专题5 利用三线合一作辅助线-【小练大卷得高分】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（苏科版）

小练夫卷得高方数学八年级上册 专题面利用三线合一作辅助线 定议用时26分钟☐答案022 类型①已知底边中点，作底边上的中线 3.(中等)如图，在△ABC中，AB=AC,P是底 1.(2023秋·常州天宁区期中，中等)如图，在 边BC的中点，PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别是 △ABC中，AB=AC,D是BC的中点，过点A的 D,E,PD与PE相等吗？请说明理由. 直线EF∥BC,且AE=AF.求证：DE=DF V 4.(较难)如图，在△ABC中， ∠A=90°，AB=AC,O是BC的 2.(中等)如图，在△ABC中，AB=AC,点D, 中点，如果在AB和AC上分别 E,F分别在边BC,AB,AC上，且BD=CF, 有一个动点M,N在移动，且在 BE=CD,G是EF的中点.求证：DG⊥EF 移动时保持AN=BM,请你判断△OMN的形 状，并说明理由. 48 错题记录 概念与分析 粗心与计算 方法与策略 0。年60 第2章轴对称圈形 类型2作等腰三角形底边上的高 7.(较难)如图，在△ABC中， 5.(较难)在△ABC中，AC= AB=AC,点E在CA的延长线 2AB,AD平分∠BAC交BC于 上，且∠AEF=∠AFE,试问直 点D,E是AD上一点，且EA= 线EF和BC有何种位置关系？ EC.求证：EB LAB. 为什么？ 6.(较难)小明遇到这样一个问 题：如图1，在△ABC中，∠ACB 90°，点D在AB上，且BD=BC, 8.(较难)如图，在△ABC中， 求证：∠ABC=2∠ACD. BC=BA,BD是边AC上的中 小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可 线，在射线BD上截取BM=AC, 以用下面的方法：如图2，过点B作BE⊥CD, CE是边AB上的高，在射线CE上 垂足为E,证明∠ABC=2∠ACD. 截取CV=BC,连接MA.,NA.求证：MA⊥NA 请从以上两种方法中任选一种，加以证明. 图1 图2 错题记录 概念与分析 粗心与计算 方法与策略 49②如图2.AB=AD,CD=BD,则∠ADB=∠ABD= z180°-∠A0=7×(180-809)=50,∠DBc=∠C :∠ADB=∠DBC+∠C.∴∠C=号∠ADB=25:图如 图3，AD=BD=CD,.∠DBA=∠A=80°，：∠ADB= 180°-∠A-∠DBA=180°-80°-80°=20°，.∠C= ∠DBC=号∠ADB=10,综上所述，∠C的度数为40或 25或10. 图3 图4 冒思路分析(1)利用等股三角形顶角的平分线也是底边上的高 图1 图2 图3 12.110或80°解析：：AB=AC,∴.∠C=∠B=40°.①当 解决问题：(2)耍分3种情况来讨论，当MN不是底边时，利用 抽对称变换和平行线的性质来解决问题 AD=AE时.∠AED=∠ADE-40°，：∠AED>∠C,.这 15.(1)证明：：AC=BC,.∠A=∠ABC.由旋转的性质，得 种情况不符合题意：②当DA=DE时，∠DAE=∠DEA= ∠A=∠A,A,C=AC=BC,∠ACA=∠BCB1=a,即 2(180-∠ADE)=号×(180-40）=70，：∠BAC= ∠ACF-=∠BCD,∴，∠A:=∠CBD.在△CBD与△CAF 180°-∠B-∠C=180°-40°-40°=100°，∴.∠BAD ∠CBD=∠A1, ∠BAC-∠DAE=100°-70°=30°，∴.∠BDA=180° 中，2BC=AC, ,∴.△CBD≌△CAF(ASA). ∠BAD-∠B=180°-30°-40°=110°：③当EA=ED时 ∠BCD=∠A,CF, ∠DAE=∠ADE=AO°，∴.∠BAD=∠BAC-∠DAE= (2)解：在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90,.∠CAB= 100°-40°=60°，.∠BDA=180°-∠BAD-∠B=180°- ∠CBA=45.由旋转的性质，得BC=BC,∴∠CB1B= 60°-40°=80°.综上所述，当△ADE是等腰三角形时， ∠CB.∴∠CBB=∠CBB=合180°-a0=90-2e, ∠BDA的度数是110或80°. 13.40'或140或100°解析：：AB=AC,∠B=50°，∠AED ∠BBD=∠CBB-∠CBM=90-2a-45°=45°-2a 70°，.∠EDB=20°.，△DEP是以∠EDP为顶角的等腰 三角形，DE=DP①如图1.点P在边AB上，：DE= (3)解：在△CBB中，CB=CB,.∠CBB=∠CBB= DP,.∠DPE=∠AED=70°，.∠EDP=180°-70° 专180°-a.又：△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC 70°=40°；②如图2，点P在边AC上，且与点E关于AD对 45.①若B,B=BD,则∠B,DB=∠BBD,:∠B1DB 称，连接AD,:AB=AC,D为BC的中点，∴.∠BAD= ∠CAD,过点D作DG⊥AB于点G,DH⊥AC于点H, 45+a,由(2)得∠BBD=45°-a45+a=45-7a, ÷DG=DH,在Rt△DEG与Ri△DPH中.DG=DH, DE-DP. a=0(舍去)：②：∠BBC=∠BBC>∠BBD,∴.BD> BD,即BD≠BD:③若BB=BD,则∠BDB=∠BBD, ∴.R△DEG≌Rt△DPH(HL),∴∠APD=∠AED=70°， :∠BAC=180°-50°-50°=80°，.∠EDP=140°：③如 即45十a=(180°-a),∴a=302.综上所述，当a=30时， 图3，点P在边AC上，且不与点E关于AD对称.同理②@ △BBD是等腰三角形. 可证Rt△DEG≌Rt△DPH(HL),.∠EIDG=∠PDH, 园关键点拨由旋转的性质可得对应边、对应角相等：涉及等腰 ,.∠EDP=∠GDH=1O0°.综上所述，∠EDP的度数是40 三角形的问题，在没说明哪条边是护时要分情况讨论 或140或100°. 专题五利用三线合一作辅助线 1.证明：如图，连接AD.AB=AC,D是BC的中点，∴AD⊥ BC.又，EF∥BC,.AD⊥EF,.∠DAE=∠DAF=90°.在 AE=AF. △DAE和△DAF中， ∠DAE=∠DAF,.△DAE≌ 图1 图2 图3 AD-AD. 14.解：(1)如图1所示.(2)能画出3个满足条件的等腰三角 △DAF(SAS)..DE=DF 形.①过点P作∠AOB的平分线的垂线，分别交OA,OB于 点M,N,则△OMN是等腰三角形，如图2所示：②过点P 作OA的垂线，分别交OA,OB于点E,F,在EA上取点G, 使EG=OE,连接FG,再过点P作FG的平行线，分别交 OA,OB于点M,V,则△(ON是等腰三角形，如图3所示： ③过点P作OB的垂线，分别交OA,OB于点E,F,在FB 上取点G,使FG=O,连接EC,再过点P作EG的平行 线，分别交OA,OB于点M,N,则△OMN是等腰三角形，2关键点拨利用等腰三角形三线合一的性质解答本题. 如图4所示. 2.证明：如图，连接ED,DF.AB=AC,.∠B=∠C在 小练大卷得商分·数学·八年级上册答案 ·D22. BE=CD. ∠CBE.又'BC=BD,BE⊥CD,,∠ABC=2∠CBE △BED和△CDF中，∠B=∠C..△BED≌△CDF ∴∠ABC=2∠ACD. BD=CF, 关键点拨证法1利用等腰三角形的性质以及三角形内角和 (SAS),∴ED=DF.又G是EF的中点，.DG⊥EF 定理：证法2利用等腰三角形的性质以及同角的余角相等， 7.解：EF⊥BC理由如下：如图，延长EF交BC于点D.设 ∠AEF=∠AFE=∠BFD=x.:AB=AC.∴.∠B=∠C :∠B+∠C=∠BAE=180°-2x,.∠B=∠C=90°-， ∴.∠BDE=180°-∠B-∠BFD=180°-(90°-x)-x=90°， ,EF⊥BC D 图思路分析连接ED,DF,先利用全等三角形的判定定理证得 △BED≌△CDF,从而得出ED=DF,再根据等腰三角形“三线 合一”的性质得出结论。 B 3.解：相等.理由如下：：AB=AC,∴∠B=∠C.:P是底边BC 的中点.BP=CP.PDLAB,PELAC,∠BDP=∠CEP= 8.证明：，BC=BA,CV=BC,.BA=CN.,BC=BA,BD是 边AC上的中线，，BD是边AC上的高，，∠ADB=90, I∠BDP=∠CEP, 90°，在△BPD和△CPE中，∠B=∠C, ∴∠BAD+∠ABM=90.,CE是边AB上的高，∴∠AEC= .∴.△BPD≌ ∠AEN=90°，.∠BAD+∠NCA=90°，∠BAN+∠N=90, BP-CP. BM-CA. △CPE(AAS),.PD=PE +.解：△OMN是等腰直角三角形.理由如下：如图，连接OA. ∴∠ABM=∠NCA在△ABM与△NCA中，∠ABM=∠NCA, BA-CN. ,在△ABC中，∠A=90°，AB=AC,O是BC的中点，∴.AO= BO-CO.∠B=∠C=45°，AOLBC..∠OAC=∠C=∠B ∴.△ABM≌△NCA(SAS),.∠MAB=∠N,∴.∠BAN+ ∠MAB=90°，.∠MAV=90°，即MA⊥NA. AO-BO. 45.在△OAN和OBM中， ∠NAO=∠B,.△OAN≌ 专题六共顶角顶点的等腰三角形 AN-BM. 1.(I)证明：，△ABD,△BCE都是等边三角形，.AB=BD, △OBM(SAS),∴.ON=OM,∠AON=∠BOM又，∠BOM+ BC=BE,∠ABD=∠CBE=60°，∴，∠ABD+∠DBE ∠.AOM=90°，∴.∠NOM=∠AON+∠AOM=∠BM+ ∠DBE+∠CBE,即∠ABE=∠DBC.在△ABE和△DBC ∠AOM=90°，∴.△OMN是等腰直角三角形 (AB-DB. 中，∠ABE=∠DBC,△ABE2△DBC(SAS),,'.AE=CD BE=BC. (2)解：△BMN是等边三角形.证明如下：由(1)得△ABE☒ △DBC,AE=CD,∴.∠BAE=∠BDC.又：M,N分别是AE, CD的中点，∴.AM=DN又，'AB=DB,∴.△ABM2△DBN (SAS),.BM=BN,∠ABM=∠DBN,.∠DBM+∠DBN= ∠DBM什∠ABM=∠ABD=6O°，∴.△MBN是等边三角形. 5.证明：如图，过点E作EF⊥AC于点F,:EA=EC,AF=2.解：(1)△DBC和△EAC会全等.理由如下：：△ABC和 FC=号AC.:AC=2AB,.AF=AB.“AD平分∠BAC △EDC都是等边三角形，∴.BC=AC,DC=EC,∠ACB= ∠DCE=60°，.∠ACB-∠ACD=∠IDCE-∠ACD.即 ∴·∠BAD=∠CAD,即∠BAE=∠FAE.在△BAE和 (BC=AC. AB=AF. ∠BCD=∠ACE在△DBC和△EAC中，∠BCD-∠ACE, △FAE中， ∠BAE=∠FAE,∴.△BAE≌△FAE(SAS), DC=EC. AE-AE. ∴.△DBC≌△EAC(SAS).(2):△ABC是等边三角形， ∴∠ABE=∠AFE=90°.∴.EB⊥AB. ∴∠B=∠ACB=60.由(1)得△DBC≌△EAC,∴∠EAC= ∠B=60,.∠EAC=∠ACB,.AE∥BC.(3)结论AE∥ C仍然成立.理由如下：：△ABC,△EDC都是等边三角形， ∴.BC=AC,IC=EC,∠B=∠ACB=∠TDCE=60,∴.∠ACB+ ∠ACD=∠IDCE+∠ACD,即∠BCD=∠ACE.在△DBC和 BC=AC. 国思路分析AD是角平分线，要证AB⊥BE,联想到角平分线 △EAC中.∠BCD=∠ACE,.△DBCc≌△EAC(SAS). 上的点到角两边的距离相等，可考虑过，点E作EF⊥AC于点 DC=EC. F,根据等腰三角形“三线合一”的性质可得AC=2AF,再结合 ∴.∠EAC=∠B=60°，∴.∠EAC=∠ACB.∴.AE∥BC 已知条件AC=2AB可得AF=AB,最后证△BAE≌△FAE.从3.(1)证明：，△ABC和△APQ都是等边三角形，∴.AB=AC, 而得出结论。 AP=AQ,∠B=∠BAC=∠PAQ=6O°，.∴∠BAC-∠PAC= 6.证法1：：∠ACB=90°，.∠BCD=90°-∠ACD.又：BC ∠PAQ-∠PAC,即∠BAP=∠CAQ.在△ABP和△ACQ BD,∴.∠BIDC=∠BCD,.∠ABC=180°-2∠BCD= (AB=AC, 180°-2(90°-∠ACD)=2∠ACD.证法2：：∠ACB= 中，∠BAP=∠CAQ...△ABP2△A(Q(SAS),..∠AQ= 90°，..∠ACD+∠BCE=∠CBE+∠BCE=90,.∠ACD= AP-AQ. 小练大卷得商分·数学·八年级上册答案 ·D23·