专题01 集合与充要条件-【中职专用】2025年对口升学数学二轮复习专项突破（河北专用）

专题01 集合与充要条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 理解集合的概念 · 掌握集合的表示方法：列举法和描述法 · 了解元素与集合的关系 · 理解集合与集合之间的关系 · 理解集合的运算 考点预测 · 集合的三个特征 · 元素与集合、集合与集合间的关系 · 集合的运算 · 判断充分条件、必要条件及充要条件 · 理解充要条件、必要条件和充要条件的意义 要点自测 （一）集合的概念及表示方法 集合的相关概念 （1） 集合：一般地，把某些 对象看成一个整体，就构成了集合. （2） 元素：构成集合的 都叫作集合的元素. 集合用大写英文字母表示，元素用小写英文字母表示. 元素与集合的关系 （1） 如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作 ，读作“a属于A”； （2） 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 ，读作“a不属于A”. 集合中元素特征 、 、无序性 集合的表示方法 、 、韦恩图法 集合的分类 按元素的数目分类： 、有限集、 重点集合：数集、点集 常见数集符号 N（自然数集）、Z（ ）、 （有理数集）、R（ ）、 （正整数集） （二）集合之间的关系 关系 定义 表示方法 性质 子集 对于两个集合A和B，如果集合B的 都是集合A的元素，那么集合B叫做集合A的子集. 或 ①任何一个集合是它本身的 ； ②空集是任何集合的 ； ③若A⊆B，B⊆C，则 . 真子集 对于两个集合A和B，如果集合B是集合A的 ，并且集合A中 不属于集合B，那么把集合B叫做集合A的真子集. A⫋B或 B⫋A ①空集是任何非空集合的 ； ②若A⫋B，B⫋C，则 . 相等 如果两个集合的元素 ，那么我们就说这两个集合相等. 如果A=B，那么A⊆B且B⊆A. 含有n个元素的集合，有 个子集， 个真子集， 个非空子集， 个非空真子集. （三）集合的运算 运算 定义 表示方法 性质 交集 由集合A，B的 所组成的集合，叫做A与B的交集，记作 . （1）图示： （2）数学表达式： ①A∩B= ； ②A∩A= ； ③A∩Ø= ； ④如果A⊆B，那么A∩B= . 并集 由集合A，B的 所组成的集合，叫做A与B的并集记作 ． （1）图示：（2）数学表达式： ①A∪B= ； ②A∪A= ； ③A∪Ø= ； ④如果A⊆B，那么A∪B= . 全集 如果一个集合含有我们所研究的各个集合的全部元素，在研究过程中，可以将这个集合叫做全集，一般用U来表示，所研究的各个集合都是这个集合的子集． （ ） ( ) 补集 如果集合A是全集U的一个子集，那么，由U中 A的所有元素组成的集合叫做集合A在全集U中的补集，记作 ． （1）图示： （2）数学表达式： ①A∪CUA= ； ②A∩CUA= ； ③CU(CUA)= ； ④CUU= ； ⑤CUØ= ； （四）充要条件 要点 定义 充分条件 如果 ，那么p是q的充分条件. 必要条件 如果 ，那么p是q的必要条件. 充要条件 如果 ，那么p是q的充要条件. 考点突破 考点1 集合的定义 【例1】1．下列各组对象不能构成集合的是（   ） A．中国古代四大发明 B．所有无理数 C．2024年高考数学难题 D．小于的正整数 【突破训练】下列四组对象中能构成集合的是（    ） A．本校学习好的学生 B．在数轴上与原点非常近的点 C．很小的实数 D．倒数等于本身的数 考点2 元素与集合的关系 【例2】下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【突破训练】给出下列关系，其中正确的个数为（   ） ①；②；③；④， A．1 B．2 C．3 D．4 考点3 集合中元素的特征 【例3】已知集合，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 【突破训练】若，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 考点4 集合的表示方法 【例4】用描述法表示被7除余3的所有自然数组成的集合 . 【突破训练】用列举法表示集合 . 考点5 集合之间的关系 【例5】已知集合，.若，则实数的值为 . 【突破训练】已知集合，则集合的子集个数是 ． 考点6 集合的运算 【例6】设全集为，，，求： (1)；(2)；(3). 【突破训练】已知全集，集合，． (1)求，； (2)． 考点7 求含字母的集合的运算 【例7】已知全集，集合，． (1)求； (2)若，求实数a的取值范围． 【突破训练】已知集合 ，集合 ． (1)当 时，求 ，， ; (2)若 ，求实数 的取值范围； 考点8 充要条件的判定 【例8】下列“若，则”形式的命题中，判断条件是结论的什么条件？ (1) 若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； (2)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (3)若，则； (4)若，则； (5)若，为无理数，则为无理数． 【突破训练】指出下列各组命题中，是的什么条件：（填“充分非必要条件”、“必要非充分条件”等） (1)：；：. (2)：同位角相等；：两直线平行. (3)：；：. (4)：；：. 模拟演练 一、单选题（每题3分，共30分） 1．下列各组对象能构成集合的是（    ） A．充分接近的所有实数 B．所有的正方形 C．著名的数学家 D．1，2，3，3，4，4，4 2．已知集合{且}，则（   ） A． B． C． D． 3．已知集合，则用列举法表示（   ） A． B． C． D． 4．下列集合中表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．集合的真子集的个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 6．下列是关于的描述，其中错误的是（   ） A． B． C． D． 7．已知集合，，若，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C．1或3 D．3 8．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 9．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 10．设a，b是实数， 则""是""的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题（每题4分，共20分） 11．下列表达式中正确的序号是： （写出所有正确的序号） ①；②；③；④． 12．若“”是“”的充分条件，则实数a的取值范围为 ． 13．已知集合，，则 . 14．已知集合，，且，则实数 ． 15．“”是“”的 条件 三、解答题（每题10分，共50分） 16．判定下列集合之间的关系： (1){x|x是矩形}，{x|x是平行四边形}； (2)，. 17．已知集合，，若，求实数的取值范围． 18．已知全集，集合，集合. (1)求； (2)求. 19．已知集合，． (1)求； (2)己知R为实数集，求． 20．已知集合 (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． $$专题01 集合与充要条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 理解集合的概念 · 掌握集合的表示方法：列举法和描述法 · 了解元素与集合的关系 · 理解集合与集合之间的关系 · 理解集合的运算 考点预测 · 集合的三个特征 · 元素与集合、集合与集合间的关系 · 集合的运算 · 判断充分条件、必要条件及充要条件 · 理解充要条件、必要条件和充要条件的意义 要点自测 （一）集合的概念及表示方法 集合的相关概念 （1） 集合：一般地，把某些 确定的 对象看成一个整体，就构成了集合. （2） 元素：构成集合的 所有元素 都叫作集合的元素. 集合用大写英文字母表示，元素用小写英文字母表示. 元素与集合的关系 （1） 如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作 a∈A ，读作“a属于A”； （2） 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 a∉A ，读作“a不属于A”. 集合中元素特征 确定性 、 互异性 、无序性 集合的表示方法 列举法 、 描述法 、韦恩图法 集合的分类 按元素的数目分类： 空集 、有限集、 无限集 重点集合：数集、点集 常见数集符号 N（自然数集）、Z（整数集）、Q（有理数集）、R（实数集）、N*或N+（正整数集） （二）集合之间的关系 关系 定义 表示方法 性质 子集 对于两个集合A和B，如果集合B的任一个元素都是集合A的元素，那么集合B叫做集合A的子集. 或 ①任何一个集合是它本身的 子集 ； ②空集是任何集合的 子集 ； ③若A⊆B，B⊆C，则 A⊆C . 真子集 对于两个集合A和B，如果集合B是集合A的子集，并且集合A中至少有一个元素不属于集合B，那么把集合B叫做集合A的真子集. A⫋B或 B⫋A ①空集是任何非空集合的 真子集 ； ②若A⫋B，B⫋C，则 A⫋C . 相等 如果两个集合的元素完全相同，那么我们就说这两个集合相等. 如果A=B，那么A⊆B且B⊆A. 含有n个元素的集合，有 2n 个子集， 2n-1 个真子集， 2n-1 个非空子集， 2n-2 个非空真子集. （三）集合的运算 运算 定义 表示方法 性质 交集 由集合A，B的相同元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B . （1）图示： （2）数学表达式： A∩B={x｜x∈A且 x∈B} ①A∩B= B∩A ； ②A∩A= A ； ③A∩Ø= Ø ； ④如果A⊆B，那么A∩B= A . 并集 由集合A，B的所有元素所组成的集合，叫做A与B的并集记作A∪B ． （1）图示：（2）数学表达式： A∩B={x｜x∈A且 x∈B} ①A∪B= B∪A ； ②A∪A= A ； ③A∪Ø= A ； ④如果A⊆B，那么A∪B= B . 全集 如果一个集合含有我们所研究的各个集合的全部元素，在研究过程中，可以将这个集合叫做全集，一般用U来表示，所研究的各个集合都是这个集合的子集． U / 补集 如果集合A是全集U的一个子集，那么，由U中 不属于A的所有元素组成的集合叫做集合A在全集U中的补集，记作CUA． （1）图示： （2）数学表达式： CUA={x｜x∈U且 x∉A} ①A∪CUA= U ； ②A∩CUA= Ø ； ③CU(CUA)= A ； ④CUU= Ø ； ⑤CUØ= U ； （四）充要条件 要点 定义 充分条件 如果 p⇒q ，那么p是q的充分条件. 必要条件 如果 q⇒p ，那么p是q的必要条件. 充要条件 如果 p⇔q ，那么p是q的充要条件. 考点突破 考点1 集合的定义 【例1】1．下列各组对象不能构成集合的是（   ） A．中国古代四大发明 B．所有无理数 C．2024年高考数学难题 D．小于的正整数 【答案】C 【详解】对于A，中国古代四大发明是指造纸术、指南针、火药、印刷术，满足集合定义，即A能构成集合； 对于B，所有无理数定义明确，即B能构成集合; 对于C，2024年高考数学难题定义不明确不具有确定性，不符合集合的定义，即C构不成集合； 对于D，小于的正整数只有1，2，3，具有确定性，满足集合定义，即D能构成集合. 故选：C 【突破训练】下列四组对象中能构成集合的是（    ） A．本校学习好的学生 B．在数轴上与原点非常近的点 C．很小的实数 D．倒数等于本身的数 【答案】D 【详解】A：学习好，是模糊的概念，不符合集合中元素的确定性，故A错误； B：非常近，是模糊的概念，不符合集合中元素的确定性，故B错误； C：很小，是模糊的概念，不符合集合中元素的确定性，故C错误； D：倒数等于本身的数符合集合中元素的确定性，故D正确. 故选 ：D 考点2 元素与集合的关系 【例2】下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A.因为为有理数，所以，选项A正确， B.因为为无理数，所以是实数，所以，选项B错误， C.因为0不是正整数，所以，选项C错误， D.因为为无理数，所以，选项D错误. 故选：A 【突破训练】给出下列关系，其中正确的个数为（   ） ①；②；③；④， A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】：全体实数，①正确；：整数，②正确；：正整数，③错误；：有理数，④错误. 故选：B. 考点3 集合中元素的特征 【例3】已知集合，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】因为，所以或或，当时，，不满足集合元素的互异性， 当时，得到或（舍），又时，，满足题意， 当，得到，此时，不满足集合元素的互异性， 故选：A. 【突破训练】若，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【详解】，若，此时，不满足集合中元素互异性，舍去， 若，解得或，显然舍去， 当时，满足集合中元素互异性，故. 故选：A 考点4 集合的表示方法 【例4】用描述法表示被7除余3的所有自然数组成的集合 . 【答案】 【详解】由题意，设被除7的商为，余数为3，这个数可表示为，所以设被7除余3的自然数组成的集合为. 故答案为： 【突破训练】用列举法表示集合 . 【答案】 【详解】. 故答案为：. 考点5 集合之间的关系 【例5】已知集合，.若，则实数的值为 . 【答案】1 【详解】由题意，，则， 又，则， 此时，，符合题意. 故答案为：1. 【突破训练】已知集合，则集合的子集个数是 ． 【答案】 【详解】依题意，，共个元素，所以子集的个数是.故答案为： 考点6 集合的运算 【例6】设全集为，，，求： (1)；(2)；(3). 【答案】(1)(2)或(3)或 【详解】（1）因为集合，，则. （2）由题意可得或，所以，或. （3）由题意可得，所以，或. 【突破训练】已知全集，集合，． (1)求，； (2)． 【答案】(1)，(2) 【详解】（1）由题可知，，所以， （2）由题可知所以,得 考点7 求含字母的集合的运算 【例7】已知全集，集合，． (1)求； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或(2) 【详解】（1）因为全集，集合， 所以或． （2）因为，所以，故实数a的取值范围是． 【突破训练】已知集合 ，集合 ． (1)当 时，求 ，， ; (2)若 ，求实数 的取值范围； 【答案】(1)，， 或 (2) 【详解】（1）当 时，， 则 ，， 或； （2）由 知 解得 ， 即实数 的取值范围为 ． 考点8 充要条件的判定 【例8】下列“若，则”形式的命题中，判断条件是结论的什么条件？ (1) 若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； (2)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (3)若，则； (4)若，则； (5)若，为无理数，则为无理数． 【答案】(1)充要条件(2)充分非必要(3)必要非充分(4)充分非必要(5)既非充分又非必要 【详解】（1）这是一条相似三角形的判定定理，，所以是的充分条件. 再由三角形相似，，所以是的必要条件，即是的充要条件. （2）这是一条菱形的性质定理，，所以是的充分条件. 若对角线垂直的四边形不一定为菱形，必要性不成立，即是的充分非必要条件. （3）由于，但，所以不能推出，即不是的充分条件. 若，则，必要性成立，即即是的必要非充分条件. （4）由等式的性质知，，所以是的充分条件. 若，则，但，必要性不成立，即是的充分非必要条件. （5）为无理数，但为有理数，所以不能推出，即不是的充分条件. 为无理数，但，1为有理数，所以不能推出，即不是的必要条件.所以是的既非充分又非必要条件. 【突破训练】指出下列各组命题中，是的什么条件：（填“充分非必要条件”、“必要非充分条件”等） (1)：；：. (2)：同位角相等；：两直线平行. (3)：；：. (4)：；：. 【答案】(1)必要非充分条件(2)充要条件(3)既非充分也非必要条件(4)充分非必要条件 【详解】（1）由可得或者， 故是的必要不充分条件， （2）同位角相等，两直线平行；当两直线平行时，同位角相等， 故是的充要条件 （3）由可得或，故是的既不充分也不必要条件， （4）由可得，故是的充分不必要条件， 模拟演练 一、单选题（每题3分，共30分） 1．下列各组对象能构成集合的是（    ） A．充分接近的所有实数 B．所有的正方形 C．著名的数学家 D．1，2，3，3，4，4，4 【答案】B 【分析】根据构成集合元素的特征满足确定性、互异性判断各选项即可. 【详解】对于A，充分接近的所有实数不能满足集合元素的确定性，A不能； 对于B，所有的正方形可以构成一个集合，B能； 对于C，著名的数学家不能满足集合元素的确定性，C不能； 对于D，元素有重复，不满足集合元素的互异性，D不能. 故选：B 2．已知集合{且}，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系一一判定选项即可. 【详解】易知，所以，，故A错误，D正确； ，故B、C错误. 故选：D. 3．已知集合，则用列举法表示（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得可为、，计算即可得. 【详解】由题意可得可为、， 即可为，即. 故选：B. 4．下列集合中表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据集合相等的概念逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，； 对于B选项，； 对于C选项，为点集，为数集，则； 对于D选项，为数集，为点集，则. 故选：B. 5．集合的真子集的个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】由集合所包含元素个数与集合真子集个数之间的关系即可得解. 【详解】含有个元素的集合的真子集个数为，即所求为. 故选：C. 6．下列是关于的描述，其中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合与集合，元素与集合的关系逐一判断即可. 【详解】对于AB，，故A正确，B错误； 对于CD，，，故CD正确. 故选：B. 7．已知集合，，若，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C．1或3 D．3 【答案】D 【分析】利用集合相等求解. 【详解】解：因为集合，，且， 所以，解得， 故选：D 8．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用交集的定义直接求解即可. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：B. 9．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用并集概念计算即可. 【详解】集合，，则. 故选：D 10．设a，b是实数， 则""是""的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】举出反例，得到充分性和必要性均不成立，得到答案. 【详解】充分性，不妨令，此时满足，但，充分性不成立， 必要性，不妨令，此时满足，但，必要性不成立， 故是的既不充分也不必要条件. 故选：D 二、填空题（每题4分，共20分） 11．下列表达式中正确的序号是： （写出所有正确的序号） ①；②；③；④． 【答案】② 【分析】利用元素与集合，集合与集合之间的关系判断即可. 【详解】，故①错误；空集为任何非空集合的真子集，故②正确； 为无理数，故③错误；是的子集，所以，故④错误； 故答案为：② 12．若“”是“”的充分条件，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据充分条件的定义结合题意即可求解. 【详解】“”是“”的充分条件，则. 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 13．已知集合，，则 . 【答案】 【分析】利用交集的定义求解即可. 【详解】. 故答案为：. 14．已知集合，，且，则实数 ． 【答案】 【分析】根据集合中元素的互异性求的值. 【详解】，或，由互异性，. 故答案为：． 15．“”是“”的 条件 【答案】必要非充分 【分析】根据条件间的推出关系确定充分、必要性. 【详解】由，有或，充分性不成立； 由，必有，必要性成立， 所以“”是“”的必要非充分条件. 故答案为：必要非充分 三、解答题（每题10分，共50分） 16．判定下列集合之间的关系： (1){x|x是矩形}，{x|x是平行四边形}； (2)，. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据子集定义可判断； （2）根据子集定义可判断. 【详解】（1）x是矩形是平行四边形， ； （2）， . 17．已知集合，，若，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】根据集合间的关系，分情况讨论列不等式，解不等式即可. 【详解】由， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上所述. 18．已知全集，集合，集合. (1)求； (2)求. 【答案】(1)， (2), 【分析】（1）根据并集、交集的知识求得正确答案. （2）根据补集、交集、并集的知识求得正确答案. 【详解】（1）依题意，，. （2），所以， ，所以. 19．已知集合，． (1)求； (2)己知R为实数集，求． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）解出，再根据交集的定义即可得解； （2）根据补集和并集的定义即可得解. 【详解】（1）由题得． 己知，得． （2）因为或，所以或． 20．已知集合 (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合的补集定义进行求解即可； （2）根据交集的定义，子集的性质进行求解即可. 【详解】（1）因为，则， 所以； （2）因为，则， 所以， 所以实数的取值范围为 $$