第7周-【拔尖特训】2024-2025学年五年级上册数学（人教版）浙江专用

第7周 综合拓展题 解决与可能性相关的实际问题 例1 抽屉里有4支蓝笔,1支红笔,任意摸 出2支,一定能摸出1支什么颜色的笔? 可 能摸出1支什么颜色的笔? (笔除颜色外其 他完全相同) [解析] 根据“抽屉里有4支蓝笔,1支红笔”, 可画出如下示意图。 根据示意图,任意摸出2支,会有如下两种 情况。 因此摸出的2支笔中,一定有1支是蓝笔, 另一支可能是蓝笔,也可能是红笔。 [答案] 一定能摸出1支蓝笔,可能摸出1支 红笔。 点评:解决此类问题时,可先用列举法列举出所 有可能发生的情况,再进行判断。 1. 一个不透明的袋子里装有1个蓝球、1个 红球、3个绿球(球除颜色外其他完全相 同)。从袋子里一次摸出3个球,可能出 现哪几种情况? 每次一定能摸出什么颜 色的球? 可能摸出什么颜色的球? 例2 有3张数字卡片,卡片上分别写着3、 4、5,用这3张数字卡片任意拼成一个三位 数。如果拼成的是双数,那么小红赢;如果 拼成的是单数,那么小华赢。你觉得这个游 戏规则公平吗? [解析] 可以先将能拼成的三位数都列出 来:345、354、435、453、543、534。观察发现 其中单数有4个,双数有2个,拼成单数和 双数的可能性不一样,所以这个游戏规则不 公平。 [答案] 这个游戏规则不公平。 点评:判断一个游戏规则是否公平,就要看参与 的任何一方获胜的可能性是否相等,如果相等, 那么游戏规则公平;如果不相等,那么游戏规则 不公平。一般可以列举出事件发生的所有可能 出现的结果,再进行判断。 2. 小兰和小英玩抛硬币的游戏,小兰说:“同 时抛两枚硬币,若落地后只有一枚硬币正 面朝上,则算你赢;其余情况都算我赢。” 这个游戏规则公平吗? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 31 4　可 能 性4　可 能 性 讲 解 视 频 错 题 本 思维创新题 用最不利原则解决问题 例1 不透明的口袋里有除颜色外其他完全 相同的红、黄、蓝三种颜色的球各20个,一 次最少摸出多少个球,才能保证至少有4个 球的颜色相同? [解析] 如果碰巧一次取出的4个球的颜色 都相同,那么一次最少摸出4个球,但摸出 的4个球的颜色也可能不相同。最少摸出 4个球是从最有利的情况考虑的,但为了 “保证至少有4个球的颜色相同”,应从最不 利的情况考虑。如果最不利的情况都满足 题目要求,那么其他情况必然也能满足题目 要求。 最不利的情况是摸出3个红球、3个黄球和 3个蓝球,此时三种颜色的球都是3个,但不 满足有4个球的颜色相同。这样摸出的 9个球是最不利的情形,这时再摸出1个球, 无论是红球、黄球或蓝球,都能保证有4个 球的颜色相同。 [答案] 3×3+1=10(个) 答:一次最少摸出10个球,才能保证至少有 4个球的颜色相同。 点评:从题中可以看出,最不利原则就是从“极端 糟糕”的情况去考虑问题。如果本题的问题是 “最少摸出多少个球就可能有4个球的颜色相 同”,此时就可以根据最有利的情况解答。而现 在的问题是“保证至少有4个球的颜色相同”, “保证”二字意味着要从最不利的情况分析问题。 1. 不透明的口袋里有除颜色外其他完全相 同的红、黄、蓝三种颜色的球共20个,其 中红球4个、黄球6个、蓝球10个。一次 最少取出多少个,才能保证至少有6个球 的颜色相同? 例2 一把钥匙只能开一把锁,现有10把钥 匙和10把锁,最少要尝试多少次就一定能 使全部的钥匙和锁相匹配? [解析] 从最不利的情况考虑。用10把钥匙 依次去开第1把锁,最不利的情况是尝试了 9次,前8次都没有打开,第9次无论打开或 没有打开,都能确定与这把锁相匹配的钥匙 (若没有打开,则第10把钥匙与这把锁相匹 配)。同理,第2把锁尝试8次……第9把 锁只需尝试1次,第10把锁不用尝试。 [答案] 9+8+7+…+2+1=45(次) 答:最少要尝试45次就一定能使全部的钥 匙和锁相匹配。 点评:本题中有“一定”一词,也要从最不利的情 况考虑。 2. 一把钥匙只能开一把锁,现有10把锁和 其中的8把钥匙,要保证这8把钥匙都配 上锁,至少需要尝试多少次? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 41 数学(人教版·浙江专用)五年级上 讲 解 视 频 错 题 本 1个数字,每组的和都是3+6=9,求商的小数部分 前2023个数字的和,可列式为1011×9+3。 4. 最大是0.5 ∙ 10 ∙ 最小是0.0 ∙ 15 ∙ 解析:由题意可知,小数部分前90位中循环节有 90÷3=30(组),每组循环节的数字和是180÷ 30=6,把6写成三个不同的自然数和的形式有 6=5+1+0=4+2+0=3+2+1。根据小数大小 比较的方法可知,循环节最大是510,最小是015。 进而写出最大、最小的循环小数。 第6周　 综合拓展题 小数除法中的错中求解问题 1. 方法一:19.76÷0.38÷10=5.2 19.76÷5.2=3.8 方法二:0.38×10=3.8 解析:本题可以将错就错,用19.76÷0.38算出错 误的除数是52,再将它变回一位小数,重新计算; 也可以根据被除数不变,除数扩大到原来的10倍, 商就缩小到原来的1 10 ,逆推出正确的结果是0.38× 10=3.8。 2. 方法一:150×0.64÷100=0.96 0.96÷6.4=0.15 方法二:150÷(100×10)=0.15 解析:可以根据错写的除数是0.64,结果得到的商 是150,得到漏掉小数点后的被除数是150× 0.64=96,因为被除数是两位小数,所以正确的被 除数是0.96,进而求解;也可以根据被除数扩大到 原来的100倍,除数缩小到原来的110 ,商就扩大到 原来的100×10=1000倍,逆推出正确的商是 150÷1000=0.15。 3. (1.8-1.08)÷0.08=9 1.08÷9=0.12 这道题正确的商是0.12,除数是9 思维创新题 用消去法解决问题 1. 练习本:(4.8-3.6)÷(4-2)=0.6(元) 铅笔:(3.6-0.6×2)÷3=0.8(元) 解析:由题意可知,两次都买了3支铅笔,可以先消 去3支铅笔的价钱,得到4-2=2(本)练习本的价 钱是4.8-3.6=1.2(元),由此先求出每本练习本 的价钱,进而求出每支铅笔的价钱。 2. 玫瑰:(52.8×3-55.2×2)÷(8×3-7×2)= 4.8(元) 百合:(55.2-4.8×7)÷6=3.6(元) 解析:由题意可知,6枝百合的价钱+7枝玫瑰的价 钱=55.2元①,4枝百合的价钱+8枝玫瑰的价 钱=52.8元②,用②×3-①×2,消去百合的价 钱,求出每枝玫瑰的价钱,进而求出每枝百合的 价钱。 4　可 能 性 第7周 综合拓展题 解决与可能性相关的实际问题 1. 可能出现3个绿球,2个绿球、1个红球,2个绿 球、1个蓝球,1个红球、1个蓝球和1个绿球这 4种情况 每次一定能摸出绿球,可能摸出红球或 蓝球 解析:把所有情况都列举出来,根据列举出 的情况即可判断每次一定能摸出什么颜色的球和 可能摸出什么颜色的球。 2. 公平 解析:同时抛两枚硬币,有以下几种情况: 硬币1 正 正 反 反 硬币2 正 反 正 反 由表可知,落地后只有一枚硬币正面朝上的情况有 2种,其余情况也是2种,所以这个游戏规则公平。 思维创新题 用最不利原则解决问题 1. 4+5+5+1=15(个) 解析:从最不利的情况思考,摸出4个红球、5个黄 球和5个蓝球,这时只要再摸出1个球,就能保证 至少有6个球的颜色相同。 2. 9+8+7+…+2=44(次) 解析:第1把钥匙最不利的情况是尝试了9次,前 8次都不匹配,第9次无论是否匹配,都能确定与 这把钥匙相匹配的锁。同理,第2把钥匙最多尝试 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 63 数学(人教版·浙江专用)五年级上 8次,以此类推,第3把到第8把钥匙最多尝试的 次数分别为7、6、5、4、3、2。 5　简易方程 第8周 教材思考题 乘法运算律的几何模型 1. x2+y2 2. (1) 4a a2 解析:科学室是正方形,边长为a, 所以科学室的周长是4a,面积是a2。 (2) 2b a(b-a) 解析:准备室是长方形,长是 a,宽是(b-a),所以准备室的周长是2[a+(b- a)]=2b,面积是a(b-a)。 (3) 40 96 解析:整个平面图是长方形,长为b, 宽为a,所以整个平面图的周长为2(b+a),面积 为ab。分别代入数据求解即可。 3. 方法一:(a×b)×c 方法二:a×(b×c) 发现:(a×b)×c=a×(b×c),这是乘法结合律的 字母表达式 解析:方法一是先表示每个小长方形的面积,再表 示c个这样的小长方形的面积和。方法二是先表 示出大长方形的长,再用这个长乘大长方形的宽。 思维创新题 用类推法和归纳法解决问题 1. (1) 4 7 10 13 16 (2) 37根 (3n+1)根 解析:摆1个正方形需要 4根火柴棒,以后每增加1个正方形,只需要增加 3根火柴棒,所以摆n个正方形需要4+(n-1)× 3=(3n+1)根火柴棒。 2. 22 4n+2 解析:本题中的图案像一朵朵花排 成一行,第一朵花有6块白色地砖,以后每增加一 朵花就多4块白色地砖,所以第5个图案中有白色 地砖6+(5-1)×4=22(块),第n个图案中有白 色地砖6+(n-1)×4=(4n+2)块。 3. 4x+4y 6x+6y 8x+8y 第100个图形的 周长是200x+200y 解析:由题图可知,第1个图 形是长和宽分别为y 和x 的长方形;第2个图形 通过平移可以转化成长和宽分别为2y和2x 的长 方形;第3个图形可以转化成长和宽分别为3y 和 3x的长方形……则第100个图形可以转化成长和 宽分别为100y和100x的长方形。 第9周 综合拓展题 解方程(减数含有未知数和移项) 1. x=17 x=1.2 2. x=5 x=2 思维创新题 解方程(去括号) 1. x=7.5 x=4 2. x=16 x=3 第10周 教材思考题 列方程求未知项 1. (1) 4 (2) 0.8 2. (7m+32)÷5=3m m=4 解析:本题只要根据题意列出方程(7m+32)÷5= 3m,再解方程求出m 的值即可。 3. (1) 3.5 3.5 (2) 2 2 4. 5 5 解析:本题可先设两个框里的数是x,再 解方程即可。 思维创新题 用方程解决鸡兔同笼问题 1. 解:设这个停车场里停了两轮摩托车x辆,则停 了小汽车(64-x)辆。 2x+4(64-x)=204 x=26 64-x=38 解析:每辆两轮摩托车有 2个轮子,每辆小汽车有4个轮子,可根据这些车 共有204个轮子列方程解答。 2. (100-92)÷(4-2)=4(只) 解:设鸡有x只,则兔有(x+4)只。 2x+4(x+4)=100 x=14 x+4=18 解析:由题意可知,原来鸡和兔共有100只脚,若将 鸡换成兔、兔换成鸡,则共有92只脚。1只兔比 1只鸡多4-2=2(只)脚,所以原来兔比鸡多(100- 92)÷2=4(只)。可设鸡有x只,则兔有(x+ 4)只。根据鸡和兔共有100只脚列方程解答。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 73 附：答案与解析