专题4 等腰三角形分类讨论-【小练大卷得高分】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（苏科版）

小练夫卷得高方数学八年级上册 专题四 等腰三角形分类讨论 定议用时35分钟 答案D21 类型①腰和底边不确定时需讨论 9.(较难)在△ABC中，AB= 1.(中等)等腰三角形两边的长分别为5和6， AC,AB的垂直平分线与边AC 则这个等腰三角形的周长为 所在的直线相交所得的锐角为 2.(较难)已知等腰三角形的周 50°，则∠C的度数为 长为17cm,其中一边长为5cm, 类型④图形分割问题中的分类讨论 则该等腰三角形的底边长为 10.(较难)已知△ABC是等腰三 角形，过△ABC其中一个顶点的 类型2顶角和底角不确定时需讨论 一条直线把△ABC分成两个小 3.(中等)若等腰三角形的一个角为100°，则这 三角形，如果这两个小三角形也是等腰三角形， 个等腰三角形底角的度数为 试求出△ABC各内角的度数（写出所有的 4.(较雄)若△ABC为等腰三角 情况. 形，∠A=40°，则∠B的度数为 5.(中等)已知等腰三角形的两个内角的度数 之比为1：2，则这个等腰三角形顶角的度数为 6.(较难)已知等腰三角形的一个 11.(较雄)已知△ABC中，∠A 外角等于100°，则这个等腰三角形 80°，过△ABC的顶点B的直线 顶角的度数为 将△ABC分割成两个等腰三角 类型3三角形形状不确定时需讨论 形，求∠C的度数（请画图分析）. 7.(中等)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角 为30°，则这个等腰三角形顶角的度数为 8.(2023秋·上海闵行区期中。 较难)若等腰三角形一腰上的高 与底边的夹角为35°，则这个等腰 三角形顶角的度数为 46 错题记录 概念与分析 粗心与计算 方法与策略 第2章轴对称圈形 类型5因动点引起的分类讨论 15.(难)如图，在△AB℃中，AC 12.(中等)如图，在△ABC中，AB=AC,∠B= BC,∠ACB=90°，将△ABC绕点 40°，点D在线段BC上运动（点D不与，点B,C C按逆时针方向旋转得到 重合)，连接AD,作∠ADE=40°，DE交线段 △ABC,旋转角为α(0°<a< AC于点E,在点D的运动过程中，△ADE的形 90),连接BB,设CB1交AB于点D,AB1分 状也在改变，当△ADE是等腰三角形时， 别交AB,AC于点E,F. ∠BDA的度数是 (1)求证：△CBD≌△CAF. (2)试用含a的代数式表示∠B,BD, (3)当a等于多少度时，△BBD是等腰三角形？ 4040 B1) 第12题图 第13题图 13.(较难)如图，在等腰三角形 ABC中，AB=AC,∠B=50°，D 为BC的中点，点E在边AB上， ∠AED=70°，若P是等腰三角形 ABC的腰上的一点，则当△DEP是以∠EDP 为顶角的等腰三角形时，∠EDP的度数是 14.(难)(1)如图1，P是∠AOB 的平分线上一点，试过点P画 一条直线，交∠AOB的两边 于点C,D,使△OCD是等腰 三角形，且CD是底边， (2)如图2，若点P不在∠AOB的平分线上，如 何过点P画直线与角的两边相交组成等腰 三角形？能画出几个满足条件的等腰三 角形？ 图1 图2 错题记录 概念与分析 粗心与计算 方法与策略 47得EF=DF=BF=CF=BC,可证△DEF是等腰三角形，再 55°=70°，是锐角，符合题意.综上所述，这个等腰三角形顶角 的度数为70°. 由三角形内角和定理及“等边对等角”求出∠EFD=60°，可得 △DEF是等边三角形，从而可求出BC的长. 9.(1)证明：：CD,BE分别是边AB,AC上的高，∴.∠BDC ∠BEC=90.:M是线段BC的中点.∴DM=号BC.EM= 图1 图2 专BC,DM=EM:N是线段DE的中点MN1DE 9.70°或20”解析：①如图1，当AB的垂直平分线MN与线段 (2)解：2∠A十∠DME=180°.推理过程如下：，∠ABC+ AC相交时，∠AMN=90°，∠ANM=50°，.∠A=90° ∠ACB=180°-∠A,DM=EM=BM=MC,,.∠BMD+ 50=40,:AB=AC∴∠C=∠B=2180°-∠A)=号× ∠CME=(180°-2∠ABC)+(180°-2∠ACB)=360° (180°-40)=70°：②如图2，当AB的垂直平分线与CA的 2(∠ABC+∠ACB)=360°-2(180°-∠A)=2∠A. 延长线相交时，∠NAB=90°-50°=40°，，AB=AC,,·∠C ,∠BMD+∠CME+∠DME-180°，∴.2∠A+∠DME-180. 园关提点拨根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可 ∠B=号∠NAB=号×40=20.综上所述.∠C的度数为 得DM=EM=2BC 70或20° 专题四等腰三角形分类讨论 1.16或17解析：①当等腰三角形的腰长为5，底边长为6时， 其周长为5+5+6=16：②当等腰三角形的腰长为6，底边长 为5时，其周长为5十6十6=17.综上所述，这个等腰三角形 的周长为16或17. 圈易错警示本题中没有明确指出等腰三角形的腰和底边，所以 要分类讨论. 图1 图2 2.7cm或5cm解析：当5cm是等腰三角形的底边长时，则 10.解：一共有4种情况.①如图1，AB=AC,AD=BD=CD, 其腰长是(17一5)÷2=6(cm),能够组成三角形：当5cm是 ∴∠B=∠BAD=∠CAD=∠C,根据三角形内角和定理. 等腰三角形的腰长时，则其底边长是17一5×2=7(cm),能 可得∠B+∠BAD+∠CAD+∠C=18O°，∴.∠B=∠BAD= 够组成三角形.综上所述，这个等腰三角形的底边长为5cm ∠CAD=∠C=45,∴.∠BAC=90°：②如图2，AB=AC= 或7cm. CD,AD=BD,设∠B=∠C=x,则∠BAD=x,.∠ADC= 3.40°解析：当等腰三角形的一个角为100°时，这个角一定是 2x,AC=CD,∠CAD=2x.∴.∠BAC=3x.∴x+3x+ 顶角，不可能是底角，故它的底角的度数为(180°一100°)÷ x=180°，解得x=36,∴.∠B=∠C=36,∠BAC=108: 2=40 ③如图3，AB=AC,AD=BD=BC,设∠A=T,则∠ABD 4.70或40或10°解析：①当∠Λ是顶角时，∠B=号× x∴∠BDC=2.x,:BD=BC,AB=AC,∴∠ABC=∠C ∠BDC=2x,∴.x十2x+2x=180°，解得x=36,”.∠A (180°-40)=70°：②当∠A是底角时，若∠B是底角，则 ∠B=40°：③当∠A是底角时，若∠B是顶角，则∠B=180° 36,∠ABC=∠C=72:①如图4，AB=AC.BC=CD, AD=BD.设∠A=x,则∠ABD=r,,.∠BDC=∠DBC= 40°×2=100°.综上所述，∠B的度数为70或40或100 5.36或90°解析：当顶角与底角的度数比是1：2时，则等腰 2x,.∠ABC=∠ACB=3x,.x+3x+3x=180°，解得x 三角形顶角的度数为180×1+2+2=36：当底角与顶角的 (I）∴∠A=(1),∠ABc=∠C=(49） 度数比是1：2时，则等腰三角形顶角的度数为180× 1十1十2一90，.综上所述，这个等腰三角形顶角的度数为36 2 或90 6.80°或20°解析：①若100°是顶角的外角，则顶角的度数为 180°一100=80°：②若100°是底角的外角，则底角的度数为 180°一100°=80°，那么顶角的度数为180°一2×80°=20°.综 上所述，这个等腰三角形顶角的度数为80°或20°. 7.60°或120°解析：如图1，当高在三角形内部时，顶角是60°： 如图2.当高在三角形外部时，顶角是120 30P 30 图3 图4 图1 图2 调关键点拨本题没有给出图形，需要通过画图进行分类讨论解 8.70°解析：①如图1，当顶角是钝角时，∠B=90°-35°=55°，题.注意考虑问题要全面，任何一边都可能是腰. 这个等腰三角形顶角的度数为180°-2×55°=70°，不是纯11.解：①如图1，AB=BD-CD,则∠ADB=∠A=80°，∠DBC= 角，不符合题意，舍去：②如图2，当顶角是锐角时，∠B 90°一35=55，这个等腰三角形顶角的度数为180°-2× ∠C,:∠ADB=∠DBC+∠C.·∠C=2∠ADB=40: 小练大卷得商分·数学·八年级上册答案 ·D21· ②如图2.AB=AD,CD=BD,则∠ADB=∠ABD= z180°-∠A=7×(180-809)=50,∠DBC=∠C :∠ADB=∠DBC+∠C.∴∠C=号∠ADB=25:图如 图3，AD=BD=CD,.∠DBA=∠A=80°，：∠ADB= 180°-∠A-∠DBA=180°-80°-80°=20°，.∠C= ∠DBC=号∠ADB=10,综上所述，∠C的度数为40或 25或10. 图3 图4 冒思路分析(1)利用等股三角形顶角的平分线也是底边上的高 图1 图2 图3 12.110或80°解析：：AB=AC,∴.∠C=∠B=40°.①当 解决问题：(2)耍分3种情况来讨论，当MN不是底边时，利用 抽对称变换和平行线的性质来解决问题 AD=AE时.∠AED=∠ADE-40°，：∠AED>∠C,.这 15.(1)证明：：AC=BC,.∠A=∠ABC.由旋转的性质，得 种情况不符合题意：②当DA=DE时，∠DAE=∠DEA= ∠A=∠A,A,C=AC=BC,∠ACA=∠BCB1=a,即 2(180-∠ADE)=号×(180-40）=70，：∠BAC= ∠ACF-=∠BCD,∴，∠A:=∠CBD.在△CBD与△CAF 180°-∠B-∠C=180°-40°-40°=100°，∴.∠BAD ∠CBD=∠A1, ∠BAC-∠DAE=100°-70°=30°，∴.∠BDA=180° 中，2BC=AC, ,∴.△CBD≌△CAF(ASA). ∠BAD-∠B=180°-30°-40°=110°：③当EA=ED时 ∠BCD=∠A,CF, ∠DAE=∠ADE=AO°，∴.∠BAD=∠BAC-∠DAE= (2)解：在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90,.∠CAB= 100°-40°=60°，.∠BDA=180°-∠BAD-∠B=180°- ∠CBA=45.由旋转的性质，得BC=BC,∴∠CB1B= 60°-40°=80°.综上所述，当△ADE是等腰三角形时， ∠CB.∴∠CBB=∠CBB=合180°-a0=90-, ∠BDA的度数是110或80°. 13.40'或140或100°解析：：AB=AC,∠B=50°，∠AED ∠BBD=∠CBB-∠CBM=90-2a-45°=45°-2a 70°，.∠EDB=20°.，△DEP是以∠EDP为顶角的等腰 三角形，DE=DP①如图1.点P在边AB上，：DE= (3)解：在△CBB中，CB=CB,.∠CBB=∠CBB= DP,.∠DPE=∠AED=70°，.∠EDP=180°-70° 号180°-a.又：△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC 70°=40°；②如图2，点P在边AC上，且与点E关于AD对 45.①若B,B=BD,则∠B,DB=∠BBD,:∠B1DB 称，连接AD,:AB=AC,D为BC的中点，∴.∠BAD= ∠CAD,过点D作DG⊥AB于点G,DH⊥AC于点H, 45+a,由(2)得∠BBD=45°-a45+a=45-7a, ÷DG=DH,在Rt△DEG与Ri△DPH中.DG=DH, DE-DP. a=0(舍去)：②：∠BBC=∠BBC>∠B,BD,∴.BD> BD,即BD≠BD:③若BB=BD,则∠BDB=∠BBD, ∴.R△DEG≌Rt△DPH(HL),∴∠APD=∠AED=70°， :∠BAC=180°-50°-50°=80°，.∠EDP=140°：③如 即45十a=(180°-a),∴a=302.综上所述，当a=30时， 图3，点P在边AC上，且不与点E关于AD对称.同理②@ △BBD是等腰三角形. 可证Rt△DEG≌Rt△DPH(HL),.∠EIDG=∠PDH, 园关键点拨由旋转的性质可得对应边、对应角相等：涉及等腰 ,.∠EDP=∠GDH=1O0°.综上所述，∠EDP的度数是40 三角形的问题，在没说明哪条边是护时要分情况讨论 或140或100°. 专题五利用三线合一作辅助线 1.证明：如图，连接AD.AB=AC,D是BC的中点，∴AD⊥ BC.又，EF∥BC,.AD⊥EF,.∠DAE=∠DAF=90°.在 AE=AF. △DAE和△DAF中， ∠DAE=∠DAF,.△DAE≌ 图1 图2 图3 AD-AD. 14.解：(1)如图1所示.(2)能画出3个满足条件的等腰三角 △DAF(SAS)..DE=DF 形.①过点P作∠AOB的平分线的垂线，分别交OA,OB于 点M,N,则△OMN是等腰三角形，如图2所示：②过点P 作OA的垂线，分别交OA,OB于点E,F,在EA上取点G, 使EG=OE,连接FG,再过点P作FG的平行线，分别交 OA,OB于点M,V,则△(ON是等腰三角形，如图3所示： ③过点P作OB的垂线，分别交OA,OB于点E,F,在FB 上取点G,使FG=O,连接EC,再过点P作EG的平行 线，分别交OA,OB于点M,N,则△OMN是等腰三角形，园关键点拨利用等腰三角形三线合一的性质解答本题. 如图4所示， 2.证明：如图，连接ED,DF.AB=AC,.∠B=∠C在 小练大卷得商分·数学·八年级上册答案 ·D22.