期末复习3二次根式 专练习题课件2024-2025学年 北师大版八年级数学上册

期末提分练案 复习3　二次根式 3　常考题型专练 北师 八年级上册 利用二次根式的性质解题的五种常见类型 类型1利用二次根式的性质解决有关问题 1. 若式子 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范 围是 ⁠. x ≥19　 2 3 4 5 6 7 8 1 常考题型专练 2. 实数 a 在数轴上对应的点的位置如图所示，化简： ＋ a ＝ ⁠. 1　 2 3 4 5 6 7 8 1 3. [2024陕西师范大学附属中学期末]已知实数 x ， y 满足 y ＞ ＋ ＋4，化简： － .　 解：因为要使二次根式 和 有意义， 所以 x －2≥0，2－ x ≥0.所以 x ＝2. 因为 y ＞ ＋ ＋4，所以 y ＞4. 所以 － ＝ － ＝ － ＝ y －3－ y ＋1＝－2. 2 3 4 5 6 7 8 1 类型2利用 ≥0求代数式的值或平方根 4. [2024十堰实验中学月考]若 ＋｜2 a － b ＋1｜ ＝0，则( b － a )2 024等于(　B　) A. －1 B. 1 C. 52 024 D. －52 024 B 2 3 4 5 6 7 8 1 5. 若 与 互为相反数，求6 x ＋ y 的平方根. 解：由题意得 ＋ ＝0，∴ x －3＝0， y ＋2 ＝0，解得 x ＝3， y ＝－2.则6 x ＋ y ＝16. ∴6 x ＋ y 的平方根为± ＝±4. 2 3 4 5 6 7 8 1 类型3利用 ≥0求最值 6. 当 x 取何值时， ＋3的值最小？最小值是多少？ 解：∵ ≥0，∴当 ＝0，即当 x ＝－ 时， ＋3的值最小，最小值是3. 2 3 4 5 6 7 8 1 类型4利用二次根式的非负性解决代数式化简求值问题 7. 等式 ＋ ＝ － ＝0恒成 立，且 x ， y ， a 互不相等，求 的值. 2 3 4 5 6 7 8 1 解：∵ ＋ ＝0， ∴ a ( x － a )＝0且 a ( y － a )＝0. 又∵ x ， y ， a 互不相等，∴ x － a ≠0， y － a ≠0.∴ a ＝0. ∴ － ＝0，即 ＝ .∴ x ＝－ y . 又∵ x ， y ， a 互不相等，∴ x ＝－ y ≠0. ∴ ＝ ＝ ＝ . 2 3 4 5 6 7 8 1 类型5利用被开方数的非负性解与三角形有关的问题 8. 已知实数 x ， y ， a 满足： ＋ ＝ ＋ ，试问长度分别为 x ， y ， a 的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出 该三角形的周长；如果不能，请说明理由. 2 3 4 5 6 7 8 1 解：能.由题意得 x ＋ y －8≥0，8－ x － y ≥0， ∴ x ＋ y ＝8. ∴ ＋ ＝0. ∴3 x － y － a ＝0， x －2 y ＋ a ＋3＝0， 联立解得 ∵3＋4＞5， ∴能组成三角形，它的周长为3＋5＋4＝12. 2 3 4 5 6 7 8 1 二次根式的运算及有关概念应用的五种常见题型 题型1利用运算法则或乘法公式进行计算 1. 计算： × －3 ＝ 　2 　. 2 　 2 3 4 5 6 1 2. 计算： (1) － × ； 解：(1)2 ； (2)( ＋2 － )×2 ； 解：(2)6－8 ； (3)(2 －1)2＋( ＋2)( －2). 解：(3)12－4 . 2 3 4 5 6 1 题型2利用二次根式有意义的条件进行化简 3. 已知无论 x 取何实数，代数式 都有意义， 化简： ＋ .　 2 3 4 5 6 1 解：∵ ＝ ， ( x －2)2≥0，且无论 x 取何实数，代数式 都 有意义， ∴ m －4≥0，即 m ≥4. 当 m ≥4时， ＋ ＝( m －3)＋( m － 4)＝2 m －7. 2 3 4 5 6 1 题型3利用二次根式的性质进行计算 4. (1)设 ＝ a ， ＝ b ，试用含 a ， b 的代数式表示 . 解：(1) ＝6 ＝6 ＝6× . ∵ ＝ a ， ＝ b ，∴ ＝ . 2 3 4 5 6 1 (2) ≈1.732， ≈5.477，不用计算器求 的值. 解：(2) ＝ ＝0.3 ≈0.3×5.477＝ 1.643 1. 2 3 4 5 6 1 题型4利用整体思想巧求值 5. [教材P50复习题T9变式]已知 a ＝3＋2 ， b ＝3－2 ，求 a2 b － ab2的值. 解：因为 ab ＝(3＋2 )(3－2 )＝32－(2 )2＝ 9－8＝1， a － b ＝(3＋2 )－(3－2 )＝3＋2 －3＋2 ＝4 . 所以 a2 b － ab2＝ ab ( a － b )＝1×4 ＝4 . 2 3 4 5 6 1 题型5利用二次根式和代数式的变形求最值 6. [教材P51复习题T22变式]我国南宋时期数学家秦九韶曾提 出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何 学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为 a ， b ， c ，记 p ＝ ，则其面积 S ＝ .这个公式也被称为海伦－秦九 韶公式.若 p ＝5， c ＝4，则此三角形面积的最大值为 (　C　) C A. B. 4 C. 2 D. 5 2 3 4 5 6 1 点方法：根据题意求出 a ＋ b 的值，代入公式化简得到根号下关于 b 的代数式－5 b2＋30 b －25.－5 b2＋30 b －25＝ －5( b2－6 b ＋5)＝－5·[( b －3)2－9＋5]＝－5·( b －3)2＋20. 当 b ＝3时，此式的值最大，即 S 最大，最大值为 ＝ 2 . 2 3 4 5 6 1 $$期末提分练案 复习3　二次根式 1　考点梳理与达标训练 北师 八年级上册 目 录 CONTENTS 01 考点梳理 02 达标训练 1. 二次根式、最简二次根式：形如 ⁠的式子叫 做二次根式. 最简二次根式应满足以下两个条件： ①被开方数不含 ；②被开方数中不含能 ⁠ 的因数或因式. ( a ≥0)　 分母　 开得尽 方　 考点梳理 2. 二次根式的性质： ＝｜ a ｜； ＝ · ( a ≥0， b ≥0)； ＝ ( a ≥0， b ＞0). 3. 二次根式的运算： · ＝ ( a ≥0， b ≥0)； ＝ ( a ≥0， b ＞0)； b ± c ＝( b ± c ) ( a ≥0). 一、选择题(每题4分，共32分) 1. 二次根式 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值 范围在数轴上表示为(　C　) C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 达标训练 2. 将 化为最简二次根式，其结果是(　D　) A. B. C. D. D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 3. 下列判断正确的是(　B　) A. 0＜ ＜1 B. 1＜ ＜2 C. 2＜ ＜3 D. 3＜ ＜4 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 4. 化简 ( x ≥0)的结果为(　A　) A. 3 xy B. 9 x C. 3 xy D. 3 y A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 5. [教材P51复习题T19变式]有一个体积为252 cm3的长方 体纸盒，该纸盒的长为3 cm，宽为2 cm，则该纸 盒的高为(　C　) A. 2 cm B. 2 cm C. 3 cm D. 3 cm C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 6. 实数 a 对应的点在数轴上的位置如图所示，化简｜ a －1｜＋ 的结果为(　A　) A. 1 B. 2 a C. 2 a －3 D. －1 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 7. [2023荆州]已知 k ＝ ( ＋ )·( － )，则与 k 最 接近的整数为(　B　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 点拨： k ＝ ( ＋ )·( － )＝ (5－3)＝2 . 因为2.52＝6.25，32＝9，(2 )2＝8， 所以2.5＜2 ＜3.所以与 k 最接近的整数为3. B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 8. 【新视角·新定义题】对于任意的正实数 m ， n ，定义运 算※为： m ※ n ＝ 计算 (3※2)×(8※12)的结果为(　B　) A. 2－4 B. 2 C. 2 D. 20 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 二、填空题(每题5分，共20分) 9. [2024哈尔滨萧红中学月考]计算 － 的结果是 ⁠. － 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 10. 当 x ＝ 时， －2取得最小值，最小值 是 ⁠. －1　 －2　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 11. 已知 ≈1.859， ≈5.879，则 ≈ ⁠. 587.9　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 12. 【学科素养·数学抽象】任何实数 a ，可用[ a ]表示不超 过 a 的最大整数，如[4]＝4，[ ]＝1.现对72进行如下 操作：72 [ ]＝8 [ ]＝2 [ ]＝ 1，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，①对81 只需进行 次操作后变为1；②只需进行3次操作后变 为1的所有正整数中，最大的是 ⁠. 3　 255　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 三、解答题(共48分) 13. (12分)计算： (1) ＋ × －6 ； 解：(1)5 ； (2)｜－4｜＋ －( )2＋2 0350； 解：(2)6； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 (3)(3－ )(3＋ )＋ (2－ )＋(2－ )2 024×(2＋ )2 023. 解：(3)2 ＋2－ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 14. (12分)先化简，再求值：( a ＋2 b )2＋( a ＋2 b )( a －2 b )＋ 2 a ( b － a )，其中 a ＝ － ， b ＝ ＋ . 解：原式＝ a2＋4 b2＋4 ab ＋ a2－4 b2＋2 ab －2 a2＝6 ab . 因为 a ＝ － ， b ＝ ＋ ， 所以原式＝6 ab ＝6×( － )( ＋ )＝6. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 15. (12分)[2024淄博淄川区月考]某居民小区有块长方形绿地 ABCD ，长方形绿地的长 BC 为8 米，宽 AB 为 米，现要在长方形绿地中间修建一个长方形花坛(即图中 阴影部分)，长方形花坛的长为 米，宽为 米. (1)长方形绿地 ABCD 的周长是多少米？(结果化为最简二次根式) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 解：(1)长方形绿地 ABCD 的周长＝2×(8 ＋ )＝2×(8 ＋7 )＝16 ＋14 (米). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 (2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？(结果化为最简二次根式) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 解：(2)通道的面积＝(8 × )－( ＋1)( －1)＝56 －(13－1)＝56 －12(平方米)， 所以购买地砖需要花费6×(56 －12)＝336 －72(元). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 16. (12分)【新考法·阅读类比法】有这样一类题目：将 化简，如果你能找到两个数 m ， n ，使 m2＋ n2＝ a 且 mn ＝ ，则 a ±2 将变成 m2＋ n2±2 mn ， 即变成( m ± n )2，从而使 得以化简.例如，因 为5＋2 ＝3＋2＋2 ＝( )2＋( )2＋2× × ＝( ＋ )2，所以 ＝ ＝｜ ＋ ｜＝ ＋ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 请仿照上面的例子化简下列式子： (1) ； 解：(1)因为4＋2 ＝( )2＋12＋2× ×1＝( ＋1)2，所以 ＝ ＝｜ ＋1｜＝ ＋1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 (2) . 解：(2)因为9－4 ＝( )2＋22－2× ×2＝ ( －2)2， 所以 ＝ ＝｜ －2｜＝ －2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 $$期末提分练案 复习3　二次根式 2　易错专项训练 北师 八年级上册 应用二次根式的概念和性质出错 易错点1对二次根式的概念理解错误而致错 1. 对于① ；② 有下列判断，其中正确的是(　D　) A. ①，②均是二次根式 B. ①，②均不是二次根式 C. ①是二次根式，②不是二次根式 D. ①不是二次根式，②是二次根式 D 2 3 4 5 6 1 易错专项训练 易错点2二次根式运算顺序错误而致错 2. [2024上海黄浦区期末]计算： ＋ －4 －2＋3 ÷ × . 解：原式＝2 ＋( ＋1)－ －2＋3 × × ＝2 ＋ ＋1－ －2＋ ＝ －1. 2 3 4 5 6 1 易错点3对二次根式的性质理解不透而致错 3. [2024南京建邺区二模]若 ＝2－ b ，则 b 满足的 条件是(　D　) A. b ＞2 B. b ＜2 C. b ≥2 D. b ≤2 D 2 3 4 5 6 1 易错点4解题时忽视限制条件而致错 4. [2024绍兴柯桥区月考]已知 m ， n 在数轴上的位置如图所 示，化简： ＋ ＋ ＝ ⁠ ⁠. 2 n －2 m －1　 2 3 4 5 6 1 易错点5考虑不全面而致错 5. (1)已知 是整数，求自然数 n 所有可能的值； 解：(1)因为 是整数， n 是自然数， 所以18－ n ＝0，18－ n ＝1，18－ n ＝4，18－ n ＝9， 18－ n ＝16，解得 n ＝18， n ＝17， n ＝14， n ＝9， n ＝2， 即自然数 n 所有可能的值为2，9，14，17，18. 2 3 4 5 6 1 (2)已知 是整数，求正整数 n 的最小值. 解：(2)因为 ＝2 是整数， n 为正整数， 所以正整数 n 的最小值为6. 2 3 4 5 6 1 易错点6二次根式的化简致错 6. 小明在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写 成另一个式子的平方，如3＋2 ＝(1＋ )2.善于思考 的小明进行了以下探索： 设 a ＋ b ＝( m ＋ n )2(其中 a ， b ， m ， n 均为整 数)，则有 a ＋ b ＝ m2＋2 n2＋2 mn . 所以 a ＝ m2＋2 n2， b ＝2 mn .这样小明就找到了一种把类 似 a ＋ b 的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的方 法探索并解决下列问题： 2 3 4 5 6 1 (1)当 a ， b ， m ， n 均为正整数时，若 a ＋ b ＝( m ＋ n )2，用含 m ， n 的式子分别表示 a ， b ，则 a ＝ ⁠ ， b ＝ ⁠； m2 ＋3 n2　 2 mn 　 2 3 4 5 6 1 解：(2)因为 a ＋4 ＝( m ＋ n )2， 所以 a ＋4 ＝ m2＋3 n2＋2 mn . 所以 a ＝ m2＋3 n2，2 mn ＝4. 因为4＝2 mn ， m ， n 为正整数， 所以 m ＝2， n ＝1或 m ＝1， n ＝2. 所以 a ＝22＋3×12＝7或 a ＝12＋3×22＝13. (2)若 a ＋4 ＝( m ＋ n )2，且 a ， m ， n 均为正整 数，求 a 的值. 2 3 4 5 6 1 (3)化简： . 解：(3) ＝ ＝ ＝1＋ . 2 3 4 5 6 1 $$