精品解析：广东省惠州市第一中学2024-2025学年高一上学期11月期中数学试题

惠州一中2027届高一11月教学质量期中检测 高一年级 数学试卷 （时间120分钟，满分150分） 试卷类型：A 注意事项： 1.答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上. 2.做选择题时，必须用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效. 第一部分 选择题（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式求集合M，应用集合的交、并运算判断各项正误即可. 【详解】由，而， 所以，. 故选：D 2. 已知命题：，，使得，则为（　　） A. ，，使得 B. ，，使得 C. ，，使得 D. ，，使得 【答案】C 【解析】 【分析】由全称命题和特称命题的否定形式，可得解. 【详解】由全称命题和特称命题的否定形式，可得命题：，， 使得的否定为：，，使得. 故选：C . 3. 函数（）的图象大致为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由奇偶性排除选项；由,可排除选项,从而可得结果. 【详解】因为， 所以函数是偶函数，函数图象关于轴对称，可排除选项； 因为,可排除选项,故选A. 【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除. 4. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出中的范围，然后由可得的定义域． 【详解】∵函数的定义域为，即， ∴，则的定义域为， 由，得． ∴的定义域为． 故选：C． 5. 设函数,则 A. 3 B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接代入求解即可. 【详解】因为，所以． 故选：A． 6. 为了衡量星星的明暗程度，公元前二世纪古希腊天文学家喜帕恰斯提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮.1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为.已知小熊座的“北极星”与大熊座的“玉衡”的星等分别为和，且当较小时，，则“玉衡”与“北极星”的亮度之比大约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】理解题意，把已知数据代入公式计算即可. 【详解】由题意，可得， . 故选：B. 7. 已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用定义确定函数为偶函数，再利用单调性证明在上为增函数，所以不等式化简为，转化为在上恒成立，求出的取值范围. 【详解】函数的定义域为，且，所以为偶函数. 又当时, 是增函数， 任取，且， ，， 所以在上是增函数，即在上是增函数. 所以不等式对任意恒成立，转化为，即，从而转化为和在上恒成立 ①若在上恒成立，则，解得； ②若在上恒成立，，则，解得； 综上所述，实数的取值范围是. 故选：D. 【点睛】方法点睛：本题考查了解抽象不等式，要设法把隐性划归为显性的不等式求解，方法是： （1）把不等式转化为的模型； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性将不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组）来求解，但要注意奇偶函数的区别. 8. 已知函数，若关于的方程有8个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先判断为偶函数，可得，令，则可作出的图象，结合图象以及方程有8个不同的实数根的条件可求答案. 【详解】因为函数的定义域为， ， 所以为偶函数，当时， 令，则可作出的图象： 关于的方程有8个不同的实数根， 方程在区间内有两个不相等的实数根. 令，则. ， 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 函数的最大值为 B. 若，则的值为 C. 函数的减区间是 D. 已知在上增函数，若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用指数函数单调性即可求得；对于B，运用指对数互化和换底公式，以及对数运算性质可得； 对于C，利用复合函数单调性即可判断；对于D，利用函数单调性的应用即可推得. 【详解】对于A，因， 因为函数为减函数，故得，即A正确； 对于B，由，可得 则，故B正确； 对于C，由，可得，解得， 即函数的定义域为， 设，显然该函数在上单调递增，在上单调递减， 而在定义域上为增函数， 故函数的减区间为，即C错误； 对于D，因为在上是增函数，由可得，则， 因，则，故得，即D正确. 故选：ABD . 10. 已知定义在上的函数同时满足以下三个条件：①；②；③在区间上单调递增，则下列关于的表述中，正确的是（ ） A. B. 恰有三个零点 C. 在上单调递增 D. 存在最大值和最小值 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A，利用条件，赋值即可得出结果；再利用定义法证明在上单调递增，即可判断出选项C的正误，结合条件及奇函数的性质得出函数在区间上单调递增，在区间上单调递增，即可判断出选项D的正误，再根据条件得到，，，结合函数的单调性，即可判断出选项B的正误. 【详解】对于选项A，因为，取，得到， 即，所以选项A正确， 对于选项C，任取，且，则，且， 则， 又在区间上单调递增，且为奇函数，所以在区间上也单调递增， 所以，得到，即，所以在上单调递增，故选项C正确， 对于选项B，因为定义在上奇函数，所以，又，所以，故或或是的根， 结合选项C、由奇函数的性质及条件知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递增，故选项B正确， 对于选项D，因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递增，故函数不存在最大值和最小值，所以选项D错误， 故选：ABC. 【点睛】关键点晴：本题的关键在于，根据条件，利用定义法证明在上单调递增，再利用条件及奇函数的性质得到函数在区间上单调递增，在区间上单调递增，即可解决问题. 11. 已知正数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】设，求出，利用对数的运算及换底公式计算判断A；利用作商法计算判断B；利用作差法计算判断CD. 【详解】依题意，设，则，， 对于A，，A正确； 对于B，，而，即有，则， 又，，即有，则， 所以，B正确； 对于C，由选项A知，，得， 则，C错误； 对于D，， 因此，D错误. 故选：AB 第二部分 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中第14题第一空2分，第二空3分. 12. 关于的方程有实数根，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数的值域，得到不等式，解之即得. 【详解】因，由关于的方程有实数根，可得， 即得，解得：. 即实数的取值范围为. 故答案为：. 13. 已知函数满足，则函数值域为______. 【答案】 【解析】 【分析】换元法得到的解析式，进而由定义域求出值域. 【详解】令，则，所以， 所以的解析式为，其中. 当时，，所以值域为, 故答案为： 14. 依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）.2019年1月1日起我国正式执行新个税法，个税的部分税率级距进一步优化调整，扩大3%、10%、20%三档低税率的级距，减税向中低收入人群倾斜.税率与速算扣除数见下表： 级数 全年应纳税所得额所在区间 税率（%） 速算扣除数 1 [0，36000] 3 0 2 (36000，144000] 10 2520 3 (144000，300000] 20 16920 4 (300000，420000] 25 31920 5 (420000，660000] 30 小华全年应纳税所得额100000元，则全年应缴个税为元.还有一种速算个税的办法：全年应纳税所得额对应档的税率对应档的速算扣除数，即小华全年应缴个税为元.按照这一算法，当小李的全年应纳税所得额为200000元时，全年应缴个税为______，表中的______. 【答案】 ① 23080 ②. 52920 【解析】 【分析】根据全年应纳税所得额对应档的税率对应档的速算扣除数，计算小李的全年应纳税所得额为200000元时应缴个税，计算全年应纳税所得额为500000元时应缴个税数，列方程求出的值. 【详解】根据全年应纳税所得额对应档的税率对应档的速算扣除数， 可得小李的全年应纳税所得额为200000元时应缴个税为 （元） 全年应纳税所得额为500000元时， ， 解得（元） 故答案为：23080；52920； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，，全集 （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据交集与补集的运算求解即可； （2）分与由条件列不等式求范围即可. 【小问1详解】 当时，， 所以或，又， 所以. 【小问2详解】 由题可得：当时，有， 解得a的取值范围为； 当时有，解得a的取值范围为， 综上所述a的取值范围为. 16 （1）求值：； （2）求值：. （3）解方程：. 【答案】（1）；（2）3；（3）10和. 【解析】 【分析】（1）利用指数幂的运算法则先化简再求值即得； （2）利用对数的运算性质和换底公式化简计算即得； （3）设，则，代入求解关于的方程，再求原方程的解即可. 【详解】（1） ； （2） ； （3）设，则，方程可化为：， 即得：，解得. 当时，；当时，. 故原方程的解为10和. 17. 已知二次函数,且不等式的解集为，对任意的都有恒成立. （1）求的解析式； （2）若不等式在上有解，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2） 【解析】 【详解】分析：（1）由题意的解集为转化为方程的两个根是和，由由韦达定理，在由在恒成立，根据，即可求解的值，得到函数的解析式； （2）由题意，分类参数得，设, 得到，利用均值不等式即可求解. 详解：（1）∵ 的解集为 ∴ 方程的两个根是1和3. 故 ∴ 又 ∵ 在恒成立 ∴ 在恒成立 ， ， 又∵ ∴ ∴ （2）由题意，即 ∵ ∴ 设, 则 又∵ 当且仅当即时取得最大值 ∴，即实数的取值范围为 点睛：本题主要考查了二次函数的图象与性质，以及函数的恒成立问题和不等式的有解问题的求解，其中熟记二次函数图象与性质和分类参数法求解不等式的恒成立与有解问题是解答的关键，着重考查了转化思想方法的应用，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的综合性，属于中档试题. 18. 若函数在定义域上满足，且时，，定义域为为偶函数. （1）求证：（i）函数为奇函数； （ii）函数在定义域上单调递增； （2）若在区间上；在上的图象关于点对称.求函数和函数在区间上的解析式. 【答案】（1）（i）证明见解析；（ii）证明见解析 （2）,； 【解析】 【分析】（1）（i）通过赋值，利用奇函数定义易证；（ii）利用题设条件，结合函数的单调性定义即可证得； （2）先由函数和的奇偶性，列出方程组，即可求得和在上的解析式，再根据题设条件求出两函数在区间上的解析式. 【小问1详解】 （i）对于，，令，可得， 再令，可得，即， 故函数为奇函数. （ii）任取，且，则，， 由 ， 可得， 故函数在定义域上单调递增. 【小问2详解】 因是定义在上的偶函数，则时，. 由时，①， 可得②， 由，可得，即得：； 由，可得，即得：； 因时，，则当时，， 由可得； 当时，，故. 综上，可知当时，都有. 又因时，，且在上的图象关于点对称， 则当时，，； 又是定义在上的偶函数， 故时，，. 综上，可知当时， 19. 设，若满足，则称比更接近. （1）设比更接近0，求的取值范围； （2）判断“”是“比更接近”的什么条件，并说明理由； （3）设且，试判断与哪一个更接近. 【答案】（1） （2）充分不必要条件，理由见解析； （3）更接近 【解析】 【分析】（1）依据定义列出不等式，结合一元二次不等式解法即可求得的取值范围； （2）根据已知条件分别判断充分性和必要性是否成立即可得出结论； （3）由且利用函数单调性，分别对和时与的大小进行比较，即可得出结论. 【小问1详解】 根据题意可得，即； 可得，解得； 即的取值范围为； 【小问2详解】 充分性：显然，由可得， ①若，则，可得； 又可得，所以； 即可得，此时可以得出“比更接近”； ②若，则，可得； 又可得，所以； 即可得，此时可以得出“比更接近”； 因此充分性成立 必要性：由比更接近可得，即， 若，此时，即必要性不成立； 所以“”是“比更接近”的充分不必要条件； 【小问3详解】 当时，显然在上单调递减， 所以，即； 易知， 所以， 由对勾函数性质可知在上单调递增， 所以， 即可得，即； 同理当时，由单调性可知，即； 可知， 又由对勾函数性质可知函数在上单调递减，在上单调递增； 又， 所以在时恒成立，即； 综上可得满足，即更接近. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解新定义的概念，并结合不等式性质以及函数单调性比较出两绝对值大小，再由定义得出结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠州一中2027届高一11月教学质量期中检测 高一年级 数学试卷 （时间120分钟，满分150分） 试卷类型：A 注意事项： 1.答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上. 2.做选择题时，必须用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效. 第一部分 选择题（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 已知命题：，，使得，则为（　　） A. ，，使得 B ，，使得 C. ，，使得 D. ，，使得 3. 函数（）的图象大致为 A. B. C. D. 4. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 设函数,则 A. 3 B. 1 C. 0 D. 6. 为了衡量星星明暗程度，公元前二世纪古希腊天文学家喜帕恰斯提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮.1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为.已知小熊座的“北极星”与大熊座的“玉衡”的星等分别为和，且当较小时，，则“玉衡”与“北极星”的亮度之比大约为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 8. 已知函数，若关于的方程有8个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 函数的最大值为 B. 若，则的值为 C. 函数的减区间是 D. 已知在上是增函数，若，则 10. 已知定义在上的函数同时满足以下三个条件：①；②；③在区间上单调递增，则下列关于的表述中，正确的是（ ） A B. 恰有三个零点 C. 在上单调递增 D. 存在最大值和最小值 11. 已知正数满足，则（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中第14题第一空2分，第二空3分. 12. 关于的方程有实数根，则实数的取值范围为_____. 13. 已知函数满足，则函数值域为______. 14. 依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）.2019年1月1日起我国正式执行新个税法，个税的部分税率级距进一步优化调整，扩大3%、10%、20%三档低税率的级距，减税向中低收入人群倾斜.税率与速算扣除数见下表： 级数 全年应纳税所得额所在区间 税率（%） 速算扣除数 1 [0，36000] 3 0 2 (36000，144000] 10 2520 3 (144000，300000] 20 16920 4 (300000，420000] 25 31920 5 (420000，660000] 30 小华的全年应纳税所得额100000元，则全年应缴个税为元.还有一种速算个税的办法：全年应纳税所得额对应档的税率对应档的速算扣除数，即小华全年应缴个税为元.按照这一算法，当小李的全年应纳税所得额为200000元时，全年应缴个税为______，表中的______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，，全集 （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. （1）求值：； （2）求值：. （3）解方程：. 17. 已知二次函数,且不等式的解集为，对任意的都有恒成立. （1）求的解析式； （2）若不等式在上有解，求实数的取值范围. 18. 若函数在定义域上满足，且时，，定义域为的为偶函数. （1）求证：（i）函数为奇函数； （ii）函数在定义域上单调递增； （2）若在区间上；在上的图象关于点对称.求函数和函数在区间上的解析式. 19. 设，若满足，则称比更接近. （1）设比更接近0，求的取值范围； （2）判断“”是“比更接近”的什么条件，并说明理由； （3）设且，试判断与哪一个更接近. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $