湖南省益阳市赫山区海棠学校2024-2025学年上学期期中考试九年级数学试题

2024 年下学期海棠中学期中教学质量检测问卷 年级 九 科目 数学 时量：120 分钟 满分：120 分 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．下列函数中，变量 y是 x的反比例函数的是（ ） A．y = 2 1 x B．y = — 1 x C．y = 2 3x  D．y = 1 x —1 2．若  1 1,A x y 、  2 2,B x y 都在函数 2020y x  的图象上，且 1 20x x  ，则（ ） A． 1 2y y B． 1 2y y C． 1 2y y D． 1 2y y  3．如图，已知点 A是双曲线 y= 2 x 在第一象限的分支上的一个动点，连接 AO并延长交另一分 支于点 B，过点 A作 y轴的垂线，过点 B作 x轴的垂线，两垂线交于点 C，随着点 A的运动， 点 C的位置也随之变化．设点 C的坐标为(m，n)，则 m，n满足的关系式为( ) A．n =－2m B．n =－ 2 m C．n =－4m D．n =－ 4 m 4. 已知已知 � 2 = � 3 (a ≠ 0, b ≠ 0)，下列变形错误的是（ ） A. 2�＝3� B. � � = 2 3 C. 3�＝2� D. � � = 3 2 5．若关于 x的一元二次方程 2( 2) 2 6k x kx k    有实数根，则 k的取值范围为（ ） A． 0k  B． 0k  且 2k  C． 3 2 k  D． 3 2 k  且 2k  6.如图，在Rt ABC 中，CD是斜边 AB上的高，则图中的相似三角形共有（ ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 7．如图有一块直角边 AB=4cm，BC=3cm的 Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加 工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（ ） A． 6 7 B． 30 37 C． 12 7 D． 60 37 8.如图，点 P是△ABC边 AB上一点（AB>AC），下列条件不一定能使△ACP∽△ABC的是（ ） A． AC AP AB AC  B． PC AC BC AB  C．∠ACP=∠B D．∠APC=∠ACB 第 3题图 第 6题图 第 7题图 第 8题图 第 9题图 9．如图，在四边形����中，∠� = ∠� = 90∘，�� = 14，�� = 4，�� = 6，�是��上的动点， 连接��，��，若△ ��� ∼△ ���，则这样的点�共有（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 10．如图，正方形 ABCD中，点 E在边 BC上，且 CE=2BE．连接 BD、DE、AE，且 AE交 BD 于 F，OG为△BDE的中位线：下列结论：①BD=4OF，②S△ABE=3S△ODG，③CD=5OG， ④OB= 2 5 5 AF．其中正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。 11.若反比例函数 y=﹣ 6 x 的图象经过点 A(m，3)，则 m的值是 ． 12.反比例函数 ky x  的图象上有一点 P(2，n)，将点 P向右平移 1个单位，再向下平移 1个单 位得到点 Q，若点 Q也在该函数的图象上，则 k=____________． 13 .某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件 25元降到每件 16元，则平均每次降价的百 分率为____________． 14.设 a、b是一元二次方程 x2+2x﹣7=0的两个根，则 a2+3a+b=_____． 15．如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，如果 3 2 AE EC  ，则 CF BF _________． 16.如图，在两个直角三角形中，∠���＝∠���＝90∘，��＝6，��＝2，若△ ���与△ ���相 似，��＝________． 17．如图，在等边△ABC中，D为 BC边上一点，E为 AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=3， CE=2，则△ABC的边长为__________. 18．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，BA=12cm，AD、BE是两条中线，F为其交点，那么 CF=____ cm． 三、解答题：本题共 8 小题，共 66 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19.（6分）解下列方程： 3 ( 2) ( 2)x x x   第 10题图 第 15题图 第 16题图 第 17题图 第 18题图 20．（6分）已知反比例函数 y= 1k x  ，（k为常数，k≠1）． （1）若点 A（1，2）在这个函数的图象上，则 k的值为 ； （2）若在这个函数图象的每一分支上，y随 x的增大而增大，求 k的取值范围； 21．（8分）已知关于 x的方程 2 2 0x ax a    ． （1）当该方程的一个根为 1时，则 a的值为 ;方程的另一根是 ； （2）求证：不论 a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 22．（8分）如图，一次函数 y=﹣x+b的图象与反比例函数 y= m x 的图象交于 A、B两点，且 A 点坐标为（﹣2，1），一次函数交 x轴于点 C． （1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式； （2）求△AOB的面积； 23．（9分）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形 羊圈 ABCD，并在边 BC上留一个 2m宽的门（建在 EF处，另用其他材料）． (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为 640 2m 的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到650 2m 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 24.（9分）如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且满足 AB BC AC AD DE AE   ， 求证：△ABD∽△ACE． 25．（10分）如图在直角坐标系 xOy中，直线 y= 1 2 x+2与 x轴，y轴分别交于 A，B两点，以 AB为边在第二象限内作矩形 ABCD，使 AD= 5． （1）求点 A，点 B的坐标，并求边 AB的长； （2）过点 D作 DH⊥x轴，垂足为 H，求证：△ADH∽△BAO； （3）求点 D的坐标． 26.（10分）如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点 M，N从点 C同时出 发，均以每秒 1cm的速度分别沿 CA、CB向终点 A，B移动，同时动点 P从点 B出发，以每 秒 2cm的速度沿 BA向终点 A移动，连接 PM，PN，设移动时间为 t（单位：秒，0＜t＜2.5）． （1）当 t= ，BP//AC. （2）当 t为何值时，以 A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？ （3）是否存在某一时刻 t，使四边形 APNC的面积 S有最小值？若存在，求 S的最小值；若不 存在，请说明理由． 一. 选择题（本大题共 10 个小题，每小题3 分，共 30 分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的，把所选项的字母用 2B 铅笔填涂） 三.解答题（19-21 每小题 6 分，22-24 小题每小题 8 分，25-26 每小题12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.计算（本题满分 6 分） 2024年下期海棠中学 九 年级 数学 期中教学质量检测答题卡 学校 班级 姓名 考号 二、填空题（本大题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分) 11、 12、 13、 14、 15、 16、 17、 18、 20、（本小题满分6分） (1) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21、（本小题满分8分） （1） 、 （2） 22、（本小题满分8分） （1） （2） 23、（本小题满分9分） (1) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24、（本小题满分9分） 25、（本小题满分10分） (1) (2) (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26、（本小题满分10分） （1） （2） （3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 九年级数学期中考试答案 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B A B A D C D B C C 二、填空题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。 11. - 2 12. 6 13. 20 % 14. 5 15. 3 2 16. 18 或 9 2 2 17. 9 18. 4 19. （6 分）（1）原方程可化为：    3 2 2 0,x x x       3 1 2 0x x   解得： 1 2 1 , 2 3 x x  20.（6 分）（1）∵点 A（1，2）在这个函数的图象上， ∴k﹣1=1×2， 解得 k=3； （3 分） （2）∵在函数 1ky x   图象的每一支上，y 随 x的增大而增大， ∴k﹣1＜0， 解得 k＜1； （3 分） 21.（8 分）（1）设方程的另一根为 x1， ∵该方程的一个根为 1，∴ 1 1 1 1{ 21 1 ax ax       ．解得 1 3 2{ 1 2 x a    ． ∴a 的值为 1 2 ，该方程的另一根为 3 2  ． （4 分） （2）∵    22 2 24 1 2 4 8 4 4 4 2 4 0a a a a a a a                 ， ∴不论 a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． （4 分） 22.（8 分） （1）把 A(﹣2，1)代入 y=﹣x+b，得 2+b=1，解得：b=﹣1， ∴一次函数解析式为：y=﹣x﹣1； 把 A(﹣2，1)代入 y= m x ，得：m=﹣2×1=﹣2， ∴反比例函数解析式为：y=﹣ 2 x ； （4 分） （2）当 x=0 时，y=﹣x﹣1=﹣1，则直线 y=﹣x﹣1 与 y 轴的交点坐标为(0，﹣1)， 联立 2 1 y x y x       ﹣﹣ ，得：﹣ 2 x =﹣x﹣1， 解得： 1 22 1x x  ， ， ∴B(1，-2)， ∴△AOB 的面积= 1 2 ×1×（2+1）= 3 2 ； （4 分） 23．（9 分） （1）解：设矩形 ABCD的边 mAB x ，则边  70 2 2 72 2BC x x     m． 根据题意，得  72 2 640x x  ． 化简，得 2 36 320 0x x   ． 解得 1 16x  ， 2 20x  ． 当 16x  时，72 2 72 32 40x    ； 当 20x = 时，72 2 72 40 32x    ． 答：当羊圈的长为 40m，宽为16m或长为32m，宽为 20m时，能围成一个面积为 640 2m 的羊圈． （5分） （2）解：不能，理由如下： 由题意，得  72 2 650x x  ． 化简，得 2 36 325 0x x   ． ∵  236 4 325 4 0      ， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到650 2m ． （4 分） 24.（9 分） 解：∵ AB BC AC AD DE AE   ， ∴△ADE∽△ABC， ∴∠DAE=∠BAC， ∴∠DAB=∠EAC， ∵ AB AD AC AE  ， ∴△ABD∽△ACE． 25.（10 分） （1）在 y= 1 2 x+2 中，令 y=0， 解得 x=﹣4， 令 x=0， 解得 y=2，因而 A（﹣4，0），B（0，2）， ∴在 Rt△AOB 中， 2 2 2 24 2 2 5AB OA OB     ； （3 分） （2）证明：由∠ADH+∠DAH=90°，∠BAO+∠DAH=90°， ∴∠BAO=∠ADH， 又∵∠AOB=∠DHA=90°， ∴△ADH∽△BAO； （3 分） （3）∵△ADH∽△BAO， ∴ DH AH AD AO BO BA   ， 即 5 4 2 2 5 DH AH   ， ∴DH=2，AH=1， ∴D（﹣5，2）． （4 分） 26.（10 分） 解：∵如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm． ∴根据勾股定理，得 2 2AB AC BC 5cm   ． （1） 15 11 （2 分） （2）以 A，P，M 为顶点的三角形与△ABC 相似，分两种情况： ①当△AMP∽△ABC 时， AP AM AC AB  ，即 5 2 4 4 5 t t   ，解得 3 2 t  ； ②当△APM∽△ABC 时， AM AP AC AB  ，即 4 5 2 4 5 t t   ，解得 t=0（不合题意，舍去）． 综上所述，当 3 2 t  时，以 A、P、M 为顶点的三角形与△ABC 相似． （4 分） （3）存在某一时刻 t，使四边形 APNC 的面积 S 有最小值．理由如下： 假设存在某一时刻 t，使四边形 APNC 的面积 S 有最小值． 如图，过点 P 作 PH⊥BC 于点 H．则 PH∥AC， ∴ PH BP AC BA  ， 即 2 4 5 PH t  ． ∴ 8 5 tPH  ． （2 分） ∴ ABC BPNS S S △ △  1 1 83 4 3 2 2 5 t t         24 3 21= 0 2.5 5 2 5 t t        ． ∵ 4 0 5  ，∴S 有最小值． 当 3 2 t  时，S 最小值= 21 5 ． （2 分） 答：当 3 2 t  时，四边形 APNC 的面积 S 有最小值，其最小值是 21 5 ．