精品解析：山东省枣庄市第一中学2024-2025学年高一上学期期中检测数学试题

2024-2025学年度第一学期期中检测 高一数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，，则的非空子集个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 2. 命题.“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 对于实数，“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C 充要 D. 既不充分也不必要 4. 下列函数中，在定义域上既是奇函数又是减函数为（ ） A. B. C D. 5. 已知幂函数是偶函数，且在上是增函数，则（ ） A. B. C. 0 D. 3 6. 若正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 7. 已知是偶函数，且其定义域为，则的值是 （ ） A. B. C. D. 8. 某位同学经常会和爸爸妈妈一起去加油，经过观察他发现了一个有趣的现象：爸爸和妈妈的加油习惯是不同的.爸爸每次加油都说：“师傅，给我加250元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”.这位同学若有所思，如果爸爸､妈妈都加油两次，两次的加油价格不同，妈妈每次加满油箱；爸爸每次加250元的油，我们规定谁的平均单价低谁就合算，那么请问爸爸､妈妈谁更合算呢？（ ） A. 妈妈 B. 爸爸 C. 一样 D. 不确定 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《励智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列说法不成立的是（ ） A. 若且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 10. 已知函数，若，则x的取值可以是（ ） A. 3 B. 20 C. D. 5 11. 已知函数是定义在上偶函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数有3个单调区间 B. 当时， C. 函数有最小值 D. 不等式的解集是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 树德中学对高一强基班的学科培优进行了调查．调查结果显示：参加物理培优的有60人，参加数学培优的有80人，参加化学培优的有50人，三科培优都参加的有24人，只选择两科培优参加的有22人，不参加其中任何一科培优的有15人，则接受调查的高一强基班学生共有_____________人． 13. 函数的定义域为______． 14. 若，则的最小值是__________ 四．解答题：本小题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设全集为R，集合，． （1）分别求，； （2）已知，若，求实数a的取值范围． 16. （1）已知，求函数的最大值，并求出此时的值; （2）已知，且,求的最小值，并求出此时的值; （3）已知，且,求的最大值，并求出此时的值. 17. 已知二次函数满足，且． （1）求解析式； （2）若两个不相等的正数，满足，求的最小值． 18. 某乡镇为了打造“网红”城镇发展经济，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍惜水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元.已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元） （1）写单株利润（元）关于施用肥料x（千克）的关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大?最大利润是多少? 19. 已知函数是奇函数，且，. （1）求函数的解析式； （2）判断并证明函数在上的单调性； （3）令，若对任意的都有，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期期中检测 高一数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，，则的非空子集个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】求出交集再根据子集的概念得出结论． 【详解】由题意，因此它有8个子集，其中非空子集有7个． 故选：A． 2. 命题.“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用特称命题的否定形式回答即可. 【详解】根据特称命题的否定形式可知命题.“”的否定是“”. 故选：B 3. 对于实数，“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案. 【详解】当时，显然有成立， 但是由，未必有，如，但， 故前者是后者的充分不必要条件. 故选：A 4. 下列函数中，在定义域上既是奇函数又是减函数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇偶函数的定义及单调性的定义逐项判断即可. 【详解】对于，对于，，且， 故函数是非奇非偶函数，不满足题意； 对于，函数，满足是奇函数，但在定义域内不具有单调性，不满足条件； 对于，函数的定义域为，不具有对称性，故不具有奇偶性，不满足题意； 对于，对于函数，定义域为，满足，是奇函数， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递减； 又当时，，所以在上单调递减，满足题意. 故选： 5. 已知幂函数是偶函数，且在上是增函数，则（ ） A. B. C. 0 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由函数是偶函数且在上是增函数，可知函数在上单调递减，由幂函数的性质可得，结合，即可解出或或，分别代入函数，结合是偶函数即可得出答案. 【详解】因为函数是偶函数且在上是增函数， 所以函数在上单调递减， 所以，即，解得， 又因为，所以或或， 当或时，，此时为奇函数，不满足题意； 当时，，此时为偶函数，满足题意； 所以. 故选：B 6. 若正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式和常值代换法求得的最小值，依题得到不等式，解之即得. 【详解】因，由 ，当且仅当时取等号， 即当时，取得最小值6. 因不等式恒成立，故， 即，解得. 故选：C. 7. 已知是偶函数，且其定义域为，则的值是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用偶函数的定义和性质，即可求得的值. 【详解】，因为函数是偶函数，所以满足， 得， 偶函数的定义域关于原点对称，所以，得， 所以. 故选：B 8. 某位同学经常会和爸爸妈妈一起去加油，经过观察他发现了一个有趣的现象：爸爸和妈妈的加油习惯是不同的.爸爸每次加油都说：“师傅，给我加250元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”.这位同学若有所思，如果爸爸､妈妈都加油两次，两次的加油价格不同，妈妈每次加满油箱；爸爸每次加250元的油，我们规定谁的平均单价低谁就合算，那么请问爸爸､妈妈谁更合算呢？（ ） A. 妈妈 B. 爸爸 C. 一样 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，先计算爸爸和妈妈两次加油的平均单价，再作差法比较大小，即可得解. 【详解】由题意，设第一次加油单价为元，第二次为元，油箱加满为升，则妈妈两次加油共需付款元，爸爸两次能加升油， 设爸爸两次加油的平均单价为元/升，妈妈两次加油的平均单价为元/升， 则，且，， 所以，即， 所以爸爸的加油方式更合算. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《励智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列说法不成立的是（ ） A. 若且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A项，通过设出和的值，即可得出结论；B项，通过作差后与0比较，即可得出结论；C项，通过作差后与0比较，即可得出结论；D项，通过分析已知条件得出和与0的关系，讨论的取值，即可得出结论. 【详解】由题意， A项， 当，时，满足，但， ∴A错误， B项， ∵， ∴， ∴， ∴B正确， C项， ∵， ∴， ∴C错误， D项， ∵，， ∴，，， 当时，则， ∴D错误， 故选：ACD. 10. 已知函数，若，则x的取值可以是（ ） A. 3 B. 20 C. D. 5 【答案】CD 【解析】 【分析】讨论和两种情况利用解析式即可求出. 【详解】当时，，解得（舍去）或， 当时，，解得，符合， 综上，或5. 故选：CD. 11. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数有3个单调区间 B. 当时， C. 函数有最小值 D. 不等式的解集是 【答案】BC 【解析】 【分析】利用奇偶性求出的表达式，再逐项求出单调区间、最值以及不等式的解集即可判断. 【详解】解：当时，，因为时， 所以，又因为是定义在上的偶函数 所以时， 即 如图所示： 对A，由图知，函数有个单调区间，故A错误； 对B，由上述分析知，当时，，故B正确； 对C，由图知，当或时，函数取得最小值，故C正确； 对D，由图知，不等式的解集是，故D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 树德中学对高一强基班的学科培优进行了调查．调查结果显示：参加物理培优的有60人，参加数学培优的有80人，参加化学培优的有50人，三科培优都参加的有24人，只选择两科培优参加的有22人，不参加其中任何一科培优的有15人，则接受调查的高一强基班学生共有_____________人． 【答案】135 【解析】 【详解】利用文恩图的辅助求解即可. 【分析】 由文恩图可得；参加培优的人数为， 又不参加其中任何一科培优的有15人， 所以接受调查的高一强基班学生共有. 故答案为：. 13. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 分析】依题意可得，求解即可. 【详解】依题意可得，解得且. 所以函数的定义域为. 故答案为：. 14. 若，则的最小值是__________ 【答案】 【解析】 【分析】将变形，得到，利用基本不等式“1”的妙用，求解最小值. 【详解】因为，所以，， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：. 四．解答题：本小题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设全集R，集合，． （1）分别求，； （2）已知，若，求实数a的取值范围． 【答案】（1），或或； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用集合交并补运算求集合； （2）根据题设有且集合非空，进而列不等式组求参数范围. 【小问1详解】 由题设，且或， 所以或或. 【小问2详解】 由题意，显然集合非空， 所以，可得. 16. （1）已知，求函数的最大值，并求出此时的值; （2）已知，且,求的最小值，并求出此时的值; （3）已知，且,求的最大值，并求出此时的值. 【答案】（1）时函数有最大值为2；（2）时目标式最小值为16；（3），时目标式的最大值为. 【解析】 【分析】（1）根据对勾函数最值的求法求函数最大值，并确定取值条件； （2）应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，并确定取值条件； （3）由代入目标式，结合基本不等式求最大值，并确定取值条件. 【详解】（1）由题意，则， 当且仅当时等号成立，所以时函数有最大值为2； （2）， 当且仅当，即时取等号， 所以时目标式最小值为16； （3）由，则， 所以， 当且仅当，对应时取等号， 所以，时目标式的最大值为. 17. 已知二次函数满足，且． （1）求的解析式； （2）若两个不相等的正数，满足，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出二次函数的解析式，运用待定系数法容易得到答案； （2）根据对称性先求出正数，的关系，然后运用“1”的妙用求的最小值． 【小问1详解】 设二次函数， 因为，所以． 由，得， 得， 所以得， 故． 【小问2详解】 因为图象的对称轴为直线，所以由，得， 即，又 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最小值为 18. 某乡镇为了打造“网红”城镇发展经济，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍惜水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元.已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元） （1）写单株利润（元）关于施用肥料x（千克）的关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大?最大利润是多少? 【答案】（1）； （2）当施用肥料为4千克时，单株利润最大，最大利润是480元. 【解析】 【分析】（1）根据给定的函数关系，直接求出的解析式. （2）结合二次函数最值、基本不等式求最值，分段求出函数的最大值，再比较大小即可. 【小问1详解】 依题意，，又， 所以. 【小问2详解】 当时，，其图象开口向上，对称轴为， 因此在上单调递减，在上单调递增，在上最大值为； 当时， ， 当且仅当时，即时等号成立， 而，则当时，， 所以当施用肥料为4千克时，单株利润最大，最大利润是480元. 19. 已知函数是奇函数，且，. （1）求函数的解析式； （2）判断并证明函数在上的单调性； （3）令，若对任意的都有，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）上单调递减，上单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由是奇函数，可知，，进而列出关系式，求出，即可得到函数的解析式； （2）根据题意，利用定义法，可判断并证明函数在上的单调性； （3）由对任意的，都有恒成立，可得，求出，进而可求出的取值范围. 【小问1详解】 ，且是奇函数，， ，解得， ． 【小问2详解】 证明如下：任取，，且， 则， ，且， ，， ∴，，即， 函数在上单调递减. 同理可证明函数在上单调递增． 【小问3详解】 由题意知， 令，， 由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增， ， 函数的对称轴方程为， 函数在上单调递增， 当时，取得最小值，； 当时，取得最大值，. 所以，， 又对任意的，都有恒成立， ， 即， 解得，又， 的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$