【解答题专项】第五单元 确定起跑线（知识梳理+典例精讲+专项训练）-2024-2025学年小学数学六年级上册（人教版，含答案）

第五单元 确定起跑线 小学数学六年级上册专项训练（知识梳理+典例精讲+专项训练） 一、椭圆式田径场跑道结构 1．跑道组成：椭圆式田径跑道由两条直道和两条弯道（两个相等的半圆）组成。 2．跑道宽度：每相邻两条跑道之间的宽度都相等。 二、跑道长度计算 1．每条跑道的长度：跑道的总长度由直道长度和弯道长度组成。由于所有跑道的直道长度相同，因此不同跑道的长度差异主要由弯道长度决定。 3．弯道长度计算：弯道长度可以通过圆的周长公式来计算，即C=πd（d为弯道的直径）。由于外圈跑道的直径比内圈跑道的直径大，因此外圈跑道的弯道长度也比内圈跑道的弯道长度长。 4．相邻跑道长度差：相邻两条跑道的长度差等于相邻两个圆的周长差，即C1-C2=πd1-πd2=π(d1-d2)。由于每相邻两条跑道之间的宽度相等，因此相邻跑道的直径差也相等，所以相邻跑道的长度差是一个定值。 三、确定起跑线位置 1．起跑线前移原理：为了保证比赛的公平性，当运动员在不同跑道上比赛时，他们的起跑线应该根据跑道的长度差进行相应的前移。具体来说，外圈跑道的起跑线应该比内圈跑道的起跑线前移一定的距离，这个距离就等于相邻跑道的长度差。 2．起跑线前移距离计算：起跑线前移的距离可以通过上述的相邻跑道长度差公式来计算。例如，在400米跑比赛中，如果跑道的宽度为1.25米，那么相邻两条跑道的起跑线应该相差约7.85米（π取3.14时，计算为2πr=2×3.14×1.25=7.85米）。 【典例1】东湖中学某两名男生在400米跑道上进行体考前的1000米训练，各跑一条道，由于有弯道（如图所示，其中内道半径为36.5米），为了公平，外道和内道选手的起跑线不在同一地点．每条跑道宽1.22米，外道选手的起点应比内道选手前移多少米？（结果精确到0.01米，π≈3.14） 【详解】试题分析：要使比赛公平，要求第二道应比第一道提前多少米，只要用外圆周长减去内圆周长即可，根据圆的周长公式：c=πd；其次要注意，跑道一圈是400米，1000米需要跑1000÷400＝2.5圈，把数据代入公式解答． 解：3.14×（36.5×2+1.22×2） ﹣3.14×（36.5×2） =3.14×（73+2.44）+3.14×73 =3.14×75.44﹣3.14×73 3.14×（75.44﹣73） =3.14×2.44 ≈7.66（米） 7.66×2.5=19.15（米） 答：外道选手的起点应比内道选手前移约19.15米． 【点评】此题主要考查圆的周长公式在实际生活中的应用，关键是熟记公式． 【典例2】某赛车的左、右轮子的距离为2米，因此当车子转弯时，外侧的轮子比内侧的轮子多走了一段路． (1)赛车车轮行走两圈时，外轮比内轮多走了多少米？ (2)在下面的训练场上(弯道部分为半圆)，赛车按图中所示方向跑了一圈后，左、右两个轮子哪个跑的路程远？远多少？ 【分析】解答本题的关键是明确两个轮子之间的距离就是圆环的两个半径的差，然后再结合圆的周长＝2πr，进行解答即可. （1）解：因为赛车的左、右轮子的距离为2米，也就是圆环的内外半径差是2米 2π×2×2＝8π(米) 答：赛车车轮行走两圈时，外轮比内轮多走了8π米. （2）解：因为赛车的右轮子在圆外侧，即相对于左轮它走的是外圆，所以右轮跑的路程远. 答：右轮比左轮跑的路程远. 远的距离为：2π×2＝4π(米) 答：右轮比左轮跑的路程远4π米. 【典例3】甲、乙两人分别从A，B处出发，沿半圆走到C，D，他们两人走过的路程一样长吗？相差多少？ 【分析】考查了圆的周长，告诉了半径结合具体的题意去求周长或者路程． 【详解】不一样长，因为两个人所走的圆的半径不一样大，所以所走的路程不一样长．相差的路程为半径增加的1.5米的圆的周长的一半，则为：3.141.5=4.71米． 【典例4】六位同学参加趣味“套圈”比赛，场地设计如下图： 【分析】（1）从图中可以看出，③和④距离瓶子近，其他人距离瓶子远，所以这样设计比赛场地不公平。 （2）只有让每个人距离瓶子一样远，才公平。利用“同一个圆内所有的半径都相等”，以瓶子为圆心，一定长度为半径画一个圆，六位同学分别站在圆上，据此设计出公平的“套圈”比赛场地的平面图。 【详解】（1）不公平。理由是：因为每个人与瓶子的距离不相等，所以这样设计比赛场地不公平。 （理由不唯一） （2）我设计的公平的“套圈”比赛场地平面图，如下图： （答案不唯一） 一、解答题 1．如下图，一个运动场两端是半圆形，中间是长方形。静静和欢欢进行跑步比赛，她们分别从A、B两点出发，沿跑道线跑一圈，最后都回到终点。为了比赛公平，静静和欢欢的起跑线应相差多少米？（π取3.14） 2．下图是海港路小学的操场示意图，周围是一条跑道。小敏沿外圈跑一周，小露沿内圈跑一周，小敏比小露多跑多少米？（π取3.14） 3．在标准400米跑道上参加200米跑，每条跑道宽1.25米，相邻跑道中两人之间的起跑位置大约相差多少米？（π取3.14） 4．工人师傅在学校操场铺设了一个400米半圆式田径场，如图，测得每条跑道的宽度为1.25米，如果进行400米比赛，环形跑道上各道起跑线相差多少米？ 5．如图，学校新建的一个运动场，两边是半圆形，中间是长方形足球场，运动场有4条跑道，每条跑道1.25米，其中最内圈长为200米，最内圈弯道的半径是18米。 （1）请计算：最内圈的一条直跑道长是多少米？ （2）如果淘气与笑笑分别在第1条跑道和第2条跑道上进行200米赛跑，由于有弯道，为了公平，笑笑的起跑线应设在淘气起跑线前面多少米？ （3）现要在中间长方形足球场内铺草坪，在跑道上铺塑胶。已知铺草坪每平方米要花费50元，铺塑胶每平方米要花费400元，算一算，投入50万元够吗？ 6．在正规400m跑道跑一圈，每一道的起跑线要比前一道提前7.85m，那么进行200m比赛呢？800m比赛呢？ 7．体育场的跑道最里圈长度约为，如果让你画赛跑的起跑线，你能确定每相邻两条起跑线相差多少米吗？ 8．市实验小学新修了一条长200米（最内跑道一圈，如图）的塑胶跑道，弯道最内圈的半径是15米。每条跑道宽1.5米，现在有4条路道（比赛时跑步的选手一般压着跑道的内圈跑）。 （1）第2道运动员跑一圈跑了多少米？ （2）若进行200米赛跑，第4道运动员应比第2道运动员的起跑线提前多少米？ 9．在下图所示的比赛场中(弯道部分为半圆)，左、右轮子的距离为2米的赛车按指定方向绕一圈后 (1)两个轮子跑的路程相同吗？ (2)哪个轮子跑的路程更多些？多多少？ 10．由8个半径为100米的圆圆周的一部分连成一个花瓣形的跑道． (1)求花瓣图形的周长． (2)如果有一个两轮距为2米的汽车，在此跑道上跑一圈，哪个轮子跑的路程多？多多少？ 参考答案 1．6.28米 【分析】观察图形可知，直道的长度一定，跑道两端的两个半圆可以组合成一个圆，那么相邻跑道的起跑线的差距是相邻的外圆与内圆的周长差。 根据圆的周长公式C＝2πr可得出，相邻外圆周长与内圆周长的差为2πR－2πr＝2π（R－r），已知跑道宽为1米，即R－r＝1米； 由此得出，相邻跑道的起跑线的差距＝2π×跑道宽，代入数据计算即可得解。 【详解】2×3.14×1＝6.28（米） 答：静静和欢欢的起跑线应相差6.28米。 【点睛】本题考查圆的周长公式的灵活运用，掌握确定起跑线的计算方法是解题的关键。 2．31.4米 【分析】两边弯道可以拼成一个完整的圆，跑一周的长度＝圆的周长＋直道×2，直道长度一样，求出内外两个圆的周长差即可，圆的周长＝2×圆周率×直径，据此列式解答。 【详解】2×3.14×20－2×3.14×15 ＝125.6－94.2 ＝31.4（米） 答：小敏比小露多跑31.4米。 3．3.925米 【分析】在标准400米跑道上参加200米跑，要用到一段弯道和一段直道，一段弯道的长度是圆周长的一半，假设最内侧弯道直径x米，则相邻弯道直径（x＋1.25×2）米，根据圆的周长的一半＝圆周率×直径÷2，分别计算出两个跑道弯道部分的长度，求差即可。 【详解】假设最内侧弯道直径x米。 3.14×（x＋1.25×2）÷2－3.14×x÷2 ＝1.57×（x＋2.5）－1.57x ＝1.57x＋1.57×2.5－1.57x ＝3.925（米） 答：相邻跑道中两人之间的起跑位置大约相差3.925米。 4．7.85米 【分析】跑道是由两条直的跑道和两个半圆形跑道组成，直道长度相同，相邻跑道之间的差距在弯道，两侧的弯道可以拼成一个圆，所以跑道上各道起跑线的差距就是相邻两个圆的周长差，根据圆的周长＝圆周率×直径，则两个圆的周长差＝圆周率×直径差，根据题意，每条跑道的宽度为1.25米，则相邻半圆形跑道的直径差为1.25×2＝2.5米，据此解答。 【详解】 （米） 答：环形跑道上各道起跑线相差7.85米。 5．（1）43.48米； （2）7.85米； （3）不够 【分析】（1）最内圈的一条直跑道的长度＝（最内圈跑道的总长度－最内圈圆的周长）÷2； （2）在直跑道内两人跑的路程相同，但是弯跑道的路程不同，所以我们需要关注弯跑道，计算出笑笑和淘气弯跑道的路程差即可； （3）铺草坪的面积＝最内圈直跑道的长度×最内圈弯道的直径；再根据“总价＝单价×数量”算出铺草坪花费的总钱数； 弯跑道左右部分拼接起来变成一个圆环，根据环形的面积公式计算出最外圈圆与最内圈圆之间的环形面积，直跑道部分的面积是长方形的面积，计算出两部分的面积之和就是铺塑胶部分的面积，算出铺塑胶部分需要花费的总钱数，铺草坪和塑胶的总钱数与50万元比较大小即可。 【详解】（1）（200－3.14×18×2）÷2 ＝（200－113.04）÷2 ＝86.96÷2 ＝43.48（米） 答：最内圈的一条直跑道长是43.48米。 （2）第2条跑道圆形部分的直径：18×2＋1.25×2 ＝36＋2.5 ＝38.5（米） 第2条跑道圆形部分的周长：3.14×（18×2＋1.25×2） ＝3.14×（36＋2.5） ＝3.14×38.5 ＝120.89（米） 120.89－3.14×18×2 ＝120.89－56.52×2 ＝120.89－113.04 ＝7.85（米） 答：笑笑的起跑线应设在淘气起跑线前面7.85米。 （3）铺草坪的面积：43.48×（18×2） ＝43.48×36 ＝1565.28（平方米） 铺草地的总价：1565.28×50＝78264（元） 最内圈半径为18米，最外圈半径为18＋1.25×4 ＝18＋5 ＝23（米） 弯跑道面积：3.14×（232－182） ＝3.14×（529－324） ＝3.14×205 ＝643.7（平方米） 直跑道面积：43.48×（1.25×4）×2 ＝43.48×5×2 ＝43.48×（5×2） ＝43.48×10 ＝434.8（平方米） 铺塑胶的总价：（643.7＋434.8）×400 ＝1078.5×400 ＝431400（元） 78264＋431400＝509664（元） 509664元＝50.9664万元 因为50.9664万元＞50万元，所以投入50万元不够用。 答：投入50万元不够。 【点睛】掌握组合图形的面积和周长的计算方法是解答题目的关键。 6．200米比赛每一道的起跑线要比前一道提前3.925米；800米比赛每一道的起跑线要比前一道提前15.7米 【详解】400÷200＝2 800÷400＝2 7.85÷2＝3.925（米） 7.85×2＝15.7（米） 答：200米比赛每一道的起跑线要比前一道提前3.925米；800米比赛每一道的起跑线要比前一道提前15.7米． 7．7.85m 【详解】3.14×（1.25×2）＝7.85（m） 答：每相邻两条起跑线相差7.85m. 8．（1）209.42米，（2）提前18.84米。 【分析】（1）根据相邻两条跑道相差“跑道宽×2×π”，再加200就是第2道运动员跑一圈跑的米数； （2）因为第四跑道和第二跑道半径大了2×1.5＝3，所以增加的周长就是2×3π，由此即可算出答案。 【详解】（1）200＋1.5×2×3.14 ＝200＋3×3.14 ＝200＋9.42 ＝209.42（米） 答：第2道运动员跑一圈跑了209.42米。 （2）2×3.14×（2×1.5） ＝6.28×3 ＝18.84（米） 答：第4道运动员应比第2道运动员的起跑线提前18.84米。 【点睛】关键是根据：相邻跑道起跑线相差都是“跑道宽×2×π”解决问题。 9．（1）解：从图中可以看出，赛车经过了6个弯道，其中跑完前4个弯道后左、右轮子跑的路程相同，但在经过第5、6个弯道时，右轮在外侧，左轮在内侧，所以右轮比左轮跑的路程多. 答：两个轮子跑的路程不同. （2）解：在经过第5、6个弯道时，右轮在外侧，左轮在内侧，所以右轮比左轮跑的路程多. 答：右轮跑的多. 2π×2＝4π(米) 答：多4π米. 【详解】【分析】解答本题的关键是明确赛车跑过的弯道的特点，然后再结合圆的周长＝2πr，进行解答即可. 10．（1）1000π （2）右轮多，4π米 【详解】（1）由图知，花瓣图形的周长是四个角上的四个圆的周长，再加上四个半圆弧的长度；已知圆的半径为2厘米，据此根据圆的周长=2πr列式解答即可． （2）与（1）类似，作出距离花瓣图形外2米的图形，用新的花瓣图形的长度减去原来的，就是汽车外侧（右轮子）比内侧轮子多跑的路程． 本题考查了组合图形的周长，求这种不规则图形的周长，一般都是把这个不规则图形的周长分割为几个规则图形的周长之和或差，然后根据规则图形的周长公式求出结果． 学 科 网，让 教 学 更 高 效 ！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$