专题7 半角模型-【小练大卷得高分】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（苏科版）

小练夫卷得高方数学八年级上册 专题七 半角模型 定议用时20分钟 答案D24 类型①正方形中的半角模型 类型2一般四边形中的半角模型 1,(2022秋·北京燕山区期中， 3.(难)已知四边形ABCD中， 较难)如图，在正方形ABCD中， AB⊥AD,BC⊥CD,AB=BC, 点P在边BC上，作射线AP,将 ∠ABC=120°，∠MBN=60°， 射线AP绕点A逆时针旋转45°， ∠MBN绕点B旋转，它的两边 得到射线AQ,交边CD于点Q,过点B作BE⊥ 分别交AD,DC(或它们的延长线)于点E,F. AP于点E,交AQ于点F,连接DF. (1)当∠MBV绕点B旋转到AE=CF时（如 (1)依题意补全图形 图1)，试猜想AE,CF,EF之间的数量关 (2)用等式表示线段BE,EF,DF之间的数量关 系： 系，并证明. (2)当∠MBN绕点B旋转到AE≠CF时（如 图2)，(1)中结论是否仍然成立？请说明理由. (3)当∠MBN绕点B旋转到AE≠CF时（如 图3)，(1)中结论是否仍然成立？若不成 立，线段AE,CF,EF又有怎样的数量关系？ 请写出你的猜想，并说明理由。 2.(较难)如图，四边形ABCD是 正方形，点E,F分别在边AD和 CD上，∠EBF=45°.将△BCF 绕点B逆时针旋转90°，点C落 图1 图2 在点A的位置，点F落在点G的位置. (1)求∠GBE的度数. (2)E,A,G三点是否在同一条直线上？并说明 理由。 D (3)将△GBE沿直线BE折叠后是否与△FBE 完全重合？并说明理由 (4)用等式表示线段EF,AE,CF之间的数量关 图3 系，并说明理由. G 59 52 错题记录 概念与分析 粗心与计算 方法与策略 第2章轴对称图形 类型目等边三角形中的半角模型 (1)如图1，当点M,N分别在边AB,AC上，且 4.(较难)如图1，△ABC是等边 DM=DN时，BM,NC,MN之间的数量关 三角形，△BDC是顶角为120°的 系是 等腰三角形（∠BDC=120),以 (2)如图2，当点M,N分别在边AB,AC上，且 D为顶点作一个60°角，角两边分 DM≠DN时，(1)中的两个结论还成立吗？ 别交AB,AC于M,N两点，连接MN. 若成立，请直接写出你的结论：若不成立，请 (1)探究线段BM,MN,NC之间的数量关系， 说明理由， 并加以证明. (3)如图3，当点M,N分别在边AB,CA的延长 (2)若M是AB延长线上的一点，N是CA延长 线上时，探究BM,NC,MN之间的数量关 线上的一点，其他条件不变，请你再探究线 系，并给出证明. 段BM,MN,NC之间的数量关系，在图2 中画出图形，并说明理由. 图1 图2 图1 图2 图3 5.(难)M,V两点分别在等边三 角形ABC的两边AB,AC所在 直线上，D为△ABC外一点，且 ∠MDN=60°，∠BDC=120°， BD=CD.当点M,N分别在直线AB,AC上移 动时，试探究BM,NC,MN之间的数量关系及 △AMN的周长Q与等边三角形ABC的周长 L的关系 错题记录 概念与分析 粗心与计算 方法与策略 53 B=60ACQ=BAC..AB/CQ (2)存在点P 使得AQ1CQ,此时P为BC的中点.理由如下;由(1)得 ABP△ACQ..ACQ= B= ACB=BAC=60。 BP=CQ:P为BC的中点...PC=BP=CQ...CQ$ $$$C-(180*-P[C~)-$(180*-60*-60”)=30”$ .△APQ是等边三角形,.AQP=60,..AQC AQP十CQP-60*+30{-90”..AQ1QC. 4. 证明:(1).△ABD和△ACE都是等腰直角三角形,..AB- 思路分析由已知条件“BAC一DAE”得“ BAD AD.AC=AE BAD- CAE=90{ BAD+ BAC= CAE”,再根据全等三角形的判定定理“SAS”证得△ABD CAE十BAC,即 CAD=EAB.在△CAD和△EAB 3△ACE,从而得出结论BD-CE;证明MA平分 CMD.可考虑 (AC-AE, 证明点A到 CMD两边的距离相等,而这两个距离正好是一 中,CAD-EAB..△CAD△EAB(SAS)..BE= 对全等三角形对应边上的高. AD-AB, 7.(D)解:DAE=BAC.DAE-DAC-BAC DC. (2)如图,过点D作DGIEA交EA的延长线于点G, DAC,即CAE=BAD. 在△ABD和△ACE中. 过点 B作BH1AC于点H,则 AGD= AHB=90{$ (AB-AC. :CAE-90”。'.CAG-90*= BAD,'CAG BAD-CAE...△ABD△ACE(SAS).(2)解: BAG= BAD- BAG,即 DAG= BAH.在△ADG AD-AE. [AGD-乙AHB. B证明如下:.DAE=BAC,. DAE+CAD 和△ABH中, DAG= BAH...△ADG△ABH BAC十CAD,即CAE一BAD.在△ABD和△ACE AD-AB, (AB-AC. (AAS)...DG-BH.又':Sw= 中BAD-CAE..△ABD△ACE(SAS).ABD- AD-AE. 1AE· DG.且 AC-AEF.:SAa=Sg. 乙ACE:ACD=ABD十BAC= ACE十DCE ../BAC=乙DCE,即a-③ (3)根据题意画出图形如图所 示. a=B BC+CE-DC 解析:'DAE-BAC. '. DAE- BAE= BAC- BAE,即 BAD- CAE (AB-AC. 在△BAD和△CAE中.BAD-CAE,..△BAD AD-AE, 关键点拨要证明S一S.wnr,可将边AE和边AC看作三 △CAE(SAS)... ADB= AEC,BD=CE.记AE与CD 角形的底,证明它们的高相等即可。 交于点M.由三角形内角和定理,得 ADB十DAE 5.(1)证明:.△ABC和△ADE都是等边三角形..'.AB一AC AMD=AEC+ DCE+ CME-180{。又'DAE= $AD=AE. BAC= DAE=60.. BAC+CAD$ BAC=. DCE=. AMD=CME,' ADB十=$ DAE十CAD,即BAD=CAE.在△ABD和△ACE AEC+..'-.BC+BD=DC...BC+CE=DC (AB-AC. 中 BAD- CAE...△ABD△ACE(SAS). (2)①45” AD-AE, 解析:.'△ABC和△ADE均为等腰直角三角形,.'.AB一AC. B- ACB=45AD=AE.BAC= DAE BAC+ CAD-DAE+CAD,即 BAD= CAE.在△ACE [AC-AB. 和△ABD中.CAE=BAD..△ACE△ABD(SAS). 专题七 AE-AD. 半角模型 1. 解:(1)补全图形如图1所示。 '. ACE= B-45{ ②BC+CD=CE 解析:由①得 (2)BE+DF一EF.证明如 △ACE△ABD..'.CE=BD.又'BC+CD=BD...BC+ 下:如图2,延长FE到点H,使EH-EF,连接AH.由BE CD-CE. AP,易证AH=AF..HAP- FAP-45*$.四边形 关键点拨 证明△ACE八ABD是解题的关键 ABCD为正方形,*.AB=AD,BAD=90{。由题意得 6. 证明(1):DAE-BAC...DAE十BAE=BAC十 PAQ-45, BAP+ 2=45.1+ BAP=45$ BAE,即BAD=CAE. 在△ABD 和△ACE 中, .1-2...ABH△ADF(SAS)...BH=DF.BE+ (AB-AC. BH-EH-EF...BE+DF=EF BAD-CAE...△ABD△ACE(SAS)..'.BD=CE AD-AE, (2)如图,过点A分别作AF1BD于点F,AG1CE于点G 由(1)得△ABD△ACE,'.BD=CE,So=S.即 IBBD·AF-$CE·AG\'AF=AG 又'AF1BD,AG CE..'点A在CMD的平分线上,即MA平分CMD 图1 图2 小练大卷得高分·数学·八年级上册答案 ·D24· 关键点拨求线段之间的数量关系,往往考虑线段的和差,可 腰三角形,且 BDC=120*}*.CD=BD. ABC= ACB= 以通过截长补短法,构造全等三角形解决问题. $$ { DBC= $DCB=30 'MBD= ABC+ DBC=6 0°$ 2. 解:(1)·△BCF绕点B逆时针旋转90{}得到△BAG. +30*$=90$$NCD- ACB+ $DCB=60{+30$-90$ '. FBG=90*$又.' EBF=45$.'$GBE= FBG . FCD=180-NCD=90{,在△CDE和△BDM中. EBF-90{*-45^*}-45^{$(2)E,A,G三点在同一条直线 (CD-BD. 上.理由如下:.四边形ABCD是正方形,..AB-CB.C ECD=MBD...△CDE△BDM(SAS)...CDE= 乙BAD-90”$·△BCF绕点B逆时针旋转90{得到△BAG CE-BM. '. G$AB= C=90{$BF=BG. ABG- CBF$$ BAG+$$ BDM.DE=DM...NDE=NDC+CDE=NDC+ 乙BAD-90{+90{-180”,..E,A,G三点在同一条直线上。 BDM- BDC-MDN-120*-60*-60*.在△DMN和 (3)△GBE沿直线BE折叠后与△FBE完全重合,理由如下; [DM-DE. 由(2)得BG-BF,E,A.G三点在同一条直线上.由(1)知 △DEN中.MDN=EDN..△DMN△DEN(SAS). GBE-45”$又· EBF=45^{$'GBE= EBF 在$$ DN-DN. [BG-BF, ..MN-EN-CE+NC-BM+NC. (2)画出图形如图 △GBE和△FBE中, GBE=FBE,.△GBE △FBE 所示(不包含线段DE).线段BM.MN.NC之间的数量关系 BE-BE. 为MN=NC-BM.理由如下:在CA上截取CE-BM.连接 (SAS)..'.将△GBE沿直线BE折叠后与△FBE完全重合. [BM-CE. DE.在△MBD和△FCD中. (4)EF一AE十CF.理由如下:由(3)得△GBE△FBE MBD-FCD...△MBD *.GE-FE.·'△BCF绕点B逆时针旋转90{得到△BAG BD-CD. ..AG-CF.又.E,A.G三点在同一条直线上...FG △ECD(SAS)...DM=DE,MDB-EDC..MDN AE+AG..'.EF=AE+CF. MDB十 BDN=CDE+ BDN-60 EDN 3. (1)AE+CF=EF 解析:.AB AD,BC1 CD... A BDC-(CDE+BDN)=120*-60=60*= MDN$ C=90”$·AB=BC,AE=CF$'△ABE△CBF(SAS) MD-ED. .ABE=CBF,BE-BF . ABC-120*. MBN 在△NMD和△NED中, MDN=EDN...△NMD 60 ”.. ABE= CBF=30*. AE=BE,CF=BF ND-ND. △NED(SAS)..'MN=EN.又:EN-NC-CE,.'.MN= . MBN-60”,BE-BF..'△BEF是等边三角形...AE+ NC-CE-NC-BM CF-BE+BF=BE=EF. (2)解:(1)中的结论仍然 成立,理由如下:如图1,延长FC到点H,使CH一AE,连接 BH..AB AD,BC CD..A=BCH=90* 又 .AB=BC,' △BCH△BAE(SAS)...BH=BE CBH- ABE.·ABC-120”$MBN=60”ABE CBF=120*-60*-60* 'HBC+CBF-60°$ '. HBF- MBN=60{ ·.'BH=BE,BF=$$F$ '.△HBF△EBF(SAS)..'HF-EF.'·HF=HC+CF AE+CF...EF=AE十CF (3)解:(1)中的结论不成立,数 图1 图2 量关系为AE一EF十CF.理由如下:如图2,在AE上截取 5.(1D)BM+NC-MN 解析:.△ABC是等边三角形, AQ-CF,连接BQ.:AB AD,BC1CD... A- BCF 90°..AB-BC.'.BCF△BAQ(SAS)...BF-BQ '*. A- ABC- ACB-60$·:BD-CD.BDC-120*. CBF=ABQ MBN-60*-CBF+CBE. 'DBC= DCB=30{ . MBD= NCD=90{$:'DM=$ . CBE+ ABQ=60{。: ABC=120*..QBE DN.BDCD.'RtBDMRtCDN(HL).' BDM $$ 0-60=60- MBN.FBE=QBE.又'·BF=$ CDN-30*,BM-CN..'.DM-2BM.DN-2CN.:DM- BQ. BE=BE,'.△FBE△QBE(SAS)...EF=FQ DN.MDN=60,.'.△MDN是等边三角形,..MN= .AE-FQ+AQ...AE-EF+CF. DM-2BM-2CN-BM+CN...Q-AM+MN+AN= (2)解:结论 仍然成立.理由如下:如图1.在NC的延长线上截取CM BM,连接DM..'MBD= M CD=90{BD=CD. '.△DBM△DCM(SAS)...DM=DM.MDB= M DC..MDN=60.BDC=120*. MDB+ NDC= M DC+NDC=60”...M DN= MDN 圈2 60°.'MDN△MDN(SAS)..'.MN-MN-MC+ 图1 NC=BM+NC,*.△AMN的周长Q=AM+MN+AN= 关键点拨,在线段数量关系的探究题中,我们首先考虑最长线 段的长度等于其他线段的长度之和,因此可用“截长补短法”构 造全等三角形进行线段的转化. BM-MN.证明如下;如图2.在CN上截取CM.-BM,连接 4. 解:(1)MN一BM+NC.证明如下:如图1.延长NC到点E DM ..MBD=MCD-90*BD=CD.*△DBM 使CE-BM,连接DE.'·'△ABC为等边三角形,△BCD为等 △DCM(SAS)...DM-DM.MDB = MDC 小练大卷得高分·数学·八年级上册答案 .D25. ·MDN-60{。BDC-120{,同理(2)可得 M DN= 关键点拨根据勾股定理得到AC}+BC{}一AB,再结合半圆 MDN-60”..'.△MDN△MDN(SAS)..'MN-M N. 的面积公式、完全平方公式计算即可。 .NC-CM-MN...NC-BM-MN. 5. A解析:'OA-AA-AA-..-A-A-1.'由勾股 定理可得,OA=+-②,OA。=(②)+1 ③....OA-n.OA-⑧-2/② 关键点拨根据勾股定理找到OA.一Vn的规律是解题的 关键。 6. C 解析:如图,延长AD,BC交于点E.·.'A=90{} ABC=30{,E=90{-ABC=60” DCB=90”$ '. FCD=180*-DCB=90{ 'EDC=90*-E-30{$ 1f .CE-DE.在Rt△DCE 中,由勾股定理得 CD= 图1 图2 思路分析(1)先证明八MDN是等边三角形,则MN一DM= VDE-CE-DE-(DE)-pE.·CD- DN.再证明 RtDBMRtDCN,得 BM=CN. BDM= CDN-30{*,从而得DM-2BM,可得结论MN-2BM-BM+ $/3..$DE-4.$CE-2'.AD=2..'AE=AD+DE=2+ NC,利用等量代换得△AMN的周长Q-AM十AN十MN $$ -6 '$BE-2AE-2$6-12$$BC=BE-CE-12-2 AM+BM+CN+AN-AB十AC,从而得出Q的值;(2)如图1. 10.在Rt△BCD中,由勾股定理得BD=VCD十BC= 作辅助线,构造三角形全等,证明△DBM△DCM(SAS),从 (23)+10-4/7. 而得到DM-DM. BDM- CDM,再证明△MDN AMDN(SAS),从而得到MN=NM,最后可得结论MN BM+CN.的值的计算方法与第(1)题相同:(3)解题思路与 第(2)题相同,作辅助线构造全等三角形证明即可 第3章 勾股定理 小练1 勾股定理 思路分析 根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助 1. A 解析:设AC-a,BC=b,由题意,得a+b-6.a}+-$$ 线是解题的关键,延长AD,BC交于点E,先利用直角三角形的 20. BCD-90”'a+-(a+b)-2ab,'20-6-2ab。 .ab-8.. S0b-y×8-4. 两个锐角互余可得 E一60{},再利用平角定义可得 ECD一 90{ ,从而利用直角三角形的两个锐角互余可得 EDC一30*,然 后在Rt△EDC中,利用含30{角的直角三角形的性质及勾股定 2. A 解析:在Rt△ABC中. ACB=90{*},由勾股定理,得 理可得CE一2,DE-4,再在Rt△AEB中,利用含30角的直角 AC+BBC=AB*-15-225.'正方形ADEC与正方形 三角形的性质可得BE一12,从而求出BC的长,最后在 BCFG的面积和为AC*+BC*-225. Rt^BCD中,利用勾股定理进行计其即可解答。 关键点拨以直角三角形两条直角边的长为边长作正方形,这 7.C 解析:如图,过点A作AEIBC,垂足为E.由等腰三角形 两个正方形的面积和等于斜边长的平方. 的性质可知,AB-AC,BE一FC'.PB·PC-(BE+ 3.6解析:由题意,得5·()-AB,S:一 EP)(EC-EP)-(BE+EP)(BE一EP)-BE-EP.由勾 #1-(#){}-·B_s第-(C)}-· 股定理可知,BE-AB-AE,AE+EP-AP.'PB· PC=AB-AE-EP-AB-(AE+EP)-AB AP*-52-3{-16.此时点P恰好与点E重合,为BC的中点 CD.$-.(4)-1·AD.Ss.-· AB+BC--·(An+BC)S-S-· CD- AD-1.(CD-AD).:乙ABC-CAD- 90”..'AB+BC-AC.CD-AD-AC...AB+BC= 关键点拨 将PB·PC变形是解题的关键. 34 解析:如图,过点F作FHAB于点H,则 FHD一 S-$-S..S-6.S-4.S-16.6+4-16-S.S-6. 90=A..△DEF为等腰直角三角形../FDE- A 二思路分析先根据半圈的面积公式将S.S.S,S.分别用含 FHD-90*,DE-DF,EF-/②DF...DFH+ HDF AB,BC,CD,AD的式子表示,再根据勾股定理得出等式AB+ 90*=ADE十HDF,:.ADE=DFH..'△ADE BC-CD-AD,再转化为S十S.-S-S,即可求出结果。 △HFD(AAS)...HF-AD.HD-AE-2.·在Rt△ABC 4. A 解析:由勾股定理,得AC+BC-AB..S+S-7 中,AB-AC...B-45。.HF AB,.'.△BHF是等腰直 ·.(4)+()+AC·B-*. 角三角形..'BH-HF-AD·AB-AC-3...BH+DH+ (4h)-7. . AC·BC-14.. AB=AC干BC- AD-3..AD-HF= (AC+BC)-2AC·BC-8-2X14-6. 小练大卷得高分·数学·八年级上册答案 .D26.