间的距离是多少海里，写出推理过程．    【答案】（1），证明见详解；（2）结论仍然成立，证明见详解；（3）280海里 【分析】本题考查的是三角形知识的综合运用，掌握三角形全等的判定和性质、理解方位角的概念是解题的关键，注意规律的总结和运用． （1）延长到点．使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （2）延长到点．使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （3）连接，延长相交于点，然后与（2）同理可证． 【详解】解：（1），证明如下： 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （2）结论仍然成立； 理由：延长到点．使．连接，如图2，    在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ； （3）如图3，连接，延长相交于点，   ， ， 又， 符合探索延伸中的条件， 结论成立， 即海里， 答：此时两舰艇之间的距离是280海里． 43．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）（1）问题背景：如图1，在四边形中，， E、F分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论．他的结论应是______________________． （2）如图2，在四边形中，分别是边，上的点，且．（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程． （3）在四边形中，，E，F分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系． 【答案】（1）（2）仍然成立，过程见详解（3）或或； 【分析】（1）如图1，延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得，再结合线段和差关系，即可解题； （2）如图2，与（1）同理可得：； （3）如图3，作辅助线，构建，同理证明和．可得新的结论：． 本题是三角形的综合题，利用全等三角形的判定与性质得出是解题关键，再利用全等三角形的判定与性质得出，本题的4个问题运用了类比的方法依次解决问题． 【详解】解：（1）如图1，延长到点G，使．连接， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 则， 即， ∵，， ∴， ∴ 即， 故答案为：； （2）（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ，， ． ． 又， ， ． ． ， （3）①． 证明：在上截取，使，连接． ，， ． 在与中， ， ， ，． ． ． ， 易证， ， ， ． ②． 证明：在上截取， 同第一种情况方法，证明， 证明， ； ③由（1）、（2）可知，； ④如图，点在延长线上，点在延长线，此时线段，，之间并无直接数量关系． 综上，或或； 故答案为：或或； 44．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图1，在四边形中，，分别是上的点，且，试探究图中线段之间的数量关系． (1)小亮同学认：如图1，延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论是什么？并给出理由． (2)如图2，在四边形中，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． (3)如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． (4)如图4，已知在四边形中，，若点在的延长线上，点在的延长线上，仍然满足1中的结论，请直接写出与的数量关系并加以说明． 【答案】(1)，理由见解析 (2)仍成立，理由见解析 (3)210海里 (4)，理由见解析 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． （1）延长到，使，连接，先证明，再证明，则可得到结论； （2）延长到，使，连接，证明，再证明，则结论可求； （3）连接，延长、交于点，利用已知条件得到：四边形中：，且，符合（2）具备的条件，则． （4）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1，延长到点，使，连接，    在和中， ， ， ，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：仍成立，理由如下： 如图2，延长到点，使，连接，   ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ． ， ， ． 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：连接，延长、交于点，如图3，   ，， ， ，， 在四边形中：，且， 四边形符合（2）中的条件， 结论成立， 即（海里）， 答：此时两舰艇之间的距离是210海里． （4）解：结论：． 理由：如图4，在延长线上取一点，使得，连接，   ，， ，即 在和中， ， ， ，， ∵点在的延长线上，点在的延长线上，仍然满足（1）中的结论， 即， ∴ 在和中， ， ， ， ， ， ， 即， ． 45．（23-24八年级上·贵州毕节·期末）如图①，在四边形中，，点E，F分别是边，上的点，且，求线段之间的数量关系．小明提供了这样的思路：延长到点G，使，连接．    (1)根据小明的思路，请直接写出线段之间的数量关系：___________； (2)如图②，在四边形中，，点E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立说明理由． (3)如图③，在四边形中，，点E，F分别是边延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)（1）中的结论仍然成立，理由见解析 (3)结论不成立，应当是，理由见解析 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线． （1）如图中，延长到，使，连接．利用全等三角形的性质解决问题即可． （2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，如图中，延长至M，使，连接．只不过证明三角形和全等中，证明时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与（1）的结果完全一样． （3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在上截取，使，连接．根据（1）的证法，我们可得出，那么．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的． 【详解】（1）解：如图中，延长到G，使，连接，   ，， ． ． ． ． 又， ， ， ． ． 故答案为：； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 证明：如图中，延长至M，使，连接．   ，， ， 在与中， ， ． ． ， ． ，即． 在与中， ， ． ，即， ． （3）解：结论不成立，应当是． 证明：如图中，在上截取，使，连接．   ，， ． 在与中 ， ． ． ． ． ， ∴． ， ， ． 【经典例题十 半角模型】 46．（2024八年级上·江苏·专题练习）【问题背景】 如图1：在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，试探究图中线段、、之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ___________． 【探索延伸】如图2，若在四边形中，，，E、F分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【学以致用】 如图3，四边形是边长为5的正方形，，直接写出的周长 【答案】【问题背景】；【探索延伸】成立；见解析；【学以致用】10 【分析】（1）延长到点G．使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （2）延长到点G．使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （3）延长，截取，连接，根据定理可得出，故可得出，，再由，可得出，故，由定理可得，故，故的周长，由此可得出结论． 【详解】（1）解：如图1，延长到点G，使，连接， 在和中， ∵， ， ，， ∵，， ， 在和中， ∵， ， ， ， ； 故答案为：． （2）解：结论仍然成立； 理由：如图2，延长到点G．使．连接， ，， 在和中， ∵， ， ，， ， ， ， 在和中， ∵， ， ， ， ； （3）解：如图3，延长到点G，截取，连接， 在与中， ， ， ，． ，， ， ． 在与中， ， ， ， 的周长． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键． 47．（2024八年级上·全国·专题练习）【问题背景】 如图①，在四边形中，，分别是上的点，且．试探究图中线段之间的数量关系． （1）小王同学探究此问题的方法是延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论．他的结论应是_______； 【探索延伸】 （2）如图②若在四边形中，分别是上的点，且．（1）中结论是否仍然成立？请说明理由； 【学以致用】 （3）如图③，四边形是边长为5的正方形，．请直接写出的周长． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）的周长为10 【详解】解：（1） （2）（1）中结论仍然成立．理由如下： 如图①，延长到点，使，连接． ， ． 在和中， ， ． ， ． 在和中， ， ． ， ． （3）的周长为10． （3）如图②，延长到点，使，连接． 在与中， ， ． ， ， ． 在与中， ， ． 又， ， 的周长为． 48．（23-24八年级上·河南安阳·期中）（1）问题背景：如图1，在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，请探究图中线段，，之间的数量关系． 小明探究此问题的方法是：延长线段到点，使，连接．先证明，得；再由条件可得，证明，进而可得线段，，之间的数量关系是______． （2）拓展应用： 如图2，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，（1）中的线段，，之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）学以致用： 如图3，四边形是边长为5的正方形，，直接写出的周长． 【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3）10 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质和判定是解答本题的关键． （）延长到点，使，连结，由“”可证，可得，，再由“”可证，可得，即可解题； （）延长到，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （）延长到，使，连接，由“”可证，可得，，由“”可证，可得，可得，即可求解． 【详解】解∶（1）延长到点，使，连结， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）结论仍然成立，理由如下：如图，延长到，使，连接，      ∵， ∴， 同（）理：， ∴，， ∵， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，延长到，使，连接，      ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 49．（23-24八年级上·湖北武汉·开学考试）【基本模型】    如图，是正方形，，当在边上，在边上时，如图1，、与之间的数量关系为__________． 【模型运用】当点在的延长线上，在的延长线上时，如图2，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论：__________． 【拓展延伸】如图3，已知，，在线段上，在线段上，，请你直接写出、与之间的数量关系． 【答案】【基本模型】；【模型运用】：，证明见解析；【拓展延伸】：． 【分析】（1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）结论：，证明方法同法（1）； （3）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，根据旋转变换的性质可得和全等，根据全等三角形对应角相等可得，对应边相等可得，，对应角相等可得，再根据证明，并证明、、三点共线，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 又， ． 故答案为：； （2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 故答案为：； （3）结论：． 理由：如图3，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则， ，，，， 又， ， ， 又， ， 、、三点共线， 在和中，， ， ， 又， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质。本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形。 50．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）已知：四边形ABCD是正方形，，点E，F，G，H分别在边A，DC上.    (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若，点E，F分别是上的动点，求证： 的周长是定值； (3)如图3，若，和交于点O，且，求请直接写出线段的长度. 【答案】(1) (2)是定值40 (3) 【分析】（1）证明，得°，在中可求出的度数； （2）延长到点K，使，连接，构造全等三角形，证明，即可求得的周长； （3）过点D作，交于点L，作，交于点M，连接，运用（2）中的结论和勾股定理求出的长，再用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：如图1，    ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）如图2，延长到点K，使，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的周长为40，的周长是定值； （3）如图3，作，交于点L，交于点P，作，交于点M，交于点Q，连接，    ∵，， ∴四边形、四边形、四边形都是平行四边形， ∴，，， ∴； 由（2）得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等，解题关键是正确地作出辅助线构造全等三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$