专题3.1 函数（考点精讲）-【中职专用】2025年河北省高职单招数学备考复习讲练测

专题3.1 函数 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 5 考点一：求函数的定义域 5 考点二：相等函数 5 考点三：分段函数 6 考点四：函数的单调性 7 考点五：函数的奇偶性 9 【考纲要求】 （1）函数的概念：理解用集合语言和对应关系定义的函数概念。 （2）函数的表示方法：理解函数表示的解析法、列表法和图像法；理解分段函数的概念。 （3）函数的单调性和奇偶性：理解函数单调性的定义与几何特征；初步掌握函数单调性的判定方法；了解函数奇偶性的定义、几何特征及判定方法。 （4）函数应用举例：掌握从实际问题中抽象出分段函数模型解决简单实际问题的方法。 【考向预测】 1.判断两个函数是否同一函数 2.常见函数的定义域的求法 3.分段函数及应用 4. 判断函数的单调性 5. 判断函数的奇偶性 6. 分段函数的简单实际问题 【知识导图】 【知识清单】 1. 函数的概念 一般地，设𝐷是非空数集，对于𝐷中的每一个𝑥，按照某个确定的对应法则𝑓，都有唯一确定的值𝑦和它对应，那么就称𝑦为𝑥的函数，记作𝑦=𝑓(𝑥)，𝑥∈𝐷． 其中， 𝑥称为自变量， 𝑥的取值范围𝐷称为函数的定义域． 当𝑥_0∈ 𝐷时，与𝑥_0相对应的值𝑦_0称为函数在点𝑥_0处的函数值，记作 𝑦0=𝑓(𝑥0)． 函数值的集合{𝑦|𝑦=𝑓(𝑥),𝑥∈𝐷}称为函数的值域． 2. 函数的有关性质 (1)函数的三要素：定义域、值域、对应法则． (2)函数的表示法：解析法、图象法、列表法． (3)两个函数只有当定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才相同． 3. 分段函数 在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数． 4. 函数的单调性 1．单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 2．单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间 5. 函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 图象 特征 关于y轴对称 关于原点对称 6. 二次函数 (1)解析式： 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0). 两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0). (2)图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 [，＋∞) (－∞，] 单调性 在x∈(－∞，－)上是减函数， 在x∈[－，＋∞) 上是增函数 在x∈ (－∞，－)上是增函数， 在x∈[－，＋∞)上是减函数 最值 当x=－时，y有最小值 当x=－时，y有最大值 奇偶性 当b＝0时为偶函数 顶点 (－，) 对称性 图象关于直线x＝－成轴对称图形 【考点分类剖析】 考点一：求函数的定义域 例1．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 例2．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1. 函数 的定义域为（     ） A． B． C． D． 2. 函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 考点二：相等函数 例1．下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 例2．下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式探究】1．下列函数中与是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各组函数表示同一函数的是（　　） A． B． C． D． 考点三：分段函数 例1．已知函数则的值为（    ） A． B． C．9 D． 例2．已知函数，则（   ） A． B．3 C． D．10 例3．某旅游旺地出租车的费用按下列规则制定： ①行程在3以内的（含3），车费10元； ②行程在3以上且不超过10的，前3车费10元，以后每增加1车费增加2元（不足1的按1计算）； ③行程超过10，则超过的部分每公里车费3元（不足1的按1计算）. 小明某天乘坐该地的出租车，共花费39元，那么他的行程大约为（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【变式探究】1. 已知函数的值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 2. 已知函数，则（   ） A．8 B． C． D． 3.已知某停车场规定:停车时间在3小时内，车主需交费5元，若停车超过3小时，每多停1小时，车主要多交3元，不足1小时按1小时计算.一辆汽车在该停车场停了7小时20分钟，在离开时车主应交的停车费为（    ） A．16元 B．18元 C．20元 D．22元 考点四：函数的单调性 例1．如图是函数的图象，其定义域为，则函数的单调递减区间是（    ）    A． B． C． D． 例2．已知函数，.若成立，则下列论断中正确的是（    ） A．函数在上一定是增函数； B．函数在上一定不是增函数； C．函数在上可能是减函数； D．函数在上不可能是减函数. 例3．函数的增区间是（       ） A． B． C．[-1,3] D． 例4．函数的最大值是（    ） A． B．0 C．4 D．2 【变式探究】1．已知函数在上的图像如图，则函数单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 2．下列函数在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 3．若函数，的图象如图所示，则该函数的最大值、最小值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 考点五：函数的奇偶性 例1．下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 例2．下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1. 下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 2. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 函数 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 5 考点一：求函数的定义域 5 考点二：相等函数 6 考点三：分段函数 8 考点四：函数的单调性 10 考点五：函数的奇偶性 13 【考纲要求】 （1）函数的概念：理解用集合语言和对应关系定义的函数概念。 （2）函数的表示方法：理解函数表示的解析法、列表法和图像法；理解分段函数的概念。 （3）函数的单调性和奇偶性：理解函数单调性的定义与几何特征；初步掌握函数单调性的判定方法；了解函数奇偶性的定义、几何特征及判定方法。 （4）函数应用举例：掌握从实际问题中抽象出分段函数模型解决简单实际问题的方法。 【考向预测】 1.判断两个函数是否同一函数 2.常见函数的定义域的求法 3.分段函数及应用 4. 判断函数的单调性 5. 判断函数的奇偶性 6. 分段函数的简单实际问题 【知识导图】 【知识清单】 1. 函数的概念 一般地，设𝐷是非空数集，对于𝐷中的每一个𝑥，按照某个确定的对应法则𝑓，都有唯一确定的值𝑦和它对应，那么就称𝑦为𝑥的函数，记作𝑦=𝑓(𝑥)，𝑥∈𝐷． 其中， 𝑥称为自变量， 𝑥的取值范围𝐷称为函数的定义域． 当𝑥_0∈ 𝐷时，与𝑥_0相对应的值𝑦_0称为函数在点𝑥_0处的函数值，记作 𝑦0=𝑓(𝑥0)． 函数值的集合{𝑦|𝑦=𝑓(𝑥),𝑥∈𝐷}称为函数的值域． 2. 函数的有关性质 (1)函数的三要素：定义域、值域、对应法则． (2)函数的表示法：解析法、图象法、列表法． (3)两个函数只有当定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才相同． 3. 分段函数 在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数． 4. 函数的单调性 1．单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 2．单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间 5. 函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 图象 特征 关于y轴对称 关于原点对称 6. 二次函数 (1)解析式： 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0). 两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0). (2)图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 [，＋∞) (－∞，] 单调性 在x∈(－∞，－)上是减函数， 在x∈[－，＋∞) 上是增函数 在x∈ (－∞，－)上是增函数， 在x∈[－，＋∞)上是减函数 最值 当x=－时，y有最小值 当x=－时，y有最大值 奇偶性 当b＝0时为偶函数 顶点 (－，) 对称性 图象关于直线x＝－成轴对称图形 【考点分类剖析】 考点一：求函数的定义域 例1．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数形式列出不等式，解出即可. 【详解】由题意得，解得，则其定义域为. 故选：A. 例2．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据0的0次幂无意义，分母不为0和偶次根式下不小于0列出不等式组，解出即可. 【详解】要使函数有意义，需满足，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D. 【变式探究】1. 函数 的定义域为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由解析式可得，求解即可. 【详解】函数 的定义域应满足： ，解得且， 故函数 的定义域为. 故选:B. 2. 函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意，，即，所以或， 则函数的定义域为. 故选：B 考点二：相等函数 例1．下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由相同函数定义可判断各选项正误； 【详解】A选项，定义域为R，定义域为， 故不是同一函数，A错误； B选项，定义域为R，定义域为， 故不是同一函数，B错误； C选项，定义域为R，定义域为， 故不是同一函数，C错误； D选项，两函数定义域相同，解析式也相同，故为同一函数，故D正确. 故选：D 例2．下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】根据定义域与对应关系判定同一函数即可. 【详解】对于A，易知两函数定义域均为R，且， 故A正确； 对于B，的定义域为， 而的定义域为，两函数定义域不同，故B错误； 对于C，的定义域为R，的定义域为， 两函数定义域不同，故C错误； 对于D，易知两函数定义域均为R，但， 故D错误. 故选：A 【变式探究】1．下列函数中与是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得各选项函数的定义域再化简其解析式，进而由同一个函数的定义得到正确选项. 【详解】函数，其定义域为， 的定义域为，两函数定义域不同，A不符合； ，两函数解析式不同，B不符合； ，其定义域为，两函数定义域不同，C不符合； ，其定义域为，两函数是同一个函数，D符合. 故选：D. 2．下列各组函数表示同一函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对应关系及定义域逐项判断即可. 【详解】对于A：两函数对应关系不一样，不表示同一函数，； 对于B：，，两函数定义域不同，不表示同一函数； 对于C：：，，对应关系相同且定义域相同（都是），表示同一函数； 对于D：，两函数对应关系与定义域都不相同，不表示同一函数. 故选：C 考点三：分段函数 例1．已知函数则的值为（    ） A． B． C．9 D． 【答案】B 【分析】根据分段函数解析式运算求解. 【详解】，， . 故选：B. 例2．已知函数，则（   ） A． B．3 C． D．10 【答案】D 【分析】根据分段函数的定义，可得答案. 【详解】，. 故选：D. 例3．某旅游旺地出租车的费用按下列规则制定： ①行程在3以内的（含3），车费10元； ②行程在3以上且不超过10的，前3车费10元，以后每增加1车费增加2元（不足1的按1计算）； ③行程超过10，则超过的部分每公里车费3元（不足1的按1计算）. 小明某天乘坐该地的出租车，共花费39元，那么他的行程大约为（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】首先设行程为km，车费为元，得到分段函数的解析式，再根据共花费39元求解即可. 【详解】设行程为km，车费为元， 当时，， 当时，， 当时，. 小明某天乘坐该地的出租车，共花费39元， 所以，解得km. 故选：C 【变式探究】1. 已知函数的值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】D 【分析】由分段函数的性质直接计算即可； 【详解】因为，所以， 故选：D. 2. 已知函数，则（   ） A．8 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分段函数求值. 【详解】因为函数，所以， 即， 故选：B. 3.已知某停车场规定:停车时间在3小时内，车主需交费5元，若停车超过3小时，每多停1小时，车主要多交3元，不足1小时按1小时计算.一辆汽车在该停车场停了7小时20分钟，在离开时车主应交的停车费为（    ） A．16元 B．18元 C．20元 D．22元 【答案】C 【分析】根据题意按照8小时计算停车费即可. 【详解】由已知得7小时20分钟按8小时计算， 所以停车费为元. 故选：C. 考点四：函数的单调性 例1．如图是函数的图象，其定义域为，则函数的单调递减区间是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图像判断单调性，解题时需注意单调区间不能用. 【详解】若函数单调递减，则对应图象呈下降趋势，由图知，的单调递减区间为和， 故选：C. 例2．已知函数，.若成立，则下列论断中正确的是（    ） A．函数在上一定是增函数； B．函数在上一定不是增函数； C．函数在上可能是减函数； D．函数在上不可能是减函数. 【答案】D 【分析】根据函数单调性的定义判断即可. 【详解】因为函数，且成立， 则函数在上不可能是减函数，可能是增函数，也可能不是增函数， 如，满足，但是在上不具有单调性， 故D正确，A、B、C错误. 故选：D 例3．函数的增区间是（       ） A． B． C．[-1,3] D． 【答案】B 【分析】配方写出二次函数的顶点式，从而求出函数的单调递增区间． 【详解】解：∵， ∴函数的增区间为， 故选：B． 例4．函数的最大值是（    ） A． B．0 C．4 D．2 【答案】C 【解析】对函数的解析式进行配方，最后求出函数的最大值. 【详解】函数，当时，函数取得最大值4. 故选：C 【变式探究】1．已知函数在上的图像如图，则函数单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性与图象的关系进行判断即可． 【详解】若函数单调递增，则对应图象为上升趋势， 由图可知：的单调递增区间为. 故选：B． 2．下列函数在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逐个判断函数的单调性，即可得到结果． 【详解】对于A，函数在区间上是增函数，故A不正确； 对于B，函数在区间上是减函数，故B正确； 对于C，函数在上是增函数，故C不正确； 对于D，函数在上是增函数，故D不正确. 故选：B． 3．若函数，的图象如图所示，则该函数的最大值、最小值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】根据函数的最大值和最小值定义直接求解即可. 【详解】由题图可得，函数最大值对应图象中的最高点的纵坐标，同理，最小值对应. 故选：C 考点五：函数的奇偶性 例1．下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数奇偶性的定义即可判断每个选项的正误. 【详解】对于A：的定义域为，且， 故为奇函数，故A错误； 对于B：的定义域为，且， 故为偶函数，故B正确； 对于C：的定义域为，且，故为非奇非偶函数，故C错误； 对于D：的定义域为，故为非奇非偶函数，故D错误. 故选：B. 例2．下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用奇偶性的定义及函数的单调性的判断方法可得结论. 【详解】对于A，，因为，所以不是偶函数，故A错误； 对于B，，因为，所以是偶函数， 又是二次函数，对称轴为，开口向下，所以函数在上单调递减，故B错误； 对于C，，因为，所以是奇函数，故C错误； 对于D，，因为，所以是偶函数， 又时，，所以在上单调递增，故D正确. 故选：D. 【变式探究】1. 下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用奇函数的定义，结合解析式逐一判断各选项即可. 【详解】若函数是定义域为的奇函数，则有， 对于A，因为的图象关于轴对称，所以不是奇函数，故A错误 ； 对于B，当时，，所以不是奇函数，故B错误 ； 对于C，当时，，所以不是奇函数，故C错误 ； 对于D，因为的定义域为， 又，所以是奇函数，故D正确. 故选：D. 2. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的解析式判断函数性质即可判断. 【详解】A. 是偶函数，故错误； B.是奇函数，在定义域上又是减函数，故正确； C. 是偶函数，故错误； D. 是奇函数，在定义域内不单调，故错误； 故选：B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$