5.4一元一次方程的解法大题专练（常考16大类型提分练）-【大单元教学】2024-2025学年七年级数学上册同步备课系列（人教版2024）

5.4一元一次方程的解法大题专练（常考16大类型提分练） 目录 类型一、合并同类型解一元一次方程 2 类型二、移项解一元一次方程 5 类型三、解含括号的一元一次方程 12 类型四、解含分母的一元一次方程 18 类型五、解分母含小数的一元一次方程 26 类型六、解含绝对值的一元一次方程 28 类型七、解一元一次方程的过程出错的问题 30 类型八、解一元一次方程漏乘或看错数问题 32 类型九、一元一次方程的同解问题 36 类型十、一元一次方程求代数式相等的 38 类型十一、一元一次方程的不同解法 41 类型十二、解含字母的一元一次方程 42 类型十三、含参数的一元一次方程的解的讨论问题 44 类型十四、关于方程的解的规律问题 46 类型十五、一元一次方程的新定义求解问题 47 类型十六、一元一次方程与新定义方程问题 49 类型一、合并同类型解一元一次方程 1．解下列方程： （1）5x﹣2x＝9； （2）7； （3）﹣3x+0.5x＝10； （4）7x﹣4.5x＝2.5×3﹣5． 【分析】（1）（2）（3）先合并同类项，把x的系数化为1即可； （4）先算乘法，再合并同类项，把x的系数化为1即可． 【详解】解：（1）合并同类项得，3x＝9， 把x的系数化为1得，x＝3； （2）合并同类项得，2x＝7， 把x的系数化为1得，x； （3）合并同类项得，﹣2.5x＝10， 把x的系数化为1得，x＝﹣4； （4）原方程可化为：7x﹣4.5x＝7.5﹣5， 合并同类项得，2.5x＝2.5， 把x的系数化为1得，x＝1． 【点睛】本题考查的是解一元一次方程，熟知解一元一次方程的一般步骤是解答此题的关键． 2．解下列方程． （1）5x﹣2x＝9． （2）26m﹣1.5m﹣2.5m＝3． （3）﹣3x+0.5x＝10． （4）xx＝7． （5）2.5y+10y﹣6y＝15﹣21.5． （6）bb+b＝﹣6﹣1． 【答案】（1）x＝3；（2）m；（3）x＝﹣4；（4）x；（5）y＝﹣1；（6）b． 【分析】（1）（2）（3）（5）（6）方程合并同类项、系数化为1即可； （4）方程去分母，合并同类项，系数化为1即可． 【详解】解：（1）5x﹣2x＝9， 3x＝9， x＝3； （2）26m﹣1.5m﹣2.5m＝3， 22m＝3， m； （3）﹣3x+0.5x＝10， ﹣2.5x＝10， x＝﹣4； （4）， 2x+15x＝70， 17x＝70， x； （5）2.5y+10y﹣6y＝15﹣21.5， 6.5y＝﹣6.5， y＝﹣1； （6）， ， b． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 3．解下列方程： （1）﹣4x+5x＝2 （2）﹣3x﹣7x＝5 （3）x﹣7x+5x＝2﹣6 （4）2x+0.5x﹣4.5x＝2﹣6． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）、（2）、（3）、（4）先合并同类项，再把x的系数化为1即可． 【详解】解：（1）合并同类项得，x＝2； （2）合并同类项得，﹣10x＝5， x的系数化为1得，x； （3）合并同类项得，﹣x＝﹣4， x的系数化为1得，x＝4； （4）合并同类项得，﹣2x＝﹣4， x的系数化为1得，x＝2． 【点睛】本题考查的是解一元一次方程，熟知解一元一次方程的一般步骤是解答此题的关键． 4．解下列方程： （1）2x+3x+4x＝18； （2）13x﹣15x+x＝﹣3； （3）2.5y+10y﹣6y＝15﹣21.5； （4）bb6﹣1． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）（2）（3）先合并同类项，把x的系数化为1即可； （4）先去分母，再合并同类项，把x的系数化为1即可． 【详解】解：（1）合并同类项得，9x＝18， 把x的系数化为1得，x＝2； （2）合并同类项得，﹣x＝﹣3， 把x的系数化为1得，x＝3； （3）合并同类项得，6.5y＝﹣6.5， 把x的系数化为1得，y＝﹣1； （4）去分母得，3b﹣4b+6b＝24﹣6， 合并同类项得，5b＝18， 把x的系数化为1得，b． 【点睛】本题考查的是解一元一次方程，熟知解一元一次方程的一般步骤是解答此题的关键． 类型二、移项解一元一次方程 5．解下列方程． （1）6x﹣7＝4x﹣0.5． （2）x﹣3x﹣4． （3）x﹣5.5＝x+2.5． （4）3x﹣7x﹣1x+3． （5）x+1＝4x． （6）4x+2＝﹣x﹣6． 【答案】（1）x＝3.25；（2）x； （3）x；（4）x； （5）x；（6）x． 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）都是先移项，再合并同类项，最后求出x的值． 【详解】解：（1）移项，得6x﹣4x＝7﹣0.5， 合并，得2x＝6.5， 系数化为1，得x＝3.25． （2）移项，得xx＝3﹣4， 合并，得1.5x＝﹣1， 系数化为1，得x． （3）移项，得x﹣x＝5.5+2.5， 合并，得x＝8， 系数化为1，得x． （4）移项，得3x﹣7xx＝1+3， 合并，得x＝4， 系数化为1，得x． （5）移项，得xx＝4﹣1， 合并，得x＝3， 系数化为1，得x． （6）移项，得4x+x＝﹣2﹣6． 合并，得5x＝﹣8， 系数化为1，得x． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的一般步骤是解决本题的关键． 6．解下列方程． （1）3x﹣1＝2x+3． （2）5﹣2xx+2． （3）6﹣8x＝3x+3x． （4）x﹣3x+1． （5）4x＝5x﹣5． （6）6.72+1.2x﹣2x＝1.44． （7）﹣xx+1． （8）5x﹣6＝3x﹣4． （9）5﹣2x＝9﹣4x． 【答案】（1）x＝4；（2）x；（3）x；（4）x＝﹣8；（5）x＝5；（6）x＝6.6；（7）x；（8）x＝1；（9）x＝2． 【分析】把未知数移项到方程的左边，数字移项到方程的右边，合并同类项，系数化为1，即可得到方程的解． 【详解】解：（1）3x﹣1＝2x+3， 移项得：3x﹣2x＝3+1， 合并同类项得：x＝4； （2）5﹣2xx+2， 移项得：﹣2x﹣2.5x＝2﹣5， 合并同类项得：﹣4.5x＝﹣3， 系数化为1得：x； （3）6﹣8x＝3x+3x， 移项得：﹣8x﹣1.5x＝3﹣6， 合并同类项得：﹣9.5x＝﹣3， 系数化为1得：x； （4）x﹣3x+1， 移项得：x﹣1.5x＝1+3， 合并同类项得：﹣0.5x＝4， 系数化为1得：x＝﹣8； （5）4x＝5x﹣5， 移项得：4x﹣5x＝﹣5， 合并同类项得：﹣x＝﹣5， 系数化为1得：x＝5； （6）6.72+1.2x﹣2x＝1.44， 移项得：1.2x﹣2x＝1.44﹣6.72， 合并同类项得：﹣0.8x＝﹣5.28， 系数化为1得：x＝6.6； （7）﹣xx+1， 移项得：﹣x+0.4x＝1， 合并同类项得：﹣0.6x＝1， 系数化为1得：x； （8）5x﹣6＝3x﹣4， 移项得：5x﹣3x＝﹣4+6， 合并同类项得：2x＝2， 系数化为1得：x＝1； （9）5﹣2x＝9﹣4x， 移项得：﹣2x+4x＝9﹣5， 合并同类项得：2x＝4， 系数化为1得：x＝2． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，考核学生的计算能力，注意移项要变号． 7．解下列方程： （1）10x﹣3＝9； （2）5x﹣2＝7x+8； （3）xx+16； （4）1x＝3x． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）移项、合并同类项、系数化成1即可求解； （2）移项、合并同类项、系数化成1即可求解； （3）移项、合并同类项、系数化成1即可求解； （4）移项、合并同类项、系数化成1即可求解． 【详解】解：（1）移项，得10x＝9+3， 合并同类项，得10x＝12， 系数化成1得x； （2）移项，得5x﹣7x＝8+2， 合并同类项，得﹣2x＝10， 系数化成1得x＝﹣5； （3）移项，得xx＝16， 合并同类项，得x＝16， 系数化成1得x＝﹣32； （4）移项，得x﹣3x1， 合并同类项，得x， 系数化成1得x． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化． 8．解下列方程： （1）3x+4＝0； （2）7y+6＝﹣6y； （3）5x+2＝7x+8； （4）3y﹣2＝y+1+6y； （5）x﹣80.2x； （6）1x＝x． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先移项，再系数化成1即可； （2）移项，合并同类项，系数化成1； （3）移项，合并同类项，系数化成1； （4）移项，合并同类项，系数化成1； （5）移项，合并同类项，系数化成1； （6）移项，合并同类项，系数化成1． 【详解】解：（1）3x+4＝0， 3x＝﹣4， x； （2）7y+6＝﹣6y， 7y+6y＝﹣6， 13y＝﹣6， y； （3）5x+2＝7x+8， 5x﹣7x＝8﹣2， ﹣2x＝6， x＝﹣3； （4）3y﹣2＝y+1+6y， 3y﹣y﹣6y＝1+2， ﹣4y＝3， y； （5）x﹣80.2x， xx8， x， x； （6）1x＝x， x﹣x1， x， x． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键，注意：解一元一次方程的步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1． 类型三、解含括号的一元一次方程 9．解下列方程： （1）5（x﹣1）＝1； （2）2﹣（1﹣x）＝﹣2； （3）11x+1＝5（2x+1）； （4）4x﹣3（20﹣x）＝3； （5）5（x+8）﹣5＝0； （6）2（3﹣x）＝9； （7）﹣3（x+3）＝24； （8）﹣2（x﹣2）＝12． 【答案】（1）x＝1； （2）x＝﹣3； （3）x＝4； （4）x＝9； （5）x＝﹣7； （6）x＝﹣1.5； （7）x＝﹣11； （8）x＝﹣4． 【分析】（1）按照解一元一次方程的步骤，进行计算即可解答； （2）按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答； （3）按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答； （4）按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答； （5）按照解一元一次方程的步骤，进行计算即可解答； （6）按照解一元一次方程的步骤，进行计算即可解答； （7）按照解一元一次方程的步骤，进行计算即可解答； （8）按照解一元一次方程的步骤，进行计算即可解答． 【详解】解：（1）5（x﹣1）＝1， x﹣1， x＝1， x＝1； （2）2﹣（1﹣x）＝﹣2， 2﹣1+x＝﹣2， x＝﹣2﹣2+1， x＝﹣3； （3）11x+1＝5（2x+1）， 11x+1＝10x+5， 11x﹣10x＝5﹣1， x＝4； （4）4x﹣3（20﹣x）＝3， 4x﹣60+3x＝3， 4x+3x＝3+60， 7x＝63， x＝9； （5）5（x+8）﹣5＝0， 5（x+8）＝5， x+8＝1， x＝1﹣8， x＝﹣7； （6）2（3﹣x）＝9， 3﹣x＝4.5， ﹣x＝4.5﹣3， ﹣x＝1.5， x＝﹣1.5； （7）﹣3（x+3）＝24， x+3＝﹣8， x＝﹣8﹣3， x＝﹣11； （8）﹣2（x﹣2）＝12， x﹣2＝﹣6， x＝﹣6+2， x＝﹣4． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 10．解下列方程： （1）6＝5y﹣2（y+4）； （2）5（m+8）﹣6（2m﹣7）＝1； （3）5（x+2）＝2（2x+7）； （4）3（2y+1）＝2（1+y）+3（y+3）． 【答案】（1）y； （2）m； （3）x＝4； （4）y＝8． 【分析】通过对各方程去括号、移项、合并同类项、系数化为1进行求解． 【详解】解：（1）去括号，得6＝5y﹣2y﹣8， 移项，得﹣5y+2y＝﹣8﹣6， 合并同类项，得﹣3y＝﹣14， 系数化为1，得y； （2）去括号，得5m+40﹣12m+42＝1， 移项，得5m﹣12m＝1﹣40﹣42， 合并同类项，得﹣7m＝﹣81， 系数化为1，得m； （3）去括号，得5x+10＝4x+14， 移项，得5x﹣4x＝14﹣10， 合并同类项，得x＝4； （4）去括号，得6y+3＝2+2y+3y+9， 移项，得6y﹣2y﹣3y＝2+9﹣3， 合并同类项，得y＝8． 【点睛】此题考查了一元一次方程的求解能力，关键是能准确确定运算顺序并进行正确地计算． 11．解下列方程： （1）2（x﹣1）＝6； （2）4﹣x＝3（2﹣x）； （3）5（x+1）＝3（3x+1）； （4）2（x﹣2）＝3（4x﹣1）+9． 【答案】（1）x＝4； （2）x＝1； （3）x； （4）x＝﹣1． 【分析】（1）去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可； （2）去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可； （3）去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可； （4）去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可． 【详解】解：（1）2（x﹣1）＝6， 去括号，得2x﹣2＝6， 移项，得2x＝6+2， 合并同类项，得2x＝8， 系数化成1，得x＝4； （2）4﹣x＝3（2﹣x）， 去括号，得4﹣x＝6﹣3x， 移项，得﹣x+3x＝6﹣4， 合并同类项，得2x＝2， 系数化成1，得x＝1； （3）5（x+1）＝3（3x+1）， 去括号，得5x+5＝9x+3， 移项，得5x﹣9x＝3﹣5， 合并同类项，得﹣4x＝﹣2， 系数化成1，得x； （4）2（x﹣2）＝3（4x﹣1）+9， 去括号，得2x﹣4＝12x﹣3+9， 移项，得2x﹣12x＝﹣3+9+4， 合并同类项，得﹣10x＝10， 系数化成1，得x＝﹣1． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． 12．解下列方程： （1）2（3x﹣4）+7（4﹣x）＝4x； （2）5（y+8）﹣5＝6（2y﹣7）； （3）5（t﹣1）+4（2t﹣5）＝1； （4）2（m+1）﹣6（m﹣2）＝﹣2． 【答案】（1）x＝4； （2）y＝11； （3）t＝2； （4）m＝4． 【分析】利用解一元一次方程的步骤解各方程即可． 【详解】解：（1）原方程去括号得：6x﹣8+28﹣7x＝4x， 移项，合并同类项得：﹣5x＝﹣20， 系数化为1得：x＝4； （2）原方程去括号得：5y+40﹣5＝12y﹣42， 移项，合并同类项得：﹣7y＝﹣77， 系数化为1得：y＝11； （3）原方程去括号得：5t﹣5+8t﹣20＝1， 移项，合并同类项得：13t＝26， 系数化为1得：t＝2； （4）原方程去括号得：2m+2﹣6m+12＝﹣2， 移项，合并同类项得：﹣4m＝﹣16， 系数化为1得：m＝4． 【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 13．解下列方程： （1）5（x﹣1）＝1； （2）2﹣（1﹣x）＝﹣2； （3）11x+1＝5（2x+1）； （4）4x﹣3（20﹣x）＝3； （5）5（x+8）﹣5＝0； （6）﹣3（x+3）＝24． 【答案】见解答． 【分析】（1）按照解一元一次方程的步骤，进行计算即可解答； （2）按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答； （3）按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答； （4）按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答； （5）按照解一元一次方程的步骤，进行计算即可解答； （6）按照解一元一次方程的步骤，进行计算即可解答． 【详解】解：（1）5（x﹣1）＝1， x﹣1， x＝1， x＝1； （2）2﹣（1﹣x）＝﹣2， 2﹣1+x＝﹣2， x＝﹣2﹣2+1， x＝﹣3； （3）11x+1＝5（2x+1）， 11x+1＝10x+5， 11x﹣10x＝5﹣1， x＝4； （4）4x﹣3（20﹣x）＝3， 4x﹣60+3x＝3， 4x+3x＝3+60， 7x＝63， x＝9； （5）5（x+8）﹣5＝0， 5（x+8）＝5， x+8＝1， x＝1﹣8， x＝﹣7； （6）﹣3（x+3）＝24， x+3＝﹣8， x＝﹣8﹣3， x＝﹣11． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 类型四、解含分母的一元一次方程 14．解下列方程： （1）5x； （2）x﹣3x； （3）； （4）． 【答案】（1）x＝4； （2）x＝10； （3）x＝﹣1.5； （4）x． 【分析】（1）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，即可解答； （2）按照解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，即可解答； （3）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，即可解答； （4）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）5x， 25﹣（x+1）＝5x， 25﹣x﹣1＝5x， ﹣x﹣5x＝1﹣25， ﹣6x＝﹣24， x＝4； （2）x﹣3x， 5x﹣30＝2x， 5x﹣2x＝30， 3x＝30， x＝10； （3）， 2（2x﹣1）＝2x+1﹣6， 4x﹣2＝2x+1﹣6， 4x﹣2x＝1﹣6+2， 2x＝﹣3， x＝﹣1.5； （4）， 3（x+1）﹣6＝2（2﹣3x）， 3x+3﹣6＝4﹣6x， 3x+6x＝4+6﹣3， 9x＝7， x． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 15．解下列方程： （1）； （2）（x+1）（2x﹣3）； （3）； （4）（x+1）（x﹣1）； （5）1； （6）（x﹣1）＝2（x+2）． 【答案】（1）x； （2）x＝﹣16； （3）x＝8； （4）x＝7； （5）x； （6）x＝3． 【分析】（1）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算，即可解答； （2）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算，即可解答； （3）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算，即可解答； （4）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算，即可解答； （5）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算，即可解答； （6）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）， 3（3﹣x）＝2（x+4）， 9﹣3x＝2x+8， ﹣3x﹣2x＝8﹣9， ﹣5x＝﹣1， x； （2）（x+1）（2x﹣3）， 7（x+1）＝3（2x﹣3）， 7x+7＝6x﹣9， 7x﹣6x＝﹣9﹣7， x＝﹣16； （3）， 4（x+2）＝5x， 4x+8＝5x， 4x﹣5x＝﹣8， ﹣x＝﹣8， x＝8； （4）（x+1）（x﹣1）， 3（x+1）＝4（x﹣1）， 3x+3＝4x﹣4， 3x﹣4x＝﹣4﹣3， ﹣x＝﹣7， x＝7； （5）1， 4（2x﹣1）＝3（x+2）﹣12， 8x﹣4＝3x+6﹣12， 8x﹣3x＝6﹣12+4， 5x＝﹣2， x； （6）（x﹣1）＝2（x+2）， 5（x﹣1）＝20﹣2（x+2）， 5x﹣5＝20﹣2x﹣4， 5x+2x＝20﹣4+5， 7x＝21， x＝3． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 16．解下列方程： （1）； （2）1x＝3x； （3）． 【答案】见试题解答内容 【分析】方程去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解． 【详解】解：（1）去分母得：3（5﹣3x）＝2（3﹣5x）， 去括号得：15﹣9x＝6﹣10x， 移项合并得：x＝﹣9； （2）去分母得：6﹣3x＝18﹣x， 移项合并得：﹣2x＝12， 解得：x＝﹣6； （3）去分母得：3（y+2）﹣2（2y﹣1）＝12， 去括号得：3y+6﹣4y+2＝12， 移项合并得：﹣y＝4， 解得：y＝﹣4． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解． 17．解下列方程： （1）x（x﹣2）； （2）2； （3）； （4）1． 【答案】见试题解答内容 【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，依此即可求解． 【详解】解：（1）x（x﹣2）， 19x＝21（x﹣2）， 19x＝21x﹣42， 19x﹣21x＝﹣42， ﹣2x＝﹣42， x＝21； （2）2， 2（x+1）﹣8＝x， 2x+2﹣8＝x， 2x﹣x＝﹣2+8， x＝6； （3）， 3（5x﹣1）＝6（3x+1）﹣4（2﹣x）， 15x﹣3＝18x+6﹣8+4x， 15x﹣18x﹣4x＝6﹣8+3， ﹣7x＝1， x； （4）1， 10（3x+2）﹣20＝5（2x﹣1）﹣4（2x+1）， 30x+20﹣20＝10x﹣5﹣8x﹣4， 30x﹣10x+8x＝﹣5﹣4， 28x＝﹣9， x． 【点睛】考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化． 18．解下列方程： （1）0； （2）； （3）1； （4）2． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，可得方程的解； （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，可得方程的解； （3）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，可得方程的解； （4）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，可得方程的解． 【详解】解：（1）去分母，得 3（2x+5）+2（x﹣7）＝0， 去括号，得 6x+15+2x﹣14＝0． 移项，得 6x+2x＝14﹣15， 合并同类项，得 8x＝﹣1， 系数化为1，得 x； （2）去分母，得 3（x﹣6）＝4（2x﹣3）， 去括号，得 3x﹣18＝8x﹣12． 移项，得 3x﹣8x＝﹣12+18， 合并同类项，得 ﹣5x＝6， 系数化为1，得 x； （3）去分母，得 3（3x﹣7）+2（x+1）＝6， 去括号，得 6x﹣21+2x+2＝6． 移项，得 6x+2x＝6+21﹣2， 合并同类项，得 8x＝25， 系数化为1，得 x； （4）去分母，得 3（x+2）﹣30＝5（2x+1）， 去括号，得 3x+6﹣30＝10x+5 移项，得 6x﹣10x＝5﹣6+30， 合并同类项，得 ﹣4x＝29， 系数化为1，得 x． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程常见的过程有去括号、移项、系数化为1等． 类型五、解分母含小数的一元一次方程 19．解方程：0.3． 【答案】见试题解答内容 【分析】方程整理后，去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解：方程整理得：0.3， 即50x﹣10﹣2x﹣2＝0.3， 移项合并得：48x＝12.3， 解得：x＝0.256255． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解． 20．解方程：． 【答案】x． 【分析】方程整理后，去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解：原方程可化为1， 去分母得：60x﹣7（12﹣10x）＝21， 去括号得：60x﹣84+70x＝21， 移项合并得：130x＝105， 解得：x． 【点睛】此题考查了一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解本题的关键． 21．解方程：． 【答案】x＝﹣8． 【分析】方程整理后，去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解：原方程可化为1， 去分母得：x﹣4﹣12＝4（2x+10）， 去括号得：x﹣4﹣12＝8x+40， 移项得：x﹣8x＝40+4+12， 合并得：﹣7x＝56， 解得：x＝﹣8． 【点睛】此题考查了一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解本题的关键． 22．解方程：． 【答案】x＝9． 【分析】方程整理后，去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解：方程整理得：0.5x﹣2.5， 去分母得：3（4x+9）﹣（15+10x）＝0.5x﹣2.5， 去括号得：12x+27﹣15﹣10x＝7.5x﹣37.5， 移项得：12x﹣10x﹣7.5x＝﹣37.5﹣27+15， 合并得：﹣5.5x＝﹣49.5， 解得：x＝9． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解本题的关键． 类型六、解含绝对值的一元一次方程 23．解方程|x|﹣2＝0，可以按下面的步骤进行： 解：当x≥0时，得x﹣2＝0． 解这个方程，得x＝2． 当x＜0时，得﹣x﹣2＝0． 解这个方程，得x＝﹣2． 所以原方程的解是x＝2或x＝﹣2． 仿照上述的解题过程，解方程|x﹣2|﹣1＝0． 【答案】见试题解答内容 【分析】首先根据绝对值的性质，讨论去掉绝对值符号转化为一般的方程，解方程即可． 【详解】解：当x≥2时，原方程即：x﹣2﹣1＝0， 解得：x＝3； 当x＜2时，原方程即：2﹣x﹣1＝0，解得：x＝1． 则方程的解是：x＝3或x＝1． 【点睛】本题考查了含有绝对值的方程的解法，理解绝对值的性质，正确通过讨论去掉绝对值符号是关键． 24．先阅读下列解题过程，然后回答问题． 解方程：|x+4|＝3． 解：当x+4≥0时，原方程可化为x+4＝3，解得x＝﹣1； 当x+4＜0时，原方程可化为x+4＝﹣3，解得x＝﹣7． ∴原方程的解是x﹣1或x＝﹣7． 根据上面的解题过程，解方程：|3x﹣3|﹣6＝0． 【答案】x＝3或x＝﹣1． 【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，然后化为一元一次方程即可求得． 【详解】解：当3x﹣3≥0时，原方程可化为3x﹣3﹣6＝0，解得x＝3； 当3x﹣3＜0时，原方程可化为﹣（3x﹣3）﹣6＝0，解得x＝﹣1． 所以原方程的解是x＝3或x＝﹣1． 【点睛】本题主要考查含绝对值符号的一元一次方程，解题的关键是根据绝对值的性质将绝对值符号去掉，从而化为一般的一元一次方程求解． 25．解方程：|2x﹣1|+|x﹣2|＝|x+1|． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据绝对值的性质分几种情况进行简化方程解答即可． 【详解】解：当x≤﹣1时，原方程可化为：1﹣2x﹣2+x＝﹣1﹣x， 解得：x≤﹣1的实数； 当时，原方程可化为：1﹣2x﹣2+x＝x+1， 解得：x＝﹣1， 当时，原方程可化为：2x﹣1﹣x+2＝x+1， 解得：x取的实数； 当x≥2时，原方程可化为：2x﹣1+x﹣2＝x+1， 解得：x＝2． 【点睛】本题主要考查的是含有绝对值符号的一元一次方程的一般计算．难易适中． 26．解方程：|2x+3|﹣|x﹣1|＝4x﹣3． 【答案】见试题解答内容 【分析】充分利用绝对值的几何意义，采用分类讨论的方法，去掉绝对值再一一计算． 【详解】解：（1）当x时，原方程可化为：﹣3﹣2x+x﹣1＝4x﹣3 ∴5x＝﹣1， 解得：x， 与x不符； （2）当x≥1时，原方程可化为：2x+3﹣x+1＝4x﹣3 ∴3x＝7． ∴x； （3）当x＜1时，原方程可化为：2x+3﹣1+x＝4x﹣3 ∴x＝5与x＜1不相符； 综上所述，方程的解为：x． 【点睛】本题主要考查的是含有绝对值符号的一元一次方程的一般计算．难易适中 类型七、解一元一次方程的过程出错的问题 27．下列方程的解法错在哪里？请你改正． （1）解方程1． 解：x+1＝3x﹣1﹣1， 2x＝3， x． （2）解方程2． 解：4x+2﹣x+1＝12， 3x＝9， x＝3． 【答案】（1）错在去分母时，﹣1漏乘2，x＝2； （2）错在去分母时，x+1没有加括号，x． 【分析】（1）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，即可解答； （2）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）错在去分母时，﹣1漏乘2， 改正：1， x+1＝3x﹣1﹣2， x﹣3x＝﹣1﹣2﹣1， ﹣2x＝﹣4， x＝2； （2）错在去分母时，x+1没有加括号， 2． 2（2x+1）﹣（x+1）＝12， 4x+2﹣x﹣1＝12， 4x﹣x＝12+1﹣2， 3x＝11， x． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 28．下面方程的解法对吗？若不对，请改正． 解方程1． 解：去分母，得2（3x﹣1）＝1﹣4x﹣1． 去括号，得6x﹣1＝1﹣4x﹣1， 移项，得6x﹣4x＝1﹣1+1 ∴2x＝1，即x． 【答案】不对，正确解答过程见解答． 【分析】按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答． 【详解】解：不对， 正确的解答过程如下： 1， 2（3x﹣1）＝6﹣（4x﹣1）， 6x﹣2＝6﹣4x+1， 6x+4x＝6+1+2， 10x＝9， x＝0.9． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 29．指出下列方程求解过程中的错误，并予以改正： （1）解方程：1 解：15x﹣5＝8x+4﹣1， 15x﹣8x＝4﹣1+5 7x＝8， x （2）解方程： 解：2x﹣2﹣x+2＝12﹣3x， 2x﹣x+3x＝12+2+2， 4x＝16， x＝4． 【答案】见试题解答内容 【分析】观察两个方程的解法，找出错误的地方，改正即可． 【详解】解：（1）去分母时“1”没有乘以10， 正确解法为： 去分母得：15x﹣5＝8x+4﹣10， 移项合并得：7x＝﹣1， 解得：x； （2）去括号时符号出错，移项不变号， 正确解法为： 去分母得：2x﹣2﹣x﹣2＝12﹣3x， 移项合并得：4x＝16， 解得：x＝4． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解． 类型八、解一元一次方程漏乘或看错数问题 30．老师在批改嘉淇作业时发现，嘉淇在解方程时，把“2﹣x”抄成了“x﹣2”，解得x＝5，而且“■”处的数字也模糊不清了． （1）求“■”处的数字； （2）请你解出原方程正确的解． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）将x＝5代入程中，进而求出“■”处的数字； （2）将（1）中■的值代入原方程，求解即可． 【详解】解：（1）根据题意将x＝5代入1＝■中， 得1＝■， 解得■＝1， ∴“■”处的数字为1； （2）将■＝1代入原方程得，1＝1， 去分母得，3（x+1）﹣6＝6+2（2﹣x）， 去括号得，3x+3﹣6＝6﹣2x+4， 移项合并得，5x＝13， 系数化为1得，x． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解本题的关键． 31．小明解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘以10，由此求得的解为x＝4，试求a的值，并正确地求出方程的解． 【答案】见试题解答内容 【分析】先根据错误的做法：“方程左边的1没有乘以10”而得到x＝4，代入错误方程，求出a的值，再把a的值代入原方程，求出正确的解． 【详解】解：∵去分母时，只有方程左边的1没有乘以10， ∴2（2x﹣1）+1＝5（x+a）， 把x＝4代入上式，解得a＝﹣1． 原方程可化为：， 去分母，得2（2x﹣1）+10＝5（x﹣1） 去括号，得4x﹣2+10＝5x﹣5 移项、合并同类项，得﹣x＝﹣13 系数化为1，得x＝13 故a＝﹣1，x＝13． 【点睛】本题易在去分母、去括号和移项中出现错误．由于看到小数、分数比较多，学生往往不知如何寻找公分母，怎样合并同类项，怎样化简，所以我们要教会学生分开进行，从而达到分解难点的效果． 32．小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是2x﹣x+1． （1）小明猜想“”部分是2．请你算一算x的值； （2）小明翻看了书后的答案，发现此方程的解与方程1的解相同，请你算一算被污染的常数应是多少？ 【答案】（1）2；（2）． 【分析】（1）把2代入方程，解方程即可； （2）先解出方程的解，根据同解方程的定义，代入原方程即可求出被污染的常数． 【详解】解：（1）∵2x﹣2x+1， ∴2xx＝1+2， ∴x＝3， ∴x＝2； （2）∵1， ∴10﹣2（2x+1）＝x+3， ∴10﹣4x﹣2＝x+3， ∴﹣4x﹣x＝3﹣10+2， ∴﹣5x＝﹣5， ∴x＝1， 设污染的常数为a， 把x＝1代入方程得：2﹣a1， 解得：a， 答：污染的常数应是． 【点睛】本题考查了同解方程，掌握如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程是解题的关键． 33．在做解方程练习时，学习卷中有一个方程“2yy+■”中的■没印清晰，小聪问老师，老师只是说：“■是一个有理数，该方程的解与当x＝2时代数式5（x﹣1）﹣2（x﹣2）﹣4的值相同．”小聪很快补上了这个常数．同学们，你们能补上这个常数吗？请说明你给出结论的理由． 【答案】1． 【分析】把x＝2代入代数式5（x﹣1）﹣2（x﹣2）﹣4，求出“2yy+■”的y，再代入该式子求出■． 【详解】解：当x＝2时代数式5（x﹣1）﹣2（x﹣2）﹣4 ＝5x﹣5﹣2x+4﹣4 ＝3x﹣5 ＝3×2﹣5 ＝1， 即y＝1， 代入方程中得到：2×11+■ 解得■＝1． 即这个常数是1． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的解，解题的关键是掌握解一元一次方程和代数式求值的能力． 34．某同学在解方程1去分母时，方程右边的﹣1没有乘3，因而求得方程的解为x＝2，试求a的值，并正确地解方程． 【答案】a＝2，x＝0． 【分析】先按此方法去分母，再将x＝2代入方程，求得a的值，然后解出此方程． 【详解】解：按此方法去分母，得2x﹣1＝x+a﹣1， 把x＝2代入，得4﹣1＝2+a﹣1， 解得a＝2， 原方程为： 2x﹣1 3 ＝ x+2 3 ﹣1， 去分母得：2x﹣1＝x+2﹣3， 移项、合并同类项得：x＝0． 【点睛】本题主要考查的是一元一次方程的解，明确x＝2是方程2（2x﹣1）＝3（x+a）﹣2的解是解题的关键． 类型九、一元一次方程的同解问题 35．已知2＝y与a+3（y﹣2）＝4a是关于y的方程且有相同的解，求a的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】求出第一个方程的解，把y的值代入第二个方程，求出方程的解即可． 【详解】解：2＝y， 2y， y＝16， ∵2＝y与a+3（y﹣2）＝4a是关于y的方程且有相同的解， ∴把y＝16代入方程a+3（y﹣2）＝4a得：a+3×（16﹣2）＝4a， 解得：a＝14． 【点睛】本题考查了同解方程和解一元一次方程的应用，关键是得出关于a的方程． 36．已知方程4x+2m＝3x+1和方程3x+2m＝6x+1的解相同， （1）求m的值； （2）求代数式的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）分别将两个方程中的x用m表示出来，然后建立方程就可得出m的值． （2）将（1）求得的m值代入即可． 【详解】解：（1）解方程4x+2m＝3x+1 得x＝1﹣2m， 解方程3x+2m＝6x+1 3x﹣6x＝1﹣2m ﹣3x＝1﹣2m， 得 由题意得：， 解之得：． （2）将代入代数式中， 原式． 【点睛】此题考查了学生的分析能力与计算能力，由于题目比较复杂，所以解题时要细心． 37．如果关于x的方程的解与方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1的解相同，求字母a的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】先求出x的值，再把x的值代入含a的方程中，再解关于a的一元一次方程即可． 【详解】解：解得：x＝10． 把x＝10代入4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1中得：40﹣（3a+1）＝60+2a﹣1， 去括号得：40﹣3a﹣1＝60+2a﹣1， 移项、合并同类项得：5a＝﹣20 系数化1得：a＝﹣4． 【点睛】此题考查了同解方程的知识．注意掌握一元一次方程的解法是关键． 38．已知方程4x+2m＝3x+1和方程3x+2m＝6x+1的解相同，求： （1）m的值； （2）代数式（m+2）（2m）的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据同解方程，可得方程组，根据解方程组，可得答案； （2）根据代数式求值，可得答案． 【详解】解：（1）方程4x+2m＝3x+1和方程3x+2m＝6x+1的解相同，得 ， 解得， m的值是； （2）当m时，（m+2）（2m）＝（2）（2） （）＝﹣1． 【点睛】本题考查了同解方程，利用同解方程得出方程组是解题关键． 类型十、一元一次方程求代数式相等的 39．已知y1＝6﹣x，y2＝2+7x，解答下列问题： （1）当y1＝2y2时，求x的值． （2）当x取何值时，y1比y2大3？ 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）将y1＝6﹣x，y2＝2+7x代入y1＝2y2中即可求解； （2）根据题意可知y1﹣y2＝3，再将y1＝6﹣x，y2＝2+7x代入即可求值． 【详解】解：（1））将y1＝6﹣x，y2＝2+7x代入y1＝2y2得： 6﹣x＝2（2+7x）， 6﹣x＝4+14x， ﹣x﹣14x＝4﹣6， ﹣15x＝﹣2， x； （2）根据题意可知y1﹣y2＝3， 将y1＝6﹣x，y2＝2+7x代入y1﹣y2＝3得： 6﹣x﹣（2+7x）＝3， 6﹣x﹣2﹣7x＝3， ﹣8x＝3+2﹣6， ﹣8x＝﹣1， x． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 40．m等于什么数时，式子与7的值相等？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意列出关于m的一元一次方程，然后解一元一次方程即可求得m值． 【详解】解：令7（1分） 去分母，得15m﹣5（m﹣1）＝7×15﹣3（m+3）…（3分） 去括号，得15m﹣5m+5＝105﹣3m﹣9…（4分） 移项合并，得13m＝91…（5分） 系数化为1，得m＝7…（6分） 因此，当m＝7时，式子与7的值相等．…（7分） 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法．解方程的过程要注意以下几点：①移项必变号；②用分配律去括号时，不要漏乘括号里的项；③去分母时，若两边都乘以各分母的最小公倍数，不要漏乘没有分母的项；④﹣x＝b不是方程的解，必须把x的系数化为1，得x＝﹣b才算完成解方程的过程． 41．当x为何值时，下列各组中两个式子的值相等？ （1）x和7 （2）x和x． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值； （2）根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值． 【详解】解：（1）根据题意得：x7 去分母得：15x﹣5x+5＝105﹣3x﹣9， 移项合并得：13x＝91， 解得：x＝7； （2）根据题意得：xx， 去分母得：4x+5x﹣5＝15x﹣15﹣16x， 移项合并得：10x＝﹣10， 解得：x＝﹣1． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 42．（1）x等于什么数时，代数式与代数式的值相等？ （2）x等于什么数时，代数式4x+8与代数式3x﹣7的值互为相反数？ 【答案】（1）x＝32； （2）x． 【分析】（1）先根据题意得出方程，再去分母，去括号，移项，合并同类项即可； （2）先根据相反数得出方程，再移项，合并同类项，系数化成1即可． 【详解】解：（1）根据题意得：， 4（x﹣10）＝3x﹣8， 4x﹣40＝3x﹣8， 4x﹣3x＝40﹣8， x＝32， 所以当x＝32时，代数式与代数式的值相等； （2）根据题意得：4x+8+3x﹣7＝0， 4x+3x＝7﹣8， 7x＝﹣1， x， 所以当x时，代数式4x+8与代数式3x﹣7的值互为相反数． 【点睛】本题考查了解一元一次方程和相反数，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． 类型十一、一元一次方程的不同解法 43．解方程4x﹣3+6（3﹣4x）＝7（4x﹣3），有几种不同的方法？哪一种方法比较简便？ 【答案】见试题解答内容 【分析】法1：方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；法2：方程整理后，合并即可求出值． 【详解】解：法1：去括号得：4x﹣3+18﹣24x＝28x﹣21， 移项合并得：48x＝36， 解得：x； 法2：方程整理得：（4x﹣3）﹣6（4x﹣3）＝7（4x﹣3）， 移项合并得：12（4x﹣3）＝0，即4x﹣3＝0， 解得：x． 则法2较为简便． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 44．用两种不同的方法解方程．你认为哪种方法更简便？ 【答案】见试题解答内容 【分析】法1：方程去分母，去括号，移项合并，把t系数化为1，即可求出解； 法2：方程整理后，移项合并，把t系数化为1，即可求出解，比较即可得到结果． 【详解】解：法1：去分母得：60t﹣20﹣60t﹣15＝60t+6， 移项合并得：60t＝﹣41， 解得：t； 法2：方程整理得：2t2t2t， 移项合并得：2t，即2t， 解得：t， 我认为法2较为简便． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 类型十二、解含字母的一元一次方程 45．解关于x的方程：（a≠b） 【答案】见试题解答内容 【分析】本题考查解带有字母系数的一元一次方程，将a、b当做常数来看，求解时要注意分母不为0的条件． 【详解】解：方程两边同乘ab， 得：b（x+b）﹣2ab＝a（x﹣a） 整理得：bx+b2﹣2ab＝ax﹣a2 解得：x＝a﹣b． 【点睛】解带有字母系数的一元一次方程和解其他分式方程一样，只需将字母当做已知系数看待即可，要注意保证分母不能为0． 46．用含x的代数式表示a：（2a﹣1）x＝2（x﹣1）． 【答案】a． 【分析】按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答． 【详解】解：去括号得，2xa﹣x＝2x﹣2， 移项，合并同类项得，2xa＝3x﹣2， 系数化为1得，a． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 47．已知关于x的方程． （1）若m＝﹣1，求该方程的解； （2）若x＝5是方程的解，求的值； （3）若该方程的解与方程的解相同，求m的值； （4）某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为x＝1，求m的值； （5）若该方程有正整数解，求整数m的最小值． 【答案】（1）x＝0；（2）30；（3）m；（4）m；（5）m＝6． 【分析】（1）依据题意得，当m＝﹣1时，方程为，进而计算可以得解； （2）依据题意，由x＝5是方程的解，从而，进而计算可以得解； （3）依据题意，由方程的解为x＝4，从而，进而解方程可以得解； （4）依据题意，由误将“”看成了“”，得到方程的解为x＝1，可得，进而计算可以得解； （5）依据题意，由，可得7x＝5+5m＝5（m+1），再结合x取正整数，从而m+1为7的正因数，又m取最小值，进而计算可以得解． 【详解】解：（1）由题意得，当m＝﹣1时，方程为． ∴3（3x+1）﹣2（x﹣1）＝5． ∴9x+3﹣2x+2＝5． ∴7x＝0． ∴x＝0． （2）由题意，∵x＝5是方程的解， ∴． ∴3（15﹣m）﹣2（5+m）＝5． ∴45﹣3m﹣10﹣2m＝5． ∴m＝6． ∴m2+2m62+12＝30． （3）由题意，∵方程的解为x＝4， ∴． ∴3（12﹣m）﹣2（4+m）＝5． ∴m． （4）由题意，∵误将“”看成了“”，得到方程的解为x＝1， ∴． ∴m． （5）由题意，∵， ∴3（3x﹣m）﹣2（x+m）＝5． ∴9x﹣3m﹣2x﹣2m＝5． ∴7x＝5+5m＝5（m+1）． ∵x取正整数， ∴m+1为7的正因数． 又m取最小值， ∴m+1＝7． ∴m＝6． 【点睛】本题主要考查了同解方程、一元一次方程的解法，解题时要能读懂题意并列出方程是关键． 类型十三、含参数的一元一次方程的解的讨论问题 48．已知关于x的方程（m+3）x|m|﹣2+6n＝0为一元一次方程，且该方程的解与关于x的方程的解相同． （1）求m，n的值； （2）在（1）的条件下，若关于y的方程|a|y+a＝m+1+2ny无解，求a的值． 【答案】（1）3；2；（2）﹣4． 【分析】（1）利用一元一次方程的定义即可求出m的值，根据两个方程同解可得n的值； （2）把m和n的值代入方程求出方程的解，根据方程无解的条件列式可得a的值． 【详解】解：（1）∵关于x的方程（m+3）x|m|﹣2+6n＝0是一元一次方程， ∴|m|﹣2＝1，m+3≠0， 解得：m＝3， 当m＝3时，方程为：6x+6n＝0， 解得：x＝﹣n， ， 5（x+1）﹣2（2x﹣1）＝5， 5x+5﹣4x+2＝5， 解得：x＝﹣2， ∴﹣2＝﹣n， ∴n＝2； （2）把m＝3，n＝2代入|a|y+a＝m+1+2ny， 得：|a|y+a＝4+4y， ∵y的方程|a|y+a＝4+4y无解， ∴， ∴a＝﹣4． 【点睛】本题考查了一元一次方程的知识，掌握一元一次方程的解法是关键． 49．先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2） 解方程：|x+3|＝2． 解：当x+3≥0时，原方程可化为：x+3＝2，解得x＝﹣1； 当x+3＜0时，原方程可化为：x+3＝﹣2，解得x＝﹣5． 所以原方程的解是x＝﹣1，x＝﹣5． （1）解方程：|3x﹣2|+x＝0； （2）探究：当b为何值时，方程|x﹣2|＝b+1 ①无解；②只有一个解；③有两个解． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）分两种情况：x≥0，x＜0探讨得出答案即可； （2）由题意可知：①无解b+1＜0；②只有一个解b+1＝0；③有两个解b+1＞0，分别求得答案即可． 【详解】解：（1）|3x﹣2|+x＝0； 当x≥0时，此方程不成立； 当x＜0时，原方程化为﹣3x+2+x＝0，解得：x＝1，不合题意， 所以此方程无解； （2）|x﹣2|＝b+1 ①无解b+1＜0，b＜﹣1；②只有一个解b+1＝0，b＝﹣1；③有两个解b+1＞0，b＞﹣1． 【点睛】此题考查含绝对值的一元一次方程，掌握绝对值的意义是解决问题的关键． 类型十四、关于方程的解的规律问题 50．先阅读下列一段文字，然后解答问题． 已知：方程的解是x1＝2，x2；方程的解是x1＝3，x2； 方程的解是x1＝4，x2；方程的解是x1＝5，x2． 问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程的解，并写出检验． 【答案】见试题解答内容 【分析】认真观察题中的式子，找出规律，再做猜想． 【详解】解：猜想：方程的解是x1＝11，x2． 检验：当x＝11时，左边＝1110右边， 当x时，左边11＝10右边． 【点睛】此题是探求规律题，读懂题意，寻找规律是关键． 51．阅读下列材料： 关于x的方程 x3+x＝13+1的解是x＝1； x3+x＝23+2的解是x＝2； x3+x＝（﹣2）3+（﹣2）的解是x＝﹣2； 以上材料，解答下列问题： （1）观察上述方程以及解的特征， 请你直接写出关于x的方程x3+x＝43+4的解为 　x＝4　． （2）比较关于x的方程x3+x＝a3+a与上面各式的关系，猜想它的解是 　x＝a　． （3）请验证第（2）问猜想的结论， （4）利用第（2）问的结论， 求解关于x的方程（x﹣1）3+x＝（a+1）3+a+2的解． 【答案】（1）x＝4； （2）x＝a； （3）验证过程请看解答； （4）x＝a+2． 【分析】（1）根据已知方程的特点与解的关系即可写出方程的解； （2）结合（1）即可写出方程的解； （3）将x＝a代入方程左边，即可进行验证； （4）原方程可以变形为：（x﹣1）3+x﹣1＝（a+1）3+a+1把x﹣1当作一个整体，即可求解． 【详解】解：（1）根据阅读材料可知： 关于x的方程x3+x＝43+4的解为x＝4； 故答案为：x＝4； （2）关于x的方程x3+x＝a3+a它的解是x＝a； 故答案为：x＝a； （3）把x＝a代入等式左边＝a3+a＝右边； （4）（x﹣1）3+x＝（a+1）3+a+2整理，得 （x﹣1）3+x﹣1＝（a+1）3+a+1， 所以x﹣1＝a+1， 解得x＝a+2． 【点睛】本题主要考查了方程的解，正确理解已知条件，能够把x﹣1当作一个整体是关键． 类型十五、一元一次方程的新定义求解问题 52．定义一种新运算“⊗”，规定：a⊗b＝2a﹣3b．等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：2⊗（﹣3）＝2×2﹣3×（﹣3）＝4+9＝13，1⊗2＝2×1﹣3×2＝2﹣6＝﹣4． （1）求（﹣2）⊗[5⊗（﹣1）]的值； （2）若（3x﹣2）⊗（x+1）＝2，求x的值． 【答案】（1）﹣43； （2）x＝3． 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果； （2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值． 【详解】解：（1）根据题中的新定义得： 5⊗（﹣1）＝2×5﹣3×（﹣1）＝10+3＝13， 则原式＝（﹣2）⊗13＝2×（﹣2）﹣3×13＝﹣4﹣39＝﹣43； （2）已知等式利用题中的新定义化简得： 2（3x﹣2）﹣3（x+1）＝2， 去括号得：6x﹣4﹣3x﹣3＝2， 移项得：6x﹣3x＝2+4+3， 合并得：3x＝9， 系数化为1，得：x＝3． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 53．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a※b＝a（a+b）．例如：1※2＝1×（1+2）＝1×3＝3． （1）求（﹣3）※4的值； （2）若（﹣2）※（3x﹣2）＝x+1，求x的值． 【答案】（1）﹣3； （2）x＝1． 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果； （2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值． 【详解】解：（1）根据题中的新定义得： 原式＝（﹣3）×（﹣3+4） ＝﹣3×1 ＝﹣3； （2）已知等式利用题中的新定义化简得： ﹣2×（﹣2+3x﹣2）＝x+1，即﹣2（3x﹣4）＝x+1， 去括号得：﹣6x+8＝x+1， 移项合并得：﹣7x＝﹣7， 解得：x＝1． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 54．定义一种新运算“※”，其规则为x※y＝xy﹣x+y．例如2※3＝2×3﹣2+3＝7，（2a）※3＝（2a）×3﹣2a+3＝4a+3． （1）计算3※2值为 　5　； （2）已知（2m）※3＝2※m，求m的值； （3）有理数的加法和乘法运算都满足交换律，即a+b＝b+a，ab＝ba，那么“※”运算是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明． 【答案】（1）5； （2）m＝﹣5； （3）“※”运算不满足交换律． 【分析】（1）根据题中的新定义计算即可求解； （2）已知等式利用题中的新定义可得关于m的一元一次方程，解方程即可； （3）根据题中的新定义可知“※”运算不满足交换律，举例说明即可． 【详解】解：（1）3※2＝3×2﹣3+2＝5， 故答案为：5； （2）（2m）※3＝2※m， 故6m﹣2m+3＝2m﹣2+m， 解得：m＝﹣5； （3）“※”运算不满足交换律，举例如下： 2※3＝2×3﹣2+3＝7，3※2＝3×2﹣3+2＝5，故2※3≠3※2． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算以及解一元一次方程，弄清题中的新定义是解本题的关键． 类型十六、一元一次方程与新定义方程问题 55．小东同学在解一元一次方程时，发现这样一种特殊现象： x0的解为x，而1； 2x0的解为x，而2． 于是，小东将这种类型的方程作如下定义： 若一个关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解为x＝b﹣a，则称之为“奇异方程”．请和小东一起进行以下探究： （1）若a＝﹣1，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求出该方程的解；若没有，请说明理由； （2）若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）为奇异方程，解关于y的方程：a（a﹣b）y+2＝（b）y． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）把a＝﹣1代入原方程解得：x＝b，若为“奇异方程”，则x＝b+1，由于b≠b+1，根据“奇异方程”定义即可求解； （2）根据“奇异方程”定义得到a（a﹣b）＝b，方程a（a﹣b）y+2＝（b）y可化为by+2＝（b）y，解方程即可求解． 【详解】解：（1）没有符合要求的“奇异方程”，理由如下： 把a＝﹣1代入原方程解得：x＝b， 若为“奇异方程”，则x＝b+1， ∵b≠b+1， ∴不符合“奇异方程”定义，故不存在； （2）∵ax+b＝0（a≠0）为奇异方程， ∴x＝b﹣a， ∴a（b﹣a）+b＝0， a（b﹣a）＝﹣b， a（a﹣b）＝b， ∴方程a（a﹣b）y+2＝（b）y可化为by+2＝（b）y， ∴by+2＝byy， 2y， 解得y＝4． 【点睛】考查了解一元一次方程，关键是熟悉若一个关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解为x＝b﹣a，则称之为“奇异方程”． 56．我们规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b+a，则称该方程为“和解方程”．例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“和解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： （1）已知关于x的一元一次方程3x＝m是“和解方程”，求m的值； （2）已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n，求m，n的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据和解方程的定义即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）根据和解方程的定义即可得出关于m、n的二元二次方程组，解之即可得出m、n的值． 【详解】解：（1）∵方程3x＝m是和解方程， ∴m+3， 解得：m． （2）∵关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n， ∴﹣2n＝mn+n，且mn+n﹣2＝n， 解得m＝﹣3，n． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程以及二元二次方程组，解题的关键是：根据“和解方程“的定义列出关于m的一元一次方程；根据和解方程的定义列出关于m、n的二元二次方程组． 57．如果两个方程的解相差1，则称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”．例如：方程x﹣2＝0是方程x﹣1＝0的后移方程． （1）判断方程2x+1＝0是否为方程2x+3＝0的后移方程 　是　．（填“是”或“否”） （2）若关于x的方程3x+m+n＝0是关于x的方程3x+m＝0的后移方程，n的值为 　﹣3　． 【答案】（1）是； （2）﹣3． 【分析】（1）分别求出方程2x+1＝0和方程2x+3＝0的解，再根据后移方程的定义进行判断； （2）分别用m、n表示出方程3x+m+n＝0和方程3x+m＝0的解，再根据后移方程的定义列出关于m、n的方程即可得解． 【详解】解：（1）解方程2x+1＝0得：x， 解方程2x+3＝0得：x， ∵， ∴方程2x+1＝0是方程2x+3＝0的后移方程， 故答案为：“是”； （2）解方程3x+m+n＝0可得：， 解方程3x+m＝0可得：， 由题意可得：1， 解之可得n＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点睛】本题考查新定义下的实数运算，在正确理解新定义的基础上结合一元一次方程的有关知识求解是解题关键． 58．已知m，n为有理数，且m≠0，若关于x的一元一次方程mx﹣n＝0的解恰为x＝2m+n，则此方程称为“合并式方程”． 例如：3x+9＝0∵x＝2×3+（﹣9）＝﹣3，且x＝﹣3是方程3x+9＝0的解∴此方程3x+9＝0为“合并式方程”， 请根据上述定义解答下列问题： （1）一元一次方程0是否是“合并式方程”？并说明理由； （2）关于x的一元一次方程6x﹣n＝0是“合并式方程”，求n的值． 【答案】（1）一元一次方程0不是“合并式方程”，理由见解析； （2）n． 【分析】（1）根据“合并式方程”的定义进行判断即可； （2）根据“合并式方程”的定义可知x＝12+n，将x＝12+n代入方程6x﹣n＝0求解即可． 【详解】解：（1）一元一次方程0不是“合并式方程”，理由如下： ∵x1，且x＝1不是一元一次方程0的解， ∴一元一次方程0不是“合并式方程”； （2）∵关于x的一元一次方程6x﹣n＝0是“合并式方程”， ∴x＝2×6+n＝12+n，且x＝12+n是方程6x﹣n＝0的解， ∴6（12+n）﹣n＝0， 解得n． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，新定义，理解新定义是解题的关键． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.4一元一次方程的解法大题专练（常考16大类型提分练） 目录 类型一、合并同类型解一元一次方程 2 类型二、移项解一元一次方程 3 类型三、解含括号的一元一次方程 4 类型四、解含分母的一元一次方程 6 类型五、解分母含小数的一元一次方程 7 类型六、解含绝对值的一元一次方程 8 类型七、解一元一次方程的过程出错的问题 9 类型八、解一元一次方程漏乘或看错数问题 10 类型九、一元一次方程的同解问题 11 类型十、一元一次方程求代数式相等的 12 类型十一、一元一次方程的不同解法 13 类型十二、解含字母的一元一次方程 13 类型十三、含参数的一元一次方程的解的讨论问题 14 类型十四、关于方程的解的规律问题 15 类型十五、一元一次方程的新定义求解问题 16 类型十六、一元一次方程与新定义方程问题 17 类型一、合并同类型解一元一次方程 1．解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 2．解下列方程． （1）． （2）． （3）． （4）． （5）． （6）． 3．解下列方程： （1） （2） （3） （4）． 4．解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 类型二、移项解一元一次方程 5．解下列方程． （1）． （2）． （3）． （4）． （5）． （6）． 6．解下列方程． （1）． （2）． （3）． （4）． （5）． （6）． （7）． （8）． （9）． 7．解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 8．解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 类型三、解含括号的一元一次方程 9．解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 10．解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 11．解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 12．解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 13．解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 类型四、解含分母的一元一次方程 14．解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 15．解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 16．解下列方程： （1）； （2）； （3）． 17．解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 18．解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 类型五、解分母含小数的一元一次方程 19．解方程：． 20．解方程：． 21．解方程：． 22．解方程：． 类型六、解含绝对值的一元一次方程 23．解方程，可以按下面的步骤进行： 解：当时，得． 解这个方程，得． 当时，得． 解这个方程，得． 所以原方程的解是或． 仿照上述的解题过程，解方程． 24．先阅读下列解题过程，然后回答问题． 解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 当时，原方程可化为，解得． 原方程的解是或． 根据上面的解题过程，解方程：． 25．解方程：． 26．解方程：． 类型七、解一元一次方程的过程出错的问题 27．下列方程的解法错在哪里？请你改正． （1）解方程． 解：， ， ． （2）解方程． 解：， ， ． 28．下面方程的解法对吗？若不对，请改正． 解方程． 解：去分母，得． 去括号，得， 移项，得 ，即． 29．指出下列方程求解过程中的错误，并予以改正： （1）解方程： 解：， ， （2）解方程： 解：， ， ， ． 类型八、解一元一次方程漏乘或看错数问题 30．老师在批改嘉淇作业时发现，嘉淇在解方程时，把“”抄成了“”，解得，而且“■”处的数字也模糊不清了． （1）求“■”处的数字； （2）请你解出原方程正确的解． 31．小明解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘以10，由此求得的解为，试求的值，并正确地求出方程的解． 32．小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是． （1）小明猜想“”部分是2．请你算一算的值； （2）小明翻看了书后的答案，发现此方程的解与方程的解相同，请你算一算被污染的常数应是多少？ 33．在做解方程练习时，学习卷中有一个方程“■”中的■没印清晰，小聪问老师，老师只是说：“■是一个有理数，该方程的解与当时代数式的值相同．”小聪很快补上了这个常数．同学们，你们能补上这个常数吗？请说明你给出结论的理由． 34．某同学在解方程去分母时，方程右边的没有乘3，因而求得方程的解为，试求的值，并正确地解方程． 类型九、一元一次方程的同解问题 35．已知与是关于的方程且有相同的解，求的值． 36．已知方程和方程的解相同， （1）求的值； （2）求代数式的值． 37．如果关于的方程的解与方程的解相同，求字母的值． 38．已知方程和方程的解相同，求： （1）的值； （2）代数式的值． 类型十、一元一次方程求代数式相等的 39．已知，，解答下列问题： （1）当时，求的值． （2）当取何值时，比大3？ 40．等于什么数时，式子与的值相等？ 41．当为何值时， 下列各组中两个式子的值相等？ （1）和 （2）和． 42．（1）等于什么数时，代数式与代数式的值相等？ （2）等于什么数时，代数式与代数式的值互为相反数？ 类型十一、一元一次方程的不同解法 43．解方程，有几种不同的方法？哪一种方法比较简便？ 44．用两种不同的方法解方程．你认为哪种方法更简便？ 类型十二、解含字母的一元一次方程 45．解关于的方程： 46．用含的代数式表示． 47．已知关于的方程． （1）若，求该方程的解； （2）若是方程的解，求的值； （3）若该方程的解与方程的解相同，求的值； （4）某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值； （5）若该方程有正整数解，求整数的最小值． 类型十三、含参数的一元一次方程的解的讨论问题 48．已知关于的方程为一元一次方程，且该方程的解与关于的方程的解相同． （1）求，的值； （2）在（1）的条件下，若关于的方程无解，求的值． 49．先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2） 解方程：． 解：当时，原方程可化为：，解得； 当时，原方程可化为：，解得． 所以原方程的解是，． （1）解方程：； （2）探究：当为何值时，方程①无解；②只有一个解；③有两个解． 类型十四、关于方程的解的规律问题 50．先阅读下列一段文字，然后解答问题． 已知：方程的解是，；方程的解是，； 方程的解是，；方程的解是，． 问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程的解，并写出检验． 51．阅读下列材料： 关于的方程 的解是； 的解是； 的解是； 以上材料，解答下列问题： （1）观察上述方程以及解的特征， 请你直接写出关于的方程的解为 　　． （2）比较关于的方程与上面各式的关系，猜想它的解是 　　． （3）请验证第（2）问猜想的结论， （4）利用第（2）问的结论， 求解关于的方程的解． 类型十五、一元一次方程的新定义求解问题 52．定义一种新运算“”，规定：．等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：，． （1）求的值； （2）若，求的值． 53．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定※．例如：1※． （1）求※4的值； （2）若※，求的值． 54．定义一种新运算“※”，其规则为※．例如2※，※． （1）计算3※2值为 　　； （2）已知※※，求的值； （3）有理数的加法和乘法运算都满足交换律，即，，那么“※”运算是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明． 类型十六、一元一次方程与新定义方程问题 55．小东同学在解一元一次方程时，发现这样一种特殊现象： 的解为，而； 的解为，而． 于是，小东将这种类型的方程作如下定义： 若一个关于的方程的解为，则称之为“奇异方程”．请和小东一起进行以下探究： （1）若，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求出该方程的解；若没有，请说明理由； （2）若关于的方程为奇异方程，解关于的方程：． 56．我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： （1）已知关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值； （2）已知关于的一元一次方程是“和解方程”，并且它的解是，求，的值． 57．如果两个方程的解相差1，则称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”．例如：方程是方程的后移方程． （1）判断方程是否为方程的后移方程 　　．（填“是”或“否” （2）若关于的方程是关于的方程的后移方程，的值为 　　． 58．已知，为有理数，且，若关于的一元一次方程的解恰为，则此方程称为“合并式方程”． 例如：，且是方程的解此方程为“合并式方程”， 请根据上述定义解答下列问题： （1）一元一次方程是否是“合并式方程”？并说明理由； （2）关于的一元一次方程是“合并式方程”，求的值． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/14 9:28:15；用户：账号1；邮箱：yzsysx1@xyh.com；学号：25670025 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$