小练3 三角形全等的条件(SAS)-【小练大卷得高分】2024-2025学年八年级上册数学同步练习（苏科版）

小练夫卷得高方数学八年级上册 小练③ 三角形全等的条件(SAS) 市议用时18分钟 答案D2 练重点 重点2两个条件直接给出 3.(2023秋·山东烟台期中，中等)如图，线段 重点①只有一个全等条件直接给出 AB与CF交于点E,D为线段CF上一点，连接 1.(2022·湖南衡阳衡阳县自主招生，中等)如 AD,AF,BC,已知AD=BC,∠1=∠2. 图，AE∥DF,AE=DF,要使△EAC≌△FDB, (1)请添加一个条件，使△ADF≌△BCE,并说 需要添加下列选项中的 明理由。 (2)请在(1)的条件下探究AE与BE的数量关 系，并说明理由. A.∠A=∠D B.EC-BF C.AB=CD D.AB=BC 2.(中等)如图，BD,CE分别是△ABC的边AC AB上的高，AB=PC,AC=BM (1)求证：AP=AM (2)求证：AP⊥AM 4.(2022秋·河南南阳期末，中等)如图，点A, B,C,D在一条直线上，且AB=CD,若∠1=∠2， EC=FB.求证：∠E=∠F. 4 错题记录 概念与分析 粗心与计算 方法与策略 第引章全等三角形 重点3有一个全等条件隐在图中 练思维 5.(中等)如图，线段AC,BD相交于点O,且 OA=OC,OB=OD.DE=BF,CE=9 em, 8.(2023春·陕西西安期末，难) 如图1，AB=4cm,AC⊥AB, AF的长。 BD⊥AB,AC=BD=3cm点P 在线段AB上以1cm/s的速度由 点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点 B向点D运动.它们运动的时间为t(单位：s). (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相 重点④无全等条件直接给出 等，当t=1时，试判断△ACP与△BPQ是 6.(较难)如图，△ACB和△DCE 否全等及此时线段PC和PQ的位置关系， 均为等腰三角形，点A,D,E在一 并分别说明理由。 条直线上，连接BE,∠CAB (2)如图2，将图1中的“AC⊥AB,BD⊥AB”"改 ∠CBA=∠CDE-∠CED=50°. 为“∠CAB=∠DBA=60”,其他条件不变. (1)求证：AD=BE. 设点Q的运动速度为xcm/s,是否存在实 (2)求∠AEB的度数. 数x,使得△ACP与△BPQ全等？若存在， 求出相应的x,t的值：若不存在，请说明 理由. 7.(较难)如图，在Rt△ABC中， 图 图2 ∠BAC=90°，AC=2AB,D是 AC的中点，将一块锐角为45°的 直角三角板ADE如图放置，使三 角板斜边的两个端点分别与点A,D重合，连接 BE,EC.试猜想线段BE和EC有怎样的关系， 并证明你的猜想. 错题记录 概念与分析 粗心与计算 方法与策略 5上时，若△APC的面积等于△ABC面积的一半.则CP=可知，∠ADB=∠AEC=90°，再根据余角的性质得∠ABD= 之BC-号m,此时点P运动的距离为AC+CP=12+号 ∠ACE,最后根据“SAS”得出△MBA2△ACP,即可得出结论： (2)在(1)的基础上，证明∠PAM=90°即可， 受(m4=受÷3=号(o):巴如图2，当点P在边AB上3解，)添加DFCE或EFCD理由如下：当深加条件为 EF=CD时，则EF+DE=CD+DE,即DF=CE.在△ADE 时，若△APC的面积等于△ABC面积的一半，则P为AB的 (AD-BC. 中点BP=吉AB=合×15=号(cm.此时点P运动的距 和△BCE中，∠I=∠2，∴.△ADF≌△BCE(SAS.(2)AE DF-CE. 离为AC+C+BP=12+9+号-受am.4-警÷3 BE.理由如下：：△ADF≌△BCE,.∠F=∠CEB,AF= 号(，综上所述，当：的值为号或号时，△APC的面积等于 BE.又：∠AEF=∠CEB,.∠AEF=∠F,∴.AE=AF, ∴.AE=BE △ABC面积的一半.(2)解：△APQ2△DEF,即顶点A与图思路分析(1)由“SAS”可得出结论：(2)由全等三角形的性质 D,P与E,Q与F分别为对应点.①如图3，当点P在边AC得出∠F=∠CEB,AF=BE,由等量代换证明∠AEF=∠F得 上时，AP=4cm,AQ-5cm,.点Q运动的速度为5÷(4÷ 出AE=AF,从而得出结论， 3)=5(cm'):②如图4，当点P在边AB上时，AP=4cm… +.证明：：∠1+∠DBF=180,∠2+∠ACE=180°，∠1=∠2， ∠DBF=∠ACE.AB=CD,∴.AB+BC=CD+BC,即 AQ=5cm,即点P运动的距离为9十12十15一4=32(cm), EC=FB. 点Q运动的距离为9+12+15-5=31(cm),∴.点Q运动的 AC=DB.在△ACE和△DBF中，〈∠ACE=∠DBF, 速度为31÷(32÷3)-器(m/s.综上所述，点Q的运动速 LAC=DB. ..△ACE≌△DBF(SAS),.∠E=∠F 度为m/s或器m 5.解："OB=OD,DE=BF,.OD-DE=OB-BF,即OE= OE=OF. OF.在△COE和△AOF中，∠COE=∠AOF,∴.△COE2 OC=OA. △AOF(SAS),.AF=CE.CE=9cm,∴AF=9cm. 关键点拨本题显然要证明△COF≌△AOF,而证明这两个三 角形全等的时候，需要证明至少三个对应的要素相等，一般首先 考虑公共边（角）、对顶角等。 图2 6.(1)证明：·∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°， 图 A()】 A(D》 ∴.CA=CB.CD=CE,∠ACB=∠DE=80°，.∠ACB- ∠DCB=∠DCE-∠DCB,即∠ACD=∠BCE.在△ACD和 P() CA=CB. Q(1 Q △BCE中，∠ACD=∠BCE,∴.△ACD≌△BCE(SAS), CD-CE. ∴AD=BE.(2)解：设AE与BC交于点O.由(1)得 △ACID≌△BCE,∴.∠CAD=∠CBE.·'∠CAD+∠ACB+ 图3 图+ ∠AOC=∠CBE+∠AEB+∠BOE=180°，∠AOC 园关键点拔结合图形，考虑点P所有可能的位置，画出示意图 ∠BOE,,.∠AEB=∠ACB=80°. 是解决问题的关键：第(2)题中△APQ≌△DEF表示这两个全 国方法总结熟练掌提全等三角形的判定和性质：利用“8字型” 等三角形的对应顶点已经确定，无需再分类探究. 证明角相等，有的题目可以直接从题中和图中找到全等的条件， 小练3三角形全等的条件(SAS) 而有些题的已知条件隐含在题设和图形之中，如公共边、公共 角、对顶角等，解题时一定要认真读图，准确把抵题意，找准所需 1.C解析：：AE∥DF,∠A=∠D.,AE=DF,.要使 条件， △EAC≌△FDB,还需要AC=BD.由AC=BD可得AC- 7.解：BE=EC且BE LEC,证明如下：：△AED是直角三角 BC=BD-BC,即AB=CD. 形，∠AED=90°，且有一个锐角是45，∴∠EAD-=∠EDA=45, 翻方法总结由条件可得∠A=∠D,结合AE=DF,则还需要一 ∴.AE=DE.,∠BAC=90°，.∠EAB=∠EAD+∠BAC= 边或一角，再结合选项可得答案， 45°+90°=135.，∠EDC=180°-∠EDA=180°-45°= 2.证明：(1)BD,CE分别是△ABC的边AC,AB上的高， 135,∠EAB=∠EDC.:D是AC的中点，∴.AD=DC ∴∠ADB=∠AEC=90°，.∠ABD=∠ACE=90° AB=PC. 2AC又：AC=2AB,即AB=ACAB=DC在△EAB ∠BAC.在△MBA和△ACP中，∠ABM-∠PCA, AE-DE. BM=CA. 和△EDC中，∠EAB=∠EDC,∴.△EAB≌△EDC(SAS), ∴.△MBA2△ACP(SAS)..AP=AM.(2)由(1)，得 AB-DC. △MBA≌△ACP,·∠P=∠BAM.又CE是边AB上的 ,'.EB=EC,∠AEB=∠DEC,'.∠BEC=∠DEC+∠BED 高，即CELAB,.∠AEP=∠BEC=90°，∴.∠P+∠PAE= ∠AEB+∠BED=∠AED=90°，.BE⊥EC. 90°..∠BAM+∠PAE=90°.即∠PAM=90°..AP⊥AM 8.解：(1)△ACP2△BPQ,PC⊥PQ.理由如下：由题意得，当 同思路分析(1)由BD,CE分别是△ABC的边AC,AB上的高 t=1时，AP=BQ=1cm,BP=AC=3cm,义，'AC⊥AB. 小练大卷得商分·数学·八年级上册答案 ·D2 BD⊥AB,.∠A=∠B=90°.在△ACP和△BPQ中，5.(1)证明：：DE∥AC,∴∠ACB=∠CDE.在△ABC和 AP-BQ I∠ACB=∠CDE, ∠A=∠B,.△ACP≌△BPQ(SAS),.∠ACP=∠BPQ △CED中，AC=CD, ∴.△ABC≌△CED(ASA). AC=BP. ∠A=∠DCE. :∠APC+∠ACP+∠A=∠APC+∠BPQ+∠CPQ= (2)解：由(1)得△ABC≌△CED,.CB=DE.又，CD= 180°，∴.∠CPQ=∠A=90°，.PC⊥PQ.(2)存在.理由如 AC=3,BD=10,.DE=CB=BD-CD=10-3=7. 下：由题意得，AP=tcm,BP=(4-t)cm,BQ=xtcm①若目思路分析(1)先利用DE∥AC证明∠ACB=∠CDE,再利用 △ACP2△BPQ,则AC=BP,AP=BQ.则{3=4-·解得 “ASA”证明△ABC≌△CED即可：(2)利用全等三角形的性质 t=xt. 得到CB=DE,结合CD=AC=3.BD=10可得DE=CB= I=I:②若△ACP≌△BQP,则AC=-BQ,AP=BP,则 BD-CD=10-3=7. x=1: 6.证明：，AF=CD,.AF+FC=CD+FC,即AC=DE,EF∥ 1=2, 3=,解得 t=2, BC,.∠DFE=∠ACB.AB∥DE,∠A=∠D.在 3使 t=4-t, =3.综上所述，存在· 1 I∠A=∠D, x=2: x=2 △ABC和△DEF中，AC=DF, ,.△ABC≌△DEF 得△ACP与△BPQ全等. ∠ACB=∠DFE, 冒思路分析(1)利用“SAS”证得△ACP≌△BPQ,从而得出 (ASA). ∠ACP=∠BPQ,再根据∠APC+∠A+∠ACP=∠APC+7.证明：CD⊥AB,BE⊥AC,∴·∠ADC=∠FDB=∠AEB= ∠CPQ十∠BPQ=180°即可得出结论：(2)分△ACP2△BPQ 90°，.∠A+∠ACD=∠A+∠FBD=90°，∴.∠ACD= 和△ACP2△BQP两种情况，由全等三角形的性质得出AC ∠FBD.又：∠AC=45.∴∠BCD=∠ABC=45,∴.BD=(CD BP,AP=BQ或AC=BQ,AP=BP,分别建立方程组求解 ∠ADC=∠FDB, 即可， 在△ACD和△FBD中， CD-BD. ∴△ACD≌ 小练4三角形全等的条件(ASA) ∠ACD=∠FBD. △FBD(ASA). 1.24解析：，AB∥CD,,.∠B=∠DEF,在△BAF和△EDF 8.(1)解：：∠ABC=60°，∴.∠BAC+∠ACB=180° ∠B=∠DEF, ∠ABC=180°-60°=120°.AD.CE分别平分∠BAC. 中，BF=EF, .△BAF≌△EDF(ASA),.Saw L∠AFB=∠DFE. ∠ACB.·∠CAD=合∠BAC,∠ACE=寸∠ACB, SA,.S雨影幅分=Sg边形M十S△U=Sg边形r十SA来一 Sm=吉AC.AD=号×6X8=24 ∴∠ACC=18°-（∠CAD+∠AE)=180°-号（∠BAC+ 恩关键点拔阴影部分是一个直接求面积有困难的四边形，通过 ∠ACH)=180°-号×120°=120，∠B0D=∠A0C 重新分再组合成一个面积易求的新图形是常用的思路。 120°，(2)证明：如图，在边AC上截取CF=CD,连接OF 2.(1)证明：，CE⊥AB,AD⊥BC,,.∠CEB=∠AEH= ,"CE平分∠ACB,.∠(OCF=∠OCD.由(1)得∠AC ∠ADC=90°，∴.∠ECB+∠CHD=∠EAH+∠AHE=90°. 120°，∴.∠AOE=∠C0D=180°-∠A0C=180°-120°= 又，'∠CHD=∠AHE,∴，∠ECB=∠EAH.在△BEC和 CF=CD. I∠ECB=∠EAH. 60°.在△COF和△COD中，∠OCF=∠OCD,∴.△COF☑ OC=OC. △HEA中.〈CE=AE .△BE2△HEA(ASA). △COD(SAS),,.OF=OD,∠COF=∠COD=60°， ∠CEB=∠AEH, .∠A0F=∠AOC-∠C0F=120°-60°=60°，'.∠A0E= (2)解：由(1)得△BEC≌△HEA,∴.HE=BE=8,AE=CE ∠AOF.又：AD平分∠BAC,∴.∠OAE=∠OAF.在△AOE 又，'CH=3,,,CE=HE+CH=8+3=11,,.AB=AE+ ∠O0AE=∠OAF, BE=CE+BE=11+8=19. 和△AOF中， 04=O0A. ,.△AOE≌△AOF(ASA), 国方法总结证明两个三角形全等就是根据已知条件找出对应 ∠OE=∠AOF, 相等的边或角，再根据判定定理证明；直接求长度困难的线较 ∴.OE=OF,.OD=OE 长可以通过全等三角形的对应边相等进行适当转化来解决. 3.(1)证明：，AB∥CD,∴∠BAE=∠DCF.,AF=CE,∴.AF EF=CE一EF,即AE=CF,又，AB=CD,.△ABE≌ △CDF(SAS.(2)解：：∠BCE=30°，∠CBE=70°. ∴.∠AEB=∠BCE+∠CBE=30°十70°=100°.由(1)得 △ABE≌△CDF,.∠CFD=∠AEB=100° 圈思路分析(1)由平行线的性质得出∠BAE=∠DC℉，根据圈方法总结在证明OD=OE的时侯，可利用角平分线的轴对 “SAS”可得出△ABE≌△CDF:(2)先由三角形外角的性质求出 称性来构造全等三角形， ∠AEB=∠BCE十∠CBE=100°，再根据三角形全等的性质可 小练5三角形全等的条件(AAS】 得出∠CFD=∠AEB=100° 1. 证明：：AB∥CD,∠B=∠D,∠B4O=∠DO:∠OAE 4.证明：·∠ADC=∠1+∠B=∠ADE+∠2，∠1=∠2， ∠OXF,∴·∠BAO-∠OAE=∠IO-∠CCF,即∠BAE= 1∠C=∠E, ∠DCF.,BF=DE..BF-EF=DE-EF,即BE=DF在 ∴∠B=∠ADE.在△ABC和△ADE中，BC=DE, I∠BAE=∠DCF, ∠B=∠ADE. △ABE和△CDF中，∠B=∠D, .△ABE≌△CDE ,.△ABC≌△ADE(ASA). BE-DF. 小练大卷得商分·数学·八年级上册答案 ·D3·