小练8 三角形的内角平分线-【小练大卷得高分】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（苏科版）

第2章 轴对称图形 小练8 三角形的内角平分线 25分钟 建议用时 D16 练重点 A. 72* B. 27* C. 54” D. 108{ 重点 与三角形的内角平分线交点相关的三角 4.(2023春·山东济南期末,中等)如图,在锐 形面积 角三角形ABC中,直线/为边BC的垂直平分 1.(中等)如图,AE,BE,CE分别平分 BAC. 线,射线BP为 ABC的角平分线,且直线/与 /ABC,ACB,ED |BC于点D,ED=1. 射线BP相交于点P.若 A=64^{*},ACP △ABC的周长为24,则△ABC的面积为 ( 26{},则 ABP的度数为 ) ) A.30{ A.4 B.6 B. 32* C.34* D. 12 C. 24 D.36* 2.(中等)如图,ABC的三边AB,BC,CA的 5.(2022秋·南通启东市期中,中等)如图,1 长分别为30,40,15,P是三条角平分线的交点; 为△ABC的三个内角的平分线的交点,AC-4. AP.BP,CP将△ABC分成三个三角形,则 BC-6,AB-5,将 ACB平移使其顶点C与点 _ S.aeB.Sarc.Scpa等于 ) I重合,则图中阴影部分的周长为 A.1:1:1 B. 6:8:3 C. 5:8:3 D. 4:5:3 6.(难)如图,在Rt△ABC中. 重点 与三角形的内角平分线交点相关的角的 /C一90{},两锐角的角平分线交 度数或周长 于点P,点E,F分别在边BC,AC 3.(中等)如图,0是△ABC内一点,且点O到 上,且都不与点C重合,连接EE △ABC三边的距离相等,若 BOC=126^{*,则 当AC-6,BC=8,AB=10时,若 /EPF=4 5^$$$ 乙A的度数为 ( ) 则△CEF的周长为 错题记录 概念与分析 粗心与计算 方法与策略 小练大卷得高分 数学八年级上册 重点3 与三角形的内角平分线交点相关的证明 练思维 7.(较难)如图,在△ABC中,D 9.(难)在RtABC中,/BAC 为边BC的中点,DE BC交 90{,BD平分/ABC,M为直线 /BAC的平分线于点E,EF AC上一动点,ME |BC,E为垂 AB交AB 于点F,FG AC交 足, AME的平分线交直线AB AC的延长线于点G,试猜想BF与CG的数量 于点F. 关系,证明你的结论 (1)如图1,M为边AC上的一点,试猜想BD. MF的位置关系,并给出证明。 (2)如图2,M为边CA延长线上的一点,试猜想 BD.MF的位置关系,并给出证明 (3)如图3,M为边AC延长线上的一点,先补全 图形,再猜想BD,MF的位置关系,并给出 证明. 8.(2022·湖南衡阳衡阳县自主 图1 图2 招生,较难)如图,在八ABC中 AC- 2AB,AD平分BAC,且 AD=BD.求证:CD AC 图3 概念与分析 粗心与计算 错题记录 方法与策略DF.'AB=m,AC=n.'S·So=(AB·DE): (AC.DF)-m.n. (3)解:.AD-DE,..S: Sm-1.1..S=2.S-2..AC-2.AB-4 AD平分CAB...由(2)知SA·S=AB:AC-2: 1.S-1..S=Sr+S=2+1-3. 关键点拨由平移可得AC/DI.IE/BC,利用平行线的性质 和角平分线的定义可证明△ADI和△BEI都是等腰三角形. 6. 4 解析:如图,过点P作PM BC于点M,PN AC于点 N.PK1AB于点K,在EB上取一点J,使得MJ-FN,连 d/ 接PJ.CP..BP平分ABC,AP平分CAB.PM BC. PN AC.PK AB...PM=PK=PN. C= PMC 图1 图2 PNC-90.'MPN=90”。在Rt△PMC和Rt△PNC 小练8 三角形的内角平分线 .PM-PN..R:△PMCRt△PNC(HL),. CM= 中PC=PC, 1. D 解析:如图,过点E作EF 1AC于点F,EG AB于点 G..'AE,BE,CE分别平分BAC,ABC.ACB,ED CN.MPC-NPC-45*..'.△PMC.△PNC都是等腰直 BC.$EG-EF-ED=1.S=S+S+S 角三角形,..CM=PM-CN=PN.在△PMJ和△PNF中. 1BC·ED+AC·FF+AB·EG-(BC+AC+ (PM-PN. PMJ=PNF=90”..PMJ△PNF(SAS),MPJ= AB)·ED.又'·△ABC的周长为24,即BC+AC+AB-24 M-NF. NPF,PJ=PF.. MPJ+ MPF= NPF+ MPF, 即 IPF=MPN=90又.EPF-45.EPJ IPF- EPF=90*-45{*=45^{}'$EPF= EPJ. 在 PE-PE. PEF和△PEJ 中.EPF=EPJ.'△PEF△PE pF-P. (SAS)..'EF-EJ..'.EF-EM+MJ-EM+FN.'.C 日积月累已知△ABC三边的长分别为a,b,c,角平分线的交 CE+EF+CF=CE+EM+CF+FN=2CM=2 PM 'S-BC·AC-(AC+BC+AB)·PM..PM- 点到三边的距离为d,则Su-(a十b+c)d. 6+810=2..Cns=4.即△ECF的周长为4. 6X8 2. B 解析:如图,过点P分别作PD BC于点D.PE AC于 点E,PF1AB于点F.'P是三条角平分线的交点...PD PE-PF.'AB-30,BC-40,CA-15.'Sr.S: SA-AB:BC:CA-30:40:15-6:8:3. 7. 解:BF-CG.证明如下:如图,连接EB,EC..AE是BAC 的平分线,且 EF IAB,EG IAC..'.EF=EG '.ED I BC,D C 是BC的中点,'.EB=EC.在Rt△EFB和Rt△EGC中. 方法总结已知角平分线,常用的辅助线是过角平分线上的点 EB-FC. .Rt△EFB-=Rt△EGC(HL).BF-CG. 作角两边的垂线段,根据角平分线的性质得垂线段相等. EF-EG. 3. A 解析:由题意可知,BO.CO分别平分ABC,ACB '.ABC+ACB=2(OBC+OCB)..BOC=126$ *OBC+0CB-180*-BOC-180*-126*-54^。 .ABC+ACB-2X54*-108”,'.A-180”-(ABC+ 乙ACB)-180*-108*-72。 。 4. A 解析:.直线/为BC的垂直平分线,*.PB=PC .. PBC=/PCB.BP为 ABC的角平分线..'.ABP CBP.PBC=PCB=ABP.:ABC十ACB十 方法总结由角平分线、线段垂直平分线的性质可以得到一些 A-180”'3 ABP+A+ACP=180”又.A-64 。 线段相等,而线段相等为判定三角形全等创造了条件,当题目出 乙ACP-26*..'.ABP-30”。 现垂直平分线和角平分线的时候,要考虑连接垂直平分线上一 5.5 解析:如图,设阴影部分与边AB的交点分别为D,E.?'I 点与线段的两个端点和作角平分线上一点到角两边的垂线段. 为△ABC的三个内角的平分线的交点.',A1平分CAB, 8. 证明:如图,过点D作DE1AB于点E,DF AC于点F,则 .'. CAI一BAI.由平移的性质,得AC//DI...CA1- DEB-DFA-90{又':AD平分BAC...DE-DF BD=AD..Rt△BDE2 AID...BAI= AID...AD-DI.同理可得BE=EI. 在Rt△BDE和Rt△ADF中, ·AB-5..'.Cp=DE+DI+EI-DE+AD+BE-AB DE-DF. 5.即图中阴影部分的周长为5. Rt△ADF(HL)..'.BE-AF.:AD-BD.DE AB..'AE 小练大卷得高分·数学·八年级上册答案 .D16. BE-AB又'AC-AB'.BE-AC.'.AC-AF,即点 2. 8 解析;·添加的钢管长度都与OP相等,乙AOB-10{。 $. PPP=PPP=20PPPPPP-30 ,.... F与点C重合.又.DF1AC...CDAC 从图中我们会发现有好几个等腰三角形,即第一个等腰三角 形的底角是10{},第二个等腰三角形的底角是20{,第三个等 腰三角形的底角是30{,第四个等腰三角形的底角是40{,第 五个等腰三角形的底角是50{,第六个等腰三角形的底角是 60{,第七个等腰三角形的底角是70{},第八个等腰三角形的 底角是80{},第九个等腰三角形的底角是90{就不存在了, '.最多可以添加8根这样的钢管. 思路分析过点D作DE |AB于点E,DF AC于点F,则 3. 解:(1)'AB-AC.BAC-120。.'B= ACB=30 DEB- DFA-90”,由角平分线的性质得出DE=DF,由 ·BA=BD. BAD= ADB=75 DAC= BAC- HL证明Rt△BDE2RtADF得出BE-AF,由等腰三角形的 BAD=45又.CA=CE..'E=CAE=15* . DAE=DAC+CAE=60{(2)设 B=x 性质得出AE-BE-AB,证出BE-AC,得出AC-AF,即点 .BA-BD. BADADB-180B-(90-)”: F与点C重合,即可得出结论. 2 9. 解:(1)BD/MF.证明如下;如图1.过点D作DHIBC于 “'BAC=120*$ACB-180{-B-BAC-(60- 点H..BHD=90{*BAD..BD平分 BAC. )”. DAC-乙ADB-/ACB-(30+)”.又:CA- [BAD- BHD. ABD- HBD .ABD=CBD在△ABD和△HBD中. CF.'. F= CAE-(30-)":.DAE= DAC十 BD-BD. '.△ABD△HBD(AAS)...ADB=HDB,..ADB CAE=60”(3)(。)*解析:设 B=^”·'BA=BD. 乙ADH.又'ME BC.'.ME//DH.乙AME- ADH. '. BAD- ADB-(so-)",ACB-(180-x-a)”, 由题意可知,MF平分乙AME,即 AMF-乙AME. '. DAC= ADB-ACB=(-90+x+a)又'CA . ADB- AMF..'.BD/MF. (2)BD 1 MF.证明如 下:如图2.延长MF交BD于点H.' BAC-90”,ME B$C.'BAM= BEM=90{.AOM=BOE$ AOM+CME+BAM-BOE+ABC+BEM DAC+CAE-() 180*.乙ABC-CME.由题意可知,乙AMF-CME, 关键点拨 多次利用外角的性质得到角之间的关系是正确解 ABD-乙ABC.AMF- ABD.又':AFM- 答本题的关键. 4. B 解析:':FG/AB BGE-100{。* B-180{-BGE$ BFH.AFM十 AMF+ BAM= BFH十 ABD+ 80 CEG= A.GED= ADE.:AB=AC...ACB B$HM-180{ /BHM-BAM-90{ .'$MF|BD. B-80” A-180*-B- ACB=20”'CEG= A= (3)如图3所示.MF1BD.证明方法同(2). 2 0{.又:EG平分CED,.GED=CEG=2 0{。$ . ADE- GED=20"。 5.(1解:' BAC-90”, B-45{'ACB-45”·CE= CA. CAE=E:ACB=CAE+E=45 '. E-22.5”·BD=BA ADB-(180*-45°) 67.5* 'DAE- ADB-E-67.5*-22.5*-45^$。 图1 图2 ($)45^*}解析:' BAC-90B-60$.' ACB=30{}$$$ .CE=AC..CAE=E.ACB=CAE十E= 30* E-15”.'BD=BA.'.乙ADB-x(180*-60°)= $ 0 . $ DAE- ADB-E-60*-15{-45*$(3)解:设 BAC=, B=ACB=180*--:CE=AC *CAF-E'ACB-CAE+E-180*-a-. 图3 小练9 等腰三角形的性质 )90-9 . DAE- ADB- EF-90--B 1. A 解析:设 EDC=x,B= C=,则 AED=EDC+$ C=(r十y).又*:AD-AE.ADE= AED=(r十 (9*--a)-. DAF- BAC. y)..ADC=ADE十EDC-(2r+y)又ADC= B+BAD-(y+40)*,2x+y-y+40,解得x-20. 思路分析 先根据三角形内角和定理求出 ACB和 ADB ..EDC的度数是20{。 的度数,再根据三角形的外角性质和等腰三角形“等边对等角' 关键点拨根据等腰三角形的性质正确确定相等关系列出方 的性质求出 E的度数,最后再根据三角形的外角性质求出 程是解题的关键 DAE的度数. 小练大卷得高分·数学·八年级上册答案 .D17.