期末复习9平行线的证明 练习题课件 2024-2025学年北师大版数学八年级上册

期末提分练案 复习9　平行线的证明 1　考点梳理与达标训练 北师 八年级上册 目 录 CONTENTS 01 考点梳理 02 达标训练 1. 检验数学结论常用的方法主要有： 验证、举 出 、推理 ⁠. 实验　 反例　 证明　 考点梳理 2. 定义：一般地，用来说明一个 或者一个 ⁠ 的含义的句子叫做定义. 名称　 术语　 3. 命题：判断一件事情的句子，叫做命题.(1)命题一般 由 和 组成.(2)正确的命题称为 ⁠命 题，不正确的命题称为 命题.(3)公认的真命题叫 做 .(4)经过证明的真命题称为 ⁠. 条件　 结论　 真　 假　 公理　 定理　 4. 平行线的判定：(1) 相等，两直线平行.(2) ⁠ 互补，两直线平行.(3) 相等，两直线 平行. 同位角　 同 旁内角　 内错角　 5. 平行线的性质：(1)两直线平行， 相等.(2)两直 线平行， 互补.(3)两直线平行， ⁠ 相等. 同位角　 同旁内角　 内错角　 6. 三角形的内角和定理：三角形的内角和等于 ⁠. 180°　 7. 推论：(1)三角形的一个外角等于和它 ⁠的两个 内角的和. (2)三角形的一个外角 任何一个和它 ⁠ 的内角. 不相邻　 大于　 不相邻　 一、选择题(每题4分，共32分) 1. “在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个句 子是(　A　) A. 定义 B. 命题 C. 公理 D. 定理 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 达标训练 2. 下列命题： (1)对顶角相等； (2)相等的角是对顶角； (3)同位角相等； (4)如果 x2＝ y2，那么 x ＝ y . 其中是真命题的是(　A　) A A. (1) B. (2) C. (1)和(3) D. (1)和(4) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 3. 下列图形中，已知∠1＝∠2，则可得到 AB ∥ CD 的是 (　B　) B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 4. 将一副学生用的三角板按如图所示的位置放置，若 AE ∥ BC ，则∠ DAF 的度数是(　B　) A. 10° B. 15° C. 30° D. 45° B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 5. [教材P186复习题T12变式]如图，这是小亮绘制的潜望镜 原理示意图，两个平面镜的镜面 AB 与 CD 平行，入射光 线 l 与出射光线 m 平行，若入射光线 l 与镜面 AB 的夹角 ∠1＝40°10'，则∠6的度数为(　C　) A. 100°40' B. 100°20' C. 99°40' D. 99°20' C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 6. 如图，直线 AB ∥ CD ，∠ M ＝90°，∠ CEF ＝120°， 则∠ MPB ＝(　D　) A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 7. 如图，将直尺与含30°角的三角尺叠放在一起，若∠1＝ 40°，则∠2的度数是(　D　) A. 40° B. 60° C. 70° D. 80° D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 8. 直线 AB ， BC ， CD ， EG 如图所示，∠1＝∠2＝80°， ∠3＝40°，则下列结论错误的是(　D　) A. AB ∥ CD B. ∠ EFB ＝40° C. ∠ FCG ＋∠3＝∠2 D. EF ＞ BE D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 二、填空题(每题5分，共20分) 9. 命题“没有公共点的两条直线互相平行”的条件是 ⁠ ，结论是 .这 个命题是 命题.(填“真”或“假”) 两条 直线没有公共点　 这两条直线互相平行　 假　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 10. 某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已 知∠ BAC ＝130°， AB ∥ DE ，∠ D ＝70°，则∠ ACD ＝ ⁠. 20°　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 则∠ ACF ＝∠ BAC . ∵ AB ∥ DE ，∴ CF ∥ DE . ∴∠ D ＋∠ DCF ＝180°. 又∵∠ BAC ＝130°，∠ D ＝70°， ∴∠ ACF ＝130°，∠ DCF ＝110°. ∴∠ ACD ＝∠ ACF －∠ DCF ＝20°. 点拨：如图，过点 C 作 CF ∥ AB ， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 11. 如图，若∠ A ＝57°，∠ B ＝44°，∠ C ＝48°，则 ∠ BDC ＝ ⁠. 149°　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 ∵∠ A ＝57°，∠ B ＝44°，∠ BEC 是△ ABE 的外角， ∴∠ BEC ＝∠ A ＋∠ B ＝101°. ∵∠ C ＝48°，∠ BDC 是△ CDE 的外角， ∴∠ BDC ＝∠ BEC ＋∠ C ＝149°. 点拨：延长 BD 交 AC 于点 E ，如图. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 12. 如图所示，把一张三角形纸片 ABC 的三个顶角向内折叠 之后(3个顶点不重合)，图中∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5 ＋∠6＝ ⁠°. 360　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 三、解答题(共48分) 13. (12分)【新视角·开放性试题】如图， AD 与 BC 相交于 点 O ，点 E ， F 分别为 OB ， OD 的中点，连接 AB ， CD ， EF ，给出以下四个等量关系：①∠ A ＝∠ C ；② OA ＝ OC ；③∠ B ＝∠ D ；④ OE ＝ OF . 请你以其中两 个为条件，另两个中的一个为结论，组成一个真命题， 并证明. (1)条件： ，结论： ；(填序号) ②④　 ①　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 (2)写出你的证明过程. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 证明：∵ OE ＝ OF ，点 E ， F 分别为 OB ， OD 的中点， ∴ OB ＝ OD . 在△ OAB 和△ OCD 中， ∴△ OAB ≌△ OCD (SAS)，∴∠ A ＝∠ C . 14. (12分)[2024广东河源期末]已知在△ ABC 中，∠ A ＝ 70°，∠ ACB ＝36°， D 为边 BC 延长线上一点， BM 平分∠ ABC ， E 为射线 BM 上一点. (1)如图，连接 CE ， ①若 CE ∥ AB ，求∠ BEC 的度数； ②若 CE 平分∠ ACD ，求∠ BEC 的度数. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 解：(1) ①∵∠ A ＝70°，∠ ACB ＝36°， ∴∠ ABC ＝180°－∠ A －∠ ACB ＝180°－70°－36°＝74°. ∵ BM 平分∠ ABC ， ∴∠ ABE ＝ ∠ ABC ＝ ×74°＝37°. ∵ CE ∥ AB ，∴∠ BEC ＝∠ ABE ＝37°. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 ②∵∠ A ＝70°，∠ ACB ＝36°， ∴∠ ABC ＝74°， ∠ ACD ＝180°－∠ ACB ＝180°－36°＝144°. ∵ BM 平分∠ ABC ， CE 平分∠ ACD ， ∴∠ CBE ＝ ∠ ABC ＝37°，∠ ECD ＝ ∠ ACD ＝72°. ∴∠ BEC ＝∠ ECD －∠ CBE ＝72°－37°＝35°. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 (2)若直线 CE 垂直于△ ABC 的一边，求∠ BEC 的度数. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 解：(2)①如图①，当 CE ⊥ BC 时，∠ ECB ＝90°. 由(1)得∠ CBE ＝37°， ∴∠ BEC ＝90°－∠ CBE ＝90°－37°＝53°； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 ②如图②，当 CE ⊥ AB 于点 F 时，∠ BFC ＝90°. 由(1)得∠ FBE ＝37°， ∴∠ BEC ＝∠ BFC ＋∠ FBE ＝90°＋37°＝127°； ③如图③，当 CE ⊥ AC 时，∠ ACE ＝90°. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 由(1)得∠ CBE ＝37°. 又∵∠ ACB ＝36°， ∴∠ BEC ＝180°－∠ CBE －∠ ACB －∠ ACE ＝ 180°－37°－36°－90°＝17°. 综上所述，∠ BEC 的度数为127°或53°或17°. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 15. (12分)人们常用装了水的玻璃杯检查桌面是否水平.一张 桌子上放置了一个装有水的玻璃杯，从侧面看的结果如 图所示.(注：杯子底是平的，而且杯子上下粗细均匀) (1)若∠ ABD ＋∠ BDC ＝180°，能说明桌面水平吗？为 什么？ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 解：(1)不能.理由如下： ∵∠ ABD ＋∠ BDC ＝180°， ∴ AE ∥ CF . ∵ AE ， CF 都不是桌面或水面， ∴不能说明桌面水平. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 (2)若 BD ⊥ CF ，能说明桌面水平吗？为什么？ 解：(2)能.理由如下： ∵ EF ⊥ CF ， BD ⊥ CF ， ∴∠ EFC ＝∠ BDC ＝90°. ∴ BD ∥ EF . ∴能说明桌面水平. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 16. (12分)[2024辽阳期末] 综合与实践 (1)【探索发现】已知：如图①， AB ∥ CD ，点 P 在 AB ， CD 之间，连接 AP ， CP . 易证：∠ APC ＝ ∠ BAP ＋∠ PCD . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 下面是两位同学添加辅助线的方法： 小刚：如图②，过点 P 作 PQ ∥ AB . 小红：如图③，延长 AP 交 CD 于点 M . 请你选择一位同学的方法，完成证明； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 (1)解：选择小刚添加辅助线的方法.证明如下： ∵ PQ ∥ AB ，∴∠ BAP ＝∠ QPA . ∵ AB ∥ CD ，∴ PQ ∥ CD . ∴∠ PCD ＝∠ QPC . ∵∠ APC ＝∠ QPA ＋∠ QPC ， ∴∠ APC ＝∠ BAP ＋∠ PCD . 选择小红添加辅助线的方法.证明如下： ∵ AB ∥ CD ，∴∠ BAP ＝∠ PMC . 又∵∠ APC ＝∠ PMC ＋∠ PCD ， ∴∠ APC ＝∠ BAP ＋∠ PCD . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 (2)【深入思考】如图④，点 E ， F 分别是射线 AB ， CD 上一点，点 G 是线段 CF 上一点，连接 AG 并延长，交 直线 EF 于点 P ，连接 AC ， EG . 若∠ PAC ＋∠ PEG ＝∠ AGE ，求证： AC ∥ EF ； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 (2)证明：如图①所示，延长 AC ， EG ，交于点 N . ∵∠ PAC ＋∠ N ＝∠ AGE ， ∠ PAC ＋∠ PEG ＝∠ AGE ， ∴∠ N ＝∠ PEG . ∴ AC ∥ EF . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 (3)【拓展延伸】如图⑤，在(2)的条件下， AB ∥ CD ， AH 平分∠ PAC ， FH 平分∠ PFC ， AH 与 FH 交于点 H ，若∠ CAH ＝25°，∠ AHF ＝∠ AEG ，∠ PGE ＝ 2∠ CAH ＋3∠ PEG ，求∠ PFC 的度数. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 (3)解：设 HF 与 GP 相交于点 T ，如图②所示. ∵ AH 平分∠ PAC ， ∴∠ CAH ＝∠ HAG ＝25°. ∴∠ CAG ＝2∠ CAH ＝50°. ∵ AC ∥ EF ，∴∠ CAG ＝∠ GPF ＝50°. ∵∠ PGE ＝2∠ CAH ＋3∠ PEG ， ∠ PGE ＝180°－∠ GPF －∠ PEG ， ∴50°＋3∠ PEG ＝180°－50°－∠ PEG . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 ∴∠ PEG ＝20°.∴∠ PGE ＝110°. 设∠ PFC ＝2 n . ∵ FH 平分∠ PFC ，∴∠ GFT ＝∠ TFP ＝ n . ∵ AB ∥ CD ，∴∠ AEF ＝∠ GFP ＝2 n ， ∠ AEG ＝∠ EGF . 　 ∴∠ AEG ＝∠ AEF －∠ PEG ＝2 n －20°. ∴∠ EGF ＝2 n －20°. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 ∴∠ TGF ＝∠ PGE －∠ EGF ＝110°－(2 n －20°)＝ 130°－2 n . ∵∠ AHF ＝∠ AEG ，∴∠ AHF ＝2 n －20°. ∵∠ GTF ＝∠ AHF ＋∠ HAG ＝2 n －20°＋25°＝2 n ＋5°，∠ GTF ＝180°－∠ TGF －∠ GFT ＝180°－(130°－2 n )－ n ＝50°＋ n ， ∴2 n ＋5°＝50°＋ n . ∴ n ＝45°.∴∠ PFC ＝90°. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 $$期末提分练案 复习9　平行线的证明 2　易错专项训练 北师 八年级上册 平行线的判定与性质常见的四种易错类型 类型1不能结合图形正确分析两角的位置关系 1. 将一副三角板按如图放置，则下列结论： ①如果∠2＝30°，则有 AC ∥ DE ； ②∠ BAE ＋∠ CAD ＝180°； ③如果 BC ∥ AD ，则有∠2＝30°； ④如果∠ CAD ＝150°，必有∠4＝∠ C . 2 3 4 1 易错专项训练 正确的有(　A　) A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ A 2 3 4 1 类型2不能灵活地应用平行线的性质 2. [2024邯郸模拟] 题目：“如图，在△ ABC 中，∠ B ＝∠ C ＝65°，将△ MNC 沿 MN 折叠得到△MNC'，若MC'与 △ ABC 的边平行，求∠C'MN的度数.”甲答：∠C'MN＝ 57.5°，乙答：∠C'MN＝25°，丙答：∠C'MN＝35°， 则正确的是(　B　) B A. 只有甲答的对 B. 甲、乙答案合在一起才完整 C. 乙、丙答案合在一起才完整 D. 三人答案合在一起才完整 2 3 4 1 点拨：①如图①，MC'与△ ABC 的边 BC 平行. ∵△ MNC 沿 MN 折叠得到△MNC'， ∴∠ C ' MN ＝∠ CMN . ∵ MC '∥ BC ，∴∠ C ' MN ＝∠ MNC . ∴∠ CMN ＝∠ MNC . ∵∠ C ＝65°， ∴∠ CMN ＝∠ MNC ＝ ×(180°－65°)＝57.5°. ∴∠C'MN＝57.5°； 2 3 4 1 ②如图②，MC'与△ ABC 的边 AB 平行. ∵△ MNC 沿 MN 折叠得到△MNC'， ∴∠ C ' MN ＝∠ CMN . ∵MC'∥ AB ，∴∠MC'N＝∠ B ＝65°. ∴∠ CMN ＝∠C'MN＝ ×(180°－65°－65°)＝25°. 故选B. 2 3 4 1 类型3考虑不全导致的错误 3. 一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点 B ， D 重合， 若固定三角板 AOB ， 改变三角板 ACD 的位置(其中 A 点位置始终不变)，当 CD ∥ AB 时，求∠ BAD 的度数. 2 3 4 1 解：如图①所示，当 CD ∥ AB 时，∠ BAD ＝∠ D ＝30°； 如图②所示，当 AB ∥ CD 时，∠ BAC ＝∠ C ＝60°， ∴∠ BAD ＝60°＋90°＝150°. 综上，∠ BAD 的度数为150°或30°. 2 3 4 1 类型4忽视两角之间的互补关系 4. 如果两个角的两边分别平行，且其中一个角比另一个角的 4倍少30°，求这两个角的度数. 解：如图①，∵ AB ∥ EF ，∴∠3＝∠2. ∵ BC ∥ DE ，∴∠3＝∠1.∴∠1＝∠2. 2 3 4 1 如图②，∵ AB ∥ EF ，∴∠3＋∠2＝180°. ∵ BC ∥ DE ，∴∠3＝∠1.∴∠1＋∠2＝180°. ∴如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或 互补. 设一个角的度数为 x ，则另一个 角的度数为4 x －30°. 2 3 4 1 (1)两个角相等，则 x ＝4 x －30°，解得 x ＝10°， ∴4 x －30°＝4×10°－30°＝10°； (2)两个角互补，则 x ＋(4 x －30°)＝180°，解得 x ＝ 42°， ∴4 x －30°＝4×42°－30°＝138°. ∴这两个角的度数分别为42°，138°或10°，10°. 2 3 4 1 $$期末提分练案 复习9　平行线的证明 3　常考题型专练 北师 八年级上册 平行线的判定与性质的应用 类型 平行线的判定与性质和三角形内角和的综合 1. 【学科融合】 物理学光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在 同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧， 反射角等于入射角，这就是光的反射定律. 2 1 常考题型专练 (1)学完光的反射定律，数学兴趣小组的同学想利用这个 定律结合数学知识制作一个简易潜望镜，图①是潜望 镜工作原理示意图， AB ， CD 是平行放置的两面平面 镜，已知光线经过平面镜反射时，有∠2＝∠1，∠4＝ ∠3，请问进入潜望镜的光线 EF 和离开潜望 镜的光线 GH 是否平行？说明理由. 【问题解决】 2 1 解：(1)进入潜望镜的光线 EF 和离开潜望镜的光线 GH 是 平行的.理由如下： ∵ AB ∥ CD ，∴∠2＝∠3. ∵∠2＝∠1，∠4＝∠3， ∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4. ∴180°－∠1－∠2＝180°－∠3－∠4， 即∠ EFG ＝∠ FGH . ∴ EF ∥ GH . 2 1 【尝试探究】 (2)如图②，改变两平面镜 AB ， CD 之间的位置，若平面镜 AB 与 CD 的夹角∠ ABC ＝α，经过两次反射后，∠2＝ ∠1，∠4＝∠3，反射光线 GH 与入射光线 EF 平行但方向 相反，求α的度数. 2 1 解：(2)∵ EF ∥ GH ，∴∠ EFG ＋∠ FGH ＝180°. ∵∠1＋∠2＋∠ EFG ＋∠3＋∠4＋∠ FGH ＝180°＋ 180°＝360°， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°. ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴2(∠2＋∠3)＝180°. ∴∠2＋∠3＝90°. ∵∠ ABC ＋∠2＋∠3＝180°， ∴∠ ABC ＝180°－∠2－∠3＝180°－90°＝90°， 即α＝90°. 2 1 2. 如图①，在△ ABC 中，∠ ABC ＝90°，直线 a 与边 AC ， AB 分别交于 D ， E 两点，直线 b 与边 BC ， AC 分别交于 F ， G 两点，且 a ∥ b . (1)若∠ AED ＝44°，求∠ BFG 的度数； 2 1 解：(1)如图①，延长 AB 交直线 b 于点 Q ， ∵ a ∥ b ，∴∠ AED ＝∠ BQF ＝44°， ∵∠ ABC ＝90°，∴∠ QBF ＝180°－90°＝90°. ∴∠ BFG ＝∠ BQF ＋∠ QBF ＝44°＋90°＝134°. 2 1 2. 如图①，在△ ABC 中，∠ ABC ＝90°，直线 a 与边 AC ， AB 分别交于 D ， E 两点，直线 b 与边 BC ， AC 分别交于 F ， G 两点，且 a ∥ b . (2)如图②， P 为边 AB 上一点，连接 PF ，若∠ PFG ＋∠ BFG ＝180°，请你探索∠ PFG 与∠ AED 的数量关系. 2 1 解：(2)如图②，延长 AB 交直线 b 于点 Q . ∵∠ QFB ＋∠ BFG ＝180°，∠ PFG ＋∠ BFG ＝180°， ∴∠ QFB ＝∠ PFG . 在Rt△ QFB 中，∠ QFB ＋∠ BQF ＝90°， ∴∠ PFG ＋∠ BQF ＝90°. 由(1)知∠ AED ＝∠ BQF ， ∴∠ PFG ＋∠ AED ＝90°. 2 1 三角形内角、外角及它们之间关系应用的八种常见题型 题型1三角形内角和定理在求角度中的应用 2 3 4 5 6 7 8 1 1. 如图，在△ ABC 中，点 D 是 BC 上一点， F 是 BA 延长线 上一点， DF 交 AC 于点 E ，∠ B ＝42°，∠ C ＝59°， ∠ DEC ＝47°.求∠ F 的度数. 解：∵∠ B ＝42°，∠ C ＝59°， ∴∠ BAC ＝180°－∠ B －∠ C ＝79°. ∴∠ FAC ＝180°－∠ BAC ＝101°.　 ∵∠ DEC ＝47°，∠ DEC ＝∠ AEF ， ∴∠ AEF ＝47°. ∴∠ F ＝180°－∠ FAC －∠ AEF ＝32°. 2 3 4 5 6 7 8 1 题型2三角形内角和定理在拼图中的应用 2. 一副三角尺如图所示摆放，以 AC 为一边，在△ ABC 外作 ∠ CAF ＝∠ DCE ，边 AF 交 DC 的延长线于点 F . 求∠ F 的度数. 2 3 4 5 6 7 8 1 解：∵∠ BCA ＝90°，∠ DCE ＝30°，∴∠ ACF ＝ 180°－∠ BCA －∠ DCE ＝180°－90°－30°＝60°. ∵∠ CAF ＝∠ DCE ＝30°， ∴∠ F ＝180°－∠ CAF －∠ ACF ＝180°－30°－60° ＝90°. 2 3 4 5 6 7 8 1 题型3三角形内角和定理在求与平行线相关的角度中的应用 3. [2024淮北一中月考]如图， AB ∥ CD ，∠ A ＝95°，∠ C ＝65°，∠1∶∠2＝3∶4，求∠ B 的度数. 2 3 4 5 6 7 8 1 解：∵ AB ∥ CD ，∠ A ＝95°， ∴∠ DFE ＝∠ A ＝95°. ∴∠ CFE ＝180°－∠ DFE ＝85°. 又∵∠ C ＝65°， ∴∠1＝180°－∠ C －∠ CFE ＝30°. ∵∠1∶∠2＝3∶4，∴∠2＝40°. ∴∠ B ＝180°－∠ A －∠2＝45°. 2 3 4 5 6 7 8 1 题型4三角形内角和定理在探求折叠问题中角的关系的应用 4. 如图，将△ ABC 的一角折叠，使点 C 落在△ ABC 内一点 C'上. (1)若∠1＝40°，∠2＝30°，求∠ C 的度数； 2 3 4 5 6 7 8 1 解：(1)由折叠可知 ∠ C ' DE ＝∠ CDE ，∠ C ' ED ＝∠ CED . ∵∠1＋∠C'DE＋∠ CDE ＝180°， ∴40°＋2∠ CDE ＝180°.∴∠ CDE ＝70°. ∵∠2＋∠C'ED＋∠ CED ＝180°， ∴30°＋2∠ CED ＝180°.∴∠ CED ＝75°. ∴∠ C ＝180°－∠ CDE －∠ CED ＝180°－70°－75°＝35°. 2 3 4 5 6 7 8 1 (2)试通过第(1)问，直接写出∠1，∠2，∠ C 三者之间的 数量关系. 解：(2)∠ C ＝ (∠1＋∠2). 4. 如图，将△ ABC 的一角折叠，使点 C 落在△ ABC 内一点 C'上. 2 3 4 5 6 7 8 1 题型5 三角形内角和定理在探求与角平分线相关的角度问题 中的应用 5. 如图， BE ， CD 相交于点 A ，∠ DEA ，∠ BCA 的平分线 EF 和 CF 相交于点 F . (1)探求∠ F 与∠ B ，∠ D 有何数量关系； 2 3 4 5 6 7 8 1 解：(1)如图，连接 CE . 易知∠ D ＋∠2＋∠1＋∠ DEA ＝180°， ∠ B ＋∠1＋∠2＋∠ BCA ＝180°， ∠ F ＋∠1＋∠2＋ ∠ DEA ＋ ∠ BCA ＝180°. ∴∠ D ＋∠2＋∠1＋∠ DEA ＋∠ B ＋∠1＋∠2＋∠ BCA ＝360°. 2 3 4 5 6 7 8 1 ∴ (∠ D ＋∠ B )＋∠1＋∠2＋ ∠ DEA ＋ ∠ BCA ＝180°. ∴∠1＋∠2＋ ∠ DEA ＋ ∠ BCA ＝180°－ (∠ D ＋∠ B )， ∴180°－∠ F ＝180°－ (∠ D ＋∠ B ). ∴∠ F ＝ (∠ B ＋∠ D ). 2 3 4 5 6 7 8 1 5. 如图， BE ， CD 相交于点 A ，∠ DEA ，∠ BCA 的平分线 EF 和 CF 相交于点 F . (2)当∠ B ∶∠ D ∶∠ F ＝2∶4∶ x 时，求 x 的值. 解：(2)∵∠ B ∶∠ D ∶∠ F ＝2∶4∶ x ， ∴可设∠ B ＝2 a ，则∠ D ＝4 a ，∠ F ＝ xa . ∴∠ F ＝ (∠ B ＋∠ D )＝3 a ＝ xa .∴ x ＝3. 2 3 4 5 6 7 8 1 题型6三角形内角和定理在说明角的和差关系中的应用 6. [教材P185复习题T9变式]如图，在△ ABC 中，已知∠ C ＞∠ B ， AD ⊥ BC 于点 D ， AE 平分∠ BAC ，判断 ∠ EAD 与 (∠ C －∠ B )的关系，并说明理由. 2 3 4 5 6 7 8 1 解：∠ EAD ＝ (∠ C －∠ B ).理由如下： 由题意知∠ BAC ＝180°－(∠ B ＋∠ C ). ∵ AE 平分∠ BAC ， ∴∠ EAC ＝ ∠ BAC ＝90°－ (∠ B ＋∠ C ). ∵ AD ⊥ BC ，∴∠ DAC ＝90°－∠ C . ∴∠ EAD ＝∠ EAC －∠ DAC ＝90°－ (∠ B ＋∠ C )－ (90°－∠ C )＝ (∠ C －∠ B ). 2 3 4 5 6 7 8 1 题型7 三角形内角与外角的关系在探求与动点有关的角度问 题中的应用 7. 如图，已知∠ MON ＝90°，点 A ， B 分别在射线 OM ， ON 上移动，∠ OAB 的平分线 AC 与△ OAB 的外角 ∠ OBD 的平分线交于点 C ，试猜想：随着点 A ， B 的移 动，∠ ACB 的大小是否变化？并说明理由. 2 3 4 5 6 7 8 1 解：∠ ACB 的大小不变. 理由如下： ∵ AC 平分∠ OAB ， ∴∠ BAC ＝ ∠ OAB . ∵ BC 平分∠ OBD ， ∴∠ CBD ＝ ∠ OBD . 2 3 4 5 6 7 8 1 又∵∠ OBD ＝∠ MON ＋∠ OAB ，∠ CBD ＝∠ ACB ＋ ∠ BAC ，∴∠ ACB ＝∠ CBD －∠ BAC ＝ (∠ MON ＋ ∠ OAB )－ ∠ OAB ＝ ∠ MON ＝ ×90°＝45°. ∴∠ ACB 的大小不变. 2 3 4 5 6 7 8 1 题型8三角形内角与外角的关系在探求角的关系中的应用 8. [教材P187复习题T16变式](1)如图，已知 BO 平分△ ABC 的外角∠ CBD ， CO 平分△ ABC 的外角∠ BCE ，则 ∠ BOC 与∠ A 的关系为 ⁠； ∠ BOC ＝90°－ ∠ A 　 2 3 4 5 6 7 8 1 证明：∵ BO ， CO 分别是△ ABC 的外角 ∠ DBC ，∠ ECB 的平分线，∴∠ DBC ＝ 2∠ OBC ＝∠ ACB ＋∠ A ，∠ ECB ＝ 2∠ OCB ＝∠ ABC ＋∠ A . ∴2∠ OBC ＋2∠ OCB ＝2∠ A ＋∠ ABC ＋ ∠ ACB ＝∠ A ＋180°. ∴∠ OBC ＋∠ OCB ＝ ∠ A ＋90°. 又∵∠ OBC ＋∠ OCB ＋∠ BOC ＝180°， ∴∠ BOC ＝180°－(∠ OBC ＋∠ OCB )＝90°－ ∠ A . (2)请就(1)中的结论进行证明. 2 3 4 5 6 7 8 1 $$