平面向量及其应用专项训练-2024-2025学年高三数学一轮复习-

2024-2025学年高三数学一轮复习6---平面向量及其应用专项训练 一、单选题 1．设向量，，则（   ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充要条件 2．已知，，则“”是“和方向相同”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．在中，设，，若是线段中点，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知等边三角形的边长为4，点、满足，，与交于点，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 5．勒洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛.如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以三角形ABC边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为勒洛三角形.已知正三角形ABC边长为60，点D，E分别为线段AB，AC的中点，点P为圆弧上的一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，为上一点，且，若，，，则的值为（    ） A． B． C． D．4 二、多选题 7．如图，在菱形中，若，则以下说法中正确的是（    ） A．与不平行 B．的模恰为模的倍 C．与的模相等的向量有9个（不含） D．与相等的向量只有一个（不含） 8．在中，为内的一点，，则下列说法正确的是（    ） A．若为的重心，则 B．若为的外心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的内心，则 三、填空题 9．如图，已知点，分别在的边，上，且，，直线交边的延长线于点，记，则 . 10．已知单位向量满足，则 ． 11．如图，在梯形中，，且，若是线段上的动点，且，则的取值范围为 .    12．如图，四边形ABCD中，已知，则对角线AC的长为 . 四、解答题 13．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． (1)求A； (2)若的面积为，求的周长. 14．已知． (1)若，求； (2)设，若，求的夹角． 15．在中，角的对边分别为．已知，； (1)求角的值； (2)的角平分线交于点，求的长． 16．已知函数，，设锐角三个角A，B，C的对边分别为a，b，c. (1)若，，，求b，c的值； (2)将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若，，，求的取值范围. 一轮复习题集 努力努力再努力。2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C D D B B BCD BCD 1．C 【分析】根据向量平行、垂直、充分和必要条件等知识确定正确答案. 【详解】若，则，解得或. 所以“”是“”的充分条件，不是必要条件，A选项错误. 所以“”是“”的充分条件，C选项正确. 若，则，解得， 所以“”不是“”的必要条件，“”不是“”的充要条件， 所以BD选项错误. 故选：C 2．C 【分析】根据平面向量同向的坐标表示，结合充分、必要条件的定义判定选项即可. 【详解】当时，，则和方向相同，满足充分性； 而若和方向相同，则有正数，满足， 即，解之得或（舍去），即，满足必要性. 故选：C 3．D 【分析】根据向量线性运算直接转化求解即可. 【详解】 . 故选：D. 4．D 【分析】对A，根据向量的线性运算判断即可；对B，先判断出，再根据向量的线性运算结合数量积公式求解即可；对C，根据向量共线的性质判断即可；对D，得出为中点，为上靠近点的四等分点即可判断. 【详解】对于A选项，，故A正确；    对于B选项，因为为等边三角形，，为中点，所以， 所以，故B正确； 对于C选项，设， 由（1）得， 所以，又三点共线，所以，解得， 所以为上靠近点的四等分点，则，故C正确； 对于D，，设，则， 所以，又三点共线，所以，解得， 所以为中点，所以， 则，故D错误. 故选：D 5．B 【分析】取三角形ABC的重心和DE中点，由平面向量线性运算化简所求向量，再又三点共线的逆定理得到点在平面的位置，用勾股定理求出线段CH长，从而求得所求向量的最小值. 【详解】取DE中点F，三角形的重心G， ∵，， 则， 设，则可得，设BC中点为M， 则， ，， 在扇形中，当三点共线时，最小，所以的最小值为， 的最小值为. 故选：B 6．B 【分析】由已知结合向量共线定理可得，进而根据向量数量积的运算律即可求解. 【详解】因为，， 故， 由于在上，所以，故， 则， 又，，， 所以， 则 . 故选：B. 7．BCD 【分析】根据题意结合向量的相关概念逐项分析判断. 【详解】对于选项A：向量与的方向是相反的，是平行向量，故A错误； 对于选项B：因为，则， 所以的模恰为模的倍，故B正确； 对于选项C：根据菱形的性质结合，可知对角线与菱形的边长相等， 故与的模相等的向量有，，，，，，，，，共9个向量，故C正确； 对于选项D：与相等的向量需要方向相同，模相等，只有，故D正确； 故选：BCD. 8．BCD 【分析】建立平面直角坐标系，对于A、C、D：先求出三角形各种心的坐标，然后代入坐标列方程求解；对于B：利用展开计算即可． 【详解】在中，，，为内的一点， 建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，， 对于选项A：若为的重心，则，，则， 所以， 若，由平面向量基本定理可得：， 解得，所以，故选项A不正确； 对于选项B：若为的外心，其必在直线上， 所以，故选项B正确； 对于选项C：若为的垂心，其必在上，设， 则，解得， 此时， 若，由平面向量基本定理可得：， 解得，所以，故选项C正确； 对于选项D：若为的内心，设内切圆半径为， 则，得，则， 此时， 若，由平面向量基本定理可得：， 解得，所以，即选项D正确． 故选：BCD． 9． 【分析】连接，由2次三点共线可得，分别用和表示和，进而可得的值. 【详解】连接，由题意可知，，三点共线，则， 又因为，，三点共线，则， 所以，即，即， 因为， 又因为， 所以. 故答案为：. 10．/ 【分析】利用向量数量积的运算律及单位向量的概念计算即可. 【详解】由题意可知， 且， 即. 故答案为： 11． 【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设，由平面向量数量积的坐标表示求得数量积，再结合二次函数知识得取值范围． 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， ， ，则，设， 则（其中）， ， ，    所以，当时，取得最小值，当时取得最大值21. 故答案为：． 12． 【分析】旋转构造全等，结合勾股定理计算即可. 【详解】由题意可知，即为等腰直角三角形， 可将绕B顺时针旋转得， 则， 又， 所以为直角三角形，， 即. 故答案为：. 13．(1) (2)15 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再借助辅助角公式求得，可求角； （2）由（1）的结论，利用三角形面积公式、余弦定理求出即可作答． 【详解】（1）中，， 由正弦定理得， 又， 则有，由，， 则，得， 由，则，得. （2），则，由，得， 由余弦定理， 得，得， 所以的周长为. 14．(1) (2) 【分析】（1）两边平方后，根据向量的数量积运算性质即可求解； （2）两边平方后，根据向量的数量积运算性质即可求的，然后结合公式即可得解. 【详解】（1）由题意得，即， 又因为，所以，即； （2）由题意得，即； 又， 所以， 所以，即， 所以，又 所以 15．(1) (2) 【分析】（1）根据，可得，结合角度范围即可得角的值； （2）根据余弦定理与三角形面积关系求解得长度，再由计算可得的长． 【详解】（1）因为，所以； 因为，所以； （2）由（1）知， 由余弦定理得， 则可得， 由，可得，所以， 因为，即， 所以. 16．(1)， (2) 【分析】（1）由，求得，再结合正、余弦定理即可求解； （2）确定，求出，得到，进而可求解. 【详解】（1）由题意得， ∴， ∵，∴，∴， ∵，由正弦定理可得，即， ∵，由余弦定理得， ∴，； （2）由题意得，∴， ∵，∴，∴， ∴， 而，故，∴，∴， ∴的取值范围为. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$