8.2直线的方程课件-2023-2024学年高一下学期高教版中职数学基础模块下册

第8章 直线和圆的方程 8.2 直线的方程 8.2.1 直线的倾斜角与斜率 8.2.2 直线的点斜式方程与斜截式方程 8.2.3 直线的一般式方程 飞逝的流星沿不同的方向运动，在空中形成美丽的直线。 直线-最简单的几何图形 问题1：确定直线的要素？ （1） 确定一条直线。 （2）过一个点有 条直线。 两点 无数 问题2：在平面直角坐标系内，如何确定一条直线的位置？ 过两点确定一条直线 问题3：如图，在平面直角坐标系中，过点P的不同直线的区别在哪里？ 倾斜程度不同 确定直线位置的要素除了点之外，还有直线的方向，也就是直线的倾斜程度。 8.2.1 直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 在平面直角坐标系中，当直线l与x轴相交时，x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所形成的最小正角α，称为直线l的倾斜角。 图8-2 8.2.1 直线的倾斜角与斜率 规定：当直线l与x轴平行或重合时，其倾斜角为0°。 当直线l与x轴垂直时，其倾斜角为90°。 直线l倾斜角的取值范围为0°≤ α ＜180° 8.2.1 直线的倾斜角与斜率 平面直角坐标系内的每一条直线都有一个确定的倾斜角。 倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等。 直线的倾斜角的意义： 体现了直线对轴正方向的倾斜程度。 思考：倾斜角相同能确定一条直线吗？ 不能，相同倾斜角可作无数互相平行的直线 8.2.1 直线的倾斜角与斜率 练习： 1.下列四图中，表示直线的倾斜角的是（ ） 8.2.1 直线的倾斜角与斜率 练习： 2.过一点且倾斜角为α ，能不能确定一条直线？ 答：能 8.2.1 直线的倾斜角与斜率 思考：日常生活中，我们都有过爬山爬坡、滑滑梯的体验，如何表示斜坡的倾斜程度？ 8.2.1 直线的倾斜角与斜率 2．直线的斜率 当直线l的倾斜角α ≠ 90°时，α与其正切tan α是一一对应的。直线的倾斜程度也可用tan α 表示。 直线倾斜角（ α ≠ 90°）的正切称为直线的斜率，用小写字母k表示，即 注意：当α=90°时，直线与x轴垂直，对应的tan α不存在，即k不存在。 8.2.1 直线的倾斜角与斜率 2．直线的斜率 直线倾斜角α 0°< α < 90° α = 90° 90°< α < 180° α = 0° 直线斜率k k > 0 k 不存在 k < 0 k = 0 由倾斜角的取值范围和斜率的定义可知，直线的斜率和倾斜角之间的关系如下： （1）当直线与x轴平行或重合时， ； （2）当直线的倾斜角是锐角时， ； （3）当直线垂直于x轴时， ； （4）当直线的倾斜角是钝角时， 。 8.2.1 直线的倾斜角与斜率 8.2.1 直线的倾斜角与斜率 练习：判断正误 α 8.2.1 直线的倾斜角与斜率 2．直线的斜率公式 设点 为直线l上的任意两点，则直线l的斜率为 注意： 例1 已知直线 l 经过点P1(2, 9) , P2(-5, 2) ，求直线 l 的斜率 k 和倾斜角α。 解： 直线 l 的斜率为 因 所以 例题解析 8.2.1 直线的倾斜角与斜率 图8-3 例2 如图8-3所示，直线 l1 的倾斜角 ，直线l2 与直线l1 相互垂直，求直线 l1与l2 的斜率。 解 例题解析 8.2.1 直线的倾斜角与斜率 直线l1 的斜率 因为 l2与 l1相互垂直，所以 l2 的倾斜角为 所以直线l2 的斜率为 练习 1.判断满足下列条件的直线的斜率是否存在，若存在，求出来。 （1）直线的倾斜角为30°； （2）直线过点A(2, 3)与点B(-5, 3)。 8.2.1 直线的倾斜角与斜率 8.2.2 直线的点斜式与斜截式方程 思考： 在直角坐标系中，给定一个点P0(x0, y0)和斜率k ，你能否将直线上所有的点的坐标P(x, y)满足的关系表示出来呢？ 8.2.2 直线的点斜式与斜截式方程 （b） 图8-4 如图8-4（a）所示，当直线l的倾斜角 时， ，这时直线l的方程为 。 如图8-4（b）所示，当直线l的倾斜角 时，直线的斜率不存在，这时直线l与y轴平行或重合，直线l的方程为 。 （a） 8.2.2 直线的点斜式与斜截式方程 例题解析 例3 根据下列条件，写出直线方程 解 （1）过点 ，倾斜角为 ； （2）过点 ，倾斜角为 ； （3）过点 。 （1）因 ，故斜率为 又因直线经过点 ，所以直线方程为 8.2.2 直线的点斜式与斜截式方程 例题解析 例3 根据下列条件，写出直线方程 解 （1）过点 ，倾斜角为 ； （2）过点 ，倾斜角为 ； （3）过点 。 （2）因 ，故斜率为 又因直线经过点 ，所以直线方程为 即 8.2.2 直线的点斜式与斜截式方程 例题解析 例3 根据下列条件，写出直线方程 解 （1）过点 ，倾斜角为 ； （2）过点 ，倾斜角为 ； （3）过点 。 （3）直线过点 ，故斜率为 故直线方程为 即 8.2.2 直线的点斜式与斜截式方程 8.2.2 直线的点斜式与斜截式方程 思考：截距是距离吗？ 答：不是，是直线与坐标轴交点的纵坐标， 截距有正负，距离无正负。 图8-5 如图8-5所示， 则a称为直线l在x轴上的截距（或横截距）； b称为直线l在y轴上的截距（或纵截距）。 8.2.2 直线的点斜式与斜截式方程 8.2.2 直线的点斜式与斜截式方程 8.2.2 直线的点斜式与斜截式方程 8.2.2 直线的点斜式与斜截式方程 例题解析 例4 根据下列条件，写出直线方程 （1）倾斜角为 ，在y轴上的截距为4； （2）斜率为3，与y轴相交于点 ； （3）过点 ，且在y轴上的截距为-2 。 解 （1）由 可得直线方程为 （2）由 可得直线方程为 8.2.2 直线的点斜式与斜截式方程 例题解析 例4 根据下列条件，写出直线方程 （1）倾斜角为 ，在y轴上的截距为4； （2）斜率为3，与y轴相交于点 ； （3）过点 ，且在y轴上的截距为-2 。 解 故直线方程为 （3）因为直线在y轴上的截距为-2，即过点(0, -2)，又因直线过点A (-3, 0) ，所以直线的斜率为 8.2.2 直线的点斜式与斜截式方程 练习 1. 若点M (-1, a)在直线2x-3y = 4上，求a的值。 8.2.2 直线的点斜式与斜截式方程 练习 2. 根据下列条件，写出直线方程 （1）过点(-2, 5)，斜率为-1； （2）斜率为2，与x轴相交于点(3, 0)。 直线的点斜式方程 可化为 直线的斜截式方程 可化为 直线的两点式方程 可化为 8.2.3 直线的一般式方程 二元一次方程的一般形式 8.2.3 直线的一般式方程 那么，二元一次方程 的图形是否都为一条直线呢？下面我们进行讨论。 （1）当 时，二元一次方程 可化为 ，它表示斜率 ，在y轴上的截距 的直线，如图（a）所示。 （a） 8.2.3 直线的一般式方程 （2）当 A = 0，B ≠ 0 时，二元一次方程 可化为 ，它表示经过点 ，且平行于x轴的直线的直线，如图（b）所示。 （b） 那么，二元一次方程 的图形是否都为一条直线呢？下面我们进行讨论。 （c） （3）当 A ≠ 0，B = 0 时，二元一次方程 可化为 ，它表示经过点 ，且平行于y轴的直线的直线，如图（c）所示。 8.2.3 直线的一般式方程 那么，二元一次方程 的图形是否都为一条直线呢？下面我们进行讨论。 综上所述，二元一次方程 （ A，B不全为零）在平面直角坐标系中表示的是一条直线。 我们把形如 （ A，B不全为零）的二元一次方程称为直线的一般式方程。 8.2.3 直线的一般式方程 8.2.3 直线的一般式方程 例题解析 例6 将方程 y -1= 2( x-3) 化为直线的一般式方程，并分别求出该直线在x轴和y轴上的截距。 在一般式方程中， 令 ，则 ，故直线在x轴上的截距为 ； 令 ，则 ，故直线在y轴上的截距为 。 解 由 可得直线的一般式方程为 8.2.3 直线的一般式方程 将上述方程变形后可得直线的斜截式方程 将斜截式方程移项后可得直线的一般式方程 例7 已知直线l经过点 A (4, 2)，斜率为-3，求直线l的点斜式方程、斜截式方程和一般式方程。 因直线l经过点 A (4, 2)，斜率为-3，故其点斜式方程为 解 例题解析 8.2.3 直线的一般式方程 练习 1. 将下列方程化为一般式方程。 8.2.3 直线的一般式方程 练习 2. 求直线 3x - 4y +3 = 0在x轴和y轴上的截距及直线的斜率。 8.2 直线的方程 总 结 直线的点斜式方程 直线的斜截式方程 直线的两点式方程 直线的一般式方程 Thank You! $$