专题02 不等式-【中职专用】2025年对口升学数学二轮复习专项突破（河北专用）

专题02 不等式 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 理解比较实数大小的方法 · 理解不等式的基本性质 · 理解区间的概念 · 掌握一元一次不等式和一元一次不等式组的解法 · 掌握一元二次不等式解法 · 了解含绝对值的不等式（c＞0）［｜ax+b｜＜c（或＞c）］ · 能够利用一元一次不等式解决一些简单的实际问题 考点预测 · 不等式的基本性质的应用，区间的概念 · 含绝对值的不等式解法，分式不等式的解法 · 一元二次不等式解法 要点自测 1.不等式的概念 用符号“≠、>、<、≥、≤”表示数量之间不等关系的式子叫作不等式.如实数a的绝对值是非负数，即 2.实数大小的基本性质 (1)a-b>0<↔a>b (2)a-b=0↔a=b (3)a-b<0↔a<b 3.比较实数大小的方法 (1)观察数轴上对应点的位置进行直观比较. (2)作差法:a-b>0↔a>b; a-b=0↔a=b; a-b<0↔a<b. (3)作商法: 4.不等式的性质 (1)对称性:a>b↔b<a (2)传递性:a>b，b>c→ a>c (3)加法性质:a>b，a+c>b+c; a>b，c>d → a+c>b+d 即不等式的两边同时加上(或减去)同一个实数，不等号的方向不变. (4)乘法性质:a>b，c>0→ac>bc;a>b，c<0=ac<bc;a>b>0，c>d>0= ac>bd 5.区间及有关概念： （1）一般区间表示，设,且，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 开区间 左闭右开区间 左开右闭区间 闭区间 （2）特殊区间的表示 定义 符号 6．一元一次不等式解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式．当a＞0时，解集为；当a＜0时，解集为．若关于x的不等式ax>b的解集是R，则实数a，b满足的条件是 7．一元二次不等式及其解法 (1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为 不等式． (2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的 ． (3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于号取 ，小于号 ”求解集． (4)一元二次不等式的解： 二次函数 （）的图象 8.绝对值不等式 |x|< a(a >0)的解集是: |x|>a(a >0)的解集是: |ax +b|< c(c > 0)↔ |ax +b| >c(c >0)↔ 9.简单分式不等式的解法 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔ 考点突破 考点1 比较实数的大小 【例1】比较下列各题中两个代数式的大小： (1)与； (2)与. 【突破训练】设是实数，比较与的值的大小. 考点2 不等式的基本性质 【例2】下列不等式性质哪个是错误的（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【突破训练】若，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 考点3 区间的概念 【例3】用区间表示下列集合： （1）： ；（2）： ； （3）： ； （4）： ． 【突破训练】把下列数集用区间表示． (1)；(2)；(3)；(4)或． 考点4 一元一次不等式和一元一次不等式组的解法 【例4】解下列一元一次不等式（组）： (1)，并把它的解表示在数轴上. (2) 【突破训练】不等式组的解集为 ． 考点5 一元二次不等式的解法 【例5】不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D． 【突破训练】不等式的解集为（   ） A．或 B．或 C．或 D． 考点6 含绝对值的解法 【例6】解下列不等式： (1)； (2)； 【突破训练】的解集为 . 考点7 含参数的一元二次不等式 【例7】不等式的解集是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【突破训练】已知，不等式的解集是. (1)求的解析式； (2)求的解集. 考点8 含参数的绝对值不等式 【例8】若不等式的解是，求a，b的值. 【突破训练】已知关于x的不等式的解集为． (1)a，b的值； (2)试求的解集． 考点9 解分式不等式 【例9】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【突破训练】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 模拟演练 一、单选题（每题3分，共30分） 1．下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．若，则的值与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 3．“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．不等式的解集为（   ） A．- B． C． D． 5．不等式解集是（    ） A． B． C． D． 6．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．不等式的解为（    ） A． B．或 C． D．或 8．函数 的定义域为（     ） A． B． C． D． 9．集合用区间表示为（    ） A． B． C． D． 10．设集合，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题（每题4分，共20分） 11．若，，则的取值范围是 . 12．不等式的解集为 13．已知，则 .（填“”，“”，或“”） 14．关于的不等式的解集为，则 ． 15．已知，，请用恰当的不等号或等号填空： . 三、解答题（每题10分，共50分） 16．解下列不等式： (1)；(2)； (3)；(4) 17．已知集合，. (1)分别求，. (2)已知，且，求实数的取值范围. 18．解下列不等式（组）： (1)； (2). 19．已知函数． (1)当时，解不等式 (2)若关于的不等式的解集为，求的值； 20．已知集合，集合. （1）用区间表示集合A与集合B； （2）若全集，求. $$ 专题02 不等式 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 理解比较实数大小的方法 · 理解不等式的基本性质 · 理解区间的概念 · 掌握一元一次不等式和一元一次不等式组的解法 · 掌握一元二次不等式解法 · 了解含绝对值的不等式（c＞0）［｜ax+b｜＜c（或＞c）］ · 能够利用一元一次不等式解决一些简单的实际问题 考点预测 · 不等式的基本性质的应用，区间的概念 · 含绝对值的不等式解法，分式不等式的解法 · 一元二次不等式解法 要点自测 1.不等式的概念 用符号“≠、>、<、≥、≤”表示数量之间不等关系的式子叫作不等式.如实数a的绝对值是非负数，即 2.实数大小的基本性质 (1)a-b>0<↔a>b (2)a-b=0↔a=b (3)a-b<0↔a<b 3.比较实数大小的方法 (1)观察数轴上对应点的位置进行直观比较. (2)作差法:a-b>0↔a>b; a-b=0↔a=b; a-b<0↔a<b. (3)作商法: 4.不等式的性质 (1)对称性:a>b↔b<a (2)传递性:a>b，b>c→ a>c (3)加法性质:a>b，a+c>b+c; a>b，c>d → a+c>b+d 即不等式的两边同时加上(或减去)同一个实数，不等号的方向不变. (4)乘法性质:a>b，c>0→ac>bc;a>b，c<0=ac<bc;a>b>0，c>d>0= ac>bd 5.区间及有关概念： （1）一般区间表示，设,且，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 开区间 左闭右开区间 左开右闭区间 闭区间 （2）特殊区间的表示 定义 符号 6．一元一次不等式解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式．当a＞0时，解集为；当a＜0时，解集为．若关于x的不等式ax>b的解集是R，则实数a，b满足的条件是 a=0,b<0 ． 7．一元二次不等式及其解法 (1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为 一元二次 不等式． (2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的 解集 ． (3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于号取 两边 ，小于号 中间 ”求解集． (4)一元二次不等式的解： 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 8.绝对值不等式 |x|< a(a >0)的解集是:{x|-a <x<a}， |x|>a(a >0)的解集是:{x|x<-a或x>a}， |ax +b|< c(c > 0)↔ -c <ax +b<c; |ax +b| >c(c >0)↔ax+b>c或ax+b<-c; 9.简单分式不等式的解法 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；(2)≥0(≤0)⇔ 考点突破 考点1 比较实数的大小 【例1】比较下列各题中两个代数式的大小： (1)与； (2)与. 【答案】(1) (2) 【分析】利用作差法求解即可. 【详解】（1）因为， 所以； （2）因为， 所以. 【突破训练】设是实数，比较与的值的大小. 【答案】答案见解析 【分析】两式作差，通过的正负，得到两式子大小关系. 【详解】 ①当，即时， ②当，即时， ③当，即时， 考点2 不等式的基本性质 【例2】下列不等式性质哪个是错误的（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】由不等式的性质可以判断A，B，D，利用特殊值可以判断C. 【详解】对于A，由不等式的传递性知，若，则，因此A正确； 对于B，由不等式的可加性知，，则，因此B正确； 对于C，若，则，因此C不正确； 对于D，由不等式的可乘性知，若，则，因此D正确； 故选：C. 【突破训练】若，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式的性质即可求解. 【详解】对于A，当时，则，又因为，所以，故A不正确； 对于B，当时，由，得，故B不正确； 对于C，因为，所以，由，得，故C正确； 对于D，当时，则，由，可得，故D不正确. 故选：C. 考点3 区间的概念 【例3】用区间表示下列集合： （1）： ；（2）： ； （3）： ； （4）： ． 【答案】 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 故答案为：，，，. 【突破训练】把下列数集用区间表示． (1)； (2)； (3)； (4)或． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）. （2）. （3）. （4）或. 考点4 一元一次不等式和一元一次不等式组的解法 【例4】解下列一元一次不等式（组）： (1)，并把它的解表示在数轴上. (2) 【答案】(1)，作图答案见解析 (2) 【详解】（1），，，， 在数轴上表示为 （2） 由①得：，由②得：，∴不等式组的解集是. 【突破训练】不等式组的解集为 ． 【答案】 【详解】解得：解得：故原不等式解集为： 故答案为： 考点5 一元二次不等式的解法 【例5】不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【详解】，解得或. 故选：B. 【突破训练】不等式的解集为（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】D 【详解】由不等式可化为， 由， 所以的解集为空集， 故选：D 考点6 含绝对值的解法 【例6】解下列不等式： (1)； (2)； 【答案】(1)；(2)； 【详解】（1）因为，故可得或， 解得或， 故不等式的解集为. （2）因为，故可得， 解得 故不等式的解集为. 【突破训练】的解集为 . 【答案】 【详解】由， 则或， 解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 考点7 含参数的一元二次不等式 【例7】不等式的解集是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为不等式的解集是， 所以，和是方程的根， 所以，即，，则． 故选：D． 【突破训练】已知，不等式的解集是. (1)求的解析式； (2)求的解集. 【答案】(1)(2) 【解析】（1）已知， 因为不等式的解集是， 所以时，即时，两根分别为， 所以有，即， 所以. （2）由（1）可得， 所以时，， 即，等价于， 解得或， 所以解集为. 考点8 含参数的绝对值不等式 【例8】若不等式的解是，求a，b的值. 【答案】， 【分析】化简为，讨论的符号分情况进行求解. 【详解】因为不等式的解是，所以必有. ，即. 分两种情况进行讨论： ①当时，，， 解方程组，得.不符合题意，故舍去. ②当时，，. 解方程组，得. 综上，，. 【突破训练】已知关于x的不等式的解集为． (1)a，b的值； (2)试求的解集． 【答案】(1)(2)R 【解析】（1）由不等式解得， 所以不等式的解为， 又因为不等式的解集为， 所以， 解得. （2）由（1）可知， 所以不等式为， 又因为方程无解， 所以不等式恒成立， 则不等式的解集为R. 考点9 解分式不等式 【例9】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，等价于，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：B. 【突破训练】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不等式，即， ，即， 或， 故原不等式的解集为 故选：D 模拟演练 一、单选题（每题3分，共30分） 1．下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐个选项推导或举反例判断即可. 【详解】对A，若，，则，故A错误； 对B，若，则，但，故B错误； 对C，若，则，但，故C错误； 对D，若，则，故，即，故D正确. 故选：D 2．若，则的值与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】利用作差比较法即可判断两者大小. 【详解】由， 因，故，即得. 故选：C. 3．“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据不等式的性质，结合必要不充分条件的定义即可判断. 【详解】同向不等式可以相加，所以“且”“”，必要性满足； 若时，取，此时且不成立，即充分性不成立； 则“”是“且”的必要不充分条件. 故选：B 4．不等式的解集为（   ） A．- B． C． D． 【答案】D 【分析】直接解出不等式即可. 【详解】，解得， 则其解集为. 故选：D. 5．不等式解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不等式两边同时平方可得一元二次不等式，求解即可. 【详解】因为，所以，解得 所以不等式解集是； 故选：D. 6．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先解不等式得或，再根据基本关系判定即可得答案. 【详解】解不等式得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 7．不等式的解为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】把分式不等式转化为整式不等式，即可解得. 【详解】由原式得且，解得， 即不等式的解集为. 故选：A 8．函数 的定义域为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由解析式可得，求解即可. 【详解】函数 的定义域应满足： ，解得且， 故函数 的定义域为. 故选:B. 9．集合用区间表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】按照区间的定义写出区间即可. 【详解】解：集合或用区间表示为：. 故选：B. 10．设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简两集合，再求即可. 【详解】解：因为 ， 所以或， 所以. 故选：B 二、填空题（每题4分，共20分） 11．若，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据不等式的性质直接得出结果. 【详解】由， 得，即. 故答案为： 12．不等式的解集为 【答案】 【分析】根据绝对值的几何意义求解． 【详解】， 故答案为：． 13．已知，则 .（填“”，“”，或“”） 【答案】 【分析】借助作差法计算即可得. 【详解】，故. 故答案为：. 14．关于的不等式的解集为，则 ． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解集求得，进而求得. 【详解】由于不等式的解集为， 所以，解得， 所以. 故答案为： 15．已知，，请用恰当的不等号或等号填空： . 【答案】 【分析】利用不等式的基本性质可得结果. 【详解】因为，，则，由不等式的基本性质可得. 故答案为：. 三、解答题（每题10分，共50分） 16．解下列不等式： (1)；(2)； (3)；(4) 【答案】(1)或 (2)或 (3) (4)或 【详解】（1）依题意，， 解得或，所以不等式的解集为或. （2）， 解得或， 所以不等式的解集为或. （3）依题意，，解得， 所以不等式的解集为. （4）依题意，， 解得或， 所以不等式的解集为或. 17．已知集合，. (1)分别求，. (2)已知，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）解出集合后，结合集合的运算性质运算即可得； （2）利用子集概念即可求解. 【详解】（1）由，解得，所以， 所以， . （2）因为，， 所以，解得， 求实数的取值范围为. 18．解下列不等式（组）： (1)； (2). 【答案】(1)(2) 【详解】（1）去分母，得， 去括号，得， 移项化简，得， 所以不等式的解集为． （2）解不等式①，得， 解不等式②，得， 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图． 由图可知，不等式组的解集为． 19．已知函数． (1)当时，解不等式 (2)若关于的不等式的解集为，求的值； 【答案】(1)(2) 【详解】（1）将代入可得，解不等式， 即，所以不等式解集为； （2）因为关于的不等式的解集为， 所以和为方程的两个解， 即，解得. 20．已知集合，集合. （1）用区间表示集合A与集合B； （2）若全集，求. 【答案】（1）；B=；（2）. 【分析】（1）由已知可得，再解绝对值不等式用区间表示不等式解集可得答案； （2）解分式不等式用区间表示不等式解集可得答案. 【详解】（1）由可得，所以，解得， 所以； 由得，即，解得， 所以. （2）若全集，由（1）得，，， 所以. $$