5.1.1变化率问题课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用 5.1.1 变化率问题 数学人教A版 选择性必修 第二册 微积分的创立与处理四类科学问题直接相关 1 求物体在任意时刻的速度与加速度 2 求曲线的切线 3 求函数的最大值与最小值 4 求长度、面积、体积和重心等 导数是微积分的核心概念之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等性质的基本方法. 导数的本质是什么？ 平均速度 学 问题1 跳水运动员的速度 探究 在一次高台跳水运动中,某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系 如何描述运动员从起跳到入水过程中的快慢程度呢？ 平均 速度 平均速度 学 问题1 如何求一段时间的平均速度呢？ 思考1 如何计算跳水运动员在 这段时间里的平均速度？ 思考2 如何计算跳水运动员在 这段时间里的平均速度？ 思考3 计算跳水运动员在 这段时间里的平均速度 瞬时速度 学 瞬时速度： 物体在某一时刻的速度. 为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念. 以 时的瞬时速度为例. 问题2 如何求瞬时速度呢？ 当∆t <0时，在时间段[1十∆t, 1]内 当∆t >0时， 在时间段[1, 1十∆t]内 ∆t ∆t -6.951 -7.049 -6.9951 -7.0049 -6.99951 -7.00049 -6.999951 -7.000049 -6.9999951 -7.0000049 通过观察可得，当∆t无限趋近于0，即无论t从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度都无限趋近于－7. 6 瞬时速度 学 -7 瞬时速度： 2. 火箭发射t s后，其高度(单位: m)为h(t)=0.9t2. 求： (1) 在1≤t≤2这段时间里，火箭爬高的平均速度； (2) 发射后第10 s时，火箭爬高的瞬时速度. 课本P61 3. 一个小球从5 m的高处自由下落，其位移y (单位: m)与时间t (单位: s) 之间的关系为 y(t)=－4.9t2 . 求t =1 s时小球的瞬时速度. 课本P62 1.如何计算平均速度与瞬时速度?二者有什么关系? 课堂小结 平均速度的极限是瞬时速度 (1) 平均速度： (2) 瞬时速度： 2.本节课学习到了哪些思想方法? 极限思想 新知探究 探究：你认为应该如何定义抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线？ 问题2 抛物线的切线的斜率 x y O f(x)＝x2 1 1 2 2 3 4 P0 我们发现，当点P________________，割线P0P ____________________位置. 这个确定位置的直线P0T 称为抛物线 f(x)＝x2在点P0(1,1)处的切线． 观察 如图，当点P(x, x2)沿着抛物线f(x)=x2趋近于点P0(1, 1)时，割线P0P有什么变化趋势? T 无限趋近于一个确定的 无限趋近于点P0时 探究：我们知道斜率是确定直线的一个要素。如何求抛物线 f(x)=x2在点 P0(1,1) 处的切线P0T 的斜率k0呢？ 抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线P0T的斜率与割线P0P的斜率有内在联系． 记点P的横坐标 x=1+Δx，则点P的坐标即为 (1+Δx,(1+Δx)2). 于是割线P0P 的斜率 Δx可以是正值，也可以是负值，但不为0. 我们可以用割线P0P的斜率k近似地表示切线P0T的斜率k0，并且可以通过不断缩短横坐标间隔|∆x|来提高近似表示的精确度，得到如下表格： ∆x <0 ∆x >0 ∆x ∆x 观察：利用计算工具计算更多割线P0P的斜率k的值，当∆x无限趋近于0时，割线P0P的斜率k有什么变化趋势？ 发现：当∆x无限趋近于0，即无论x从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，割线P0P的斜率k近都无限趋近于2. x y O 1 2 1 2 3 4 P P0 T 事实上，由 可以发现，当∆x在无限趋近于0时， 无限趋近于2，我们把2叫做“当△x无限趋近于0时， 的极限”，记为 无限逼近 第64页 例2.求抛物线f(x)＝x2－2x＋3在点(1,2)处的切线方程． 典型例题 课堂小结 回顾本节课的学习内容，回答下列问题: 1.割线的斜率与切线的斜率有什么关系？ 2.你能总结一下求切线斜率的过程方法吗？ 无限逼近 19 解：　由eq \f(f1＋Δx－f1,Δx) ＝eq \f(1＋Δx2－21＋Δx＋3－2,Δx)＝Δx， 可得切线的斜率为k＝eq \o(lim,\s\do20(Δx→0))Δx＝0. 所以切线的方程为y－2＝0×(x－1)，即y＝2. $$