5.5一元一次方程的应用解答题重难点培优（常考22大类型提分练）-【大单元教学】2024-2025学年七年级数学上册同步备课系列（人教版2024）

5.5一元一次方程的应用解答题重难点培优（常考22大类型提分练） 目录 类型一、一元一次方程的应用：配套问题 2 类型二、一元一次方程的应用：工程问题 4 类型三、一元一次方程的应用：销售问题 5 类型四、一元一次方程的应用：积分问题 6 类型五、一元一次方程的应用：方案设计选择问题 8 类型六、一元一次方程的应用：数字问题 10 类型七、一元一次方程的应用：几何图形问题 12 类型八、一元一次方程的应用：和差倍分问题 13 类型九、一元一次方程的应用：分段计费问题 15 类型十、一元一次方程的应用：行程问题 17 类型十一、一元一次方程的应用：比例问题 18 类型十二、一元一次方程的应用：日历问题 20 类型十三、一元一次方程的应用：古数学问题 21 类型十四、一元一次方程的应用：数轴上的动点问题 23 类型十五、一元一次方程的应用：数轴上的距离定值问题 24 类型十六、一元一次方程的应用：钟表问题 25 类型十七、一元一次方程的应用：流程框图问题 26 类型十八、一元一次方程的应用：图形信息问题 27 类型十九、一元一次方程的应用：规律探究问题 28 类型二十、一元一次方程的应用：新定义问题 29 类型二十一、一元一次方程的应用：封闭（半封闭）上的运动问题 30 类型二十二、一元一次方程的应用：项目任务设计问题 32 类型一、一元一次方程的应用：配套问题 1．（23-24七年级上·四川成都·期末）列方程解应用题：某工厂现有木料，准备制作各种尺寸的方桌与凳子．如果木料可制作40个方桌或制作80个凳子．A类型套桌由一个方桌和四个凳子组成，每套售价2000元，B类型套桌由一个方桌和八个凳子组成，每套售价3500元． (1)若用全部木料生产A类型套桌，且桌子、凳子恰好配套，问全部卖出可以卖多少钱？ (2)若用全部木料生产A、B两种类型套桌，且桌子、凳子恰好配套，全部卖出，卖了824000元．问制作了多少套A类型套桌？ 2．（23-24七年级·广西南宁·期中）美术老师组织初一（5）班的学生用硬纸板制作下图所示的正三棱柱盒子．初一（5）班共有学生45人，每名学生每小时可以裁剪侧面60个或底面50个．已知一个三棱柱盒子由3个侧面和2个底面组成，为了使每小时裁剪出的侧面与底面刚好配套，应如何分配全班学生？ 3．（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）工厂某车间制作一批机器部件，一个机器部件由2个A零件和4个B零件组成．若制作一个A零件需千克铝料，一个B零件要用千克铝料．现共有铝料4500千克． (1)根据题意，甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程如下： 甲：，乙： 根据两位同学所列的方程，请你分别指出下列代数式表示的意义． 甲：x表示________________，表示__________________； 乙：x表示______，表示___________________． (2)请你从甲、乙两位同学的解答思路中，选择一种你喜欢的思路，求出能制作出最多的机器部件的数量．写出完整的解答过程． 4．（23-24七年级上·广东广州·期末）小敏和小强假期到某厂参加社会实践，该工厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸做盒身2个或者做盒盖3个，且一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒．为了充分利用材料，要求做成的盒身和盒盖正好配套． (1)现有14张白板纸，问最多可做几个包装盒？（用一元一次方程的应用解答） (2)现有27张白板纸，问最多可做几个包装盒？ 为了解决这个问题，小敏和小强各设计了一种解决方案： 小敏：把这些白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖； 小强：先把一张白板纸适当套裁出一个盒身和一个盒盖，余下白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖． 请探究：小敏和小强设计的方案是否可行？若可行，求出最多可做包装盒的个数；若不行，请说明理由． 类型二、一元一次方程的应用：工程问题 5．（23-24七年级上·河南周口·期末）整理一批图书，若由一个人独做需要80个小时完成，假设每人的工作效率相同．(1)若限定32小时完成，一个人先做8小时，再需增加多少人帮忙才能在规定的时间内完成？ (2)计划由一部分人先做4小时，然后增加3人与他们一起做4小时，正好完成这项工作的，应该安排多少人先工作？ 6．（23-24七年级上·甘肃定西·期末）列方程解应用题：甲、乙两个工程队共同承包了一项总长度为5400米的修路工程，原计划由甲、乙两个工程队分别从两端同时开始施工，恰好9天完成整个工程，已知乙队平均每天比甲队多施工120米． (1)求甲、乙两个工程队原计划平均每天分别施工多少米？ (2)若甲、乙两个工程队共同施工6天后，因另有紧急任务，乙工程队被调离该工程，剩余部分由甲工程队单独完成．为尽量减少延误工期，甲工程队提高工作效率后继续施工，结果比原计划延迟2天完成整个工程．求甲工程队提高工作效率后平均每天施工多少米？ 7．（23-24七年级上·山东济南·期末）列方程解应用题： 某县在创建省级卫生文明城市中，对县城内的河道进行整治．现有一段长为260米的河道整治任务，由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时25天． (1)求甲、乙两工程队分别整治河道多少天？ (2)雇佣甲工程队需要元/天，雇佣乙工程队需要元/天，则共需支付两个工程队多少钱？ 8．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期末）甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程，已知甲工程队每天的挖掘长度是乙工程队每天挖掘长度的1.5倍，若甲、乙两工程队一起挖掘200米长度的隧道时，共用时间4天． (1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘隧道多少米？ (2)已知该段隧道挖掘工程为600米，甲工程队每天的挖掘费用为6万元，乙工程队每天的挖掘费用为3万元．若安排甲工程队先单独挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程队单独完成，总费用刚好102万元，求甲工程队应先单独挖掘多少天？ 类型三、一元一次方程的应用：销售问题 9．（22-23七年级上·辽宁铁岭·期末）一家商店因换季将某种服装打折销售，如果每件服装按标价的折出售，将亏本元，如果按标价的折出售，将盈利元． (1)每件服装的标价是多少元？ (2)打几折销售能恰好保证利润率为？ 10．（22-23七年级上·广东湛江·期末）列方程解应用题： 某服装商店因换季准备将某种服装打折销售，每件服装如果按标价的五折出售将亏20元，而按标价的八折出售将赚40元．求： (1)每件服装的标价是多少？ (2)为保证不亏本，最多能打几折？ 11．（23-24七年级下·四川成都·期末）某社区超市用520元钱从批发商处购进了甲、乙两种商品共100千克，已知甲、乙商品的批发价与零售价如下表所示： 商品名 甲 乙 批发价（元/千克） 4 6 零售价（元/千克） 10 12 (1)该社区超市这天批发甲商品和乙商品各多少千克； (2)甲商品和乙商品按零售价售出相同的重量后，剩下的商品都按零售价打八折售出，最终当天甲乙商品全部卖完，共获得464元利润，求打折后卖出的甲、乙商品的重量分别为多少？ 12．（23-24七年级上·江西赣州·期末）【课本再现】：下面是人教版初中数学教科书七年级上册第页探究1的部分内容． 探究1 销售中的盈亏 （1）一商店在某一时间以每件元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，这两件衣服的进价分别是 元和 元，卖这两件衣服总的是 （填“盈利”、“亏损”或“不赢不亏”）． 【解决问题】： 七年级实践小组去商场调查，了解到某款羽绒服以每件元的价格购进了200件，并以每件120元的价格销售了一部分，为回笼资金，商场将剩下的羽绒服在原售价的基础上每件降价销售，并全部销售完毕．已知这批羽绒服总利润是5600元，请你算一算降价前共售出多少件？ 类型四、一元一次方程的应用：积分问题 13．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）亲子互动游戏是家长和孩子之间的积极沟通方式．小明和爸爸一起玩投篮球游戏，两人商定规则为：小明投中1个得3分，爸爸投中1个得1分，结果两人一共得了20分．若两人一共投中12个球，则小明投中几个球？ 14．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）“学习生活两不误，劳逸结合更健康”，某个周末勤奋好学的小明和爸爸下棋，爸爸赢一盘记2分，小明赢一盘记6分，一共下了8盘，每盘都分出了胜负． (1)若两人得分相等，请应用方程求出两人各赢了多少盘； (2)比赛结束时，爸爸得分可能比小明得分多2分吗？为什么？ 15．（20-21七年级上·广西南宁·阶段练习）某次篮球联赛部分积分如下：根据表格提供的信息解答下列问题： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 14 10 4 24 14 7 7 21 14 4 10 18 (1)求出胜一场、负一场各积多少分？ (2)某队的胜场总积分能等于负场总积分吗？若能，试求出胜场数和负场数：若不能，请说明理由． 16．（23-24七年级上·江西上饶·阶段练习）如图，这是某飞镖游戏的磁性靶盘．珍珍玩了两局，每局投次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下． 投中位置 A区 B区 脱靶 一次计分/分 3 1    在第一局中，珍珍投中A区5次，投中B区2次，脱靶3次． (1)求珍珍第一局的得分； (2)第二局，珍珍投中A区k次，投中B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了8分，求k的值． 类型五、一元一次方程的应用：方案设计选择问题 17．（23-24七年级上·云南红河·期末）七年级某班因参加校园运动会为学生购置运动装．经了解，某服装店男款运动装每套100元，女款运动装每套120元，原价购买50套运动装共需5520元．为吸引顾客，该店推出两种优惠方案： 方案一：全部运动装八五折销售； 方案二：一次性购买40套运动装（男女运动装均可）及以上免费赠送10套男款运动装，其余的按原价销售． (1)该班购买的男款运动装和女款运动装各多少套？ (2)请通过计算说明该班购买50套运动装应选择哪种优惠方案更合算？ 18．（23-24七年级上·贵州遵义·期末）2023年11月12日，新蒲新区举办了以“魅力新蒲，无限可能”为主题的半程马拉松比赛．A，B两个团队共92人（其中A队人数多于B队人数且A队人数不够90人）准备统一服装参加比赛，某服装厂给出了以下三种购买方式： 方式一：购买服装不超过45套时，每套60元； 方式二：购买服装超过45套且不超过90套时，每套50元； 方式三：购买服装超过90套时，每套40元． 若A，B两个团队分别单独购买服装，一共付了5000元． (1)A，B两团队各有多少人准备参加比赛？ (2)若A团队有10人由于身体原因，不能参加比赛，请为A，B两个团队设计一种较省钱的购买服装方案． 19．（23-24七年级上·浙江金华·期末）中国移动全球通有两种通话计费方法（接听全免，接听时间不计入通话时间）： 计费方法A是每月收月租费48元，通话时间不超过50分钟的部分免费，超过50分钟的按每分钟0.25元加收通话费；计费方法B是每月收取月租费88元，通话时间不超过200分钟的部分免费，超过200分钟的按每分钟0.19元加收通话费． (1)某使用计费方法A的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用多少元？ (2)用计费方法B的用户某个月累计费用107元，通话时间是多少分钟？ (3)用计费方法B的用户某个月累计费用126元，若改用计费方法A的方式，费用是增加还是减少？相差多少？ 20．（23-24七年级上·宁夏银川·期末）在数学综合与实践课上，老师以“出行方式的选择”为主题，请同学们发现和提出问题并分析和解决问题． 问题情境：随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们出行的时间与方式有了更多的选择，某市有出租车、滴滴快车和神州专车三种网约车，收费标准见如图．（该市规定网约车行驶的平均速度为40公里/小时，时长费指车辆在行驶过程中按照规定每分钟耗时单价乘以从起点到终点所用时间的费用） “滴滴出行”起步价：12元，里程费：2.5元/公里，时长费：0.4元/分钟 “神州专车”起步价：10元，里程费：2.8元/公里，时长费：0.5元/分钟 “出租车”起步价：14元，超公里费：超过3公里，2.4元/公里，不足1公里按1公里计． (1)“奋进小组”提出的问题是，如果乘坐这三种网约车的里程数都是10公里，他们发现乘坐出租车最节省钱，费用为多少元？ (2)从甲地到乙地，乘坐出租车比滴滴快车节省13.6元，求甲、乙两地间的里程数． 类型六、一元一次方程的应用：数字问题 21．（22-23七年级上·广东湛江·期末）阅读材料： 把无限循环小数化为分数，可以按如下方法进行：以为例，由，可知，，得，于是．解决问题： (1)请把无限循环小数化为分数； (2)我们把纯循环小数x（从有循环节小数部分第一位开始的循环小数）循环节的数字组成的数记作m，循环节的位数记作n（例如对而言，），n的式子表示纯循环小数＿＿＿＿＿． 22．（23-24七年级上·江西赣州·期末）观察下面三行数： ；① ；② ．③ (1)第①行数的第8个数为 ； (2)观察第②③行数与第①行数的关系，若第①行数第n数为x，则第②行的第n数为 ：第③行的第n数为 ； (3)取每行的第n个数，这三个数的和能否等于82？如果能，则求出这三个数；如果不能，请说明理由． 23．（22-23七年级上·广东江门·期末）观察下列按一定规律排列的三行数：如图，在上面的数据中，用长方形圈出同一列的三个数，这列的第一个数表示为，其余各数分别用表示， (1)若这三个数分别在这三行数的第8列，请写出的值．____，_____，=____． (2)若这三个数分别在这三行数的第列，则的值为______，的值为_____；（用含有的式子表示） (3)若记为，求这三个数的和是否等于？若等于，求出的值，若不等于，请说明理由． 24．（24-25七年级上·河南信阳·阶段练习）相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍．如图1，是由1，2，3，4，5，6，7，8，9所组成的一个三阶幻方，其幻和为15，中心数为5． (1)如图2所示，则幻和=______； (2)若，求图2中的值； (3)由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．在如图3所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，当时，则的值为多少？ 类型七、一元一次方程的应用：几何图形问题 25．（23-24七年级上·陕西宝鸡·期末）如图，一个长方形养鸡场的一条长边靠墙，墙长，其他三边用竹篱笆围成，现有长的竹篱笆，小林的设计方案是长比宽多，你认为他设计的长边是否符合实际情况？通过计算说明理由． 26．（20-21七年级上·辽宁盘锦·期末）如图1是边长为6的正方形硬纸版，在每个角上都剪去一个边长相等的小正方形，将其做成如图2的底面周长为16的正方形无盖纸盒，则这个无盖纸盒的高等于多少？ 27．（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）如图，在数轴上有A，B两点，所表示的数分别为，4，点A以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时点B以每秒2个单位长度的速度向左运动．如果设运动时间为t秒，解答下列问题： (1)运动前线段的长为___________；运动1秒后线段的长为___________； (2)求t为何值时，点A与点B恰好重合； (3)在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使得线段的长为5，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 28．（23-24七年级下·河南新乡·期末）装裱工艺历来被视为一幅书画作品不可或缺的一环，也是我国特有的一种保护和美化书画的技术，能够使书画作品达到更高的艺术美感．如图，是立轴一色装裱的样式结构，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等．某人要装裱一幅画心为．的画，要求左、右边的宽均为天头长与地头长的和的装裱后的长是装裱后的宽的3倍，求装裱后边的宽和天头长． 类型八、一元一次方程的应用：和差倍分问题 29．（23-24七年级上·河南平顶山·期末）为了鼓励同学们加强体育锻炼，某校准备举行冬季长跑比赛． 为奖励长跑优胜者，学校准备购买一些亚运会吉祥物的水杯和徽章，据了解，某商店水杯的单价比徽章的单价多12元，若买3个徽章和2个水杯共需64元． 徽章和水杯的单价各是多少？ 30．（23-24七年级上·陕西西安·期末）某中学为了准备一百二十周年的校庆活动，计划购买一批演出服装，经了解，购买1件女装比购买2件男装多30元，后来学校购买了20件女装和30件男装共用了11100元． (1)设购买一件男装元，则购买一件女装需 元（用含的代数式表示）； (2)应用一元一次方程求出购买一件男装和一件女装各需多少元？ 31．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）一根竹竿插入一水池底部的淤泥中（如图），竹竿的入泥部分占全长的，淤泥以上的入水部分比入泥部分长米，露出水面部分为米，竹竿有多长？水有多深？ 32．（22-23七年级上·云南昆明·期末）列方程解应用题： 数学家的故事 古希腊数学家丢番图（约公元250年左右），被人们称为代数学之父．对于他的生平事迹，人们知道得很少，但在一本《希腊诗文选》（公元500年前后的遗物）中，收录了他的墓志铭． 希腊数学家丢番图（公元3−4世纪）的墓碑上记载着：“他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；他结了婚，又度过了一生的七分之一；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半；儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，也与世长辞了．”根据以上信息，请你算出： (1)丢番图的寿命； (2)丢番图开始当爸爸时的年龄； (3)儿子死时丢番图的年龄． 类型九、一元一次方程的应用：分段计费问题 33．（23-24七年级上·陕西西安·期末）西安市的出租车收费标准如下：起步价元，可乘坐3千米；超过3千米，每千米加收2元． (1)小明乘坐西安出租车千米，求小明应付的车费（用含 的代数式表示）； (2)小颖乘坐西安出租车付车费元，那么小颖乘坐了多少千米？ 34．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水的目的．下表是该市自来水收费价格的价目表（水费按月缴纳）： 居民月用水量 不超过的部分 超过但不超过的部分 超过的部分 单价 元 元 元 (1)某用户一个月用了水，求该用户这个月应缴纳的水费； (2)已知12月份某用户应缴纳的水费为88元，求该用户12月份的用水量． 35．（23-24七年级上·浙江金华·期末）某市近期公布的居民用天然气阶梯价格方案如下： 第一档天然气用量 第二档天然气用量 第三档天然气用量 年用天然气量在及以下的部分，价格为每立方米元． 年用天然气量在以上不超过时，超过部分价格为每立方米元． 年用天然气量在以上时，超过部分价格为每立方米元． 依此方案请回答： (1)若小禾家今年使用天然气，则需缴纳天然气费为多少元？ (2)若某户今年缴纳天然气费2286元，求该用户今年使用天然气多少立方米． 36．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”，标准如表： 用水量 单价 不超过6m3的部分 2元/m3 超过6m3不超过10m3的部分 4元/m3 超出10m3的部分 8元/m3 如：某用户2月份用水9m3，则应缴水费：（元）． (1)某用户3月用水8m3应缴水费 　 　元； (2)已知某用户4月份缴水费22元，求该用户4月份的用水量； (3)如果该用户5、6月份共用水18m3（6月份用水量超过5月份用水量，且5月份用水量不超过8m3），共交水费52元，则该户居民5、6月份各用水多少m3？ 类型十、一元一次方程的应用：行程问题 37．（23-24七年级上·云南红河·期末）年国产大型客机首航成功，这标志着正式投入商业运营，也标志着我国从此有了属于自己的国产大型客机．某机场一架飞机顺风从甲机场飞到乙机场要用小时，它逆风飞行同样的航线要用小时．已知在风速为千米时的条件下，求无风时这架飞机在这一航线的平均速度． 38．（23-24七年级上·广东广州·期末）如图是两张不同类型火车的车票：（“次”表示动车，“次”表示高铁）： (1)已知该动车和高铁的平均速度分别为，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，求两地之间的距离； (2)在（1）的条件下，请求出在什么时刻两车相距． 39．（22-23七年级上·湖南长沙·期末）小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路．假设他始终保持平路每分钟走．下坡路每分钟走，上坡路每分钟走．则他从家里到学校需，从学校到家里需．问：从小华家到学校的平路和下坡路各有多远？设小华家到学校的平路为x，用方程表示上述数量关系，并解出方程． 40．（22-23七年级上·云南文山·期末）已知A、B两地相距480千米，甲、乙两车从A地向地运送货物，甲车的速度为，乙车的速度为，甲车先出发1.5小时后，乙车才出发． (1)乙车出发____________小时后，能追上甲车； (2)若乙车到达地后，立即原路返回A地，则乙车返回时再经过多少小时与甲车再次相遇？ 类型十一、一元一次方程的应用：比例问题 41．（23-24七年级上·广东珠海·期末）如图，在长方形休闲广场的一组对角设计两块半径相同的四分之一圆形花坛，另一组对角设计两个大小一样的三角形草坪，圆形的半径、三角形与广场边重合的边长都为，广场长为，宽为． (1)列式表示广场空地的面积（结果保留） (2)若，，，现在广场中央修建一个周长为且长宽比例与广场相同的长方形水池，求广场空地的面积．（结果保留） 42．（22-23七年级上·陕西咸阳·阶段练习）新华书店新进一种畅销书，第一天售出总数的，第二天售出总数的还多20本，书店还剩140本这种书，新华书店新进这种肠销书多少本？ 43．（23-24七年级上·重庆开州·阶段练习）在劳动课上，老师组织七年级（1）班的学生自己动手整理操场．七年级（1）班共有学生48人，其中女生人数比男生人数的多3人．如果让男生单独工作，需要5小时，如果让女生单独工作，需要小时． (1)七年级（1）班有男生、女生各多少人？ (2)如果让男生、女生一起工作1小时，再由男生单独完成剩余的部分，求男生共需要多少时间？ 44．（22-23七年级上·广东惠州·阶段练习）有甲乙丙三个仓库存放货物，已知甲乙两仓库存货吨数比为 ，乙丙两仓库存货吨数比为 ，若甲仓库向丙仓库运 吨货物，则两个仓库货物吨数相同，求甲仓库原来存货吨数是多少吨？ 类型十二、一元一次方程的应用：日历问题 45．（23-24七年级上·广东佛山·期末）如图是某年9月的日历，用形如X型框，去框日历中的日期数每次同时框5个数． (1)设X框最中间的数为a，则这5个数之和为_____（用含a的代数式表示）； (2)这5个数的和能等于68吗？请说明理由． 46．（22-23七年级上·广东湛江·期末）你对生活中常见的月历了解吗？月历中存在许多数字奥秘，你想知道吗？下表是2023年3月的月历． (1)它的横行、竖列上相邻的两数之间有什么关系？ (2)如果告诉你一竖列上连续三个数的和为72，你能知道是哪几天吗？ 47．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）如图为2024年1月的日历，其中有一个“”形框，希望我们在新的一年“”（开心学习，热爱生活）．“”形框内包含7个数．    (1)将“”形框上下左右平移，但一定要框住2024年1月的日历中的7个数，若设“”形框内的7个数中，从小到大排列第个数为，用含的式子表示形框内的个数字的和为________； (2)将“”形框上下左右平移，设“”形框内的个数字之和为．请求出此时“”形框中的7个数中最小的数； (3)若某两次在不同位置框住的数之和分别为，（），且，直接写出的最大值． 48．（23-24七年级上·宁夏固原·期末）如图是2023年12月份的日历，用一个正方形任意圈住4个数（如图），仔细观察这4个数，不改变正方形的大小，任意移动方框的位置，找出规律． (1)若把第一行第一列的那个数表示为a，其余各数分别用含a的代数式表示，请把表格补充完整． a (2)求这四个数的和（用含a的代数式表示，要求合并同类项化简）． (3)小明妈妈的生日快到了，小明想送妈妈一个生日礼物，可是却不知道妈妈的生日是几号，于是就问妈妈，可妈妈说我的生日那天在本月日历上横竖列相邻的四个数字的和68的四个数字里面，并且这四个数中最大的数字那天就是我的生日．请你帮助小明确定妈妈的生日． 类型十三、一元一次方程的应用：古数学问题 49．（22-23七年级上·辽宁抚顺·期末）我国古代名著《增删算法统宗》中有一题：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴的玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．”请用列方程的方法求出这个问题中的牧童人数． 50．（23-24七年级上·江西南昌·期末）自西汉张骞出使西域以来，丝绸之路作为中国和国外进行商贸往来和文化交流的商道，繁荣发展了十几个世纪．中国古代数学也经由丝绸之路进行传播，其中刘徽所著《九章算术》中“盈不足术”有一题，原文如下：“今有羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出5元，还差45元；每人出7元，则还差3元，求人数和羊价各是多少？ 51．（21-22七年级上·安徽合肥·期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？ 译文：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？ 请解答上述问题． 52．（23-24七年级上·福建南平·期末）我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客空一房．”诗的后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间房住9人，那么就空出一间房． (1)列方程解答下面问题：该店有客房多少间？到了多少房客？ (2)假设李三公将客房进行改造后，房间数大大增加，每间房收25钱，且每间房最多入住4人，一次性订房少于10间，不予优惠；不低于10间但低于20间，给予九折优惠；等于20间或是超过20间的，给予七折优惠．若诗中的“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？说明理由． 类型十四、一元一次方程的应用：数轴上的动点问题 53．（22-23七年级上·重庆九龙坡·期末）如图所示，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，且a，b满足等式我们把数轴上两点之间的距离，用表示两点的大写字母一起标记．比如点A与点B之间的距离记作． (1)_______，______； (2)若数轴上有一个动点P满足条件．求点P表示的数； (3)甲、乙两动点在B点分别以2个单位/秒、1个单位/秒的速度同时向左运动，此时动点丙在A点也以3个单位/秒的速度向右运动．假设它们共同出发的时间为t秒，是否存在t，使得丙到乙的距离是丙到甲的距离？若存在，求出t值；若不存在，说明理由． 54．（23-24七年级上·广东深圳·期末）（1）爱思考的小明将一个玩具火车放置在数轴上，如图1，他发现将火车在数轴上水平移动，则当A点移动到B点时，B点所对应的数为24；当B点移动到A点时，A点所对应的数为6（单位：单位长度）．由此可得点A处的数字是 ，玩具火车的长为 个单位长度．（直接写答案） （2）如果火车正前方8个单位处有一个“隧道”，火车从（1）的起始位置出发到完全驶离“隧道”恰好用了t秒，已知火车过“隧道”的速度为个单位/秒，则可知“隧道”的长为 个单位．（自己在稿纸上画图分析，用含t的代数式表示即可） （3）他惊喜的发现，“数轴”是学习数学的重要的工具，于是他继续深入探究：如图2，（1）条件下的数轴上放置与大小相同的玩具火车，使原点O与点C重合，两列玩具火车分别从点O和点A同时在数轴上同时移动，已知火车速度5个单位/秒，火车速度为2个单位/秒（两火车均向右运动），几秒后两火车的A处与C处相距2个单位？ 类型十五、一元一次方程的应用：数轴上的距离定值问题 55．（23-24七年级上·重庆永川·期末）点在数轴上对应的数为，点对应的数为，且、满足， (1)求线段的长； (2)如图1，点在数轴上对应的数为，且是方程的根，在数轴上是否存在点使？若存在，求出点对应的数；若不存在，说明理由； (3)如图2，若点是点右侧一点，的中点为，为的三等分点且靠近于点，当点在点的右侧运动时，有下列两个结论： ①的值不变； ②的值不变． 其中只有一个结论是正确的．请判断正确的结论，并求出其值． 56．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）数轴是数学中的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美的结合，如：数轴上点表示的数为，点表示的数为，则两点之间的距离为．如图所示，点为数轴上的三个点，表示的数分别为，满足，且为的倒数．动点，分别从点出发，分别以每秒1个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，三个动点同时出发，设运动的时间为秒（），请回答下列问题： (1)直接写出的值：______，______，______； (2)当时，求的值； (3)在运动过程中，的值是否发生变化？若发生变化，请用含的式子表示；若不发生变化，请求出的值． 类型十六、一元一次方程的应用：钟表问题 57．（23-24七年级上·广东深圳·期末）知识的迁移与应用 问题一：甲、乙两车分别从相距的 A、B两地出发，甲车速度为，乙车速度为，两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后）， 后两车相距？ 问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，表示时针，表示分针（O为两针的旋转中心）．下午4点时，与的夹角． （1）分针每分钟转过的角度为 ，时针每分钟转过的角度为 ； （2）时，时针与分针所成的角度 ； （3）在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过多少分钟，时针与分针成角？    58．（24-25七年级上·全国·期末）刚上初中的小明为了更加高效的完成作业，进行限时训练，特意去商店买了一块机械手表，爱钻研的小明发现了手表上的数学问题，当小明看时间是时， (1)时分针和时针的夹角为多少度？ (2)经过多长时间，时针与分针第一次相遇？ 类型十七、一元一次方程的应用：流程框图问题 59．（24-25七年级上·辽宁·期末）如图是一个“有理数转换器”（箭头是表示输入的数进入转换器路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）． (1)你认为这个“有理数转换器”不可能输出 数． (2)当小羽输入6时，输出的结果是 ；当小羽输入时，输出的结果是 ；当小羽输入2021时，输出的结果是 ． (3)你认为当输入 时，其输出结果是0． (4)有一次，小羽在操作的时候，输入有理数，输出的结果是2，且知道，你判断一下，小羽可能输入的是什么数？请把它们都写出来，并说明理由． 60．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）如图，按图中的程序进行计算． (1)当输入的时，输出的数为______；当输入的时，输出的数为______； (2)若输出的数为时，求输入的整数x的值． 类型十八、一元一次方程的应用：图形信息问题 61．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一副对联，对联的长为，宽为．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．（书法作品内容出自王维的诗作《送别》） 62．（23-24七年级上·福建莆田·期末）我们都知道《乌鸦喝水》的故事，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，喝到了水．根据图中给出的信息，解答下列问题： （温馨提示：仔细看图，玻璃桶高，桶内液面原来高度为） (1)放入一个小球水面升高__________，放入一个大球水面升高__________； (2)如果放入大球、小球共10个，且使水面恰好上升到61厘米，应放入大球、小球各多少个？ 类型十九、一元一次方程的应用：规律探究问题 63．（23-24七年级上·山东青岛·期末）如图是由边长相同的灰、白方块拼成的图形． (1)第n个图形灰色方块共有__________个，白色方块共有__________个； (2)第100个图形白色方块共有__________个； (3)第个图形白色方块的总数与第个图形灰色方块总数相比，哪种颜色的总数多，多多少个？（用含n的式子表示） (4)是否存在某个图形，灰色和白色方块的总和为2025个？如果存在，求出是第几个图形，如果不存在，请说明理由． 64．（23-24七年级上·河南周口·期末）用边长为的灰、白两种颜色的正方形瓷砖按如图所示的方式铺下去，要求铺成宽为 的小路． (1)铺第5个图形用灰色正方形瓷砖______块，用白色正方形瓷砖______块； (2)按照此方式铺下去，铺第n个图形用灰色正方形瓷砖______块，用白色正方形瓷砖_____块（用含n的式子表示）； (3)若灰色正方形瓷砖每块价格20元，白色正方形瓷砖每块价格25元，按照此方式恰好铺满长的小路，求铺满该段小路所需瓷砖的总费用． 类型二十、一元一次方程的应用：新定义问题 65．（23-24七年级上·北京·期末）对于数轴上的点，线段，给出如下定义：为线段上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为点，线段的“近距”，记作（点，线段；如果，两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点，线段的“远距”，记作（点，线段）．特别的，若点与点重合，则，两点间距离为0．已知点表示的数为，点表示的数为3．例如，若点表示的数为5，则（点，线段），（点，线段）． (1)若点表示的数为，则（点，线段）______，点D，线段______； (2)若点表示数为，点表示数为．（点，线段）是（点，线段）的4倍，求的值． 66．（23-24七年级上·山东济宁·期末）数学迷聪聪最近读到这样一个问题：将三个已经排好顺序数： ，称为数列． 计算 将这三个数的最小值称为数列 的谷值． 聪聪进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以计算其相应的谷值，如数列-1，2，3的谷值为 数列 3，-1，2的谷值为1；…经过研究，聪聪发现，对于“2，，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，谷值的最小值为 ，根据以上材料，回答下列问题： (1)数列 2 的谷值为 ； (2)若数列 的谷值比数列 1， ，2 的谷值大，求的值； (3)将这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，若这些数列的谷值的最小值为1，请直接写出的值为 类型二十一、一元一次方程的应用：封闭（半封闭）上的运动问题 67．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）将一条数轴在原点和点处各折一下，得到如图所示的一条“型数轴”．图中点表示，点表示8，点表示16，我们称点和点在数轴上相距26个单位长度．动点从点出发，以2个单位长度每秒的速度沿着“型数轴”向点方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以1个单位长度每秒的速度沿着“型数轴”向点方向运动，从点到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒． (1)动点从点运动到点需要多少时间？ (2)、两点相遇时，求相遇时间是多少？ (3)求当为何值时，、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等． 68．（22-23七年级上·浙江台州·期末）如图1，已知正方形的边长为个单位，两点分别从顶点，同时出发，以个单位秒的速度沿正方形的边按的方向运动，以个单位秒的速度沿正方形的边按的方向运动，运动时闻为秒． (1)点的运动路程为______个单位，点的运动路程为_____个单位；（用含的式子表示） (2)当______秒时，与第一次相遇；当______时，与第二次相遇； (3)①当与第一次都在边AD上，若是QD的中点，求运动时间； ②当第二次成为QD的中点时，求的值，并指出此时点与点相遇了多少次? 类型二十二、一元一次方程的应用：项目任务设计问题 69．（23-24七年级上·浙江丽水·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计牛奶盒子？ 素材1 如图1所示是长为，宽为的长方形包装纸，现要自制牛奶盒子． （1）上下各留宽度相同的一个长方形，中间剩余部分用于制作牛奶盒身； （2）牛奶盒身的宽与上下两个长方形的宽度和之比为3：1． 素材2 如图2，将牛奶盒身分成四块长方形，其中①③长方形大小相同，②④长方形大小也相同，且②号长方形的宽比①号多． 素材3 如图3，在②号长方形上设计四个大小一样、长宽之比为的长方形框，且长方形框的上下、左右间距都一样． 问题解决 任务1 分析数量关系 求图1中牛奶盒身的宽(规定：较长的边为长，较短的边为宽)． 任务2 确定盒子容积 把图1中的包装纸折成图2中的牛奶盒子，求牛奶盒子的容积． 任务3 确定间距大小 求出图3中②号长方形上设计的长方形框之间的间距． 70．（23-24七年级上·浙江舟山·期末）根据以下素材，探索未完成任务． 水费、用水量是多少？ 素材1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，我市2023年采用“阶梯收费”． 素材2 第一阶梯（用水量≤14吨）：水费为元／吨，其中自来水为元／吨，污水处理费为元／吨． 第二阶梯（14吨＜用水量吨）：水费为元／吨，其中自来水为元／吨，污水处理费为元／吨． 第三阶梯（用水量＞21吨）：水费为11元／吨，其中自来水为元／吨，污水处理费为元／吨． 素材3 如某用户2023年2月份用水15吨，则各种费用如下： 自来水费 （元） 污水处理费 （元） 水费 （元） 问题解决 任务1 确定污水处理费 已知某用户2023年12月份所缴水费中，自来水费为元，求该用户12月份需缴污水处理费多少元？ 任务2 确定水费 某用户2023年11月用水吨，则应缴水费多少元？ 任务3 确定用水量 如果该用户2023年5、6月份共用水42吨（6月份用水量超过5月份用水量），共缴水费元，则该用户5、6月份各用水多少吨？ ( 32 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ · 5.5一元一次方程的应用解答题重难点培优（22大类型提分练） · 专题1.1 目录 类型一、一元一次方程的应用：配套问题 2 类型二、一元一次方程的应用：工程问题 6 类型三、一元一次方程的应用：销售问题 9 类型四、一元一次方程的应用：积分问题 12 类型五、一元一次方程的应用：方案设计选择问题 15 类型六、一元一次方程的应用：数字问题 19 类型七、一元一次方程的应用：几何图形问题 25 类型八、一元一次方程的应用：和差倍分问题 28 类型九、一元一次方程的应用：分段计费问题 30 类型十、一元一次方程的应用：行程问题 34 类型十一、一元一次方程的应用：比例问题 37 类型十二、一元一次方程的应用：日历问题 39 类型十三、一元一次方程的应用：古数学问题 44 类型十四、一元一次方程的应用：数轴上的动点问题 46 类型十五、一元一次方程的应用：数轴上的距离定值问题 49 类型十六、一元一次方程的应用：钟表问题 52 类型十七、一元一次方程的应用：流程框图问题 55 类型十八、一元一次方程的应用：图形信息问题 59 类型十九、一元一次方程的应用：规律探究问题 61 类型二十、一元一次方程的应用：新定义问题 63 类型二十一、一元一次方程的应用：封闭（半封闭）上的运动问题 66 类型二十二、一元一次方程的应用：项目任务设计问题 70 · 类型一、一元一次方程的应用：配套问题 · 1．（23-24七年级上·四川成都·期末）列方程解应用题：某工厂现有木料，准备制作各种尺寸的方桌与凳子．如果木料可制作40个方桌或制作80个凳子．A类型套桌由一个方桌和四个凳子组成，每套售价2000元，B类型套桌由一个方桌和八个凳子组成，每套售价3500元． · (1)若用全部木料生产A类型套桌，且桌子、凳子恰好配套，问全部卖出可以卖多少钱？ · (2)若用全部木料生产A、B两种类型套桌，且桌子、凳子恰好配套，全部卖出，卖了824000元．问制作了多少套A类型套桌？ · 【答案】(1)全部卖出可以卖800000元 · (2)制作了160套A类型套桌 · 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． · （1）设用的木料制作方桌，根据工厂现有木料，A类型套桌由一个方桌和四个凳子组成，列出方程求出的值，进而求出A类型套桌的套数，再乘以售价进行计算即可； · （2）设制作了套A类型套桌，则制作了套B类型套桌，根据题意，列出方程进行求解即可． · 【详解】（1）解：设用的木料制作方桌，则用的木料制作凳子，由题意，得： · ， · 解得：， · ∴可制作方桌：（个）， · ∴制作套类型套桌，全部卖出可以卖：（元）； · 答：全部卖出可以卖800000元； · （2）设制作了套A类型套桌，则制作了套B类型套桌，由题意，得： · ， · 解得：； · 答：制作了160套A类型套桌． · 2．（23-24七年级下·广西南宁·期中）美术老师组织初一（5）班的学生用硬纸板制作下图所示的正三棱柱盒子．初一（5）班共有学生45人，每名学生每小时可以裁剪侧面60个或底面50个．已知一个三棱柱盒子由3个侧面和2个底面组成，为了使每小时裁剪出的侧面与底面刚好配套，应如何分配全班学生？ · · 【答案】应该分配裁剪侧面的学生为25人，裁剪底面的学生为20人 · 【分析】设分配裁剪侧面的学生为x人，则裁剪底面的学生为人，再根据“一个三棱柱盒子由3个侧面和2个底面组成”列方程即可求解． · 【详解】解：设分配裁剪侧面的学生为x人，则裁剪底面的学生为人， · 根据题意得，， · ∴， · 解得， · ∴裁剪底面的学生为：（人）， · 答：应该分配裁剪侧面的学生为25人，裁剪底面的学生为20人． · 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意并列出方程是解决本题的关键． · 3．（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）工厂某车间制作一批机器部件，一个机器部件由2个A零件和4个B零件组成．若制作一个A零件需千克铝料，一个B零件要用千克铝料．现共有铝料4500千克． · (1)根据题意，甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程如下： · 甲：，乙： · 根据两位同学所列的方程，请你分别指出下列代数式表示的意义． · 甲：x表示______，表示______； · 乙：x表示______，表示______． · (2)请你从甲、乙两位同学的解答思路中，选择一种你喜欢的思路，求出能制作出最多的机器部件的数量．写出完整的解答过程． · 【答案】(1)甲：A零件的用铝材料的重量， B零件的个数；乙：A零件的个数， B零件用铝材料的重量； · (2)个 · 【分析】本题考查了一元一次方程的应用； · （1）根据甲乙所列方程即可求解； · （2）根据题意当制作A零件和B零件能配套，并且使得铝料4500千克剩余最少时，能制作出最多的机器部件，选择乙所列方程即可求解； · 理解未知数的实际意义，根据题意选择恰当的方程求解是解题的关键． · 【详解】（1）解：由所列的方程得 · 甲：x表示A零件的用铝材料的重量，表示B零件的个数； · 乙：x表示A零件的个数，表示B零件用铝材料的重量； · 故答案：甲：A零件的用铝材料的重量， B零件的个数；乙：A零件的个数， 表示B零件用铝材料的重量； · （2）解：若选择乙的思路，由题意得 · 当制作A零件和B零件能配套，并且使得铝料4500千克剩余最少时，能制作出最多的机器部件； · 设制作A零件的个数为个，则有 · ， · 解得：， · 此时制作机器部件最多个数为（个），此时材料刚好用完， · 故能制作出最多的机器部件的数量个． · 若选择甲的思路，由题意得 · 当制作A零件和B零件能配套，并且使得铝料4500千克剩余最少时，能制作出最多的机器部件； · 设A零件的用铝材料的重量为克，则有 · ， · 解得：， · 此时制作机器部件最多个数为（个），此时材料刚好用完， · 故能制作出最多的机器部件的数量个． · 4．（23-24七年级上·广东广州·期末）小敏和小强假期到某厂参加社会实践，该工厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸做盒身2个或者做盒盖3个，且一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒．为了充分利用材料，要求做成的盒身和盒盖正好配套． · (1)现有14张白板纸，问最多可做几个包装盒？（用一元一次方程的应用解答） · (2)现有27张白板纸，问最多可做几个包装盒？ · 为了解决这个问题，小敏和小强各设计了一种解决方案： · 小敏：把这些白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖； · 小强：先把一张白板纸适当套裁出一个盒身和一个盒盖，余下白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖． · 请探究：小敏和小强设计的方案是否可行？若可行，求出最多可做包装盒的个数；若不行，请说明理由． · 【答案】(1)最多可做12个包装盒 · (2)小强方案可行，最多做23个包装盒； 小敏方案不可行，理由见解析 · 【分析】（1）设张白板纸做盒身，则有张做盒盖，根据一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒列出方程即可解答； · （2）分别按小敏和小强设计的方案列出方程解答即可． · 【详解】（1）解：设张白板纸做盒身，则有张做盒盖， · 根据题意得：， · 解得：， · ∴用6张白板纸做盒身，8张白板纸做盒盖，则最多可做12个包装盒； · （2）解：小敏的方案不行，设张白纸做盒身，则有张做盒盖， · 根据题意得：， · 解得：， · ∵为正整数， · ∴该方案不符合题意； · 小强的方案可行，设余下的白纸板张做盒身，则张做盒盖， · 根据题意得：， · 解得：， · ∴， · 则最多做23个包装盒． · 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，根据题意找出等量关系是列方程的关键． · 类型二、一元一次方程的应用：工程问题 · 5．（23-24七年级上·河南周口·期末）整理一批图书，若由一个人独做需要80个小时完成，假设每人的工作效率相同． · (1)若限定32小时完成，一个人先做8小时，再需增加多少人帮忙才能在规定的时间内完成？ · (2)计划由一部分人先做4小时，然后增加3人与他们一起做4小时，正好完成这项工作的，应该安排多少人先工作？ · 【答案】(1)再需增加2人帮忙才能在规定的时间内完成 · (2)应该安排6人先工作 · 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键； · （1）设再需增加x人帮忙才能在规定的时间内完成，根据各部分的工作量之和等于1，再建立方程求解即可； · （2）设应该安排x人先工作，根据各部分的工作量之和等于，再建立方程求解即可； · 【详解】（1）解：设再需增加x人帮忙才能在规定的时间内完成，可得： · ， · 解得： · 答：再需增加2人帮忙才能在规定的时间内完成； · （2）解：设应该安排x人先工作，可得： · ， · 解得：， · 答：应该安排6人先工作． · 6．（23-24七年级上·甘肃定西·期末）列方程解应用题：甲、乙两个工程队共同承包了一项总长度为5400米的修路工程，原计划由甲、乙两个工程队分别从两端同时开始施工，恰好9天完成整个工程，已知乙队平均每天比甲队多施工120米． · (1)求甲、乙两个工程队原计划平均每天分别施工多少米？ · (2)若甲、乙两个工程队共同施工6天后，因另有紧急任务，乙工程队被调离该工程，剩余部分由甲工程队单独完成．为尽量减少延误工期，甲工程队提高工作效率后继续施工，结果比原计划延迟2天完成整个工程．求甲工程队提高工作效率后平均每天施工多少米？ · 【答案】(1)甲原计划每天修，乙原计划每天修 · (2)甲工程队提高效率后平均每天施工 · 【分析】本题考查的是一元次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键． · （1）设甲原计划每天修米．则乙为米．利用“原计划由甲、乙两个工程队分别从两端同时开始施工，恰好9天完成整个工程”建立一元一次方程求解即可； · （2）设甲提高后速度为米/天，由各部分的工作量之和等于总工作量列方程求解即可． · 【详解】（1）解：设甲原计划每天修米．则乙为米． · , · 解得：, · 乙：, · 答：甲原计划每天修，乙原计划每天修． · （2）设甲提高后速度为米/天 · · 解得： · 答：甲工程队提高效率后平均每天施工． · 7．（23-24七年级上·山东济南·期末）列方程解应用题： · 某县在创建省级卫生文明城市中，对县城内的河道进行整治．现有一段长为260米的河道整治任务，由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时25天． · (1)求甲、乙两工程队分别整治河道多少天？ · (2)雇佣甲工程队需要元/天，雇佣乙工程队需要元/天，则共需支付两个工程队多少钱？ · 【答案】(1)甲、乙两工程队分别整治河道天和天 · (2)元钱 · 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数四则混合运算的应用，列出方程是解题的关键． · （1）设甲工程队分别整治河道天，则乙工程队分别整治河道天，列方程即可求解； · （2）把每个工程队的单价代入即可求解． · 【详解】（1）解：设甲工程队分别整治河道天，则乙工程队分别整治河道天， · ， · 解得， · ∴（天）， · 答：甲、乙两工程队分别整治河道10天和15天． · （2）解：（元）， · 答：共需支付两个工程队元钱． · 8．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期末）甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程，已知甲工程队每天的挖掘长度是乙工程队每天挖掘长度的1.5倍，若甲、乙两工程队一起挖掘200米长度的隧道时，共用时间4天． · (1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘隧道多少米？ · (2)已知该段隧道挖掘工程为600米，甲工程队每天的挖掘费用为6万元，乙工程队每天的挖掘费用为3万元．若安排甲工程队先单独挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程队单独完成，总费用刚好102万元，求甲工程队应先单独挖掘多少天？ · 【答案】(1)甲工程队每天可挖掘隧道30米，乙工程队每天可挖掘隧道20米 · (2)8天 · 【分析】本题考查一元一次方程的应用．理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． · （1）设乙工程队每天可挖掘隧道x米，则甲工程队每天可挖掘隧道米，根据甲、乙两工程队一起挖掘200米长度的隧道，共用时间4天，列方程求解即可； · （2）设甲工程队应先单独挖掘y天，则乙工程队单独挖掘天，根据总费用刚好102万元，列方程求解即可． · 【详解】（1）解：设乙工程队每天可挖掘隧道x米，则甲工程队每天可挖掘隧道米，根据题意，得 · · 解得： · ∴ · 答：甲工程队每天可挖掘隧道30米，乙工程队每天可挖掘隧道20米． · （2）解：设甲工程队应先单独挖掘y天，则乙工程队单独挖掘天，根据题意，得 · · 解得： · 答：甲工程队应先单独挖掘8天． · 类型三、一元一次方程的应用：销售问题 · 9．（22-23七年级上·辽宁铁岭·期末）一家商店因换季将某种服装打折销售，如果每件服装按标价的折出售，将亏本元，如果按标价的折出售，将盈利元． · (1)每件服装的标价是多少元？ · (2)打几折销售能恰好保证利润率为？ · 【答案】(1)元； · (2)折． · 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意，正确列出方程是解题的关键． · （）设每件服装的标价是元，根据题意列出方程即可求解； · （）由（）求出每件服装的进价，再设打折销售能恰好保证利润率为，根据题意列出方程即可求解； · 【详解】（1）解：设每件服装的标价是元， · 由题意得，， · 解得， · 答：每件服装的标价是元； · （2）解：由（）可得，每件服装的进价为元， · 设打折销售能恰好保证利润率为， · 由题意得，， · 解得， · 答：打折销售能恰好保证利润率为． · 10．（22-23七年级上·广东湛江·期末）列方程解应用题： · 某服装商店因换季准备将某种服装打折销售，每件服装如果按标价的五折出售将亏20元，而按标价的八折出售将赚40元．求： · (1)每件服装的标价是多少？ · (2)为保证不亏本，最多能打几折？ · 【答案】(1)200元 · (2)六折 · 【分析】本题考查了列一元一次方程解实际问题，解答时根据销售问题的数量关系建立方程是关键． · （1）设每件服装的标价是x元，则分别表示出售价，再根据成本不变建立方程求出其解即可； · （2）根据（1）的标价求出售价就可以求出成本；设打y折就可以不亏本，建立方程求出其解即可． · 【详解】（1）解：设每件服装的标价是x元，依题意，得 · ， · 解得：． · 答：每件服装的标价是200元； · （2）解：每件衣服的成本价为： · （元）． · 设打y折就可以不亏本，由题意，得 · ， · 解得：． · 答：为保证不亏本，最多能打六折． · 11．（23-24七年级下·四川成都·期末）某社区超市用520元钱从批发商处购进了甲、乙两种商品共100千克，已知甲、乙商品的批发价与零售价如下表所示： 商品名 甲 乙 批发价（元/千克） 4 6 零售价（元/千克） 10 12 · (1)该社区超市这天批发甲商品和乙商品各多少千克； · (2)甲商品和乙商品按零售价售出相同的重量后，剩下的商品都按零售价打八折售出，最终当天甲乙商品全部卖完，共获得464元利润，求打折后卖出的甲、乙商品的重量分别为多少？ · 【答案】(1)批发甲商品40千克，乙商品60千克 · (2)打折后卖出的甲商品20千克，乙商品40千克 · 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． · （1）设批发甲商品x千克，则批发乙商品千克， 根据总进货价为520元列出方程，解之即可； · （2）设打折前售出相同的重量为千克，根据打折前和打折后的利润之和为464元列出方程，解之可得结果． · 【详解】（1）解：设批发甲商品千克，则批发乙商品千克， · 依题意，得， · 解得， · ∴（千克）， · ∴批发甲商品40千克，乙商品60千克； · （2）解：设打折前售出相同的重量为千克，由题意可得： · ， · 解得， · ∴甲商品：（千克）；乙商品：（千克）； · ∴打折后卖出的甲商品20千克，乙商品40千克． · 12．（23-24七年级上·江西赣州·期末）【课本再现】：下面是人教版初中数学教科书七年级上册第页探究1的部分内容． · 探究1 销售中的盈亏 · （1）一商店在某一时间以每件元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，这两件衣服的进价分别是 元和 元，卖这两件衣服总的是 （填“盈利”、“亏损”或“不赢不亏”）． · 【解决问题】： · 七年级实践小组去商场调查，了解到某款羽绒服以每件元的价格购进了200件，并以每件120元的价格销售了一部分，为回笼资金，商场将剩下的羽绒服在原售价的基础上每件降价销售，并全部销售完毕．已知这批羽绒服总利润是5600元，请你算一算降价前共售出多少件？ · 【答案】（1）48；80；亏损；（2）降价前共售出羽绒服150件 · 【分析】本题主要考查了有理数除法的实际应用，一元一次方程的实际应用： · （1）根据利润售价进价分别求出两件衣服的原本售价即可得到答案； · （2）设降价前共售出x件，则降价后售出件，根据利润（单价售价单价进价） 销售量列出方程求解即可． · 【详解】解：（1）元，元， · ∴盈利的衣服的原本售价为48元，亏损的衣服的原本售价为80元， · ∵元， · ∴卖这两件衣服总的是亏损了8元， · 故答案为：48；80；亏损； · （2）设降价前共售出x件，则降价后售出件， · 由题意得，， · 解得， · 答：降价前共售出150件． · 类型四、一元一次方程的应用：积分问题 · 13．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）亲子互动游戏是家长和孩子之间的积极沟通方式．小明和爸爸一起玩投篮球游戏，两人商定规则为：小明投中1个得3分，爸爸投中1个得1分，结果两人一共得了20分．若两人一共投中12个球，则小明投中几个球？ · 【答案】4个 · 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，设小明投中x个球，小明爸爸投中个球，根据关键语句“结果两人一共得了20分”可得方程，解方程即可； · 【详解】解：设小明投中x个球，小明爸爸投中个球，根据题意得， · ， · 解得，   · 答：小明投中4个球． · 14．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）“学习生活两不误，劳逸结合更健康”，某个周末勤奋好学的小明和爸爸下棋，爸爸赢一盘记2分，小明赢一盘记6分，一共下了8盘，每盘都分出了胜负． · (1)若两人得分相等，请应用方程求出两人各赢了多少盘； · (2)比赛结束时，爸爸得分可能比小明得分多2分吗？为什么？ · 【答案】(1)若两人得分相等时，小明赢了2盘，爸爸赢了6盘 · (2)不可能，理由见解析 · 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系列出方程是解答本题的关键． · （1）设小明赢了盘，则爸爸赢了盘，根据两人得分相等列方程求解即可； · （2）设小明赢了盘，根据爸爸得分比小明得分多2分列方程，然后根据为自然数检验是否符合题意即可． · 【详解】（1）设小明赢了盘，则爸爸赢了盘，依据题意可以列方程，得 · ， · 解得， · 当时，， · 答：若两人得分相等时，小明赢了2盘，爸爸赢了6盘． · （2）不可能，理由如下： · 设小明赢了盘，根据题意可以列方程，得 · ， · 解得， · 因为为自然数， · 所以，比赛结束时，爸爸不可能比小明多2分． · 15．（20-21七年级上·广西南宁·阶段练习）某次篮球联赛部分积分如下：根据表格提供的信息解答下列问题： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 14 10 4 24 14 7 7 21 14 4 10 18 · (1)求出胜一场、负一场各积多少分？ · (2)某队的胜场总积分能等于负场总积分吗？若能，试求出胜场数和负场数：若不能，请说明理由． · 【答案】(1)胜一场记2分，负一场记1分 · (2)不能，理由见解析 · 【分析】本题主要考查一元一次方程的运用， · （1）设胜一场记分，则负一场记分，根据表格列方程求解即可； · （2）设胜场数是，负场数是，根据题意算出的值，结合实际情况即可求解． · 【详解】（1）解：设胜一场记分，则负一场记分， · 根据题意得：， · 解得， · ， · 答：胜一场记2分，负一场记1分； · （2）解：胜场总积分不能等于负场总积分，理由如下： · 设胜场数是，负场数是， · 依题意得：， · 解得：， · ∵为整数， · ∴不符合题意， · ∴胜场总积分不能等于负场总积分． · 16．（23-24七年级上·江西上饶·阶段练习）如图，这是某飞镖游戏的磁性靶盘．珍珍玩了两局，每局投次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下． 投中位置 A区 B区 脱靶 一次计分/分 3 1 ·    · 在第一局中，珍珍投中A区5次，投中B区2次，脱靶3次． · (1)求珍珍第一局的得分； · (2)第二局，珍珍投中A区k次，投中B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了8分，求k的值． · 【答案】(1)； · (2)； · 【分析】此题考查了有理数的混合运算和一元一次方程的实际应用，解题的关键是熟练掌握正确列出算式和方程． · （1）根据计分规则用数量乘以分数求和即可得到答案； · （2）根据规则列出分数，根据分数列方程求解即可得到答案； · 【详解】（1）解：由题意可得， · 第一局的得分：（分）， · 答：珍珍第一局的得分分； · （2）解：由题意可得， · 第二次的分数为：， · ∵本局得分比第一局提高了8分， · ∴， · 解得：． · 类型五、一元一次方程的应用：方案设计选择问题 · 17．（23-24七年级上·云南红河·期末）七年级某班因参加校园运动会为学生购置运动装．经了解，某服装店男款运动装每套100元，女款运动装每套120元，原价购买50套运动装共需5520元．为吸引顾客，该店推出两种优惠方案： · 方案一：全部运动装八五折销售； · 方案二：一次性购买40套运动装（男女运动装均可）及以上免费赠送10套男款运动装，其余的按原价销售． · (1)该班购买的男款运动装和女款运动装各多少套？ · (2)请通过计算说明该班购买50套运动装应选择哪种优惠方案更合算？ · 【答案】(1)该班购买的男款运动装套． · (2)按方案二购买更合算 · 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据已知的等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． · （1）设该班购买的男款运动装套，由总共需要5520元列方程，解出即可． · （2）按方案一购买需：（元）；按方案二可以购买14套男运动装和26套女运动装加赠送10套男款运动装，费用为：（元），比较大小即可． · 【详解】（1）解：设该班购买的男款运动装套，则购买的女款运动装各多少套为套，根据题意得 · · · · 答：该班购买的男款运动装套． · （2）按方案一购买需：（元） · 按方案二购买需：按原价购买14套男运动装和26套女运动装加赠送10套男款运动装 · （元） · ∵ · ∴按方案二购买更合算． · 18．（23-24七年级上·贵州遵义·期末）2023年11月12日，新蒲新区举办了以“魅力新蒲，无限可能”为主题的半程马拉松比赛．A，B两个团队共92人（其中A队人数多于B队人数且A队人数不够90人）准备统一服装参加比赛，某服装厂给出了以下三种购买方式： · 方式一：购买服装不超过45套时，每套60元； · 方式二：购买服装超过45套且不超过90套时，每套50元； · 方式三：购买服装超过90套时，每套40元． · 若A，B两个团队分别单独购买服装，一共付了5000元． · (1)A，B两团队各有多少人准备参加比赛？ · (2)若A团队有10人由于身体原因，不能参加比赛，请为A，B两个团队设计一种较省钱的购买服装方案． · 【答案】(1)A团队由52人参加比赛，则B团队由40人参加比赛， · (2)两个团队一起买91套时最省钱． · 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数混合计算的实际应用： · （1）设A团队由x人参加比赛，则B团队由人参加比赛，先计算出，，据此可得方程，解方程即可得到答案； · （2）分别计算：①两个团队单独买、②两个团队一起买82套、③两个团体一起买91套的总花费，即可得到答案． · 【详解】（1）解：设A团队由x人参加比赛，则B团队由人参加比赛， · ∵A队人数多于B队人数且A队人数不够90人， · ∴， · 解得，，即甲队的人数范围是， · ∴乙队人数范围是：， · 由题意得，， · 解得， · ∴， · 答：A团队由52人参加比赛，则B团队由40人参加比赛； · （2）解：由题意得，A团队参加比赛的人数为人， · 当两个团队单独买时的费用为元， · 当两个团队一起买82套时的费用为元， · 当两个团队一起买91套时的费用为元， · ∵， · ∴两个团队一起买91套时最省钱． · 19．（23-24七年级上·浙江金华·期末）中国移动全球通有两种通话计费方法（接听全免，接听时间不计入通话时间）： · 计费方法A是每月收月租费48元，通话时间不超过50分钟的部分免费，超过50分钟的按每分钟0.25元加收通话费；计费方法B是每月收取月租费88元，通话时间不超过200分钟的部分免费，超过200分钟的按每分钟0.19元加收通话费． · (1)某使用计费方法A的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用多少元？ · (2)用计费方法B的用户某个月累计费用107元，通话时间是多少分钟？ · (3)用计费方法B的用户某个月累计费用126元，若改用计费方法A的方式，费用是增加还是减少？相差多少？ · 【答案】(1)某使用计费方法A的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用60.5元 · (2)用计费方法B的用户某个月累计费用107元，通话时间是300分钟 · (3)若改用计费方法A的方式，费用增加了，相差9.5元 · 【分析】本题考查有理数的混合运算、一元一次方程的应用，理解两种“计费方法”的意义是正确解答的关键． · （1）根据计费方法A的计费标准进行计算即可； · （2）先估算通话时间，再利用计费方法B的解法标准进行计算即可； · （3）求出用计费方法B的用户某个月累计费用126元的通话时间，再根据通话时间与计费方法A计算费用，比较得出答案． · 【详解】（1）解：当通话时间为100分钟时，应付费（元）， · 答：某使用计费方法A的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用60.5元； · （2）解：由于用计费方法B的用户某个月累计费用107元大于88元，因此通话时间大于200分钟，设通话时间是分钟， · 则， · 解得， · 答：用计费方法B的用户某个月累计费用107元，通话时间是300分钟； · （3）解：设通话时间是分钟，由题意可得 · ， · 解得， · 当通话时间为400分钟时，（元）， · （元）， · 答：若改用计费方法A的方式，费用增加了，相差9.5元． · 20．（23-24七年级上·宁夏银川·期末）在数学综合与实践课上，老师以“出行方式的选择”为主题，请同学们发现和提出问题并分析和解决问题． · 问题情境：随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们出行的时间与方式有了更多的选择，某市有出租车、滴滴快车和神州专车三种网约车，收费标准见如图．（该市规定网约车行驶的平均速度为40公里/小时，时长费指车辆在行驶过程中按照规定每分钟耗时单价乘以从起点到终点所用时间的费用） · · “滴滴出行”起步价：12元，里程费：2.5元/公里，时长费：0.4元/分钟 · “神州专车”起步价：10元，里程费：2.8元/公里，时长费：0.5元/分钟 · “出租车”起步价：14元，超公里费：超过3公里，2.4元/公里，不足1公里按1公里计． · (1)“奋进小组”提出的问题是，如果乘坐这三种网约车的里程数都是10公里，他们发现乘坐出租车最节省钱，费用为多少元？ · (2)从甲地到乙地，乘坐出租车比滴滴快车节省13.6元，求甲、乙两地间的里程数． · 【答案】(1)元 · (2)千米 · 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． · （1）根据出租车的收费标准计算即可； · （2）设甲乙两地间的里程数为x千米，分类讨论，当或者当时，根据出租车比滴滴快车节省元列出方程，求解即可． · 【详解】（1）解：乘坐出租车费用为元， · 答：乘坐出租车费用为元． · （2）解：设甲乙两地间的里程数为x千米， · 当时，， · 解得（不符合题意，舍去）； · 当时，， · 解得：， · 答：甲乙两地间的里程数为千米． · 类型六、一元一次方程的应用：数字问题 · 21．（22-23七年级上·广东湛江·期末）阅读材料： · 把无限循环小数化为分数，可以按如下方法进行：以为例，由，可知，，得，于是．解决问题： · (1)请把无限循环小数化为分数； · (2)我们把纯循环小数x（从有循环节小数部分第一位开始的循环小数）循环节的数字组成的数记作m，循环节的位数记作n（例如对而言，），n的式子表示纯循环小数＿＿＿＿＿． · 【答案】(1) · (2) · 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解把无限循环小数化为分数过程是解题的关键． · （1）模仿题意的把无限循环小数化为分数过程来把无限循环小数化为分数，即可作答． · （2）若是一个整数部分为0，小数部分都是循环的无限循环小数，得到关于的与有关的一元一次方程，解之即可． · 【详解】（1）解：设， · 由 · 所以 · 解得： ， · 于是； · （2）解：∵我们把纯循环小数x（从有循环节小数部分第一位开始的循环小数）循环节的数字组成的数记作m，循环节的位数记作n（例如对而言，）， · ∴ · 解得： ． · 故答案为：． · 22．（23-24七年级上·江西赣州·期末）观察下面三行数： · ；① · ；② · ．③ · (1)第①行数的第8个数为 ； · (2)观察第②③行数与第①行数的关系，若第①行数第n数为x，则第②行的第n数为 ：第③行的第n数为 ； · (3)取每行的第n个数，这三个数的和能否等于82？如果能，则求出这三个数；如果不能，请说明理由． · 【答案】(1)256 · (2)； · (3)不能，见解析 · 【分析】本题是对数字变化规律的考查，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，观察出第②③行的数与第①行的数的联系是解题的关键． · （1）第①行有理数是按照的正整数次幂排列的； · （2）第②行为第①行的数加2；第③行数中的每一个数是第①行数中对应位置的数的一半，且结合第①行数第n数为x，分别写出第个数的表达式； · （3）根据各行的表达式求出第n个数，然后相加等于82，解出n的值，再判定，即可得解． · 【详解】（1）解：第①行的有理数分别是，，，，， · 故第①行数的第8个数是． · 故答案为：256； · （2）解：∵第①行的有理数分别是，，，，， · ∴第①行的第个数为， · ∵将第②行数中的每一个数分别减去第①行数中对应位置的数，结果是每个数都是2， · ∴第②行的第个数为， · ∵第①行数第n数为x， · 则第②行的第n数为： · ∵．③ · ∵将第③行数中的每一个数是第①行数中对应位置的数的一半， · ∴第③的第个数为; · （3）解：不能，理由如下： · 由（2）知，设第①行数第n数为x · 则第②行的第n数为：第③的第个数为 · ∵假设这三个数的和能等于82 · ∴ · 解得 · 观察①的； · · 故这三个数的和不能等于82． · 23．（22-23七年级上·广东江门·期末）观察下列按一定规律排列的三行数：如图，在上面的数据中，用长方形圈出同一列的三个数，这列的第一个数表示为，其余各数分别用表示， · · (1)若这三个数分别在这三行数的第8列，请写出的值．____，_____，=____． · (2)若这三个数分别在这三行数的第列，则的值为______，的值为_____；（用含有的式子表示） · (3)若记为，求这三个数的和是否等于？若等于，求出的值，若不等于，请说明理由． · 【答案】(1)，， · (2)， · (3)这三个数的和不等于，理由见解析 · 【分析】本题考查了数字规律问题，涉及了一元一次方程的求解，旨在考查学生的抽象概括能力． · （1）根据题意可确定第一行第列数为：，观察第二行、第三行相应位置的数与第一行数字的关系即可求解； · （2）由（1）中的结论即可求解； · （3）解方程，结合，即可判断． · 【详解】（1）解：由题意得： · 第一行的数字依次为： · ∴第一行第列数为：， · 第二行中的每一个数是第一行相应位置上的数加， · ∴第二行第列数为：， · 第三行中的每一个数是第一行相应位置上的数除以， · ∴第三行第列数为：， · ∴ · 故答案为：，，； · （2）解：由（1）可得： · ，， · 故答案为：，； · （3）解：这三个数的和不等于，理由如下： · 由题意得：，则， · ， · 解得：， · ∵，， · ∴不存在这样的，使得这三个数的和等于． · 24．（24-25七年级上·河南信阳·阶段练习）相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍．如图1，是由1，2，3，4，5，6，7，8，9所组成的一个三阶幻方，其幻和为15，中心数为5． · · (1)如图2所示，则幻和=______； · (2)若，求图2中的值； · (3)由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．在如图3所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，当时，则的值为多少？ · 【答案】(1) · (2)9 · (3) · 【分析】本题考查一次方程应用及有理数加法运算，解题关键是熟知“九宫图”的填法． · （1）幻和为的3倍； · （2）根据幻和为，列方程可得到答案； · （3）根据规律，用正方形左边和上方三角形三个顶点上的数字之和等于右边和下方三角形三个顶点上的数字之和及、的值即可解答． · 【详解】（1）解：由题意可得，幻和， · 故答案为：； · （2）如图： · · 由（1）知：， · ， · ， · ，， · ， · ， · ， · ， · ， · ； · （3）根据题意得；则 · 则 · · 类型七、一元一次方程的应用：几何图形问题 · 25．（23-24七年级上·陕西宝鸡·期末）如图，一个长方形养鸡场的一条长边靠墙，墙长，其他三边用竹篱笆围成，现有长的竹篱笆，小林的设计方案是长比宽多，你认为他设计的长边是否符合实际情况？通过计算说明理由． · · 【答案】不符合实际情况，理由见解析 · 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，理解题意，建立方程解题是关键；设篱笆的长为米，宽为米，再利用篱笆总长为35米建立方程求解，再检验即可． · 【详解】解：设篱笆的长为米，宽为米 · ∴， · 解得：， · ∵米米，不符合实际情况． · 26．（20-21七年级上·辽宁盘锦·期末）如图1是边长为6的正方形硬纸版，在每个角上都剪去一个边长相等的小正方形，将其做成如图2的底面周长为16的正方形无盖纸盒，则这个无盖纸盒的高等于多少？ · · 【答案】无盖纸盒的高等于1 · 【分析】根据底面是正方形可求得底面边长为4，设无盖纸盒的高为x，根据展开图可列出方程，进而解方程即可求解． · 【详解】解：由题意可得，底面边长为16÷4=4， · 设无盖纸盒的高为x，则有4+x+x=6， · 解得：x=1， · 答：无盖纸盒的高为1． · 【点睛】本题考查一次函数的应用、长方体的展开图，理解题意，找到等量关系是解答的关键． · 27．（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）如图，在数轴上有A，B两点，所表示的数分别为，4，点A以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时点B以每秒2个单位长度的速度向左运动．如果设运动时间为t秒，解答下列问题： · · (1)运动前线段的长为___________；运动1秒后线段的长为___________； · (2)求t为何值时，点A与点B恰好重合； · (3)在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使得线段的长为5，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． · 【答案】(1)12，7 · (2)秒 · (3)秒或秒 · 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离，一元一次方程的应用，熟知数轴上两点距离公式是解题的关键． · （1）根据数轴上两点距离公式求解即可； · （2）秒时点表示的数为：，点表示的数为：，再根据A、B恰好重合列出方程求解即可； · （3）根据题意分两种情况：当点在点左侧时，当点在点右侧时，得出方程求解即可． · 【详解】（1）解：由题意得运动前线段的长为； · 运动1秒后点A表示的数为，点B表示的数为，则运动1秒后线段的长为， · 故答案为：12，7； · （2）解： 由题意可知：秒时点表示的数为：，点表示的数为：， · ∴， · 解得：秒； · （3）解：由题意可知：秒时点表示的数为：，点表示的数为：， · 当点在点左侧时，， · 解得秒； · 当点在点右侧时，， · 解得秒； · 故存在某一时刻，使得线段的长为5，的值为秒或秒． · 28．（23-24七年级下·河南新乡·期末）装裱工艺历来被视为一幅书画作品不可或缺的一环，也是我国特有的一种保护和美化书画的技术，能够使书画作品达到更高的艺术美感．如图，是立轴一色装裱的样式结构，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等．某人要装裱一幅画心为．的画，要求左、右边的宽均为天头长与地头长的和的装裱后的长是装裱后的宽的3倍，求装裱后边的宽和天头长． · · 【答案】装裱后边的宽是，天头长是 · 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设装裱后边的宽为，则天头长与地头长的和为，根据装裱后的长是装裱后的宽的3倍，列出方程，解方程即可． · 【详解】解：设装裱后边的宽为，则天头长与地头长的和为， · 由题意得：， · 解得． · · 答： 装裱后边的宽是，天头长是． · 类型八、一元一次方程的应用：和差倍分问题 · 29．（23-24七年级上·河南平顶山·期末）为了鼓励同学们加强体育锻炼，某校准备举行冬季长跑比赛． 为奖励长跑优胜者，学校准备购买一些亚运会吉祥物的水杯和徽章，据了解，某商店水杯的单价比徽章的单价多12元，若买3个徽章和2个水杯共需64元． 徽章和水杯的单价各是多少？ · 【答案】徽章的单价为8元，水杯的单价为20元． · 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型． · 设设徽章的单价为元，水杯的单价为元．根据题意列出方程即可求出答案． · 【详解】解：设徽章的单价为元，水杯的单价为元． · 根据题意，得． · 解得． · （元）． · 答：徽章的单价为8元，水杯的单价为20元． · 30．（23-24七年级上·陕西西安·期末）某中学为了准备一百二十周年的校庆活动，计划购买一批演出服装，经了解，购买1件女装比购买2件男装多30元，后来学校购买了20件女装和30件男装共用了11100元． · (1)设购买一件男装元，则购买一件女装需 元（用含的代数式表示）； · (2)应用一元一次方程求出购买一件男装和一件女装各需多少元？ · 【答案】(1) · (2)购买一件男装和一件女装各需150元，330元 · 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的实际应用： · （1）根据购买1件女装比购买2件男装多30元列代数式即可； · （2）根据购买了20件女装和30件男装共用了11100元列出方程求解即可． · 【详解】（1）解：由题意得，购买一件女装需元， · 故答案为：； · （2）解：由题意得，， · 解得， · ∴， · 答：购买一件男装和一件女装各需150元，330元． · 31．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）一根竹竿插入一水池底部的淤泥中（如图），竹竿的入泥部分占全长的，淤泥以上的入水部分比入泥部分长米，露出水面部分为米，竹竿有多长？水有多深？ · · 【答案】竹竿有3米长，水深为米 · 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程．没竹竿有x米，根据竹竿入泥部分+淤泥以上的入水部分+露出水面部分列方程求解即可． · 【详解】解：设竹竿有x米，则竹竿入泥部分为米，则淤泥以上的入水部分为米， · 由题意可得：， · 解得， · 则， · 答：竹竿有3米，则水深为米． · 32．（22-23七年级上·云南昆明·期末）列方程解应用题： · 数学家的故事 · 古希腊数学家丢番图（约公元250年左右），被人们称为代数学之父．对于他的生平事迹，人们知道得很少，但在一本《希腊诗文选》（公元500年前后的遗物）中，收录了他的墓志铭． · 希腊数学家丢番图（公元3−4世纪）的墓碑上记载着：“他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；他结了婚，又度过了一生的七分之一；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半；儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，也与世长辞了．”根据以上信息，请你算出： · · (1)丢番图的寿命； · (2)丢番图开始当爸爸时的年龄； · (3)儿子死时丢番图的年龄． · 【答案】(1)丢番图的寿命为84岁 · (2)丢番图开始当爸爸的年龄为38岁 · (3)儿子死时丢番图的年龄为80岁 · 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出丢番图的年龄的表达式，根据等量关系，列出方程再求解． · （1）设丢番图的寿命为岁，则根据题中的描述他的年龄的童年生命的年儿子的年龄年，可列出方程，即可求解； · （2）根据计算即可求解； · （3）根据“儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，也与世长辞了”计算即可求解． · 【详解】（1）解：设丢番图的寿命为岁， · 由题意得：， · 解得：， · 答：丢番图的寿命为84岁； · （2）解：，即他38岁时有了儿子． · 答：丢番图开始当爸爸的年龄为38岁； · （3）解：岁． · 答：儿子死时丢番图的年龄是80岁． · 类型九、一元一次方程的应用：分段计费问题 · 33．（23-24七年级上·陕西西安·期末）西安市的出租车收费标准如下：起步价元，可乘坐3千米；超过3千米，每千米加收2元． · (1)小明乘坐西安出租车千米，求小明应付的车费（用含 的代数式表示）； · (2)小颖乘坐西安出租车付车费元，那么小颖乘坐了多少千米？ · 【答案】(1) · (2) · 【分析】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用，正确理解题意是解题关键． · （1）根据西安市的出租车收费标准即可列出代数式； · （2）解方程即可． · 【详解】（1）解：由题意得：小明应付的车费为： · （2）解：令， · 解得： · 答：小颖乘坐了千米 · 34．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水的目的．下表是该市自来水收费价格的价目表（水费按月缴纳）： 居民月用水量 不超过的部分 超过但不超过的部分 超过的部分 单价 元 元 元 · · (1)某用户一个月用了水，求该用户这个月应缴纳的水费； · (2)已知12月份某用户应缴纳的水费为88元，求该用户12月份的用水量． · 【答案】(1)该用户这个月应缴纳水费元 · (2)该用户12月份的用水量为 · 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算． · （1）根据表格中的信息列式进行计算即可得出答案； · （2）设求该用户12月份的用水量为，根据题意列出关于x的一元一次方程，解方程即可求解． · 【详解】（1）解：根据题意得：（元）， · 故该用户这个月应缴纳水费元； · （2）解：设求该用户12月份的用水量为， · ∵， · ∴， · 解得：， · 故该用户12月份的用水量为． · 35．（23-24七年级上·浙江金华·期末）某市近期公布的居民用天然气阶梯价格方案如下： 第一档天然气用量 第二档天然气用量 第三档天然气用量 年用天然气量在及以下的部分，价格为每立方米元． 年用天然气量在以上不超过时，超过部分价格为每立方米元． 年用天然气量在以上时，超过部分价格为每立方米元． · 依此方案请回答： · (1)若小禾家今年使用天然气，则需缴纳天然气费为多少元？ · (2)若某户今年缴纳天然气费2286元，求该用户今年使用天然气多少立方米． · 【答案】(1)1300元 · (2)800立方米 · 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分清各档用气量和对应价格是解答本题的关键． · （1）根据题意得出天然气处于第二档天然气用量，计算求值即可． · （2）先计算出第一档和第二档中年用天然气量分别为360立方米和600立方米应缴纳的费用之和为1578元，由得出该户今年使用天然气超过600立方米，设该户2023年使用天然气x立方米，根据等量关系列方程求解即可． · 【详解】（1）解：天然气处于第二档天然气用量， · 需缴纳天然气费为元； · （2）解：，， · 该户今年使用天然气超过600立方米， · 设该户今年使用天然气x立方米， · 根据题意得：， · 解得：， · 该户今年使用天然气800立方米． · 36．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”，标准如表： 用水量 单价 不超过6m3的部分 2元/m3 超过6m3不超过10m3的部分 4元/m3 超出10m3的部分 8元/m3 · 如：某用户2月份用水9m3，则应缴水费：（元）． · (1)某用户3月用水8m3应缴水费 　 　元； · (2)已知某用户4月份缴水费22元，求该用户4月份的用水量； · (3)如果该用户5、6月份共用水18m3（6月份用水量超过5月份用水量，且5月份用水量不超过8m3），共交水费52元，则该户居民5、6月份各用水多少m3？ · 【答案】(1)20 · (2)该户4月份用水； · (3)5月份用水，6月份用水量为． · 【分析】此题考查了列代数式及一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列式求解． · （1）根据表格中的收费标准，求出水费即可； · （2）根据缴水费22元，可得4月份用水量在6m3到10m3之间，故可求解； · （3）根据6月份用水量超过5月份用水量，得到6月份用水量多于9m3，分①当时，②当时，③当时，，列方程可解答． · 【详解】（1）解：则应缴水费：（元， · 故答案为：20； · （2）解：该用户4月份交水费22元，， · 设该户居民4月份用水， · 根据题意得出：， · 解得：． · 故该户4月份用水； · （3）解：设该户居民5月份用水，则6月份用水， · 该用户6月份用水量超过5月份用水量， · ， · ①当时，，根据题意得： · ，解得：， · ， · 当时，无解． · ②当时，，根据题意得： · ， · 解得：， · 检验知：符合题意，此时； · ③当时，，根据题意得： · ， · 化简得：． · 当时，无解． · 综上知：5月份用水，6月份用水量为． · 类型十、一元一次方程的应用：行程问题 · 37．（23-24七年级上·云南红河·期末）年国产大型客机首航成功，这标志着正式投入商业运营，也标志着我国从此有了属于自己的国产大型客机．某机场一架飞机顺风从甲机场飞到乙机场要用小时，它逆风飞行同样的航线要用小时．已知在风速为千米时的条件下，求无风时这架飞机在这一航线的平均速度． · 【答案】无风时这架飞机在这一航线的平均速度为千米时． · 【分析】此题考查一元一次方程的应用，设无风时这架飞机在这一航线的平均速度为千米时，列出关于的一元一次方程，再解方程即可，解题的关键读懂题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程． · 【详解】解：设无风时这架飞机在这一航线的平均速度为千米时， · 由题意得，， · 解得：， · 答：无风时这架飞机在这一航线的平均速度为千米时． · 38．（23-24七年级上·广东广州·期末）如图是两张不同类型火车的车票：（“次”表示动车，“次”表示高铁）： · · (1)已知该动车和高铁的平均速度分别为，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，求两地之间的距离； · (2)在（1）的条件下，请求出在什么时刻两车相距． · 【答案】(1) · (2)12：00 · 【分析】本题考查一元一次方程解实际应用题，读懂题意，根据等量关系列出方程求解是解决问题的关键． · （1）根据两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，可以列出相应的方程，然后求解即可； · （2）先设高铁出发小时，两车相距，然后即可列出相应的方程，再求解即可． · 【详解】（1）解：设两地之间的距离为， · 由题意可得，解得， · 答：两地之间的距离为； · （2）解：设高铁出发小时，两车相距，则，解得， · ，即12：00时两车相距． · 39．（22-23七年级上·湖南长沙·期末）小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路．假设他始终保持平路每分钟走．下坡路每分钟走，上坡路每分钟走．则他从家里到学校需，从学校到家里需．问：从小华家到学校的平路和下坡路各有多远？设小华家到学校的平路为x，用方程表示上述数量关系，并解出方程． · 【答案】平路为300米，下坡路为400米 · 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． · 设小华家到学校的平路为x米，则下坡路为米，根据时间=路程÷速度结合小华从学校到家里需，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． · 【详解】解：设小华家到学校的平路为x米，则下坡路为米，根据题意，得 · · 解得：， · ∴（米） · 答：从小华家到学校的平路为300米，下坡路为400米． · 40．（22-23七年级上·云南文山·期末）已知A、B两地相距480千米，甲、乙两车从A地向地运送货物，甲车的速度为，乙车的速度为，甲车先出发1.5小时后，乙车才出发． · (1)乙车出发____________小时后，能追上甲车； · (2)若乙车到达地后，立即原路返回A地，则乙车返回时再经过多少小时与甲车再次相遇？ · 【答案】(1)3 · (2)经过1小时与甲车再次相遇 · 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找准等量关系准确列出方程是解题关键． · （1）设乙车出发x小时后能追上甲车，此时乙车行驶，甲车行驶，于是列方程得，解方程求出x的值即得到问题的答案； · （2）设乙车返回时再经过y小时与甲车再次相遇，则乙车返回时又行驶，甲车行驶，于是列方程得，解方程求出y的值即可． · 【详解】（1）解：设乙车出发x小时后能追上甲车， · 根据题意得， · 解得：， · ∴乙车出发3小时后能追上甲车， · 故答案为：3． · （2）设乙车返回时再经过y小时与甲车再次相遇， · 根据题意得：， · 解得：， · 答：乙车返回时再经过1小时与甲车再次相遇． · 类型十一、一元一次方程的应用：比例问题 · 41．（23-24七年级上·广东珠海·期末）如图，在长方形休闲广场的一组对角设计两块半径相同的四分之一圆形花坛，另一组对角设计两个大小一样的三角形草坪，圆形的半径、三角形与广场边重合的边长都为，广场长为，宽为． · · (1)列式表示广场空地的面积（结果保留） · (2)若，，，现在广场中央修建一个周长为且长宽比例与广场相同的长方形水池，求广场空地的面积．（结果保留） · 【答案】(1) · (2) · 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值，一元一次方程的应用； · （1）用长方形面积减去两个四分之一圆形花坛面积，再减去两个三角形面积，计算即可； · （2）求出水池的长宽比例为，设长为，则宽为，根据周长为列方程求出x，可得水池的长为，宽为，然后根据（1）中广场空地的面积再减去水池的面积，计算即可． · 【详解】（1）解：广场空地的面积为：； · （2）因为，， · 所以水池的长宽比例为， · 设长为，则宽为， · 由题意得：， · 解得：， · 所以水池的长为，宽为， · 所以广场空地的面积为． · 42．（22-23七年级上·陕西咸阳·阶段练习）新华书店新进一种畅销书，第一天售出总数的，第二天售出总数的还多20本，书店还剩140本这种书，新华书店新进这种肠销书多少本？ · 【答案】新华书店新进这种畅销书600本 · 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设新华书店新进这种畅销书x本，由总数减去两次销售的数量等于140，再建立方程求解即可． · 【详解】解：设新华书店新进这种畅销书x本． · ， · ， · ， · 答：新华书店新进这种畅销书600本． · 43．（23-24七年级上·重庆开州·阶段练习）在劳动课上，老师组织七年级（1）班的学生自己动手整理操场．七年级（1）班共有学生48人，其中女生人数比男生人数的多3人．如果让男生单独工作，需要5小时，如果让女生单独工作，需要小时． · (1)七年级（1）班有男生、女生各多少人？ · (2)如果让男生、女生一起工作1小时，再由男生单独完成剩余的部分，求男生共需要多少时间？ · 【答案】(1)七年级（1）班有男生人、女生人； · (2)男生共需要小时． · 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，熟练的确定相等关系建立方程是解本题的关键． · （1）设七年级（1）班有男生有人，则女生有人，再利用全班共48人建立方程求解即可； · （2）设男生共需要小时，再由各部分的工作量之和等于1建立方程求解即可． · 【详解】（1）解：设七年级（1）班有男生有人，则女生有人， · ∴， · 解得：； · ∴， · 答：七年级（1）班有男生人、女生人； · （2）设男生共需要小时，则 · ， · 解得：； · 答：男生共需要小时． · 44．（22-23七年级上·广东惠州·阶段练习）有甲乙丙三个仓库存放货物，已知甲乙两仓库存货吨数比为 ，乙丙两仓库存货吨数比为 ，若甲仓库向丙仓库运 吨货物，则两个仓库货物吨数相同，求甲仓库原来存货吨数是多少吨？ · 【答案】甲仓库原来存货 吨 · 【分析】设甲仓库原来存货吨数是吨，则乙仓库原来的存货吨数为吨，丙仓库原来的存货吨数为吨，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解． · 【详解】解：∵甲乙两仓库存货吨数比为 ，乙丙两仓库存货吨数比为 ，即甲乙丙仓库的存货吨数比为， · ∴设甲仓库原来存货吨数是吨，则乙仓库原来的存货吨数为吨，丙仓库原来的存货吨数为吨， · 根据题意得， · 解得：， · ∴甲仓库原来存货吨数是吨， · 答：甲仓库原来存货 吨． · 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． · 类型十二、一元一次方程的应用：日历问题 · 45．（23-24七年级上·广东佛山·期末）如图是某年9月的日历，用形如X型框，去框日历中的日期数每次同时框5个数． · · (1)设X框最中间的数为a，则这5个数之和为_____（用含a的代数式表示）； · (2)这5个数的和能等于68吗？请说明理由． · 【答案】(1) · (2)不能，理由见解析 · 【分析】本题考查了一元一次方程的应用及列代数式，能够根据X框最中间的数，表示出其余4个数是解决问题的关键． · （1）根据X框最中间的数，表示出其余4个数，再列出5个数之和，计算后即可得出答案； · （2）当时，a不是整数，即可得出这5个数的和不能等于68． · 【详解】（1）解：∵X框最中间的数为a，则其余4个数分别为， · ∴这5个数之和为：， · 故答案为：； · （2）解：不能，理由如下： · 当时，， · ∵a必须为整数， · ∴这5个数的和不能等于68． · 46．（22-23七年级上·广东湛江·期末）你对生活中常见的月历了解吗？月历中存在许多数字奥秘，你想知道吗？下表是2023年3月的月历． · · (1)它的横行、竖列上相邻的两数之间有什么关系？ · (2)如果告诉你一竖列上连续三个数的和为72，你能知道是哪几天吗？ · 【答案】(1)横行上相邻的两个数之差为1，竖列上相邻的两数之差为7 · (2)这三天分别是17号、24号、31号 · 【分析】本题考查数字类规律探究，一元一次方程的应用： · （1）直接观察，即可得出结果； · （2）设一竖列上连续三个数的中间的一个数为x，根据题意，列出方程进行求解即可． · 【详解】（1）解：由图可知：月历中，横行上相邻的两个数之差为1，竖列上相邻的两数之差为7． · （2）设一竖列上连续三个数的中间的一个数为x，则上面的一个数为，下面的一个数为． · 依题意得，， · 解得： · 所以； · 答：这三天分别是17号、24号、31号． · 47．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）如图为2024年1月的日历，其中有一个“”形框，希望我们在新的一年“”（开心学习，热爱生活）．“”形框内包含7个数． ·    · (1)将“”形框上下左右平移，但一定要框住2024年1月的日历中的7个数，若设“”形框内的7个数中，从小到大排列第个数为，用含的式子表示 形框内的个数字的和为________； · (2)将“”形框上下左右平移，设“”形框内的个数字之和为．请求出此时“”形框中的7个数中最小的数； · (3)若某两次在不同位置框住的数之和分别为，（），且，直接写出的最大值． · 【答案】(1) · (2)8 · (3)70 · 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，整式的加法计算，有理数的加法计算，正确理解题意列出式子和方程是解题的关键． · （1）分别表示出其余6个数，然后根据整式的加法计算法则求解即可； · （2）设“H”形框框住的7个数中，从小到大排第4个数为a，由（1）的结论列方程求解可得到答案； · （3）设7数之和为m时，从小到大排第4个数为，设7数之和为n时，从小到大排第4个数为，根据题意得到，再由可知当有最大值时，则有最大值，则只需要满足最大，最小时即可，据此求解即可． · 【详解】（1）解：由题意得，其他6个数分别为， · ∴这7个数的和为． · 故答案为：； · （2）设“H”形框框住的7个数中，从小到大排第4个数为a， · 由题意得，， · 解得， · ∴， · ∴最小的数是8； · （3）设7数之和为m时，从小到大排第4个数为，设7数之和为n时，从小到大排第4个数为， · ∵， · ∴， · ∴， · ∵， · ∴当有最大值时，则有最大值， · ∴只需要满足最大，最小时即可， · ∵，即， · ∴当最大时，最小， · 由日历表可知， · 当取23，取7时，由日历表可知不符合题意； · 当取20，取10，由日历表可知符合题意， · ∴的最大值为． · 48．（23-24七年级上·宁夏固原·期末）如图是2023年12月份的日历，用一个正方形任意圈住4个数（如图），仔细观察这4个数，不改变正方形的大小，任意移动方框的位置，找出规律． · · (1)若把第一行第一列的那个数表示为a，其余各数分别用含a的代数式表示，请把表格补充完整． a · · (2)求这四个数的和（用含a的代数式表示，要求合并同类项化简）． · (3)小明妈妈的生日快到了，小明想送妈妈一个生日礼物，可是却不知道妈妈的生日是几号，于是就问妈妈，可妈妈说我的生日那天在本月日历上横竖列相邻的四个数字的和68的四个数字里面，并且这四个数中最大的数字那天就是我的生日．请你帮助小明确定妈妈的生日． · 【答案】(1)见解析 · (2) · (3)小明妈妈的生日是12月21日 · 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力． · （1）利用已知数字分布规律进而得出答案； · （2）表示出各数进而得出关系式； · （3）利用（2）中所求进而得出的值，求出答案． · 【详解】（1）解： · 故答案为：，； · （2）解：由题意可得：； · （3）解：由题意可得：， · 解得：， · ， · 答：小明妈妈的生日是12月21日． · 类型十三、一元一次方程的应用：古数学问题 · 49．（22-23七年级上·辽宁抚顺·期末）我国古代名著《增删算法统宗》中有一题：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴的玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．”请用列方程的方法求出这个问题中的牧童人数． · 【答案】牧童人数为人 · 【分析】本题考查了一元一次方程的应用—古代问题：设竹有x竿，根据每人6竿，多14竿，可知有人，根据每人8竿，恰好用完可知有人，再根据人数固定即可列出方程． · 【详解】解：依题意，设竹有x竿， · · 解得 · 则（人） · ∴牧童人数为人． · 50．（23-24七年级上·江西南昌·期末）自西汉张骞出使西域以来，丝绸之路作为中国和国外进行商贸往来和文化交流的商道，繁荣发展了十几个世纪．中国古代数学也经由丝绸之路进行传播，其中刘徽所著《九章算术》中“盈不足术”有一题，原文如下：“今有羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出5元，还差45元；每人出7元，则还差3元，求人数和羊价各是多少？ · 【答案】一共有21人，羊价为150元 · 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设一共有x人，根据每人出5元，还差45元可知羊价为元，根据每人出7元，则还差3元可知羊价为元，据此列出方程求解即可． · 【详解】解：设一共有x人， · 由题意得，， · 解得， · ∴， · 答：一共有21人，羊价为150元． · 51．（21-22七年级上·安徽合肥·期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？ · 译文：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？ · 请解答上述问题． · 【答案】木长6.5尺 · 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设木长x尺，则绳子长为尺，再由将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺列出方程求解即可． · 【详解】解：设木长为x尺，根据题意得：， · 解得， · 答：木长6.5尺． · 52．（23-24七年级上·福建南平·期末）我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客空一房．”诗的后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间房住9人，那么就空出一间房． · (1)列方程解答下面问题：该店有客房多少间？到了多少房客？ · (2)假设李三公将客房进行改造后，房间数大大增加，每间房收25钱，且每间房最多入住4人，一次性订房少于10间，不予优惠；不低于10间但低于20间，给予九折优惠；等于20间或是超过20间的，给予七折优惠．若诗中的“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？说明理由． · 【答案】(1)该店有客房8间，房客63人 · (2)选择一次性订房20间更合算；理由见解析 · 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数乘法的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． · （1）设该店有客房x间；根据题意得出方程，解方程即可； · （2）根据题意计算：若每间客房住4人，则63名客人至少需客房16间，求出所需付费；若一次性定客房20间，求出所需付费，进行比较，即可得出结论． · 【详解】（1）解：设该店有客房x间， · 由题意得，， · 解得：， · （人）， · 答：该店有客房8间，房客63人． · （2）解：若每间客房住4人，则63名房客至少需要16间房，至少需要付： · （元）， · 若一次性订客房20间以上（含20间），则至少需要付： · （元）， · ∵， · ∴诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订房20间更合算． · 类型十四、一元一次方程的应用：数轴上的动点问题 · 53．（22-23七年级上·重庆九龙坡·期末）如图所示，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，且a，b满足等式我们把数轴上两点之间的距离，用表示两点的大写字母一起标记．比如点A与点B之间的距离记作． · · (1)_______，______； · (2)若数轴上有一个动点P满足条件．求点P表示的数； · (3)甲、乙两动点在B点分别以2个单位/秒、1个单位/秒的速度同时向左运动，此时动点丙在A点也以3个单位/秒的速度向右运动．假设它们共同出发的时间为t秒，是否存在t，使得丙到乙的距离是丙到甲的距离？若存在，求出t值；若不存在，说明理由． · 【答案】(1) · (2)P点表示的数为或 · (3)或 · 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，数轴以及绝对值的知识点，动点在数轴上运动，在已知运动的方向和速度之后，就可以利用原来所在的数如果向右移动就加上向右移动的距离，如果向左移动，就减去向左移动的距离为解题关键，利用方程思想列式求解即可． · （1）根据非负性可求出答案； · （2）分三种情况：当点P在点的左侧；当点P在点之间时；当点P在点的右侧时；进行讨论可求P点表示的数； · （3）用的代数式表示丙到乙的距离，丙到甲的距离，列出等式可求解； · 【详解】（1）解：∵， · ∴， · ∴， · （2）解：由（1）可得， · 当点P在点的左侧， · ∵， · ∴， · ∴， · ∴点P点表示的数为； · 当点P在点之间时， · ∵， · ∴， · ∴不存在点P，使； · 当点P在点的右侧时， · ∵， · ∴， · ∴， · ∴点P点表示的数为； · 综上所述，P点表示的数为或； · （3）解：根据题意可得： · 运动秒，甲、乙、丙所在的点表示的数分别为：， · 则丙到乙的距离是， · 丙到甲的距离是， · 则， · 解得：或． · 54．（23-24七年级上·广东深圳·期末）（1）爱思考的小明将一个玩具火车放置在数轴上，如图1，他发现将火车在数轴上水平移动，则当A点移动到B点时，B点所对应的数为24；当B点移动到A点时，A点所对应的数为6（单位：单位长度）．由此可得点A处的数字是 ，玩具火车的长为 个单位长度．（直接写答案） · （2）如果火车正前方8个单位处有一个“隧道”，火车从（1）的起始位置出发到完全驶离“隧道”恰好用了t秒，已知火车过“隧道”的速度为个单位/秒，则可知“隧道”的长为 个单位．（自己在稿纸上画图分析，用含t的代数式表示即可） · （3）他惊喜的发现，“数轴”是学习数学的重要的工具，于是他继续深入探究：如图2，（1）条件下的数轴上放置与大小相同的玩具火车，使原点O与点C重合，两列玩具火车分别从点O和点A同时在数轴上同时移动，已知火车速度5个单位/秒，火车速度为2个单位/秒（两火车均向右运动），几秒后两火车的A处与C处相距2个单位？ · · 【答案】（1）12，6；（2）；（3）或秒 · 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，用数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离． · （1）根据题意，画出图形，求出三个玩具火车的长为，即可解答； · （2）根据题意可得：，，设的长为m，根据题意得出，即可解答； · （3）根据题意得出点C移动后对应的点为，点A所对应的点为，然后进行分类讨论，列出方程求解即可． · 【详解】解：（1）根据题意画出图形，由数轴观察知三个玩具火车的长为， · 则一个玩具火车长为． · ∴点A处的数字是，， · 故答案为：12，6； · · （2）根据题意可得：，， · 设的长为m， · ∴， · 整理得：． · 故答案为：； · · （3）∵原点O与点C重合，点A表示的数为12， · ∴点C移动后对应的点为，点A所对应的点为， · 由题意可知，或， · 解得：或， · ∴或秒后两火车的A处与C处相距2个单位． · 类型十五、一元一次方程的应用：数轴上的距离定值问题 · 55．（23-24七年级上·重庆永川·期末）点在数轴上对应的数为，点对应的数为，且、满足， · · (1)求线段的长； · (2)如图1，点在数轴上对应的数为，且是方程的根，在数轴上是否存在点使？若存在，求出点对应的数；若不存在，说明理由； · (3)如图2，若点是点右侧一点，的中点为，为的三等分点且靠近于点，当点在点的右侧运动时，有下列两个结论： · ①的值不变； · ②的值不变． · 其中只有一个结论是正确的．请判断正确的结论，并求出其值． · 【答案】(1)5； · (2)存在，点对应的数为和； · (3)①的结论正确，． · 【分析】本题考查了一元一次方程的运用，分段函数的运用，数轴的运用，数轴上任意两点间的距离公式的运用，去绝对值的运用，解答时了灵活运用两点间的距离公式求解是关键． · （1）利用非负数的原则求出的值即可求解； · （2）求出已知方程的解，求出，得出，再得出，分三种情况讨论； · （3）先求出，，即可求解． · 【详解】（1）解：∵， · ∴，，     · ∴，．                                     · ∴． · （2）解：解方程得， · ∴， · ∴， · 设存在点满足条件，且点在数轴上对应的数为， · ①当点在点的左侧时， · ，． · 所以． · 解得，满足条件；                         · ②当点在线段上时，， · ，， · 所以，不满足条件；             · ③当点在点的右侧时，， · ，， · 所以． · 解得，满足条件．                                 · 所以，存在满足条件的点，对应的数为和． · （3）解：设点在数轴上对应的数为，则． · ，， · ∴，为定值；         · ，不为定值；     · 所以的值不变． · 56．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）数轴是数学中的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美的结合，如：数轴上点表示的数为，点表示的数为，则两点之间的距离为．如图所示，点为数轴上的三个点，表示的数分别为，满足，且为的倒数．动点，分别从点出发，分别以每秒1个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，三个动点同时出发，设运动的时间为秒（），请回答下列问题： · · (1)直接写出的值：______，______，______； · (2)当时，求的值； · (3)在运动过程中，的值是否发生变化？若发生变化，请用含的式子表示；若不发生变化，请求出的值． · 【答案】(1)，， · (2)或 · (3)不会发生变化， · 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． · （1）根据倒数的定义和非负数的性质可得答案； · （2）根据M、N的运动方向和运动速度得出，点M表示的数是，点N表示的数是，然后分相遇前和相遇后两种情况列出方程，解方程可得答案； · （3）分别用含t的式子表示出与，再计算即可． · 【详解】（1）解：∵为的倒数， · ∴， · ∵， · ∴， · ∴， · 故答案为：，，； · （2）运动t秒后，点M表示的数是，点N表示的数是， · 分两种情况： · 在点M与点N相遇之前时， · ， · 解得； · ②在点M与点N相遇之后时， · ， · 解得； · 所以，当或时，． · （3）不会发生变化，理由如下： · t秒后，点P表示的数是， · ∴， · ∴， · 故的值不会发生变化，是9． · 类型十六、一元一次方程的应用：钟表问题 · 57．（23-24七年级上·广东深圳·期末）知识的迁移与应用 · 问题一：甲、乙两车分别从相距的 A、B两地出发，甲车速度为，乙车速度为，两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后）， 后两车相距？ · 问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，表示时针，表示分针（O为两针的旋转中心）．下午4点时，与的夹角． · （1）分针每分钟转过的角度为 ，时针每分钟转过的角度为 ； · （2）时，时针与分针所成的角度 ； · （3）在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过多少分钟，时针与分针成角？ ·    · 【答案】问题一：或；问题二：（1），；（2）；（3）或分钟 · 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，钟面角． · 问题一：设后两车相距，分两种情况进行讨论：相遇前两车相距，相遇后两车相距； · 问题二：（1）根据钟面角即可解答； · （2）分别求出时，分针转动角度和时针转动角度，即可解答； · （3）设在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过x分钟，时针与分针成角，进行分类讨论：①当分针在时针上方时，②当分针在时针下方时，分别列出方程求解即可． · 【详解】解：问题一：设后两车相距， · 若相遇前，则， · 解得， · 若相遇后，则， · 解得． · ∴两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后），或后两车相距； · 故答案为：或； · 问题二：（1）分针每分钟转过的角度为， · 时针每分钟转过的角度为， · 故答案为：，； · （2）时，分针转动角度为， · ∵钟面一共有12个大格， · ∴每转动一个大格，时针转动角度为． · ∴时，时针转动角度为， · ∴故时，时针与分针所成的角度； · 故答案为：； · （3）设在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过x分钟，时针与分针成角． · ①当分针在时针上方时， · 由题意得：， · 解得：； · ②当分针在时针下方时， · 由题意得：， · 解得：． · 答：在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过或分钟，时针与分针成 角． · 58．（24-25七年级上·全国·期末）刚上初中的小明为了更加高效的完成作业，进行限时训练，特意去商店买了一块机械手表，爱钻研的小明发现了手表上的数学问题，当小明看时间是时， · · (1)时分针和时针的夹角为多少度？ · (2)经过多长时间，时针与分针第一次相遇？ · 【答案】(1)时分针和时针的夹角为75度； · (2)经过分钟，时针与分针第一次相遇． · 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． · （1）根据手表上的数字之间的角度和时针运动的速度求解； · （2）根据“分钟与时针的角度差为75”列方程求解． · 【详解】（1）解：时针每分钟转， · 时分针和时针的夹角为：， · （2）解：设经过分钟，时针与分针第一次相遇， · 则：， · 解得：， · 答：经过分钟，时针与分针第一次相遇． · 类型十七、一元一次方程的应用：流程框图问题 · 59．（24-25七年级上·辽宁·期末）如图是一个“有理数转换器”（箭头是表示输入的数进入转换器路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）． · · (1)你认为这个“有理数转换器”不可能输出 数． · (2)当小羽输入6时，输出的结果是 ；当小羽输入时，输出的结果是 ；当小羽输入2021时，输出的结果是 ． · (3)你认为当输入 时，其输出结果是0． · (4)有一次，小羽在操作的时候，输入有理数，输出的结果是2，且知道，你判断一下，小羽可能输入的是什么数？请把它们都写出来，并说明理由． · 【答案】(1)负 · (2)1；； · (3)0或为正整数） · (4)小羽可能输入的是或或2或9或13.5或16或，理由见解析 · 【分析】（1）逆向观察转换器，从输出结果倒推求解； · （2）将三个数分别代入转化器中进行计算； · （3）结合绝对值和倒数的意义，从转化器倒推分析求解； · （4）设输入的数为n，分7种情况分析讨论，然后结合转换器中的运算程序计算求解． · 【详解】（1）解：观察转化器可得：当取到相反数环节后，为正数时取倒数输出，非正数时取绝对值输出， · 输出的结果一定是非负数， · 即这个“有理数转换器”不可能输出负数． · 故答案为：负； · （2）解：当输入6时，， · ，， · 的相反数为1，， · 1的倒数为1， · 输出的结果为1； · 当输入时，， · 的相反数为，， · 的倒数为， · 输出的结果为； · 当输入2021时，， · ，， · 的相反数为2，， · 2的倒数为， · 输出的结果为． · 故答案为：1；；； · （3）解：没有倒数，0的相反数是0，0的绝对值是0， · 当输入的数小于等于4时，输入0时，输出的结果为0， · 当输入的数大于4时，输入7的倍数时，输出结果为0， · 综上，当输入0或为正整数）时，输出结果为0． · 故答案为：0或为正整数）； · （4）解：①当时，， · 则的相反数为，且， · 由于输出结果为2， · ，即； · ②当时，其相反数为，且， · 由于输出结果为2， · ，即； · ③当时，其相反数为，且， · 的绝对值为， · 由于输出的结果为2， · 此时； · ④当时，，且， · 的相反数为，且， · 输出结果为2， · ，即； · ⑤当时，，且， · 的相反数为，且， · 输出结果为2， · ，即； · ⑥当时，，且， · 的相反数为，且， · 输出结果为2， · ，即； · ⑦当时，，且， · 的相反数为，且， · 输出结果为2， · ，即， · 综上，小羽可能输入的是或或2或9或13.5或16或． · 【点睛】本题考查的是倒数、绝对值及相反数的概念，有理数混合运算，一元一次方程的应用等知识．解答此题的关键是弄清图表中所给的程序，在解（4）时要注意分类讨论． · 60．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）如图，按图中的程序进行计算． · · (1)当输入的时，输出的数为______；当输入的时，输出的数为______； · (2)若输出的数为时，求输入的整数x的值． · 【答案】(1)； · (2)或1 · 【分析】本题考查程序流程图与有理数的计算，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握有理数的运算法则和一元一次方程的步骤． · （1）根据图中的程进行列式计算，即可求解； · （2）当输出的数为时，分两种情况进行讨论． · 【详解】（1）当输入的时，； · 当输入的时， · ∴； · （2）当输出的数为时，分两种情况： · 第一种情况：，解得：； · 第二种情况：当第一次计算结果为时，再循环一次输入的结果为， · 则，解得：， · 综上所述，输出的数为时，输入的整数x的值为：或1． · 类型十八、一元一次方程的应用：图形信息问题 · 61．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一副对联，对联的长为，宽为．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．（书法作品内容出自王维的诗作《送别》） · · 【答案】边的宽为，天头长为 · 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设天头长为，则地头长为，边的宽为，再分别表示础装裱后的长和宽，根据装裱后的长是装裱后的宽的4倍列方程求解即可．题中的数量关系较为复杂，需要合理设未知数，找准数量关系是解决问题的关键． · 【详解】解：设天头长为， · 由题意天头长与地头长的比是，可知地头长为， · 边的宽为， · 装裱后的长为， · 装裱后的宽为， · 由题意可得： · 解得， · ∴， · 答：边的宽为，天头长为． · 62．（23-24七年级上·福建莆田·期末）我们都知道《乌鸦喝水》的故事，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，喝到了水．根据图中给出的信息，解答下列问题： · （温馨提示：仔细看图，玻璃桶高，桶内液面原来高度为） · · (1)放入一个小球水面升高__________，放入一个大球水面升高__________； · (2)如果放入大球、小球共10个，且使水面恰好上升到61厘米，应放入大球、小球各多少个？ · 【答案】(1)放入一个小球水面升高，放入一个大球水面升高； · (2)应放入大球5个，小球5个． · 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． · （1）设一个小球使水面升高x厘米，一个大球使水面升高y厘米，根据图象提供的数据建立方程求解即可． · （2）设应放入大球m个，则小球个，根据题意列一元一次方程求解即可． · 【详解】（1）解：设一个小球使水面升高x厘米，由图意，得， · 解得：． · 设一个大球使水面升高y厘米，由图意，得， · 解得：． · 所以，放入一个小球水面升高，放入一个大球水面升高； · （2）解：设应放入大球m个，则小球个，由题意，得 · ， · 解得：． · 答：应放入大球5个，小球5个 · 类型十九、一元一次方程的应用：规律探究问题 · 63．（23-24七年级上·山东青岛·期末）如图是由边长相同的灰、白方块拼成的图形． · · (1)第n个图形灰色方块共有__________个，白色方块共有__________个； · (2)第100个图形白色方块共有__________个； · (3)第个图形白色方块的总数与第个图形灰色方块总数相比，哪种颜色的总数多，多多少个？（用含n的式子表示） · (4)是否存在某个图形，灰色和白色方块的总和为2025个？如果存在，求出是第几个图形，如果不存在，请说明理由． · 【答案】(1)， · (2)301 · (3)第个图形中的灰色方块多，多个 · (4)存在，是第253个图形 · 【分析】本题考查图形变化的规律，代数式求值，一元一次方程的应用，能根据所给图形发现灰色和白色方块个数变化的规律是解题的关键． · （1）依次求出每个图形中灰色方块和白色方块的个数，发现规律即可解决问题； · （2）由（1）的发现，即可解决问题； · （3）由（1）的发现，即可解决问题； · （4）根据题意，列出方程即可解决问题． · 【详解】（1）解：由所给图形可知， · 第1个图形中，灰色方块的个数为：，白色方块的个数为：， · 第2个图形中，灰色方块的个数为：，白色方块的个数为：， · 第3个图形中，灰色方块的个数为：，白色方块的个数为：， · · 所以第n个图形中，灰色方块的个数为个，白色方块的个数为个， · 故答案为： ，； · （2）又（1）可知， · 当时， · ， · 故答案为：； · （3）由（1）可知， · 第个图形中的灰色方块有个， · 第个图形中的白色方块有 个，． · （4）存在某个图形，灰色和白色方块的总和为2025个， · 假设第n个图形中，灰色和白色方块的总和为2025个， · 则，即， · 解得：， · 所以第253个图形中，灰色和白色方块的总和为2025个． · 64．（23-24七年级上·河南周口·期末）用边长为的灰、白两种颜色的正方形瓷砖按如图所示的方式铺下去，要求铺成宽为 的小路． · · (1)铺第5个图形用灰色正方形瓷砖______块，用白色正方形瓷砖______块； · (2)按照此方式铺下去，铺第n个图形用灰色正方形瓷砖______块，用白色正方形瓷砖_____块（用含n的式子表示）； · (3)若灰色正方形瓷砖每块价格20元，白色正方形瓷砖每块价格25元，按照此方式恰好铺满长的小路，求铺满该段小路所需瓷砖的总费用． · 【答案】(1)21，12 · (2)， · (3)该段小路所需瓷砖的总费用为2670元 · 【分析】本题考查了列代数式表示图形的规律型问题、整式的化简求值、一元一次方程的应用等知识点，观察图形，正确归纳类推出一般规律是解题关键． · （1）根据第1、2、3个图形归纳类推出一般规律，由此即可得； · （2）由（1）已求得； · （3）先根据铺满米长的小路所用的灰、白两种颜色的正方形瓷砖的面积之和等于长方形小路的面积求出n的值，再根据价格列出总费用的代数式，然后将n的值代入即可得． · 【详解】（1）解：第1个图形用白色正方形瓷砖的块数为， · 第2个图形用白色正方形瓷砖的块数为， · 第3个图形用白色正方形瓷砖的块数为， · 归纳类推得：第n个图形用白色正方形瓷砖的块数为，其中n为正整数； · 第1个图形用灰色正方形瓷砖的块数为， · 第2个图形用灰色正方形瓷砖的块数为， · 第3个图形用灰色正方形瓷砖的块数为， · 归纳类推得：第n个图形用灰色正方形瓷砖的块数为，其中n为正整数； · 则铺第5个图形用白色正方形瓷砖的块数为，灰色正方形瓷砖的块数为； · （2）解：由（1）已知：铺第个图形用白色正方形瓷砖块，用灰色正方形瓷砖块， · 故答案为：，； · （3）解：由题意得：， · 解得， · 铺满该段小路所需瓷砖的总费用为， · 则当时，（元）， · 答：铺满该段小路所需瓷砖的总费用为2670元． · 类型二十、一元一次方程的应用：新定义问题 · 65．（23-24七年级上·北京·期末）对于数轴上的点，线段，给出如下定义：为线段上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为点，线段的“近距”，记作（点，线段；如果，两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点，线段的“远距”，记作（点，线段）．特别的，若点与点重合，则，两点间距离为0．已知点表示的数为，点表示的数为3．例如，若点表示的数为5，则（点，线段），（点，线段）． · · (1)若点表示的数为，则（点，线段）______，点D，线段______； · (2)若点表示数为，点表示数为．（点，线段）是（点，线段）的4倍，求的值． · 【答案】(1)1，6 · (2)或5 · 【分析】本题考查了新定义，数轴，一元一次方程的应用，理解题目已知给出的定义是解题的关键． · （1）根据已知给出的定义，进行计算即可解答； · （2）分两种情况，点在点的左侧，点在点的右侧． · 【详解】（1）解： 点表示的数为， · 点，线段， · 点，线段， · 故答案为：1，6； · （2）解：分两种情况： · 当点在点的左侧， · 点，线段， · 点，线段， · 点，线段是点，线段的4倍， · ， · 解得：， · 当点在点的右侧， · 点，线段， · 点，线段， · 点，线段是点，线段的4倍， · ， · 解得：， · 综上所述：的值为：或5． · 66．（23-24七年级上·山东济宁·期末）数学迷聪聪最近读到这样一个问题：将三个已经排好顺序数： ，称为数列． 计算 将这三个数的最小值称为数列 的谷值． 聪聪进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以计算其相应的谷值，如数列-1，2，3的谷值为 数列 3，-1，2的谷值为1；…经过研究，聪聪发现，对于“2，，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，谷值的最小值为 ，根据以上材料，回答下列问题： · (1)数列 2 的谷值为 ； · (2)若数列 的谷值比数列 1， ，2 的谷值大，求的值； · (3)将这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，若这些数列的谷值的最小值为1，请直接写出的值为 · 【答案】(1)2 · (2) · (3)1或或． · 【分析】本题考查新定义，绝对值，解一元一次方程，绝对值方程，理解新定义是解题的关键． · （1）直接根据新定义求解即可； · （2）先根据新定义求出两数列绝对值，再根据数列 的谷值比数列 1， ，2 的谷值大，列方程求解即可； · （3）数列为m，3，3或3，m，3或3，3，m，根据这些数列的谷值的最小值为1，列绝对值方程求解即可． · 【详解】（1）解：∵，，， · 又∵， · ∴数列 2 的谷值为2； · 故答案为：2； · （2）解：∵，，， · ∴数列的谷值为1， · ∵，，， · ∵数列 的谷值比数列 1， ，2 的谷值大， · ∴数列1， ，2的谷值为， · ∴ · 解得：； · （3）解：若数列为m，3，3时， ，，， · 若数列为3，m，3时，，，， · 若数列为3，3，m时，，，， · ∵这些数列的谷值的最小值为1， · ∴或或 · 解得：或或， · 当时，数列为，3，3的谷值为0，故不符合题意去， · ∴的值为1或或． · 故答案为：1或−1或−9． · 类型二十一、一元一次方程的应用：封闭（半封闭）上的运动问题 · 67．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）将一条数轴在原点和点处各折一下，得到如图所示的一条“型数轴”．图中点表示，点表示8，点表示16，我们称点和点在数轴上相距26个单位长度．动点从点出发，以2个单位长度每秒的速度沿着“型数轴”向点方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以1个单位长度每秒的速度沿着“型数轴”向点方向运动，从点到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒． · · (1)动点从点运动到点需要多少时间？ · (2)、两点相遇时，求相遇时间是多少？ · (3)求当为何值时，、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等． · 【答案】(1)； · (2)； · (3)，，11，14． · 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程．本题难度适中，是中考常考题型，要求学生牢固掌握． · （1）根据时间，分段求出每段折线上的时间再求和即可； · （2）先判断点P与点Q在线段OB上相遇，再根据等量关系建立一元一次方程求解即可； · （3）根据、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等可以判断时间相等，分别讨论并建立一元一次方程，求解即可． · 【详解】（1）动点从点运动到点需要：； · （2）由题意可得点Q运动到点B需要8秒，此时点行走的路为：，即此时点P在线段OB上， · 所以点P与点Q在线段OB上相遇， · 由题意可得方程：， · 解得：， · 所以、两点经过秒相遇； · （3）①在上，在上， · ， · ②在上，在上， · ， · ③在上，在上， · ， · ④在上，在上， · ，无解 · ⑤在上，在上， · ， · 综上，，，11，14 · 68．（22-23七年级上·浙江台州·期末）如图1，已知正方形的边长为个单位，两点分别从顶点，同时出发，以个单位秒的速度沿正方形的边按的方向运动，以个单位秒的速度沿正方形的边按的方向运动，运动时闻为秒． · · (1)点的运动路程为______个单位，点的运动路程为_____个单位；（用含的式子表示） · (2)当______秒时，与第一次相遇；当______时，与第二次相遇； · (3)①当与第一次都在边AD上，若是QD的中点，求运动时间； · ②当第二次成为QD的中点时，求的值，并指出此时点与点相遇了多少次? · 【答案】(1)， · (2)， · (3)①运动时间为秒；②当第二次成为DQ的中点时，，此时点与点相遇了1次 · 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用； · （1）根据路程速度时间，列出代数式，即可求解； · （2）根据第一次相遇点比点多走个单位，即，当第二次相遇时，点比点多走个单位，即，解方程，即可求解； · （3）①根据题意得出，根据是QD的中点，建立方程，解方程，即可求解； · ②依题意得出在上，则，根据是QD的中点，建立方程，解方程，即可求解． · 【详解】（1）解：依题意，点的运动路程为个单位，点的运动路程为个单位 · 故答案为：，． · （2）解：∵点的速度大于点的速度， · 则第一次相遇点比点多走个单位，即， · 解得：， · 当第二次相遇时，点比点多走个单位，即， · 解得：， · 故答案为：，． · （3）解：①当与第一次都在边AD上，由（2）可得，第二次相遇前， 是QD的中点，则都已走完一圈， · ∴ · ∵是QD的中点 · ∴ · 解得：； · ②由（2）可得第二次相遇时间为，，则点在上， · ∵点的速度大于点的速度， · ∴第二次相遇前，第二次成为QD的中点，则在上， · 则 · ∵是QD的中点 · ∴， · 解得： · ∵ · ∴ · ∴在第一次相遇后每秒，相遇一次， · ∵ · ∴此时点与点相遇了1次 · 类型二十二、一元一次方程的应用：项目任务设计问题 · 69．（23-24七年级上·浙江丽水·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计牛奶盒子？ 素材1 如图1所示是长为，宽为的长方形包装纸，现要自制牛奶盒子． （1）上下各留宽度相同的一个长方形，中间剩余部分用于制作牛奶盒身； （2）牛奶盒身的宽与上下两个长方形的宽度和之比为3：1． 素材2 如图2，将牛奶盒身分成四块长方形，其中①③长方形大小相同，②④长方形大小也相同，且②号长方形的宽比①号多． 素材3 如图3，在②号长方形上设计四个大小一样、长宽之比为的长方形框，且长方形框的上下、左右间距都一样． 问题解决 任务1 分析数量关系 求图1中牛奶盒身的宽(规定：较长的边为长，较短的边为宽)． 任务2 确定盒子容积 把图1中的包装纸折成图2中的牛奶盒子，求牛奶盒子的容积． 任务3 确定间距大小 求出图3中②号长方形上设计的长方形框之间的间距． · · 【答案】任务一：；任务二：；任务三 · 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程解决问题． · 任务，设上下两个长方形的宽度和为，根据牛奶盒身的宽与上下两个长方形的宽度和之比为3：1，可求得牛奶盒身的宽为，由此即可列方程求解； · 任务，设①号长方形的宽为；②号长方形的宽为，四个长方形的宽的和为列方程即可求得答案； · 任务，设长方形框长为，宽为，长方形框的上下、左右间距都一样列方程求解即可． · 【详解】解：任务1， · 根据题意，设上下两个长方形的宽度和为，根据牛奶盒身的宽与上下两个长方形的宽度和之比为3：1，可求得牛奶盒身的宽为， · ， · 解得， · ， · 答：牛奶盒身的宽是． · 任务2，设①号长方形的宽为xcm；②号长方形的宽为，依题意得： · ， · 解得， · ∴②号长方形的宽为， · ∴牛奶盒子的容积是， · 答：牛奶盒子的容积是， · 任务三：设长方形框长为，宽为， · · 解得：， · ， · 答：长方形框之间的间距为． · 70．（23-24七年级上·浙江舟山·期末）根据以下素材，探索未完成任务． 水费、用水量是多少？ 素材1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，我市2023年采用“阶梯收费”． 素材2 第一阶梯（用水量≤14吨）：水费为元／吨，其中自来水为元／吨，污水处理费为元／吨． 第二阶梯（14吨＜用水量吨）：水费为元／吨，其中自来水为元／吨，污水处理费为元／吨． 第三阶梯（用水量＞21吨）：水费为11元／吨，其中自来水为元／吨，污水处理费为元／吨． 素材3 如某用户2023年2月份用水15吨，则各种费用如下： 自来水费 （元） 污水处理费 （元） 水费 （元） 问题解决 任务1 确定污水处理费 已知某用户2023年12月份所缴水费中，自来水费为元，求该用户12月份需缴污水处理费多少元？ 任务2 确定水费 某用户2023年11月用水吨，则应缴水费多少元？ 任务3 确定用水量 如果该用户2023年5、6月份共用水42吨（6月份用水量超过5月份用水量），共缴水费元，则该用户5、6月份各用水多少吨？ · · 【答案】（1）设该用户12月份需缴污水处理费为元；（2）答案见解析；（3）该户居民5，6月份各用水20吨和22吨 · 【分析】本题考查的是列代数式，一元一次方程的应用，理解题意，确定相等关系建立方程求解是关键； · （1）先判断12月份用水量超过14吨不超过21吨，设该用户12月份的用水量为吨，再建立方程求解即可； · （2）根据分段收费的分式分三种情况分别列代数式即可； · （3）由6月份用水量超过5月份用水量，设该用户5月份的用水量为吨，6月份的用水量为吨，再分两种情况分别列方程求解即可． · 【详解】解：（1）∵， · ∴12月份用水量超过14吨不超过21吨， · 设该用户12月份的用水量为吨， · ， · 解答， · （元）， · 答：设该用户12月份的污水处理费为元； · （2）当时，应缴水费为元； · 当时，应缴水费为元； · 当时，应缴水费为元； · （3）设该用户5月份的用水量为吨，6月份的用水量为吨， · 当时，， · 解答（不合题意，舍去）， · 时，， · 解得：， · ∴， · 答：该户居民5，6月份各用水20吨和22吨． · · · ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$