数学全真模拟卷（四）-江西省（原卷版+解析版）

江西省2024年“三校生”对口升学考试试题 数学模拟试卷（四） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本卷无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷( 选择题共 70分) 1、 是非选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.对每小题的命题做出判断，对的选A, 错的选B. 1．若集合只有一个子集，则( ) 【答案】A 【分析】利用集合子集的个数情况，将问题转化为无实根，从而利用判别式即可判断. 【详解】因为集合只有一个子集， 所以集合，即无实根， 则，解得. 故答案为：A. 2．已知函数是偶函数，则．( ) 【答案】A 【分析】利用偶函数对称轴为轴可判断. 【详解】偶函数对称轴为轴，即； 则函数对称轴，即； 所以题目正确. 故答案为：A. 3．将函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象．( ) 【答案】A 【分析】利用三角函数图象的平移变换知识即可判断. 【详解】将函数的图象沿轴向右平移个单位得到的函数解析式为. 故答案为：A 4．已知向量，则.( ) 【答案】A 【分析】由向量共线的坐标表示判断即可. 【详解】因为向量， ，则. 故答案为：A. 5．在等差数列中，，，则．( ) 【答案】B 【分析】根据等差数列前n项和公式进行求解即可. 【详解】因为在等差数列中，，， 所以. 故答案为：B. 6．不等式的整数解的个数为4．( ) 【答案】B 【分析】利用绝对值不等式的解法求解判断． 【详解】由不等式，得，解得， 又是整数，则， ∴不等式的整数解的个数为5． 故答案为：B． 7．已知点与关于轴对称，则．( ) 【答案】B 【分析】由两点关于轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，求解即可. 【详解】因为点与关于轴对称， 所以，所以. 故答案为：B. 8．如果，且，那么．( ) 【答案】B 【分析】结合复数的运算，举反例判断即可. 【详解】，，则，但. 故答案为：B. 9．若焦点在y轴上的椭圆的离心率为，则．( ) 【答案】A 【分析】根据椭圆的几何性质即可求解. 【详解】已知焦点在y轴上的椭圆的离心率为， 则有或（舍）， 故答案为：A. 10．若直线与直线互相平行，则．( ) 【答案】B 【分析】根据直线平行斜率相同，即可求得参数. 【详解】直线的斜率为， 直线与直线互相平行，直线的斜率存在，为， 解得. 代入直线，符合要求. 故答案为：B 二、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 11．已知向量，则（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示，即可求解. 【详解】因为向量， 所以. 故选：C. 12．在等差数列中，已知，则（       ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据等差数列求和公式求解. 【详解】因为等差数列中，， 所以， 即，解得或（舍去），所以， 故选：C. 13．从5张不同的扑克牌中，每次任取一张，有放回地取两次，则两次取得同一张牌的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用古典概型求概率即可. 【详解】第一次取牌共有5种可能，有放回第二次取牌共有5种可能，两次一共种可能； 两次取得同一张牌共有5种可能， 故两次取得同一张牌的概率是， 故选：. 14．点与圆的位置关系是（    ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．点在圆的圆心上 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程求解圆的圆心坐标和半径，然后比较点到圆心的距离和半径的大小即可判断. 【详解】根据题意知：圆心坐标为：，即， 圆的半径为：， 点P到圆心的距离为：， 因为，所以点P在圆外. 故选：A. 15．从甲、乙、丙3名同学中任意选取2名，则甲被选中的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用古典概型结合排列组合知识求解. 【详解】从甲、乙、丙位同学中任意选取名，基本事件总数， 甲被选中包含的基本事件个数， ∴甲被选中的概率是． 故选：C. 16．二项式的展开后共有（    ） A．4项 B．5项 C．6项 D．7项 【答案】C 【分析】根据二项式的性质即可求解. 【详解】根据二项式的性质可知， 二项式的展开式有项. 故选：C. 17．若函数的定义域为，则函数的定义域为（  　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据的定义域以及位于分母的根式应大于等于零，联立列式即可求解. 【详解】因为函数的定义域为，且函数， 所以，解得， 所以函数的定义域为. 故选：B. 18．如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出球体的半径，利用球体的体积公式可得结果. 【详解】由题意可知，与截面圆所在平面垂直， 设球的半径为，则， 所以，则， 因此，球的体积. 故选：A. 第Ⅱ卷(非选择题共80分) 三、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 19． ． 【答案】/ 【分析】逆用余弦差角公式可求. 【详解】； 故答案为：. 20．椭圆中心在原点，焦在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是 . 【答案】 【分析】先根据长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，即可确定椭圆的几何量，从而可求椭圆的方程. 【详解】解：因为长轴长为18， 则，所以， 又因为两个焦点恰好将长轴三等分， 所以， 所以， 又因为， 所以椭圆方程为. 故答案为： 21．一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积是 . 【答案】20 【分析】根据圆柱的轴截面是矩形，求矩形的面积易得答案. 【详解】由题意得，圆柱的轴截面为矩形，长为5，宽为， 所以面积为. 故答案为：20. 22．函数的定义域是，函数的值域是，则 (用区间表示)． 【答案】 【分析】根据题意求出对应的定义域和值域，根据交集的计算方法，即可求解. 【详解】解析要使函数式有意义，只需，即； 函数，即， 则或. 故答案为：. 23．设随机事件与互斥，且，求 . 【答案】/ 【分析】根据互斥事件的概率加法公式可求解. 【详解】因为随机事件与互斥，且，， 所以. 故答案为： 24．若，则 . 【答案】1 【分析】用赋值法求二项展开式中各项系数的和即可. 【详解】已知， 令时，. 故答案为：1. 四、解答题：本大题共6小题，25～28小题每小题8分，29～30小题每小题9分，共50 分.解答应写出过程或步骤. 25．在 中，角 ，， 的对边分别为 ，，，且 ，． (1)求角 的大小； (2)若 ，，求 ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理即可得解； （2）由余弦定理即可得解. 【详解】（1）因为 ， 所以． 因为 ，所以 ， 所以 ． 因为 ，且 ， 所以 为锐角，故 ． （2）因为 ，， 所以由余弦定理得， 即 ，所以 ． 26．已知函数的图象经过点，其中且． (1)求的值； (2)求函数的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点的坐标代入函数解析式，待定系数法求解； （2）利用指数型函数的单调性即可求解值域. 【详解】（1）因为函数的图象经过点， 代入得，所以 ． （2）由（1）知，，记，其中. 因为当 时，，且函数在上单调递减， ，故. 即函数的值域为. 27．为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用按比例分配的分层随机抽样的方法从，，三个区抽取个工厂进行调查．已知，，三个区分别有，，个工厂． (1)求从，，三个区分别抽取的工厂个数； (2)若从抽得的个工厂中随机地抽取个进行调查结果对比，求这个工厂中至少有个来自区的概率． 【答案】(1)从 ，， 三个区分别抽取的工厂个数为 ，， (2) 【分析】（1）先计算 ，， 区中工厂数的比例,再根据比例计算各区应抽取的工厂数.    （2）先将各区所抽取的工厂用字母表达,分别计算从抽取的7个工厂中随机抽取2个的个数和至少有1个来自区的个数,再求比值即可. 【详解】（1）由题意，得工厂总数为 ， 样本容量与总体中的个体数的比为 ， 所以从 ，， 三个区分别抽取的工厂个数为 ，，． （2）设 ， 为在 区中抽得的 个工厂， ，， 为在 区中抽得的 个工厂， ， 为在 区中抽得的 个工厂， 在这 个工厂中随机抽取 个， 样本点有 ，，，，，， ，，，，，，， ，，，，，，， ，共 个， 则随机抽取的 个工厂中至少有 个来自 区的样本点有 ，，，，，，， ，，，，共 个， 所以这 个工厂中至少有 个来自 区的概率 ． 28．已知等比数列满足. (1)求的通项公式； (2)若，求证：是等差数列. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据等比数列的通项公式即可求解. （2）根据对数的运算，结合等差数列的定义即可求解. 【详解】（1）由题意得，设公比为，则，解得. 所以. （2）由（1）得，则. . 所以数列是首项为，公差为等差数列. 29．如图所示，直三棱柱的底面是直角三角形，，，，且.求： (1)三棱柱的体积； (2)二面角的大小. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据三棱柱的体积公式即可求解. （2）先找出二面角的平面角，即可求解. 【详解】（1）由题意， ，. 则三棱柱的体积为： . （2）由题意， 因为，所以， 在直三棱柱中， 是矩形，所以. 因为，平面 所以平面. 因为平面， 所以. 所以为二面角的平面角. 在直角三角形中，， 得， 所以二面角的大小为. 30．已知椭圆的中心在坐标原点O，长轴长为，离心率，过右焦点F的直线l交椭圆于两点． (1)求椭圆的方程； (2)当直线l的倾斜角为时，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据长轴长与离心率求出，即可得出椭圆的标准方程. （2）根据点斜式求出直线方程，联立方程组并结合韦达定理得出的值，再根据三角形面积公式求值即可. 【详解】（1）由长轴长为，离心率可得， ，， 所以， 则椭圆的标准方程为. （2）由（1）可知椭圆方程为， ，直线的斜率， 所以直线方程为， 联立得， 根据韦达定理得， 则设， 所以， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江西省2024年“三校生”对口升学考试试题 数学模拟试卷（四） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本卷无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷( 选择题共 70分) 1、 是非选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.对每小题的命题做出判断，对的选A, 错的选B. 1．若集合只有一个子集，则( ) 2．已知函数是偶函数，则．( ) 3．将函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象．( ) 4．已知向量，则.( ) 5．在等差数列中，，，则．( ) 6．不等式的整数解的个数为4．( ) 7．已知点与关于轴对称，则．( ) 8．如果，且，那么．( ) 9．若焦点在y轴上的椭圆的离心率为，则．( ) 10．若直线与直线互相平行，则．( ) 二、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 11．已知向量，则（　） A． B． C． D． 12．在等差数列中，已知，则（       ） A．4 B．6 C．8 D．10 13．从5张不同的扑克牌中，每次任取一张，有放回地取两次，则两次取得同一张牌的概率是（    ） A． B． C． D． 14．点与圆的位置关系是（    ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．点在圆的圆心上 15．从甲、乙、丙3名同学中任意选取2名，则甲被选中的概率是（    ） A． B． C． D． 16．二项式的展开后共有（    ） A．4项 B．5项 C．6项 D．7项 17．若函数的定义域为，则函数的定义域为（  　） A． B． C． D． 18．如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷(非选择题共80分) 三、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 19． ． 20．椭圆中心在原点，焦在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是 . 21．一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积是 . 22．函数的定义域是，函数的值域是，则 (用区间表示)． 23．设随机事件与互斥，且，求 . 24．若，则 . 四、解答题：本大题共6小题，25～28小题每小题8分，29～30小题每小题9分，共50 分.解答应写出过程或步骤. 25．在 中，角 ，， 的对边分别为 ，，，且 ，． (1)求角 的大小； (2)若 ，，求 ． 26．已知函数的图象经过点，其中且． (1)求的值； (2)求函数的值域． 27．为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用按比例分配的分层随机抽样的方法从，，三个区抽取个工厂进行调查．已知，，三个区分别有，，个工厂． (1)求从，，三个区分别抽取的工厂个数； (2)若从抽得的个工厂中随机地抽取个进行调查结果对比，求这个工厂中至少有个来自区的概率． 28．已知等比数列满足. (1)求的通项公式； (2)若，求证：是等差数列. 29．如图所示，直三棱柱的底面是直角三角形，，，，且.求： (1)三棱柱的体积； (2)二面角的大小. 30．已知椭圆的中心在坐标原点O，长轴长为，离心率，过右焦点F的直线l交椭圆于两点． (1)求椭圆的方程； (2)当直线l的倾斜角为时，求的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$