5.1方程 教案 2024-2025学年人教版数学七年级上册

5.1方程 5.1.1 从算式到方程 第1课时 方程 【素养目标】 1.能根据现实情境理解方程的意义. 2.能针对具体问题列出方程,初步感受模型观念. 【教学重点】能根据现实情境理解方程的意义. 【教学难点】根据实际问题列出方程. 【教学过程】 活动一:创设情境,引入新知 [设计意图] 先用算术方法解决实际问题,方便与后面要学习的方程进行对比 【情景引入】 (教材P110引言节选)甲､乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发.甲队从距大本营1km的一号营地出发,每小时行进1.2km;乙队从距大本营3km的二号营地出发,每小时行进0.8km.多长时间后,甲队在途中追上乙队? 你能用小学学过的算术方法解决这个问题吗? (3-1)÷(1.2-0.8)=5(h). 本章我们将学习一种新的方法,通过列方程来解决这个问题.今天我们先来认识一下什么是方程.[教学提示] 师生一起讨论得出正确答案,感受算术法解题的过程. 活动二:交流讨论,探究新知 [设计意图] 用字母表示未知数,根据相等关系列方程,体验方程与算式的不同. 探究点 方程 问题1在上面引入的问题中,甲､乙两队的行进速度是已知的,行进的时间和路程都是未知的. (1)如果设两队行进的时间为xh,根据“路程=速度×时间”,甲队和乙队的行进路程分别可以怎样表示? 甲队的行进路程为1.2xkm,乙队的行进路程为0.8xkm. (2)甲队追上乙队时,他们距大本营的路程之间有什么关系?试写出相等关系. 甲队追上乙队时,他们处于同一位置,此时甲队距大本营的路程=乙队距大本营的路程. (3)你能用式子表示(2)中的相等关系吗? 1.2x+1=0.8x+3. (4)这是一个什么样的式子? 是一个含有未知数x的等式. 问题2(教材P111问题1)用买3个大水杯的钱,可以买4个小水杯,大水杯的单价比小水杯的单价多5元,两种水杯的单价各是多少元? (1)如果设大水杯的单价为x元,那么小水杯的单价为(x-5)元. (2)类比问题1的做法,填写下表: 相等关系 买3个大水杯的钱=买4个小水杯的钱 用含有未知数x的等式表示 3x=4(x-5) [教学提示] 引导学生注意:①算式中只含已知数(包括已在前面求出的数)而不含未知数.②列方程也是依据问题中的数量关系(特别是相等关系),但它打破了列式时只能用已知数的限制,方程中可以含有相关的已知数和未知数,这是一种进步.正因如此,一般地说列方程比列算式有更多的优越性.③教学时,对于问题1~3中求出x的值或者如何根据x的值求其他未知量的值,教师可简单解释下,不作展开 [设计意图] 分析具体问题中的相等关系,并列出方程,养成模型观念. 问题3(教材P112问题2)如图是一枚长方形的庆祝中国共产党成立100周年纪念币,其面积是4000mm2.长和宽的比为8∶5即宽是长的58.这枚纪念币的长和宽分别是多少毫米? 如果设这枚纪念币的长为xmm,试着填写下表: 概念引入 像这样,先设出字母表示未知数,然后根据问题中的相等关系,列出一个含有未知数的等式,这样的等式叫作方程. 【对应训练】 下列各式中,是方程的是( B ) A.5+7=12 B.5x+2=17 C.7x<14 D.y+8[教学提示] 正式给出方程的概念时,所说的“等式”指其中只含有一个等号的式子,等号两边分别叫作等式的左边和右边. 活动三:知识升华,巩固提升 [设计意图] 通过更多的实际问题,加强学生列方程的能力 例(教材P113例1)根据下列问题,设未知数并列出方程. (1)某校女生占全体学生数的52%,比男生多80人,这所学校有多少名学生? (2)如图,一块正方形绿地沿某一方向加宽5m,扩大后的绿地面积是500m2,求正方形绿地的边长.解:(1)设这所学校的学生数为x,那么女生数为0.52x,男生数为(1-0.52)x.根据“女生比男生多80人”,列得方程 0.52x-(1-0.52)x=80. (2)设正方形绿地的边长为xm,那么扩大后的绿地面积为(x2+5x)m2.根据“扩大后的绿地面积是500m2”,列得方程 x2+5x=500. 你能解释这些方程的左边､右边各表示什么意思吗?由此体会如何根据相等关系列方程. 归纳 【对应训练】 教材P113练习. [教学提示] (1)列方程的基础是正确表示相等关系.对于由浅入深地培养学生列方程的能力应予以关注,可以再多安排一些类似的练习. (2)把实际问题中的数量关系用方程形式表示出来,就是建立一种数学模型,这种建模思想在本章中占主导地位.活动四:随堂训练,课堂总结 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题: 1.什么是方程? 2.怎样根据实际问题列方程? 【作业布置】 1.教材P118习题5.1第1,2,5,6,7,8,9,10题. 【教学后记】 第2课时：方程的解及一元一次方程 【素养目标】 1.理解方程的解的意义,能判断某个未知数的值是不是方程的解. 2.理解一元一次方程的概念,能准确地识别一元一次方程. 【教学重点】判断方程的解,识别一元一次方程. 【教学难点】识别一元一次方程. 【教学过程】 活动一:创设情境,引入新知 [设计意图] 引入本节课的学习内容 【课堂引入】 对于方程2x=12,容易知道x=6可以使等式成立;对于方程170+15x=215,你知道x等于何值时等式成立吗? 当x=3时,170+15x=170+15×3=215,等式成立. (2)你知道170+15x=215是怎样的方程吗? 围绕这两个问题,我们一起走进本节课的学习.[教学提示] 对于问题(1),可分别让5个学生代入不同的数作为x的值进行计算,再一起讨论得出正确答案. 活动二:交流讨论,引出新知 [设计意图] 通过计算验证,介绍方程的解的概念｡ 探究点1 方程的解 问题1类比活动一中问题(1),对于上节课列出的方程1.2x+1=0.8x+3,如下表所示,当x为何值时,方程左､右两边的值相等?当x=5时,方程左边=1.2×5+1=7,方程右边=0.8×5+3=7,这时方程左､右两边的值相等. 概念引入: 问题2(教材P114例2) (1)x=2,x=3/2是方程2x=3的解吗? (2)x=10,x=20是方程3x=4(x-5)的解吗? 解:(1)当x=2时,方程2x=3的左边=2×2=4,右边=3,方程左､右两边的值不相等,所以x=2不是方程2x=3的解; 当x=3/2时,方程2x=3的左边=2×3/2=3,右边=3,方程左､右两边的值相等,所以x=3/2是方程2x=3的解.[教学提示] 教学时,教师可让学生上台板演,并共同归纳判断一个数值是不是方程的解的步骤:(1)将数值代入方程左边进行计算;(2)将数值代入方程右边进行计算;(3)若左边=右边,则是方程的解,反之,则不是.这个步骤要让学生切实掌握. 【教学过程】 (2)当x=10时,方程3x=4(x-5)的左边=3×10=30,右边=4×(10-5)=20,方程左､右两边的值不相等,所以x=10不是方程3x=4(x-5)的解. 当x=20时,方程3x=4(x-5)的左边=3×20=60,右边=4×(20-5)=60,方程左､右两边的值相等,所以x=20是方程3x=4(x-5)的解. (教材P114第1个思考)x=60是方程5/8x2=4000的解吗?x=80呢? x=60不是方程的解,x=80是方程的解. 【对应训练】 教材P115练习第1题.[设计意图] 观察归纳,引出一元一次方程的概念. 探究点2 一元一次方程的概念 方程有多种类型,本章我们先来研究一类最简单的方程. 教材P114第2个思考)观察方程1.2x+1=0.8x+3,3x=4(x-5),0.52x-(1-0.52)x=80,它们有什么共同特征?完成下表. 概念引入 追问170+15x=215是不是一元一次方程?是. 【对应训练】 教材P115练习第2题.[教学提示] 给学生说明,在一元一次方程的概念中,“一元”“一次”都是针对未知数的,此外这里要求方程中只出现整式. 活动三:知识升华,巩固提升 [设计意图] 强化对一元一次方程概念的理解. 例 (1)若xk-1+21=0是一元一次方程,则k=2. (2)若x|k|+21=0是一元一次方程,则k=1或-1. (3)若关于x的方程(k-1)x|k|+21=0是一元一次方程,则k=-1. 解析:(1)因为原方程是一元一次方程,所以k-1=1,所以k=2. (2)因为原方程是一元一次方程,所以|k|=1,所以k=1或-1. (3)因为原方程是一元一次方程,所以|k|=1,且k-1≠0,所以k=-1. 【对应训练】 1.若3xn+4=5是一元一次方程,则n=1. 2.若关于x的方程(a-2)x2+ax+1=0是一元一次方程,则a=2. 3.若(m-3)x|m|-2=-5是关于x的一元一次方程,则m的值为-3.[教学提示] 已知方程是一元一次方程,求方程中除未知数外的字母的值,需注意两点:(1)未知数的次数为1;(2)未知数的系数不为0. 若出现未知数次数高于1的项,则该项系数应为0,从而使该项为0. 活动四:随堂训练,课堂总结 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题: 1.什么是方程的解? 2.什么样的方程是一元一次方程? 【作业布置】 1.教材P118习题5.1第3题. 【教学后记】 5.1.2 等式的性质 【素养目标】 1.掌握等式的性质. 2.能利用等式的性质解简单的一元一次方程,感受数学思考过程的条理性和数学结论的严密性,同时强化运算能力. 【教学重点】等式的性质､利用等式的性质解一元一次方程. 【教学难点】利用等式的性质将方程变形为x=m(常数)的形式. 【教学过程】 活动一:交流讨论,引入新知 [设计意图] 根据解方程的需要,引出探究等式性质的课题. 【课题引入】 观察2x=3,x+1=3这两个方程,你知道它们的解是什么吗? 两个方程的解分别是x=3/2,x=2. 像2x=3,x+1=3这样的简单方程,我们可以直接看出方程的解,但是对于比较复杂的方程,仅靠观察来解方程是困难的.因此,还要研究怎样解方程.方程是含有未知数的等式,为了研究解方程,我们今天先来学习等式的性质,再尝试用等式的性质解一些简单的方程.[教学提示] 给学生强调,等式的性质是讨论方程的解法时的重要依据,要认真学好本课时的内容. 活动二:合情推理,探究新知 [设计意图] 通过举例验证和合情推理,将小学学过的等式的性质的适用范围扩大到有理数. 探究点1 等式的性质 像m+n=n+m,x+2x=3x,3×3+1=5×2,3x+1=5y这样的式子,都是等式.我们可以用a=b表示一般的等式. 首先,给出关于等式的两个基本事实. 等式两边可以交换.如果a=b,那么b=a. 相等关系可以传递.如果a=b,b=c,那么a=c. (教材P115思考)在小学,我们已经知道:等式两边同时加(或减)同一个正数,同时乘同一个正数,或同时除以同一个不为0的正数,结果仍相等.引入负数后,这些性质还成立吗? 问题 已知等式a=2b. (1)等式两边同时加同一个负数,如-2,则a+(-2)=2b+(-2)成立吗? 对于a=2b,不妨设a=4,b=2. 则a+(-2)=4+(-2)=2, 2b+(-2)=2×2+(-2)=2. 即a+(-2)=2b+(-2)成立. (2)等式两边同时减同一个负数,如-3,则a-(-3)=2b-(-3)成立吗? 对于a=2b,不妨设a=4,b=2. 则a-(-3)=4-(-3)=4+3=7, 2b-(-3)=2×2-(-3)=7. 即a-(-3)=2b-(-3)成立. (3)等式两边同时乘(或除以)同一个负数,结果仍相等吗?[教学提示] 教材中对等式的性质,既给出了文字形式的表达,又用式子形式加以描述.两种形式并用来表示这些性质,目的在于让学生一方面切实理解等式的性质,另一方面体会如何用数学的符号语言抽象概括地表示它们. 仍相等. 大家可以用其他的数值再试一试,可以发现,对等式进行上面4种变形,等式都是成立的.所以小学学过的等式的性质,在引入负数后,依然成立. [设计意图] 用文字和符号语言表述等式的性质,并通过实例加以巩固. 知识引入: 一般地,等式有以下性质: 等式的性质1:等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等. 等式的性质2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等. 例1(教材P116例3)根据等式的性质填空,并说明依据: (1)如果2x=5-x,那么2x+_____=5; (2)如果m+2n=5+2n,那么m=_____; (3)如果x=-4,那么_____·x=28; (4)如果3m=4n,那么32m=_____·n. 解:(1)2x+x=5;根据等式的性质1,等式两边加x,结果仍相等. (2)m=5;根据等式的性质1,等式两边减2n,结果仍相等. (3)-7·x=28;根据等式的性质2,等式两边乘-7,结果仍相等. (4)32m=2·n;根据等式的性质2,等式两边除以2,结果仍相等. 【对应训练】 教材P117练习第1题.[教学提示] 在给出等式的性质后,教师跟学生强调:(1)等式两边都要参加运算,且是同一种运算.(2)等式两边加或减,乘或除以的一定是同一个数或同一个式子.(3)等式两边不能除以0,即0不能作除数或分母. [设计意图] 加强对等式的性质的掌握,同时为解更复杂的方程打下基础. [设计意图] 通过检验使学生确信,利用等式性质变形得到的结果是方程的解. 探究点2 利用等式的性质解方程 例2(教材P116例4)利用等式的性质解下列方程: (1)x+7=26;(2)-5x=20;(3)-1/3x-5=4. 分析:解以x为未知数的方程,就是把方程逐步转化为x=m(常数)的形式,我们可以依据等式的性质来实现这种转化. 问题对于上面的3个方程,要使它们各自转化为x=m(常数)的形式,应该对等式的两边分别作怎样的变形?依据的分别是等式的哪条性质? 解: (1)方程两边减7,得x+7-7=26-7.于是x=19. 依据的是等式的性质1. (2)方程两边除以-5,得-5x-5=20-5.于是x=-4. 依据的是等式的性质2. (3)方程两边加5,得-13x-5+5=4+5. 化简,得-13x=9. 方程两边乘-3,得x=-27. 两次变形,分别依据的是等式的性质1和等式的性质2.一般地,从方程解出未知数的值以后,通常需要代入原方程检验,看这个值能否使方程左､右两边的值相等.例如,将x=-27代入方程-1/3x-5=4.的左边,得-1/3×(-27)-5=4.方程左､右 两边的值相等,所以x=-27是方程-1/3x-5=4的解. 【对应训练】 教材P117练习第2题.教学建议[教学提示] 在本节课教学中,不要过早地使用“合并同类项”“移项”“系数化为1”等解方程的专门用语.这些内容留待后面几节课进行,这里要突出等式性质,使用等式的性质考虑如何解方程. [教学提示] 可以让学生自己思考如何检验.对于检验的格式可以暂不做严格要求,只要理解“为什么检验”和知道“怎样检验”就可以了. 【教学过程】 活动三:随堂训练,课堂总结 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题: 1.等式的性质1是什么? 2.等式的性质2是什么? 3.如何利用等式的性质解方程? 【作业布置】 1.教材P118习题5.1第4,11题. 【教学后记】 5 学科网（北京）股份有限公司 $$