数学全真模拟卷（九）-江西省（原卷版+解析版）

江西省2024年“三校生”对口升学考试试题 数学模拟试卷（九） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本卷无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷( 选择题共 70分) 1、 是非选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.对每小题的命题做出判断，对的选A, 错的选B. 1．若集合，，则．( ) 【答案】A 【分析】根据集合与集合之间的关系即可判断. 【详解】因为N为自然数集，所以集合， 又因为集合，所以. 故答案为：A. 2．复数（i为虚数单位）的实部是3，虚部是．( ) 【答案】B 【分析】根据复数实部与虚部的定义判断即可. 【详解】复数的虚部是4． 故答案为：B. 3．掷一颗质地均匀的骰子，得到点数为偶数的概率为.( ) 【答案】A 【分析】利用古典概型求其概率，从而得以判断. 【详解】掷一颗质地均匀的骰子得到的点数的总的基本事件为，共6件， 其中点数为偶数的基本事件为，共3件， 则点数为偶数的概率为. 故答案为：A. 4．若点和关于直线对称，则，.( ) 【答案】A 【分析】求出两点的中点坐标代入直线和两点所在直线和直线垂直即可解得. 【详解】由题，两点关于直线对称， 则的中点在直线上，即①， 又知直线与所在直线垂直，直线斜率为， 则所在直线斜率为②， 联立①②，解得. 故答案为：A 5．设全集为R，集合，那么.( ) 【答案】A 【分析】根据补集的定义运算，并用区间表示法表示即可. 【详解】已知， 则， 故答案为：A. 6．若数列满足，，则数列的通项公式为．( ) 【答案】A 【分析】先根据定义求出等差数列的公差，再结合首项和公差求出等差数列的通项公式即可求解. 【详解】因为，， 所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列， 根据等差数列的通项公式可知. 故答案为：A 7．设向量，，已知．则．( ) 【答案】B 【分析】根据向量数量积的坐标运算与垂直定义即可解得. 【详解】由题，， 则， 解得， 故答案为：B 8．将函数的图象向左平移个单位后的图象的解析式为．( ) 【答案】B 【分析】根据正弦型函数图像的平移变换规律即可解得. 【详解】由题，函数图像向左平移个单位， 即， 故答案为：B 9．求值：.( ) 【答案】B 【分析】逆用余弦函数的和差公式即可判断. 【详解】. 故答案为：B. 10．若，则．( ) 【答案】B 【分析】利用对数函数的单调性可求. 【详解】以为底的对数函数为增函数，则，即； 以为底的对数函数为增函数，则，即； 则，；与题干不符； 故答案为：B. 二、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 11．已知函数，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】在函数中，令可求值. 【详解】因为， 所以. 故选：D 12．已知集合，那么的非空真子集的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】运用集合中元素的个数从而计算子集的个数． 【详解】根据题意知，集合中3个元素， 的非空真子集的个数为. 故选:B. 13．已知向量，，点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性坐标运算即可解得. 【详解】由题，， 则，又知， 则，， 则，即. 故选：C 14．设是等比数列，若，则（    ） A．63 B．64 C．127 D．128 【答案】B 【分析】先由等比数列，求出，再求出即可. 【详解】因为是等比数列，设公比为，又 则，所以， 则. 故选：B. 15．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次不等式的解法即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以. 即不等式的解集是. 故选：C. 16．若直线经过椭圆的左焦点，则实数等于（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】由椭圆方程求出，可得左焦点，代入直线方程求解. 【详解】由椭圆，可得，， 所以，左焦点为. 又因为直线经过椭圆的左焦点， 所以，解得. 故选：B 17．现有甲、乙、丙、丁、戊 种在线教学软件，若某学校要从中随机选取 种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙至少有 种被选取的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算基本事件总数，再求甲、乙都未被选中的事件数，其对立事件的概率即为所求概率. 【详解】基本事件数为. 甲、乙都未被选中的事件数为. 则甲、乙至少有 种被选取的事件数为，其概率为. 故选：C. 18．已知，且，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据韦达定理结合对数的运算性质，换底公式即可求解. 【详解】由题意得，为方程的两个实数根，所以. 则. 故选：D. 第Ⅱ卷(非选择题共80分) 三、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 19．在边长为2的正三角形中， 【答案】 【分析】先求与的夹角，然后利用内积公式求内积即可. 【详解】因为为正三角形，所以， 即与的夹角为，则与的夹角为， 又因为正三角形边长为2， 则， 则； 故答案为：. 20．用一平面去截球所得截面的面积为，已知球心到该截面的距离为1，则该球的体积是 . 【答案】 【分析】由截面的面积为，可得截面的圆的半径，进而可得球的半径,再由球的体积公式计算即可得解. 【详解】设球的半径为，截面圆的半径为， 球心到该截面的距离为， 因为截面圆的面积为，则，则， 又球心到该截面的距离为1， 则球的半径为，所以， 所以球的体积为. 故答案为：. 21．过点与直线平行的直线方程为： ． 【答案】 【分析】根据两条直线平行设出所求直线方程，将点代入即可得解. 【详解】设所求直线的方程是， 因为点在直线上，所以， 解得，即所求直线方程是． 故答案为：. 22．书包内有中职课本语文、数学、英语、政治各1本，从中任取1本，则取出数学课本的概率是 . 【答案】/ 【分析】根据古典概型的公式即可得解. 【详解】从这语文、数学、英语、政治的本书中，任取本，取出数学课本的概率为， 故答案为：. 23．在的二项展开式中，第6项的系数为 . 【答案】 【分析】利用二项式定理展开式通项公式即可求解. 【详解】. 故第6项系数为. 故答案为：. 24．函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据对数函数的性质以及二次函数的图象与性质求解定义域即可. 【详解】由题可知，即，解得或， 故函数的定义域为， 故答案为: . 四、解答题：本大题共6小题，25～28小题每小题8分，29～30小题每小题9分，共50 分.解答应写出过程或步骤. 25．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，且满足 (1)求； (2)若，求△ABC的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理化简，结合两角和的正弦公式易得答案； （2）根据余弦定理求出，再代三角形面积公式易得答案. 【详解】（1）由正弦定理可得， 得， 得 整理可得，则. （2）因为， 因为， 所以， 把代入，得， 则三角形面积. 26．已知数列的前n项和， (1)求该数列的通项公式； (2)求该数列所有正数项的和． 【答案】(1) (2)26． 【分析】（1）根据即可求得数列的通项公式； （2）根据数列的通项公式求出数列的正数项即可求出数列正数项的和. 【详解】（1）时，． 时，． 因为时，． 所以． （2）由（1）得 ； ； ； ； ； ． 所有正数项的和为26． 27．如图，在四棱锥中，平面，，，． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证平面，只须证，可证,且，而由题设只须证和即得； （2）通过第（1）题结论可建系，求得相关点的坐标，继而得到两个平面的法向量，利用空间向量的夹角公式即可求得. 【详解】（1）因为平面，平面，所以，，． 又，，所以，所以． 又，所以． 又，所以，即． 又，，平面，所以平面． （2） 如图，由（1）可知，，，两两垂直，以点为坐标原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向， 建立空间直角坐标系．设．因为，所以为等边三角形，所以， 所以，，，， ，，，． 设为平面的法向量，则有 即可取． 设为平面的法向量，则有 即可取， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 28．某工厂引进了一条生产线，为了解产品的质量情况，现从生产线上随机抽取100件产品，测量其技术参数，得到如图所示的频率分布直方图. (1)由频率分布直方图，估计样本技术参数的平均数和75%分位数（精确到0.1）； (2)现从技术参数位于区间，，的三组中，采用分层抽样的方法抽取6件产品，再从这6件产品中任选3件产品，记事件“这3件产品中技术参数位于区间内的产品至多1件”，事件“这3件产品中技术参数位于区间内的产品至少1件”，求事件的概率. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由频率分布直方图结合平均数和分位数的求法即可得解； （2）利用分层抽样的方法，结合列举法以及古典概型即可得解. 【详解】（1）由频率分布直方图知，样本技术参数的平均数 ， 因为前三组的频率之和为， 第四组的频率为，， 所以百分位数一定在第四组，设百分数为x，则， 解得，所以百分数约为. （2）采用分层抽样的方法， 从技术参数唯一区间，，三组的产品中抽取6件产品， 则从技术参数位于区间的产品应抽取件，记为， 从技术参数位于区间的产品应抽取件，记为， 从技术参数位于区间的产品应抽取件，记为， 从这6件产品中任选3件产品，样本空间 ， 则， 事件包含了三类，一是在这三组分别抽取1件，1件，1件； 二是在这三组分别抽取0件，2件，1件； 三是在这三组分别抽取1件，2件，0件. 则 ， 故， 所以. 29．已知分别为双曲线的左、右焦点，是双曲线上的一点，且. (1)求双曲线的离心率； (2)若双曲线的虚轴长为6，求双曲线的标准方程. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）设双曲线的标准方程为：，焦距为.由抛物线的定义与题意可得，即为双曲线的离心率. （2）由虚轴长与，结合双曲线的离心率，可得与的值，即可求得双曲线的标准方程. 【详解】（1）由分别为双曲线的左、右焦点，双曲线焦点在轴上， 可设双曲线的标准方程为：，焦距为. 则. 由抛物线的定义知. 由题意知. 故双曲线的离心率. （2）由题意知. 由（1）得且. ，即， 又分别为双曲线的左、右焦点，双曲线焦点在轴上， 故双曲线的标准方程为. 30．已知函数，其中且． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)若，求使成立的x的集合． 【答案】(1)是偶函数，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可求解. （2）根据对数函数的单调性即可求解. 【详解】（1）是偶函数，理由如下： ∵函数， 所以，解得， 即函数的定义域为，关于原点对称， 又， ∴函数是偶函数； （2）因为， 又， 所以， 所以，即， 因为，即， ，即，解得， 所以使成立的的集合为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江西省2024年“三校生”对口升学考试试题 数学模拟试卷（九） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本卷无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷( 选择题共 70分) 1、 是非选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.对每小题的命题做出判断，对的选A, 错的选B. 1．若集合，，则．( ) 2．复数（i为虚数单位）的实部是3，虚部是．( ) 3．掷一颗质地均匀的骰子，得到点数为偶数的概率为.( ) 4．若点和关于直线对称，则，.( ) 5．设全集为R，集合，那么.( ) 6．若数列满足，，则数列的通项公式为．( ) 7．设向量，，已知．则．( ) 8．将函数的图象向左平移个单位后的图象的解析式为．( ) 9．求值：.( ) 10．若，则．( ) 二、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 11．已知函数，则（    ） A． B．2 C． D．1 12．已知集合，那么的非空真子集的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 13．已知向量，，点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 14．设是等比数列，若，则（    ） A．63 B．64 C．127 D．128 15．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 16．若直线经过椭圆的左焦点，则实数等于（   ） A． B．3 C． D．4 17．现有甲、乙、丙、丁、戊 种在线教学软件，若某学校要从中随机选取 种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙至少有 种被选取的概率为（    ） A． B． C． D． 18．已知，且，则（    ） A． B．1 C． D． 第Ⅱ卷(非选择题共80分) 三、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 19．在边长为2的正三角形中， 20．用一平面去截球所得截面的面积为，已知球心到该截面的距离为1，则该球的体积是 . 21．过点与直线平行的直线方程为： ． 22．书包内有中职课本语文、数学、英语、政治各1本，从中任取1本，则取出数学课本的概率是 . 23．在的二项展开式中，第6项的系数为 . 24．函数的定义域为 . 四、解答题：本大题共6小题，25～28小题每小题8分，29～30小题每小题9分，共50 分.解答应写出过程或步骤. 25．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，且满足 (1)求； (2)若，求△ABC的面积. 26．已知数列的前n项和， (1)求该数列的通项公式； (2)求该数列所有正数项的和． 27．如图，在四棱锥中，平面，，，． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 28．某工厂引进了一条生产线，为了解产品的质量情况，现从生产线上随机抽取100件产品，测量其技术参数，得到如图所示的频率分布直方图. (1)由频率分布直方图，估计样本技术参数的平均数和75%分位数（精确到0.1）； (2)现从技术参数位于区间，，的三组中，采用分层抽样的方法抽取6件产品，再从这6件产品中任选3件产品，记事件“这3件产品中技术参数位于区间内的产品至多1件”，事件“这3件产品中技术参数位于区间内的产品至少1件”，求事件的概率. 29．已知分别为双曲线的左、右焦点，是双曲线上的一点，且. (1)求双曲线的离心率； (2)若双曲线的虚轴长为6，求双曲线的标准方程. 30．已知函数，其中且． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)若，求使成立的x的集合．． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$