专题6 共顶角顶点的等展三角形-【小练大卷得高分】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（苏科版）

BE=CD. ∠CBE.又'BC=BD,BE⊥CD,,∠ABC=2∠CBE △BED和△CDF中，∠B=∠C..△BED≌△CDF ∴∠ABC=2∠ACD. BD=CF, 关键点拨证法1利用等腰三角形的性质以及三角形内角和 (SAS),∴ED=DF.又G是EF的中点，.DG⊥EF 定理：证法2利用等腰三角形的性质以及同角的余角相等， 7.解：EF⊥BC理由如下：如图，延长EF交BC于点D.设 ∠AEF=∠AFE=∠BFD=x.:AB=AC.∴.∠B=∠C :∠B+∠C=∠BAE=180°-2x,.∠B=∠C=90°-， ∴.∠BDE=180°-∠B-∠BFD=180°-(90°-x)-x=90°， ,EF⊥BC D 图思路分析连接ED,DF,先利用全等三角形的判定定理证得 △BED≌△CDF,从而得出ED=DF,再根据等腰三角形“三线 合一”的性质得出结论。 B 3.解：相等.理由如下：：AB=AC,∴∠B=∠C.:P是底边BC 的中点.BP=CP.PDLAB,PELAC,∠BDP=∠CEP= 8.证明：，BC=BA,CV=BC,.BA=CN.,BC=BA,BD是 边AC上的中线，，BD是边AC上的高，，∠ADB=90, I∠BDP=∠CEP, 90°，在△BPD和△CPE中，∠B=∠C, ∴∠BAD+∠ABM=90.,CE是边AB上的高，∴∠AEC= .∴.△BPD≌ ∠AEN=90°，.∠BAD+∠NCA=90°，∠BAN+∠N=90, BP-CP. BM-CA. △CPE(AAS),.PD=PE +.解：△OMN是等腰直角三角形.理由如下：如图，连接OA. ∴∠ABM=∠NCA在△ABM与△NCA中，∠ABM=∠NCA, BA-CN. ,在△ABC中，∠A=90°，AB=AC,O是BC的中点，∴.AO= BO-CO.∠B=∠C=45°，AOLBC..∠OAC=∠C=∠B ∴.△ABM≌△NCA(SAS),.∠MAB=∠N,∴.∠BAN+ ∠MAB=90°，.∠MAV=90°，即MA⊥NA. AO-BO. 45.在△OAN和OBM中， ∠NAO=∠B,.△OAN≌ 专题六共顶角顶点的等腰三角形 AN-BM. 1.(I)证明：，△ABD,△BCE都是等边三角形，.AB=BD, △OBM(SAS),∴.ON=OM,∠AON=∠BOM又，∠BOM+ BC=BE,∠ABD=∠CBE=60°，∴，∠ABD+∠DBE ∠.AOM=90°，∴.∠NOM=∠AON+∠AOM=∠BM+ ∠DBE+∠CBE,即∠ABE=∠DBC.在△ABE和△DBC ∠AOM=90°，∴.△OMN是等腰直角三角形 (AB-DB. 中，∠ABE=∠DBC,△ABE2△DBC(SAS),,'.AE=CD BE=BC. (2)解：△BMN是等边三角形.证明如下：由(1)得△ABE☒ △DBC,AE=CD,∴.∠BAE=∠BDC.又：M,N分别是AE, CD的中点，∴.AM=DN又，'AB=DB,∴.△ABM2△DBN (SAS),.BM=BN,∠ABM=∠DBN,.∠DBM+∠DBN= ∠DBM什∠ABM=∠ABD=6O°，∴.△MBN是等边三角形. 5.证明：如图，过点E作EF⊥AC于点F,:EA=EC,AF=2.解：(1)△DBC和△EAC会全等.理由如下：：△ABC和 FC=号AC.:AC=2AB,.AF=AB.“AD平分∠BAC △EDC都是等边三角形，∴.BC=AC,DC=EC,∠ACB= ∠DCE=60°，.∠ACB-∠ACD=∠IDCE-∠ACD.即 ∴·∠BAD=∠CAD,即∠BAE=∠FAE.在△BAE和 (BC=AC. AB=AF. ∠BCD=∠ACE在△DBC和△EAC中，∠BCD-∠ACE, △FAE中， ∠BAE=∠FAE,∴.△BAE≌△FAE(SAS), DC=EC. AE-AE. ∴.△DBC≌△EAC(SAS).(2):△ABC是等边三角形， ∴∠ABE=∠AFE=90°.∴.EB⊥AB. ∴∠B=∠ACB=60.由(1)得△DBC≌△EAC,∴∠EAC= ∠B=60,.∠EAC=∠ACB,.AE∥BC.(3)结论AE∥ C仍然成立.理由如下：：△ABC,△EDC都是等边三角形， ∴.BC=AC,IC=EC,∠B=∠ACB=∠TDCE=60,∴.∠ACB+ ∠ACD=∠IDCE+∠ACD,即∠BCD=∠ACE.在△DBC和 BC=AC. 国思路分析AD是角平分线，要证AB⊥BE,联想到角平分线 △EAC中.∠BCD=∠ACE,.△DBCc≌△EAC(SAS). 上的点到角两边的距离相等，可考虑过，点E作EF⊥AC于点 DC=EC. F,根据等腰三角形“三线合一”的性质可得AC=2AF,再结合 ∴.∠EAC=∠B=60°，∴.∠EAC=∠ACB.∴.AE∥BC 已知条件AC=2AB可得AF=AB,最后证△BAE≌△FAE.从3.(1)证明：，△ABC和△APQ都是等边三角形，∴.AB=AC, 而得出结论。 AP=AQ,∠B=∠BAC=∠PAQ=6O°，.∴∠BAC-∠PAC= 6.证法1：：∠ACB=90°，.∠BCD=90°-∠ACD.又：BC ∠PAQ-∠PAC,即∠BAP=∠CAQ.在△ABP和△ACQ BD,∴.∠BIDC=∠BCD,.∠ABC=180°-2∠BCD= (AB=AC, 180°-2(90°-∠ACD)=2∠ACD.证法2：：∠ACB= 中，∠BAP=∠CAQ...△ABP2△A(Q(SAS),..∠AQ= 90°，..∠ACD+∠BCE=∠CBE+∠BCE=90,.∠ACD= AP-AQ. 小练大卷得商分·数学·八年级上册答案 ·D23· ∠B=60..∠ACQ=∠BAC..AB∥CQ.(2)存在点P 使得AQ⊥CQ,此时P为BC的中点.理由如下：由(1)得 △ABP2△ACQ,.∠ACQ=∠B=∠ACB=∠BAC=60°. BP=(CQ.,P为BC的中点，∴.PC=BP=CQ,.∠CQP= ∠QPC=2180°-∠PQ=7×(180-60-60)=30. :△APQ是等边三角形，.∠AQP=60,∴.∠AQC ∠AQP+∠CQP=60°+30°=90°，∴.AQ⊥QC 4.证明：(1)△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∴.AB= 图思路分析由已知条件“∠BAC=∠DAE”得“∠BAD AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°，，.∠BAD+∠BAC ∠CAE”,再根据全等三角形的判定定理“SAS”证得△ABD≌ ∠CAE十∠BAC,即∠CAD=∠EAB.在△CAD和△EAB △ACE,从而得出结论BD=CE:证明MA平分∠CMD,可考虑 AC-AE. 证明点A到∠CMD两边的距离相等，而这两个距离正好是一 中， ∠CAD=∠EAB,∴.△CAD≌△EAB(SAS),∴.BE= 对全等三角形对应边上的高， AD=AB. 7.(1D解：：∠DAE=∠BAC,.∠DAE-∠DAC=∠BAC DC.(2)如图，过点D作DG⊥EA交EA的延长线于点G ∠DAC,即∠CAE=∠BAD.在△ABD和△ACE中， 过点B作BH⊥AC于点H,则∠AGD=∠AHB=90°. AB-AC. ,∠CAE=90°，.∠CAG=90°=∠BAD,.∠CAG ∠BAD=∠CAE..△ABD≌△ACE(SAS).(2)解：a= ∠BAG=∠B.AD-∠BAG.即∠DAG=∠BAH.在△ADG AD-AE. ∠AGD=∠AHB, R证明如下：，∠DAE=∠BAC,.∠DAE十∠CAD= 和△ABH中，∠DAG=∠BAH,∴.△ADG≌△ABH ∠BAC+∠CAD,即∠CAE=∠BAD.在△ABD和△ACE AD=AB, (AB-AC. (AAS心DG=BH.又：Sam=号AC·BH,SAw 中，∠BAD=∠CAE,∴.△ABD≌△ACE(SAS),∴.∠ABD= AD-AE. 合AE·DG.且AC=ABSr=SAUE ∠A(CE.'∠ACD=∠ABD+∠BAC=∠ACE+∠DCE. ∴∠BAC=∠DCE,即a=A(3)根据题意画出图形如图所 示.a=BBC+CE=DC解析：∠IDAE=∠BAC, ∴∠DAE-∠BAE=∠BAC∠BAE,即∠BAD=∠CAE. AB=AC. 在△BAD和△CAE中， ∠BAD=∠CAE,∴.△BAD≌ AD=AE. 园关提点拨要证明SAr=SAE,可将边AE和边AC看作三 △CAE(SAS),.∠ADB=∠AEC,BD=CE.记AE与CD 角形的底，证明它们的高相等即可 交于点M.由三角形内角和定理，得∠ADB十∠DAE+ 5.(1)证明：，△ABC和△ADE都是等边三角形.∴.AB=AC ∠AMD=∠AEC十∠DCE+∠CME=I80°.又，'∠DAE AD=AE,∠BAC=∠DAE=6O°.∴.∠BAC+∠CAD= ∠BAC=&,∠DCE=A,∠AMD=∠CME,.∠ADB+a ∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE.在△ABD和△ACE ∠AEC+B,a=R:BC+BD=DC,∴.BC+CE-DC. (AB-AC. 中，∠BAD=∠CAE,.△ABD2△ACE(SAS).(2)①45 LAD-AE. 解析：：△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，.AB=AC, ∠B=∠ACB=45,AD=AE,∠BAC=∠DAE,∴.∠BAC+ ∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE.在△ACE AC-AB. 和△ABD中，∠CAE=∠BAD.∴.△ACE≌△ABD(SAS), 专题七半角模型 AE=AD. ∴∠ACE=∠B=45.②BC+CD=CE解析：由①得 1. 解：(1)补全图形如图1所示，(2)BE+DF=EF.证明如 △ACE≌△ABD,∴.CE=BD.又：BC+CD=BD..BC+ 下：如图2，延长FE到点H,使EH-EF,连接AH.由BE⊥ CD=CE. AP,易证AH=AF,.∠HAP=∠FAP=45°.四边形 园关键点拨证明△ACE2△ABD是解题的关键 ABCD为正方形，∴.AB=AD,∠BAD=90,由题意得 6.证明：(1).·∠DAE=∠BAC,.∠DAE十∠BAE=∠BMC+ ∠PAQ-45°，∴.∠BAP+∠2=45.∠1+∠BAP=45, ∠BAE,即∠BAD=∠CAE.在△ABD和△ACE中， ∴∠I=∠2，∴.△ABH≌△ADF(SAS),.BH=DF.BE BH=EH=EF,..BE+DF=EF. AB=AC, ∠BAD=∠CAE,∴.△ABD≌△ACE(SAS),∴.BD=CE. AD-AE. (2)如图，过点A分别作AF⊥BD于点F,AG⊥CE于点G. 由(1)得△ABD≌△ACE,∴.BD=(CE,S△D=S△E,即 2BD·AF=2CE·AG,AF=AG.又：AF⊥BD,AG CE,∴.点A在∠CMD的平分线上，即MA平分∠CMD. 图1 图2 小练大卷得商分·数学·八年级上册答案 ·D24.小练夫卷得高方数学八年级上册 专题公 共顶角顶点的等腰三角形 定议用时732分钟 答案D23 类型①双等边三角形共顶点 3.(难)如图，△ABC为等边三角 1.(中等)如图，点A,B,C在同一直线上， 形，P为BC上一点，△APQ为等 △ABD,△BCE都是等边三角形. 边三角形 (1)求证：AE=CD. (1)求证：AB∥CQ. (2)若M,N分别是AE,CD的中点，试判断 (2)是否存在点P使得AQ⊥CQ?若存在，请指 △BMN的形状，并证明你的结论 出点P的位置；若不存在，请说明理由。 2.(2022秋·山东德州期中，较 难)如图1，在等边三角形ABC 中，D是边AB上的动点，以CD 类型2双等腰直角三角形共顶点 为一边，向上作等边三角形 4.(中等)分别以△ABC的边AB,AC为边向 EDC,连接AE. 外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形 (1)△DBC和△EAC会全等吗？请说说你的 ACE,∠BAD=∠CAE=90° 理由 (1)如图1，连接BE,CD,求证：BE=DC (2)试说明AE∥BC的理由. (2)如图2，连接DE,求证：S△c=S△DE (3)如图2，将动点D运动到边BA的延长线 上，所作仍为等边三角形，请问(2)中结论 AE∥BC是否仍然成立？请说明理由. 图1 图2 图1 图2 50 错题记录 概念与分析 粗心与计算 方法与策略 第2章轴对称图形 5.(中等)(1)问题发现：如图1，△ABC和 7.(较难)在△ABC中，AB= △ADE都是等边三角形，点D在BC的延 AC,D是直线BC上一点，以AD 长线上，连接CE.求证：△ABD≌△ACE 为一边在AD的右侧作△ADE, (2)类比探究：如图2，△ABC和△ADE均为等 使AE=AD,∠DAE=∠BAC, 腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点D 连接CE,设∠BAC=a,∠DCE=R. 在BC的延长线上，连接CE (1)如图1，点D在线段BC上移动时，试说明 ①∠ACE的度数为 △ABD≌△ACE. ②线段BC,CD,CE之间的数量关系是 (2)如图2，点D在线段BC的延长线上移动时， 探索α与3之间的数量关系并证明. (3)当点D在线段BC的反向延长线上移动时， 请在图3上根据题意画出图形，并猜想α与 3之间的数量关系是 ,线段BC, DC,CE之间的数量关系是 图1 图2 图1 图2 类型3一般双等腰三角形共顶点 6.(较难)如图，已知点C,A,D 在同一条直线上，AB=AC, 图3 AD=AE,∠BAC=∠DAE,CE 与BD交于点M,连接AM. (1)求证：BD=CE. (2)求证：MA平分∠CMD. 错题记录 概念与分析 粗心与计算 方法与策略 51