第六单元第4课时 三角形面积的计算（四四三作业设计）-【大单元教学】五年级数学上册同备课系列（人教版)

人教版 五年级上册 第六单元《多边形的面积》 ————6.4《三角形面积的计算》 （四基四能三会)作业设计 1．如下图，三角形的面积是( )dm2，有一个平行四边形和这个三角形等底等高，这个平行四边形的面积是( )dm2。 2．如下图，红领巾的底是98厘米，高是32厘米。红领巾的面积是多少平方厘米？ 3．如图，阴影部分的面积（    ）空白部分的面积。 A．等于 B．大于 C．小于 4．童童所在的学校要制作300个可回收的环保标签，如图所示。这个三角形标签的面积是( )，制作300个环保标签一共需要( )的材料。 5．官渡之战后，曹操组建了威名远扬的骑兵部队——虎豹骑。虎豹骑的队形常用锥形阵，锥形阵是由一个等腰三角形和一个正方形的组合（如下图）。这样一个锥形阵应该布置多少名骑兵？ 6．如图，在一个面积为1843200平方米的正方形货场中有一条长为1600米的直线铁路。现有一辆装满货物的卡车停放在点，卡车若在路径上行驶，能够保障其在最短时间内到达铁路线旁点。如果卡车的速度是每分钟96米，求卡车到达点所用的时间？ 7．本学期课本的第92页有一道题如图所示（两条虚线互相平行），你认为三角形和三角形面积是否相等？请你用学过的知识进行说明。 8．如图所示，完成下面的各题。 ①用数对表示三角形B、C两个顶点的位置。 ②画出三角形ABC关于直线的轴对称图形，并用阴影表示。 ③画出将三角形ABC向右平移4格后的图形，并用阴影表示。 ④如果图中每个小正方形的面积是1平方厘米，三角形ABC的面积是（    ）平方厘米。 9．在探究三角形的面积时，下列三角形面积计算的思路和对应的算式错误的是（    ）。 A．ah B．ah÷2 C．（a÷2）×（h÷2）×2 10．下图每个方格表示，一个三角形的三个顶点的位置分别是，，，先在方格中描出点，再依次连接三个点，并求出三角形的面积。 11．如图，四边形ABCD是等腰梯形，ADBE是平行四边形，面积等于8，还知道三角形BCE的面积是2，那么三角形CDE的面积是多少？         12．三条边长分别是6厘米、8厘米、10厘米的直角三角形。将它的最短边对折到斜边相重合，（如图）图中阴影部分面积是( )平方厘米。 13．如图，在三角形ABC中，D是BC的中点，E，F分别是AB边上的三等分点，已知三角形DEF的面积是18平方厘米，那么三角形ABC的面积是多少平方厘米？ 14．如图，四边形ABCD是一块长7千米、宽4千米的长方形土地，DEFG是一块长10千米、宽2千米的长方形土地，三角形BCO的面积比三角形EFO大多少公顷？ 15．如图，三角形ABC中，D、E分别是AB和AC边上的中点，F为BD的中点，已知阴影部分三角形DEF的面积是5，求三角形ABC的面积。 16．三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是ED长的3倍，EF的长是BF长的2倍。那么三角形AEF的面积是多少平方厘米？ 17．如图，在△ABC中，DC＝2BD，CE＝3AE，阴影部分的面积是40平方厘米，△ABC的面积是多少平方厘米？ 18．已知图中长方形的长和宽分别是8厘米和6厘米，四边形ABCD的面积是3平方厘米，求阴影部分的面积多少平方厘米？ 19．如图，把三角形ABC的BA边延长一倍到D点，CB边延长两倍到F点，AC边延长三倍到E点，连接DE，EF，FD得到三角形DEF，三角形ABC的面积是1平方厘米，那么三角形DEF的面积是多少平方厘米？ 20．如图，AE为30厘米，BC垂直于AE，其中BC为15厘米、BF为10厘米。如果两个直角三角形的面积总和为197.5平方厘米，那么，三角形BEF的面积是多少平方厘米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 【四基形成】： 1． 30 60 【问题分析】根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据，求出三角形面积；等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍，用三角形面积×2，即可解答。 【名师解析】8×7.5÷2 ＝60÷2 ＝30（dm2） 30×2＝60（dm2） 三角形的面积是30dm2，有一个平行四边形和这个三角形等底等高，这个平行四边形的面积是60dm2。 2．1568平方厘米 【问题分析】红领巾是三角形。已知底是98厘米，高32厘米，应用三角形的面积公式就可求出红领巾的面积，即三角形的面积＝底×高÷2。 【名师解析】98×32÷2 ＝3136÷2 ＝1568（平方厘米） 答：红领巾的面积是1568平方厘米。 3．A 【问题分析】观察图形可知，空白三角形与平行四边形等底等高，根据平行四边形的面积＝底×高，三角形的面积＝底×高÷2，可知空白三角形的面积等于平行四边形面积的一半；而阴影部分的面积＝平行四边形的面积－空白三角形的面积，也等于平行四边形面积的一半；由此可得出阴影部分的面积等于空白部分的面积。 【名师解析】阴影部分的面积＝平行四边形的面积÷2 空白三角形的面积＝平行四边形的面积÷2 所以阴影部分的面积等于空白部分的面积。 故答案为：A 4． 29.2 8760 【问题分析】根据题意，标签的面积是底为8cm，高为7.3cm的三角形面积，三角形的面积＝底×高÷2，据此算出一个标签的面积，再乘300即可算出300个标签的面积，即制作300个环保标签一共需要多少材料的面积。 【名师解析】 （cm2） （cm2） 即这个三角形标签的面积是29.2cm2，制作300个环保标签一共需要8760cm2的材料。 5．250名 【问题分析】由图可知，锥形阵是由一个底为40米，高为（60－40）米的等腰三角形和一个边长为40米的正方形的组合，根据三角形的面积＝底×高÷2，正方形的面积＝边长×边长，代入数据求出锥形阵的面积，再用锥形阵的面积除以每个士兵占的平方数即可解答。 【名师解析】40×（60－40）÷2 ＝40×20÷2 ＝800÷2 ＝400（平方米） 40×40＋400 ＝1600＋400 ＝2000（平方米） 2000÷8＝250（名） 答：这样一个锥形阵应该布置250名骑兵。 6．12分钟 【问题分析】卡车的速度不变，要求在最短时间内到达F点，则DF的长度最短，根据从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短；连接DE，此时三角形ADE的面积等于正方形面积的一半；计算出三角形ADE的面积，且AE等于1600米，根据三角形的面积＝底×高÷2，求出DF的长；最后利用路程÷速度＝时间，代入相应数值计算，据此解答。 【名师解析】 连接DE，三角形ADE的面积为： 1843200÷2＝921600（平方米） DF的长为： （米 （分钟） 答：卡车到达F点用12分钟。 【四能发展】： 7．相等，说明见详解 【问题分析】等底等高的三角形面积相等，而平行线之间的距离都相等，因为三角形ABD与三角形ACD是等底等高的三角形，根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，确定三角形面积形ABD与三角形ACD的面积之间的关系，进而求出三角形ABE与三角形CDE的关系（答案不唯一）。 【名师解析】根据分析可知，三角形ABD与三角形ACD是等底等高的三角形， 所以三角形ABD面积＝三角形ACD面积。 三角形ABE的面积＝三角形ABD的面积－三角形ADE的面积； 三角形CDE的面积＝三角形ACD的面积－三角形ADE的面积； 三角形ABD的面积＝三角形ACD的面积， 两个三角形都减去同一个三角形，所以三角形ABE的面积＝三角形CDE的面积。 8．①B（6，7）；C（9，4） ②图见详解 ③图见详解 ④12 【问题分析】①数对的表示方法：（列数，行数），数对的第一个数表示列，第二个数表示行，找出三角形B、C两个顶点在方格中对应的列数和行数，再用数对表示出来即可。 ②补全轴对称图形的方法：找出三角形ABC三个顶点，依据对称轴画出三个顶点的对称点，再依据三角形ABC的形状顺次连接各点，画出最终的轴对称图形，并用阴影表示。 ③根据平移的特征，把三角形ABC三个顶点分别先向右平移4格，再依次连接各顶点，即可得到平移后的三角形，并用阴影表示。 ④从“每个小正方形的面积是1平方厘米”可知，小正方形的边长是1厘米，三角形ABC的底是8厘米，高是3厘米。根据三角形的面积底高，求出三角形ABC的面积即可。 【名师解析】①用数对表示三角形B、C两个顶点的位置。B（6，7）；C（9，4）。 ②、③根据要求作图如下： ④三角形ABC的面积： 8×3÷2 ＝24÷2 ＝12（平方厘米） 三角形ABC的面积是12平方厘米。 9．A 【问题分析】把两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，则平行四边形与三角形等底等高，三角形的面积等于平行四边形面积的一半，由平行四边形的面积＝底×高，推导出三角形的面积公式。利用割补法把一个三角形剪拼成一个平行四边形，那么三角形的面积等于平行四边形的面积，平行四边形的底等于三角形的底，平行四边形的高等于三角形高的一半，由平行四边形的面积＝底×高，推导出三角形的面积公式。将一个三角形沿虚线对折，折下来的部分恰好拼成了一个长方形，三角形面积等于长方形面积的2倍，长方形的长等于三角形底的一半，宽等于三角形高的一半；根据长方形的面积＝长×宽，推导出三角形的面积公式。 【名师解析】A．三角形的面积＝平行四边形面积的一半 平行四边形的底＝三角形的底a，平行四边形的高＝三角形的高h 平行四边形的面积＝底×高＝ah 推导出：三角形的面积公式S＝ah÷2； 原题对应的算式错误。 B．三角形的面积＝平行四边形面积 平行四边形的底＝三角形的底a，平行四边形的高＝三角形的高的一半（h÷2） 平行四边形的面积＝底×高＝ah÷2 推导出：三角形的面积公式S＝ah÷2； 原题三角形面积计算的思路和对应的算式正确。 C．三角形的面积＝长方形面积的2倍 长方形的长＝三角形的底的一半（a÷2），长方形的宽＝三角形的高的一半（h÷2） 长方形的面积＝长×宽 三角形的面积＝（a÷2）×（h÷2）×2 推导出：三角形的面积公式S＝ah÷2； 原题三角形面积计算的思路和对应的算式正确。 故答案为：A 10．21平方厘米 【问题分析】先根据用数对表示位置的方法，A（3，2）表示第3列第2行，则可在第3列第2行的位置标出A点，以此类推找到B和C点，然后连接AB，AC，BC即可得出三角形ABC，再根据三角形面积＝底×高÷2求出面积即可得解。 【名师解析】根据分析可知：三角形ABC如下图所示 由图可知，边AB长为7厘米，边BC长为6厘米 则三角形ABC面积为： ＝7×6÷2 ＝42÷2 ＝21（平方厘米） 答：三角形面积是21平方厘米。 11．12 【问题分析】如下图，把线段EB延长交线段DC于F， DE把平行四边形ADBE平均分成2份，所以三角形DBE的面积等于平行四边形ADBE面积的一半；因为ADBE是平行四边形，所以BE∥AD，且BE＝AD，又因为四边形ABCD是等腰梯形，所以AB∥DC，所以ADFB是平行四边形，所以BF＝AD＝BE，所以三角形DBF与三角形DBE的面积相等，三角形CBE与三角形CBF的面积相等，三角形CDE的面积等于三角形DEB、三角形CBE、三角形CBF和三角形DFB的面积之和，据此即可解答。 【名师解析】S△EDB＝ S平行四边形ADBE÷2＝8÷2＝4 ADBE是平行四边形，故AE∥DB，AD ＝ BE； ABCD是等腰梯形，故AB∥DC， 所以ADFB也是平行四边形，故BF＝AD＝BE； 所以S△DBF＝ S△EDB＝4，S△CFB＝S△BCE＝2； 所以S△CDE＝ S△EDB＋S△DBF＋S△CFB＋S△BCE＝4＋4＋2＋2＝8＋4＝12 【名师点拨】熟练运用等底等高三角形面积相等是解答本题的关键。 【三会达成】： 12．6 【问题分析】因为对着有重合，所以两个空白部分的三角形面积相等，则10厘米的边分成了6厘米和4厘米两部分，4厘米的线段是阴影部分的最长直角边，阴影部分的角与大三角形的完全一样，阴影部分的最长直角边为4厘米，大三角形最长直角边为8厘米，大三角形直角边长是阴影直角边长的2倍，据此阴影部分另一直角边为（6÷2）厘米，然后根据三角形的面积公式计算即可。 【名师解析】阴影部分大直角边长：（厘米） 阴影部分小直角边长：（厘米） 阴影部分面积：（平方厘米） 图中阴影部分面积是6平方厘米。 【名师点拨】分析图形，明确大三角形直角边长是阴影直角边长的2倍是解答本题的关键。 13．108平方厘米 【问题分析】 连接CF，如图：，E，F分别是AB边上的三等分点，则EF＝BE；三角形BED和三角形DEF是等底等高，所以三角形BED的面积＝三角形DEF面积＝18平方厘米；三角形BFD的面积＝18＋18＝36平方厘米；D是BC的中点，则BD＝DC，三角形BFD与三角形CFD是等底等高，所以三角形BFD的面积＝三角形CFD的面积＝36平方厘米；三角形BFC的面积＝36＋36＝72平方厘米；由于AF＝BF，三角形AFC和三角形BFC是等高，所以三角形AFC的面积＝三角形BFC的面积，即72÷2＝36平方厘米，因此三角形ABC的面积＝三角形BFC的面积＋三角形AFC的面积，据此解答。 【名师解析】 连接CF，如图：。 三角形DEF的面积＝三角形BED的面积＝18（平方厘米） 三角形BFD的面积：18＋18＝36（平方厘米） 三角形BFD的面积＝三角形CFD的面积＝36（平方厘米） 三角形BFC的面积：36＋36＝72（平方厘米） 三角形AFC的面积：72÷2＝36（平方厘米） 三角形ABC的面积：72＋36＝108（平方厘米） 答：三角形ABC的面积是108平方厘米。 14．300公顷 【问题分析】如图所示，添加辅助线后发现，要求三角形BCO的面积比三角形EFO的面积大多少公顷，分别加上梯形BHEO之后，就是求长方形BCEH的面积比三角形BFH的面积大多少公顷。可以先根据题目信息求出长方形BCEH的长和宽，再求出三角形BFH的底和高，接着根据长方形的面积＝长×宽，三角形的面积＝底×高÷2分别求出它们的面积，最后把它们的面积相减即可。 【名师解析】长方形BCEH的宽：10－7＝3（千米） 长方形BCEH的面积：3×4＝12（平方千米） 三角形BFH的底：4＋2＝6（千米） 三角形BFH的高：10－7＝3（千米） 三角形BFH的面积：6×3÷2 ＝18÷2 ＝9（平方千米） 它们相差：12－9＝3（平方千米） 1平方千米＝100公顷，所以3平方千米＝300公顷。 答：三角形BCO的面积比三角形EFO的面积大300公顷。 【名师点拨】通过添加辅助线，将求三角形BCO的面积比三角形EFO大多少公顷的问题转化为求长方形BCEH的面积比三角形BFH的面积大多少公顷的问题。 15．40 【问题分析】三角形ABC中，D、E分别是AB和AC边上的中点，F为BD的中点，根据等底等高的三角形的面积相等可知，三角形DEF的面积＝三角形BEF的面积，三角形ADE的面积等于三角形DEF的面积的2倍，三角形BCE的面积＝三角形ABE的面积＝三角形DEF的面积的4倍，由此可知：三角形ABC的面积＝三角形DEF的面积的（2＋2＋4）倍。 【名师解析】5×（2＋2＋4） ＝5×8 ＝40 三角形ABC的面积40。 16．40平方厘米 【问题分析】因为D是BC的中点，那么三角形ABD的面积是三角形ABC的面积的一半，也就是90平方厘米； AD的长是ED长的3倍，说明三角形ABD的面积是三角形EBD面积的3倍，用90除以3算出三角形EBD的面积是30平方厘米，那么三角形EBA的面积就是60平方厘米； EF的长是BF长的2倍，说明三角形AEF的面积是三角形ABF面积的2倍，且两个三角形面积之和为60平方厘米，利用和倍关系可以解决问题。 【名师解析】三角形ABD的面积：180÷2＝90（平方厘米） 三角形EBD的面积：90÷3＝30（平方厘米） 三角形EBA的面积：90－30＝60（平方厘米） 三角形ABF的面积：60÷（2＋1） ＝60÷3 ＝20（平方厘米） 三角形AEF的面积：20×2＝40（平方厘米） 答：三角形AEF的面积是40平方厘米。 【名师点拨】明确等底等高的三角形的面积相等是解答本题的关键。 17．240平方厘米 【问题分析】根据等底等高的三角形面积相等；因为CE＝3AE，所以AC＝4AE；根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，△ADE与△ADC是等高，△ADE的面积＝AE×高÷2，△ADC的面积＝AC×高÷2，因为AC＝4AE，所以△ADC的面积是△ADE的面积的4倍，用△ADE的面积×4，求出△ADC的面积； 同理，△ABD与△ADC是等高，DC＝2BD，所以△ADC的面积是△ABD面积的2倍，用△ADC的面积÷2，求出△ABD的面积； △ABC面积＝△ABD的面积＋△ADC的面积，据此代入数据，即可解答。 【名师解析】40×4＝160（平方厘米） 160÷2＝80（平方厘米） 160＋80＝240（平方厘米） 答：△ABC的面积是240平方厘米。 【名师点拨】明确等底等高的三角形面积相等是解答本题的关键。 18．27平方厘米 【问题分析】 如图：；根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，三角形AFG的底边是8厘米，高是6厘米；代入数据，求出三角形AFG的面积，三角形FCG的底等于8厘米，高等（6÷2）厘米，代入三角形面积公式，求出三角形FCG的面积；用三角形AFG的面积－四边形ABCD的面积－三角形FCG的面积，求出三角形FCB与三角形GCD的面积和；三角形ECH的底8厘米，高是（6÷2）厘米，代入三角形面积公式，求出三角形ECH的面积；根据长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，求出长方形EFGH的面积；阴影部分面积＝长方形EFGH的面积－三角形ECH的面积－三角形FCB与三角形GCD的面积和，即可解答。 【名师解析】三角形AFG的面积： 8×6÷2 ＝48÷2 ＝24（平方厘米） 三角形FCG的面积： 8×（6÷2）÷2 ＝8×3÷2 ＝24÷2 ＝12（平方厘米） 三角形FCB与三角形GCD的面积和： 24－12－3 ＝12－3 ＝9（平方厘米） 三角形ECH的面积： 8×（6÷2）÷2 ＝8×3÷2 ＝24÷2 ＝12（平方厘米） 阴影部分面积： 8×6－12－9 ＝48－12－9 ＝36－9 ＝27（平方厘米） 答：阴影部分的面积是27平方厘米。 【名师点拨】解答本题的关键是求出三角形FCB与三角形GCD的面积和以及三角形FCG、三角形ECH的高与长方形宽之间的关系。 19．18平方厘米 【问题分析】连接AF，因为BF＝2BC，所以三角形AFB的面积是三角形ABC面积的2倍，因为AB＝AD，所以三角形AFD的面积和三角形AFB的面积相等，也是三角形ABC面积的2倍。 连接BE，因为CE＝3AC，所以三角形EBC的面积是三角形ABC面积的3倍，因为BF＝2BC，所以三角形BEF的面积是三角形BEC面积的2倍，也就是三角形ABC面积的6倍。 连接DC，因为AB＝AD，所以三角形DCA的面积等于三角形ABC的面积，因为CE＝3AC，所以三角形DCE的面积是三角形DCA面积的3倍，也就是三角形ABC面积的3倍。 求出以上三角形与三角形ABC面积的关系，最后把三角形AFB、三角形AFD、三角形EBC、三角形BEF、三角形DCA、三角形DCE、三角形ABC的面积加起来，就得到三角形DEF的面积。据此解答。 【名师解析】 （平方厘米） 答：三角形DEF的面积是18平方厘米。 【名师点拨】弄清两个三角形底和高的关系，从而去判断它们面积的关系。 20．55平方厘米 【问题分析】 如图，连接CE，根据三角形面积＝底×高÷2，求出三角形ACE的面积，三角形ACE的面积－原来两个直角三角形的面积总和＝三角形CEF的面积，根据三角形的高＝面积×2÷底，求出三角形CEF的高，即三角形BEF的高，再根据面积公式求出三角形BEF的面积即可。 【名师解析】三角形ACE的面积：30×15÷2＝225（平方厘米） 三角形CEF的面积：225－197.5＝27.5（平方厘米） 三角形CEF的高：27.5×2÷（15－10） ＝55÷5 ＝11（厘米） 三角形BEF的面积：10×11÷2＝55（平方厘米） 答：三角形BEF的面积是55平方厘米。 【名师点拨】关键是掌握并灵活运用三角形面积公式，通过辅助线，将三角形的面积进行转化，求出三角形BEF的高。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$