小练10 等腰三角形的判定与等边三角形-【小练大卷得高分】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（苏科版）

6.解：(1)①：∠B=∠C=45.∴.∠BAC=90°.：∠ADC是 ∴.BN=DV,即N是BD的中点 △ABD的外角，∴.∠ADC=∠1+∠B=60°+45°=105 ∠DAE=∠BAC-∠1=90°-60°=30°，∴.∠AED=∠4= 75°，∴.∠2=∠ADC-∠4=105°-75°=30°，②∠1= 2∠2.证明如下：：∠ADC是△ABD的外角，∴.∠ADC= ∠1+45.'∠DAE=90°-∠1，·.∠AED=∠4=2(180° 90+∠1)=45+2∠1，∴.∠2=∠A0C-∠4=∠1+45°- 小练10等腰三角形的判定与等边三角形 1.D解析：如图，延长CB到点E,使BE=CD,连接AE (45+2∠4）=2∠1，即∠1=2∠2.(2)：∠B=∠C ∴∠ABE+∠ABC=180.∠BAD=∠BCD=90.∴.∠D+ ∴.∠DAE=180°-∠B-∠C-∠1=180°-2∠C-∠1， ∠ABC=180°，，∴.∠D=∠ABE.,AD=AB,BE=DC ∠ADC=∠1+∠B=∠1+∠C.又：∠4=∠AED=∠2+ ,",△ABE≌△ADC(SAS),.∠EAB=∠CAD,AE=AC. ∠C=∠ADC-∠2，∴.∠2+∠C=∠1+∠C-∠2.∴∠1= S△AE=S△Mx,.∠CAB+∠EAB=∠CAB+∠CAD=90°， 2∠2. 即∠EAC=90°，·△EAC是等腰直角三角形，，Sg功ED= 7.B解析：延长AP交BC于点E.:BP平分∠ABC, ∴∠ABP=∠EBP.又，AP⊥BP,.∠APB=∠EPB= 90°..△ABP≌△EBP(ASA),.AP=PE,.Saw Sm,Sg=Sm,Sm=Sm=是X2 1(m2). 8.证明：(1)，BD=CD,,∠DBC=∠DCB.又，'∠ABD ∠ACD,'.∠DBC+∠ABD=∠DCB+∠ACD,即∠ABC ∠ACB,∴.AB=AC.(2)如图，延长AD交BC于点E.在 BD=CD. △ABD和△ACD中， ∠ABD=∠ACD,.△ABD≌ 圜思路分析延长CB到，点E,使BE一CD,连接AE,证明 AB-AC. △ACD(SAS),∴.∠DAB=∠DAC,即∠EAB=∠EAC又 △ABE2△ADC(SAS),由全等三角形的性质得出∠EAB= ,'AB=AC,.AE⊥BC,即AD BC ∠CAD,AE=AC,SN=S△Nx,即可得出答案. 2.D解析：在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于 点O,∴.∠OBC=∠OBE,∠OCB=∠OCF,,EF∥BC, ∴∠OBC=∠EOB,∠(OXCB=∠FOC,.∠EOB=∠OBE, ∠FOC=∠OCF,∴.BE=(OE,CF=OF,∴.EF=OE+OF= BE+CF,故①正确：，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平 分线相交于点O,·∠OBC=专∠ABC,∠OCB= 恩关键点拨熟练掌握等腰三角形“等边对等角”“三线合一”的 2∠ACB.又：∠ABC+∠ACB=180°-∠A,∠0BC+ 性质以及全等三角形的判定定理是解答本题的关键 9.(1)证明：①CA=CB,CD=CE,∠CAB=∠CED=a, ∠0CB=80-号∠A.∴∠B0C=18r°-（∠OC+∠0CB) ∴.∠ACB=∠DCE=180°-2a,∴.∠ACB-∠DCB=∠DCE -∠DCB,即∠ACD=∠BCE.在△BCE和△ACD中， 90+号∠A,故②正确：如图，过点O作OMLAB于点M, BC-AC, 作ON⊥BC于点N,连接OA.:在△ABC中，∠ABC和 ∠BCE=∠ACD,∴.△BCE≌△ACD(SAS),∴，BE=AD. ∠ACB的平分线相交于点O,∴OV=OD=OM,故③正确： CE-DC. ②解：：△ACD≌△BCE,.∠CAD-∠CBE=a+∠BAO :OD=OM=m,∴Sae=Sae+Sar=2AE·OM+ :∠ABE=∠AOB+∠BAO,.∠CBE+a=∠AOB+ ∠BAO,.∠BAO+a+a=∠AOB+∠BAO,.∠AOB 之AF,OD=OD·(AE+AF)=m,故①正确，综上 2a.(2)证明：如图，过点B作BP⊥MN交MN的延长线 所述，正确的结论有①②③④，共4个 于点P,过点D作DQ⊥MN于点Q,则∠BPN=∠LDQN 90°.又.CMLAE,.∠AMC=90°.又，CA=CB,∠CAB a=45°，，∴.∠ACB=90°，，.∠AC1M+∠BCP=90°.又 :∠ACM+∠CAM=90°，.∠BCP=∠CAM在△CBP和 ∠CPB=∠AMC, △ACM中，∠BCP=∠CAM,,∴.△CBP≌△ACM(AAS), 冒思路分析由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和 CB-AC. △CFO都是等腰三角形，从而得出EF=BE十CF,故①正确：根 BP=CM:同理，CM=DQ.BP=DQ.在△BPN和据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得∠BC= ∠BNP=∠DNQ. △DQN中，∠BPN-∠DQN,∴.△BPN≌△DQN(AAS), 90°十2∠A,故②正确：由角平分线的性质得出点O到△ABC BP-DQ. 各边的距离相等，故③正确：由角平分线定理与三角形面积的求 小练大卷得商分·数学·八年级上册答案 ·D18. 解方法，即可求得S8g=之m:故①正确， CE是△ABC的外角平分线，∴·∠ACE=60°，∠DCE= ∠ACB+∠ACE=120°.又：∠AGD=180°-∠BGD= 3.1)解：AB=AC,∠BAC=36.∴∠B=∠ACB=7(180 120°，∴.∠DCE=∠AGD.:∠ADE=60°，∴.∠ADB+ ∠EIDC=180°-∠ADE=120°=∠ADB+∠DAG ∠BAO=是×180-36)=72.：CD是∠ACB的平分 I∠AGD=∠DCE, .∠EIC=∠DAG在△AGD和△DCE中，AG=DXC, 线.∠DCB=号∠ACB=号×7z=36,∠AC=∠B+ ∠DG=∠EDC. ∠DCB=72+36=108°，(2)①证明：，AE∥BC, .△AGD2△DE(ASA).,.AD=DE.②'△AGD≌ ∴∠EAB=∠B=72.,∠B=72°，∠DCB=36.∴.∠ADE △DCE,GD=CE.由①得△BDG是等边三角形，.BD= ∠BDC=180°-∠B-∠DB=180°-72°-36°=72. GD.∴.BD=CE.又由①得∠ACB=∠ACE=60,∴.∠EF= ∴∠EAD=∠ADE,.AE=DE,即△ADE是等腰三角形. 60°.EF⊥BC,∠CEF=30°，∴.CE=2CF,.BC=DC+ ②解：△ACE是等题三角形.理由如下：：CD是∠ACB的 BD=DC十CE=DC+2CF,(2)解：AD=DE成立，BC 平分线，∴∠BCE=∠ACE.AE∥BC,.∠BCE=∠E, DC+2CF不成立.理由如下：如图2，过点D作DG∥AC交 .∠ACE=∠E,,.AE=AC,.△ACE是等腰三角形. BA的延长线于点G.同理(1)可得AG=DC,∠ACE 4.60°解析：如图，延长BD到点E,使ED=CD,连接AE. ∠DCE=60°，∠AGD=60°，.∠DCE=∠AGD,∠BCE= ,AB=BD+CD=BD+ED=BE,∠ABD=6O,∴.△ABE ∠ACB+∠ACE=120°.：∠DAG=∠B+∠ADB=60°+ 是等边三角形，，∴.∠E=60°，AB=AC=AE.在△ACD和 ∠ADB,∠EIC=∠AIDE+∠ADB=6O°+∠ADB,∴.∠DAG= AC-AE. I∠AGD=∠DCE, △AED中，CD=ED.∴.△ACD2△AED(SSS),∴.∠ACD ∠EDC.在△AGD和△DCE中.AG=DC. AD-AD. ∠DAG=∠EDC. ∠E=60° ∴△AGD2△DCE(ASA),∴AD=DE,GD=CE.同理(1) 中②可得BD=CE,CE=2CF,此时BC=BD-DC=CE DC=2CF-DC. C 窗思路分析延长BD到，点E,使ED=CD,连接AE,先证明 △ABE是等边三角形，得AB=AC=AE,再证明△ACD≌ △AED,则∠ACD=∠E=60°. 图1 图2 5.4或36解析：①如图1，当点M在AB的延长线上时，过点 臀思路分析要证明两条线段相等，常考虑将这对线段放到一对 M作MD⊥AC于点D,则∠ADM=90°.，△ABC为等边三 三角形中证全等，AD和DE所在的△ABD和△DCE显然不全 角形，.AC=AB=10,∠A=60°，∴.∠AMD=30°.又AM= 等，但是∠BAD=∠CDE,AD=DE(待证)，因此考虑将△ABD 16,AD=2AM=2×16=8,∴CD=AC-AD=10-8= 戴掉一部分或补上一部分，构造全等三角形. 7.解：(1)：△ABC是等边三角形，PQ∥AC,∴∠BQP=∠C 2..MN=MC.MD CN...DN=CD,..CN=2CD=2X 60.∠BPQ=∠A=∠B=60°，.∠B=∠BQP=∠BPQ, 2=4.②如图2，当点M在B4的延长线上时，过点M作 △BPQ是等边三角形，BP=BQ=6.由题意，得AP=t, MD⊥CN于点D,则∠ADM=90,,'△ABC为等边三角 则BP=9-1,,.9一1=6，解得1=3.(2)①当点Q在边BC 形，.AC=AB=10,∠DAM=∠BAC=60°，∴.∠AMD= 上时，△APQ不可能为等边三角形：②当点Q在边AC上 30.又：AM=16.AD=号AM=号X16=8,CD= 时，若△APQ为等边三角形，则AP=AQ由题意，得AP= 1.BC+CQ=21...AQ-BC+AC-(BC+CQ)=9+9-21= AC+AD=10+8=18.MN=MC,MD⊥CN,∴.DN=CD, 18-21,1=18-21,解得1=6，.当1=6时，△APQ为等边 .CN=2CD=2×18=36.综上所述，CV的长为4或36. 三角形. 恩关键点拨本题以动点问题为背景，根据等边三角形、等腰三 角形的性质寻找等量关系，列方程求解：在比较复杂的动点问题 中，要注意分类讨论 8.(I)2。解折：AB=AC,∠BAC=a∠AC=∠ACB 2180-∠BA0=180°-a)=90°-a“∠ACD与 图1 图2 ∠BAC互余，.∠ACD=90°-a,.∠DCB=∠ACB- 圆易错警示注意本题的条件“点M在边AB所在直线上”，点 ∠ACD=90°-a-(90°-a)=a(2)证明：如图1，过 M可能在AB的延长线上，也可能在BA的延长线上. 6.(1)证明：①如图1.过点D作DG∥AC交AB于点G 点A作AE⊥BC于点E.:AB=AC,AC=AD,∴·∠EAC= :△ABC是等边三角形，.AB=BC,∠B=∠ACB=60°， 2∠BC.∠ACH=号∠ACD,CE=号BC.·∠EAC+ ∴∠BDG=∠ACB=60°，.∠BGD=60°，∴.△BDG是等边 三角形，.BG=BD,.AB一BG=BC一BD,即AG=DC ∠ACH=(∠BAC+∠ACD).'∠ACD与∠BAC互补， 小练大卷得商分·数学·八年级上册答案 ·D19· ∴∠EAC+∠ACH=号X180°=90.'∠EAC+∠ACE ∠BAE)=180°-60°=120 90°，.∠ACE=∠ACH.又：∠AHC=∠AEC=90,AC AC,△ACH≌△ACE(AAS).∴.CH=EC=号BC B 窗思路分析利用直角三角形斜边上中线的性质及已知条件证 得△CFD是等边三角形，从而得出∠CFD=60°，再根据三角形 的外角性质和三角形内角和定理求出∠AEB的度数. 4.D解析：：∠ABC=90,BD为边AC上的中线，.BD= AC,又：BD=5,AC=10.又：△ABC的面积为20，即 1 图1 (3)解：∠ACD=∠BAC或∠ACD+∠BAC=180.理由如 下：如图2，过点D作DM⊥AC于点M,过点B作BN⊥AC AC…BE-20BE=4 于点N,“△ABC与△ACD的面积相等，∴之AC·BN= 5.B解析：如图，连接CM,CN.M,N分别是DE,AB的中 AC·DMBN=DM又：AB=AC.AC=CD.CD 点，∠ACB=90.CN=2AB=号×10=5.CM=号DE AB.∴.Rt△DMC≌Rt△BNA(HL),∴.∠ACD=∠BAC.如 立×4=2.当点C,M,N在同一直线上时，MN取得最小值， 图3，过点C作CF⊥AB于点F,过点D作DGLAC交AC的 最小值为CN-CM=5-2=3. 延长线于点G”△ABC与△ACD的面积相等.…号AC· DG-AB,GR,DG=CE.又：AC=CD.R△ACFP≌ R△CDG(HL),.∠BAC=∠DCG.又，∠IDCG+∠ACD 180°.∴.∠BAC+∠ACD=180 置思路分析连接CM,CN,可得CV=?AB,CM=2DE都为 定值，当点C,M,V在同一直线上时，MN取得最小值 6.解：(1)：∠BAD=∠BCD=90°，O为BD的中点，BD=10, AO-BD=5.C0-BD=5.AC-8Ce=AC+ AO+CO=8+5+5=18,即△MC的周长为18(2)：∠B4D= 90,O为BD的中点，.A0=0∠ABD=60°，.∠0AB 图2 图3 ∠ABD=60°，∴∠A(OB=180°-∠(OAB-∠ABD=180°-60 小练11直角三角形斜边上中线的性质 一60=60°，同理可得∠COB=180°-∠CBD-∠CB=180°- 1,150°解析：，∠A(CB=90°，D是斜边AB的中点，.CD 50°-50°=80°，∴.∠AOC=∠AOB+∠(OB=60°+80° BD=AD=号AB.:∠B=60,.△BCD是等边三角形， 140.:0A=0C.∴∠0CA=∠0AC=号(180-∠A0C)= ∴∠BCD=60°，.∠ACD=∠ACB-∠BCD=90°-60° 30°.：m∥n,∴.∠CEF=180°-∠ACD=180°-30°=150. 7×180°-1409=20 2.100°解析：：CE⊥BA,∠B=40°.∴∠BCE=50°.，AF⊥7.解：平行.理由如下：：AE⊥CD于点E,F为AC的中点， BC,CELBA.P为AC的中点∴PF=号AC=PC.PE- ∴EF=C℉（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， ,·∠FEC=∠ACE.又，CD是△ABC的角平分线， AC-Pe∴∠PRC=∠PCr.∠PirC=∠PRE∠EPF= ,.∠ACE=∠BCE,',∠FEC=∠BCE,.EF∥BC(内错前 相等，两直线平行). 2∠PCF+2∠PCE=2∠BCE=2×50°=100°. 8.(1)证明：BD,CE分别是边AC,AB上的高，.∠BDC= 3.120°解析：如图，取AB的中点F,连接CF,DF:∠ACB= ∠CEB=90°，∴.△BCD和△BCE都是直角三角形.：F是 ∠ADB=9O.CF=AF=BF=2AB=DF.又CD=m, BC的中点，∴EF=DF=BF=CP=号BC.∴.△DEF是等 AB=2m.∴CD=号AB.CF=DF=CD∴.△CDF是等边 腰三角形.(2)解：由1)得EF=DF=BF=CF=号BC, 三角形，∴∠CFD=60°，∴.∠AFC+∠BFD=120°.：CF BF,AF=DF,∴.∠AFC=2∠ABE,∠BFD=2∠BAE ∴∠BEF=∠ABC,∠CDF=∠ACB.:∠A=6O, ·∠ABC+∠ACB=120°，.∠BFE+∠CFD=360° ∴∠ABE+∠BAE-2∠AFC+?∠BFD=Z(∠AFC+ 2(∠ABC+∠ACB)=120°，∴.∠EFD=60°，.△DEF是等 边三角形，.EF=DE=2..BC=2EF=2×2=4. ∠BFD)=号X120°=60，·∠AEB=180°-（∠ABE+ 同思路分析根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可 小练大卷得商分·数学·八年级上册答案 ·D20·小练夫卷得高方数学八年级上册 小练D 等腰三角形的判定与等边三角形 定议用时22分钟 答案D18 练重点 ①求证：△ADE是等腰三角形 ②判断△ACE是否是等腰三角形，请先写 重点①等腰三角形的判定 出结论，再说明理由， 1.(2022·山东泰安自主招生，较 难)如图，在四边形ABCD中，AB= AD,∠BAD=∠BCD=90°，连接 AC.若AC=6,则四边形ABCD 的面积为 A.12 B.14 C.16 D.18 重点2等边三角形的判定与性质 4.(安徽芜湖镜湖区自主招生， 第1题图 第2题图 较难)如图，在凸四边形ABCD 2.(苏州太仓市自主招生，较难) 中，AB=AC=BD+CD,∠ABD 如图，在△ABC中，∠ABC和 60°，则∠ACD的度数为 ∠ACB的平分线相交于点O,过 点O作EF∥BC交AB于点E, 交AC于点F,过点O作OD⊥AC于点D.现有 下列四个结论：①EF=BE+CF:②∠BOC= 90°+2∠A:③点0到△ABC各边的距离相 5.(2022春·河南商丘期末，较 等：④设OD=m,AE十AF=n,则S△r= 难)已知△ABC为等边三角形， 2mm.其中正确的结论有 AB=10,点M在边AB所在直线 上，点N在边AC所在直线上，且 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 MN=MC.若AM=16,则CV的长为 3.(2022秋·浙江杭州期末，较 6.(难)在等边三角形ABC中，D 难)如图，在△ABC中，AB=AC, 为射线BC上一点，CE是△ABC ∠BAC=36°，CD是∠ACB的平 的外角的平分线，∠ADE=60°， 分线，交AB于点D. EF⊥BC,垂足为F (1)求∠ADC的度数， (1)如图1，若点D在线段BC上，求证：①AD= (2)过点A作AE∥BC,交CD的延长线于 DE:②BC=DC+2CF. 点E. 2 错题记录 概念与分析 粗心与计算 方法与策酪 第2章轴对称圈形 (2)如图2，若点D在线段BC的延长线上，(1) 练思维 中的两个结论是否仍然成立？请说明理由. 8.(2022秋·北京海淀区期末 难)已知在△ABC中，AB=AC, 且∠BAC=a.作△ACD,使得 AC-CD. (1)如图1，若∠ACD与∠BAC互余，则∠DCB= 图1 图2 (用含a的代数式表示) (2)如图2，若∠ACD与∠BAC互补，过点C作 CH⊥AD于点H,求证：CH=2BC (3)若△ABC与△ACD的面积相等，则∠ACD 与∠BAC应满足什么关系？请直接写出你 的结论 7.(2022秋·苏州吴江区月考， 较难)在边长为9的等边三角形 ABC中，Q是边BC上一点，P是 边AB上一动点，且以1个单位 图 图2 长度s的速度从点A向点B运动，设运动时间 为ts (1)如图1，若BQ=6,PQ∥AC,求t的值. (2)如图2，若点P从点A向点B运动，同时点 Q以2个单位长度/s的速度从点B经点C 向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边 三角形？ 图1 图2 错题记录 概念与分析 粗心与计算 方法与策略 43