精品解析：河北省石家庄市辛集市2024-2025学年高一上学期期中教学质量监测数学试题

辛集市2024~2025学年度第一学期期中教学质量监测 高一数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：必修第一册第一章~第三章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定集合，再根据并集的运算法则求两个集合的并集. 【详解】因为. 所以. 故选：D 2. 若正数满足：，则当取最大值时的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式求解积的最值. 【详解】根据基本不等式，解得，所以，所以， 当且仅当时等号成立，此时的值为1. 故选：C 3. 下列哪组中的两个函数是同一函数（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】定义域和对应法则均一致才为同一函数，对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】对于A，函数的定义域为， 函数的定义域为，即两个函数不是同一函数； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为， 即两个函数不是同一函数； 对于C，，函数与函数的定义域和对应法则一致， 即两个函数是同一函数； 对于选项D，函数的定义域为， 函数的定义域为，即两个函数不是同一函数． 故选：C． 4. 已知函数，则（ ） A. 14 B. 0 C. 22 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的周期性和分段函数的解析式，求函数值. 【详解】. 故选：C 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由求的取值范围得函数的定义域. 【详解】由题意：且. 所以函数的定义域为：. 故选：A. 6. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如表格所示：若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量是（ ） 每户每月用水量 水价 不超过12的部分 3元 超过12但不超过18的部分 6元 超过18的部分 9元 A. 24 m3 B. 22m3 C. 20m3 D. 15 m3 【答案】C 【解析】 【分析】分段计算不同用水量的水费即可得到问题答案. 【详解】由题意：当用水量不超过12时，水费小于或等于元； 当用水量超过12但不超过18时，水费不超过：元； 交纳水费为90元时，用水量为：. 故选：C 7. 小张、小胡两位同学解关于的方程，小张同学写错了常数，得到的根为或，小胡同学写错了常数，得到的根为或，则的值为（ ） A. 17 B. 7 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据韦达定理可求的值，问题可解. 【详解】由题意：；. 所以. 故选：D 8. 已知函数的定义域为，且，则函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过消去的方法来求得，再利用换元法，结合基本不等式来求得正确答案. 【详解】由，得， 所以，所以， 所以，又， 时，，所以要使取得最大值， 则，令， 所以， 当且仅当，即，即时等号成立，所以函数的最大值为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. “，使得”是真命题 B. “”是“”充分不必要条件 C. 在中，则“”是“是直角三角形”的充要条件 D. 已知，则“”是“”的充分不必要条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】举例说明A正确；根据自然数与有理数的概念判断B的真假；根据直角三角形的概念判断C的真假；根据不等式的性质结合充分不必要条件的判断可判断D的真假. 【详解】对A：当时，，且，故A正确； 对B：因为，但不能推出，故“”是“”的充分不必要条件，故B正确； 对C：由可得是直角三角形，但是直角三角形，未必有，也有可能是或，故“”不是“是直角三角形”的充要条件.故C错误； 对D：当时，，但若，如，，则，即不成立.所以“”是“”的充分不必要条件.故D正确. 故选：ABD 10. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. 不等式的解集为 D. 函数的单调递减区间为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据定义在上的奇函数必过原点求的值，判断A的真假；求时，函数的解析式判断B的真假；解不等式，判断C的真假，根据函数单调区间的写法判断D的真假. 【详解】对A：因为函数是定义在上的奇函数，且时，， 所以，故A正确； 对B：设，则，所以， 又， 所以，，故B错误. 对C：由或得：或， 所以不等式的解集为：，故C正确； 对D：函数的单调递减区间一定不能写成并集的形式，所以D错误. 故选：AC 11. 已知函数的定义域是，且，都有，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 函数在上是减函数 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】采用赋值法可判断AB的真假；证明函数在上的单调性，判断C的真假，研究的值，判断D的真假. 【详解】对A：令得：.故A正确； 对B：由题意，故B正确； 对C：设，则 ， 因为，所以，即，所以函数在上是减函数，故C正确； 对D：因为，所以，故D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，则满足 的集合的个数为________． 【答案】7 【解析】 【分析】先确定集合，根据真子集的个数与集合中元素个数的关系求集合的个数. 【详解】因为. 所以集合的个数为：个. 故答案为：7 13. 已知实数满足，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】结合不等式的基本性质求的取值范围. 【详解】因为：， 又， 两式相加，得：. 故答案为： 14. 已知是定义在上的偶函数，的图象是一条连续不断的曲线，若，且，都有，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】设函数，分析函数的单调性和奇偶性，把函数不等式转化为代数不等式求解. 【详解】不妨设，则， 所以即. 设，则在上单调递增. 又是定义在上的偶函数，，所以，所以为奇函数. 根据奇函数的性质，在上单调递增. 又， 也就是：，解得：或. 所以所求不等式的解集为： 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知集合. （1）若，求和； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）把代入，利用并集的定义及补集交集的定义求解即得. （2）利用交集的结果，分和两种情况结合集合的包含关系，列式求解即得. 【小问1详解】 当时，，而， 所以，或 . 【小问2详解】 由，得， 当时，，即； 当时，，解得， 所以实数的取值范围是. 16. 已知幂函数在区间上单调递减. （1）求的值； （2）求不等式的解集. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性求的值，确定幂函数的解析式，再求； （2）根据幂函数的解析式，把函数不等式化为代数不等式求解. 【小问1详解】 由题意，，所以， 所以. 【小问2详解】 ， 所以且. 故所求不等式的解集为：. 17. （1）已知，求的最大值； （2）已知，且，求的最小值． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）首先配凑成积为定值的形式，然后根据基本不等式求解； （2）将形式转化，然后根据基本不等式求解； 【详解】（1） 因为，所以 当且仅当时，等号成立， 故有 即的最大值为. （2）,又因为， 故有， 因为，所以， 令 当且仅当即时，取得最小值. 18. 已知函数，且. （1）求的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明； （3）若对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）由（1）知，， 在上的单调递减， 证明如下：任取，设， ， 因为， 所以，故在上的单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）根据列式求解； （2）根据单调性的定义证明函数的单调性即可； （3）通过换元法，根据基本不等式求出的最小值，结合恒成立通过最值得关于的不等式，解不等式即可求解参数范围. 【小问1详解】 因为，代入得：即， 解得：. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 对任意的，， 因为，令， ， 根据基本不等式性质，， 当且仅当即时，等号成立，所以， 所以， 可转化为即， 解得：. 所以的取值范围为. 19. 已知函数． （1）若，求的值； （2）求函数的值域； （3）若，求函数的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先确定的取值范围，两边平方解方程，即可得的值. （2）设，两边平方，结合的取值范围，可求的取值范围，即为所求函数的定义域. （3）在（2）的基础上，把问题转化为二次函数在给定区间上的值域问题解决.需要对抛物线的开口方向和抛物线的对称轴与区间的位置关系分类讨论. 【小问1详解】 因为. 由. 【小问2详解】 设（），则. 因为，所以，又，所以. 即函数的值域为. 【小问3详解】 由（2）得：设，则，. 所以可转化为，. 若，因为抛物线的对称轴，所以抛物线开口方向向上，在上单调递增，所以； 若，则在上单调递增，所以； 若，因为抛物线的对称轴，抛物线开口方向向下. 当即时，在上单调递减，所以； 当即时，， 当即时，在上单调递增，所以. 综上可知：. 【点睛】方法点睛：二次函数在给定区间上的值域问题，一般要分情况讨论，讨论点有： （1）是不是二次函数； （2）二次函数的开口方向； （3）抛物线的对称轴和区间的位置关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辛集市2024~2025学年度第一学期期中教学质量监测 高一数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：必修第一册第一章~第三章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若正数满足：，则当取最大值时的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3. 下列哪组中的两个函数是同一函数（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知函数，则（ ） A. 14 B. 0 C. 22 D. 64 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如表格所示：若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量是（ ） 每户每月用水量 水价 不超过12的部分 3元 超过12但不超过18的部分 6元 超过18的部分 9元 A. 24 m3 B. 22m3 C. 20m3 D. 15 m3 7. 小张、小胡两位同学解关于的方程，小张同学写错了常数，得到的根为或，小胡同学写错了常数，得到的根为或，则的值为（ ） A. 17 B. 7 C. D. 8. 已知函数的定义域为，且，则函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. “，使得”是真命题 B. “”是“”充分不必要条件 C. 在中，则“”是“是直角三角形”的充要条件 D. 已知，则“”是“”的充分不必要条件 10. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. 不等式的解集为 D. 函数的单调递减区间为 11. 已知函数的定义域是，且，都有，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 函数在上是减函数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，则满足 的集合的个数为________． 13. 已知实数满足，则的取值范围为______． 14. 已知是定义在上的偶函数，的图象是一条连续不断的曲线，若，且，都有，则不等式的解集为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知集合. （1）若，求和； （2）若，求的取值范围. 16. 已知幂函数在区间上单调递减. （1）求的值； （2）求不等式的解集. 17. （1）已知，求的最大值； （2）已知，且，求的最小值． 18. 已知函数，且. （1）求的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明； （3）若对任意的恒成立，求的取值范围. 19. 已知函数． （1）若，求的值； （2）求函数的值域； （3）若，求函数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $