专题5.4 方案问题——二元一次方程组的应用（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学上册压轴题专项讲练系列（北师大版）

专题5.4 方案问题——二元一次方程组 · 典例分析 【典例1】某商店分两次购进A、B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A、B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨，． 购进的台数 购进所需要的费用（元） A型 B型 第一次 10 20 3000 第二次 15 10 4500 （1）求第一次购进A、B型两种台灯每台进价分别是多少元？ （2）A、B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元． ①求A、B型两种台灯每台售价分别是多少元？ ②若按照第二次购进A、B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为1000元，求有哪几种购进方案？ 【思路点拨】 （1）根据等量关系式：第一次购买台A型台灯的费用第一次购买台B型台灯的费用元，第二次购买台A型台灯的费用第二次购买台B型台灯的费用元，列出方程组，接可求解； （2）①根据等量关系式：第一次的台A型台灯的利润第一次的台B型台灯的利润元，第二次的台A型台灯的利润第二次购买台B型台灯的利润元，列出方程组，接可求解； ②设再购进A型台灯a台，B型台灯台，由按第二次购买的价格购买，a台A型台灯售出获得利润 台B型台灯售出获得利润元，列方程即可求解． 【解题过程】 （1）解：设第一次购进A型台灯每台进价为x元，B型台灯每台进价为y元， 由题意得：， 解得：， 答：第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元． （2）解：①设A型台灯每台售价为m元，B型台灯每台售价为n元， 由题意得：， 解得，， 答：A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元； ②第二次购进的A型台灯的价格为：（元），B型台灯的价格为：（元）， 设购进A型台灯a台，B型台灯台， 由题意得：， 整理得：， ∴ a、b为自然数， 或或或， 有4种购进方案： ①购进A型台灯2台，B型台灯14台；②购进A型台灯5台，B型台灯10台；③购进A型台灯8台，B型台灯6台；④购进A型台灯11台，B型台灯2台． · 学霸必刷 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）某电脑公司有A，B，C三种型号的电脑，其相应的价格如表： 型号 A B C 单价/元 6 000 4 000 2 500 已知某中学现有资金100 500元，计划全部用于从该电脑公司购进36台两种不同型号的电脑．请设计出几种不同的购买方案供该校选择． 2．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）疫情期间，小李家购买防护用品的收据如表，有部分数据因污染无法识别，根据表格，解决下列问题： 商品名 单价（元） 数量（件） 金额（元） 温度计 190 1 190 消毒水 2 100 酒精喷剂 30       消毒纸巾 20 5    医用口罩 50       合计 14 650 （1）小李家此次购买的酒精喷剂和医用口罩各多少件？ （2）随着疫情的发展，小李家准备用260元购买消毒纸巾和医用口罩，在260元刚好用完的条件下，有哪些购买方案？ 3．（23-24八年级上·广东茂名·期末）某药店出售、两种的口罩，已知该店进货4个种口罩和3个种口罩共需27元，进货2个种口罩所需费用比进货1个种口罩所需费用多1元． （1）请分别求出、两种口罩的进价是多少元？ （2）已知药店将种口罩每个提价1元出售，种口罩每个提价出售，小雅在该药店购买、两种口罩（两种口罩均要购买）共花费36元，小雅有哪几种购买方案？ 4．（23-24八年级上·广东深圳·期末）为了预防甲型流感病毒的扩散，学校准备购买一批医用口罩和洗手液用于日常防护，若医用口罩买600个，洗手液买50瓶，则需1850元；若医用口罩买800个，洗手液买25瓶，则需1425元． （1）求医用口罩和洗手液的单价． （2）学校本次采购准备了500元，除购买医用口罩和洗手液外，还需增加购买单价为3元的N95口罩a个，医用口罩和N95口罩共250个，购买洗手液b瓶，钱恰好全部用完且，学校一共有几种购买方案？写出所有采购方案． 5．（23-24八年级上·辽宁朝阳·期末）已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆一次运完，且恰好每辆车都装满货物． （1）1辆A型车和B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ （2）请你帮该物流公司设计方案； （3）若A型车租金每辆100元/次，B型车每辆租金120元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 6．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）为了弘扬爱国主义精神，某中学组织八年级学生到郑州市二七纪念塔展览，现有两种车型可供选择．已知2辆型车和1辆型车可以载学生100名；1辆型车和2辆型车可以载学生110人，该学校八年级共有320名学生，根据题目提供的信息，解决下列问题： （1）型车每辆可分别载学生多少人？ （2）若租一辆型车需要1000元，租一辆型车需要1200元，请你设计租车方案，使得恰好运送完学生并且租车费用最少． 7．（22-23七年级下·湖南怀化·期中）目前，近几年来，新能源汽车在中国已然成为汽车工业发展的主流趋势，某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装360辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：2名熟练工和1名新工人每月可安装10辆电动汽车；3名熟练工和4名新工人每月可安装20辆电动汽车． （1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ （2）如果工厂抽调名熟练工，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ 8．（23-24七年级下·全国·课后作业）甲、乙两个玩具的成本共300元，商店老板为获取利润，并快速出售玩具，决定将甲玩具按的利润率标价出售，乙玩具按的利润率标价出售，在实际出售时，应顾客要求，两个玩具均按标价的九折出售，这样，商店共获利114元． （1）若甲玩具的成本为元，则甲玩具的标价是________元，甲玩具的售价是________元，若乙玩具的成本是元，则乙玩具的标价是________元，乙玩具的售价是________元；（用含的式子填空） （2）在（1）的条件下，求甲、乙两个玩具的成本各是多少元； （3）在（1）的条件下，商店老板决定投入1 000元购进这两种玩具，且为了吸引顾客，每种玩具至少购进1个，那么可以怎样安排进货？ 9．（22-23七年级下·江苏南通·阶段练习）某市政府筹集了抗旱必需物资100吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 4 6 9 汽车运费（元/辆） 300 400 500 （1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费6900元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ （2）为了节约运费，该市政府计划调用甲、乙、丙三种车型都参与运送，已知它们的总辆数为18辆，则需要的最省总运费是多少元？ 10．（2023九年级·河南驻马店·学业考试）某文具经销商计划用4500元从厂家购进签字笔若干盒，每盒100支，已知该厂家生产A、B、C三种规格的签字笔，进价分别是A种每支1.5元，B种每支2元，C种每支2.5元． （1）若经销商同时购进两种不同规格的签字笔共20盒，并将4500元恰好用完，请你帮助经销商计算一下不同规格的签字笔各购进多少盒？ （2）若经销商准备用4500元同时购进A、B、C三种规格的签字笔共20盒（整盒购进），每种规格都要买，且将4500元恰好用完，请你设计进货方案． 11．（22-23七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）“重百”、“沃尔玛”两家超市出售同样的保温壶和水杯，保温壶和水杯在两家超市的售价分别一样．已知买1个保温壶和1个水杯要花费60元，买2个保温壶和3个水杯要花费130元． （1）请问：一个保温壶与一个水杯售价各是多少元？（列方程组求解） （2）为了迎接“端午节”，两家超市都在搞促销活动，“重百”超市规定：这两种商品都打九折；“沃尔玛”超市规定：买一个保温壶赠送一个水杯．若某单位想要买4个保温壶和15个水杯，如果只能在一家超市购买，请问选择哪家超市购买更合算？请说明理由． （3）在最省钱的超市用所省的钱（与不优惠时比较所省的钱），买2元一小包和5元一小包的茶叶（两种都买），有多少种购买方案？（直接写出答案） 12．（23-24七年级上·重庆北碚·期末）某城市计划修建一段公路，现有甲乙两个工程队，如果甲乙合作，每天可以修140米；如果先由甲单独做5天，再由乙单独做3天，可以修540米． （1）甲，乙工程队每天分别可以修路多少米？ （2）甲乙工程队都需要租A，B，C三种车（各队每种车至少租1辆）来运输修路产生的建筑垃圾．每辆A车，B车，C车每天运输的建筑垃圾重量分别为1吨，2吨，3吨．甲和乙工程队都分别租了7辆车，其中两队租用B车的数量一样，两队租用A车，C车的数量刚好互换，甲队每天运输的垃圾总重量是乙队每天运输的垃圾总重量的．已知每辆A车，B车，C车每天的租金分别为120元，200元，240元．请问甲工程队有哪几种租车方案？其中哪种方案甲队每天的租车费用最低，最低费用为多少？ 13．（22-23八年级上·陕西咸阳·阶段练习）某服装店欲购进一批A款和B款两种新款服装，若购买2件A款衣服和3件B款衣服共需226元，购买5件A款衣服和1件B款衣服共需292元．求： （1）每件A款衣服和每件B款衣服的价格分别是多少？ （2）若该店王老板准备了4600元，探究：王老板有几种进货方案，请你一一列举出来； （3）若A款衣服每件售价80元，B款衣服每件收件60元，王老板怎样进货可以获得最大收益？ 14．（22-23七年级下·福建泉州·期中）某医药公司销售甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，其中成本、售价如表： 甲 乙 成本 1.2元/只 0.4元/只 售价 1.8元/只 0.6元/只 （1）直接填空：若该公司销售甲种型号的口罩万只，则总销售额为______万元．（用含的代数式表示） （2）当所有口罩全部销售时，该公司可获利润8.8万元，求该公司销售甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？ （3）小明有16.2元的零花钱，打算购买甲和乙两种口罩（两种都要买），正好赶上口罩价格调整，其中甲型口罩售价上涨50%，乙型口罩按原价出售，则小明有多少种不同的购买方案可以使钱正好花完？请设计出这些方案． 15．（22-23七年级下·浙江温州·期中）商场为庆祝母亲节，为了促进消费，推出赠送“优惠券”活动，其中优惠券分为三种类型．如下表： A型 B型 C型 满368减100 满168减68 满50减20 在此次活动中，小温领到了三种不同类型的“优惠券”若干张，准备给妈妈买礼物． （1）若小温同时使用三种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了520元，已知她用了1张A型“优惠券”，4张C型“优惠券”，则她用了______张B型“优惠券”． （2）若小温同时使用了5张A，B型“优惠券”，共优惠了404元，那么他使用了A，B“优惠券”各几张？ （3）若小温共领到三种不同类型的“优惠券”各16张（部分未使用），他同时使用A，B，C型中的两种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了708元，请问有哪几种优惠券使用方案？（请写出具体解题过程） 16．（22-23七年级下·河南南阳·期中）随着康养医疗社会需求的进一步增大，某康养中心正在扩大规模，准备装修一批新房舍若甲、乙两个装修公司合作，需周完成，共需装修费为万元；若甲公司单独做周后，剩下的由乙公司来做，还需周才能完成，共需装修费万元，康养中心研究后决定只选一个公司单独完成工作总量为． （1）设甲公司每周的工作效率为，乙公司每周的工作效率为，则可列出方程为______ ； （2）如果从节约时间的角度考虑，你帮康养中心确定一下，应选哪家公司？请说明理由； （3）如果从节约开支的角度考虑呢？请说明理由． 17．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计65万元；3辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计45万元． （1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）“五一劳动节”前夕，该公司用不超过105万元购进A、B两型汽车各若干辆，其中A型汽车数量是B型数量的2倍，请你通过计算设计共有哪几种购买方案． （3）在（2）条件下，选择购车数量最多购车方案，公司决定把A型汽车的进价提高40%作为定价，把B型汽车的进价提高20%作为定价，并决定从5月1号到5月3号三天小长假期间，对A、B两型汽车进行打折促销，以定价为基础，A型车打m折销售，每辆B型车降价万元销售．除了汽车进价，销售A、B两型汽车每天还需要支出1万元的其他费用．经过促销，三天假期结束时，该公司销售完“五一节”前夕购进的A、B两型汽车，共获利19.8万元，求m的值． 18．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）某工厂准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子.    （1）若该工厂仓库里现有A型板材600张，B型板材1150张，用这批板材制作两种类型的箱子，问制作竖式和横式两种箱子各多少只，恰好将库存的板材用完？ （2）该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板50张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸箱，且，已知一个竖式纸箱成本300元，一个横式纸箱成本200元，试求在这一天加工两种纸箱时，a的所有可能值中，总成本最低多少元？ （3）若该工厂新购得65张规格为的C型正方形板材，将其全部切割成A型或B型板材（不计损耗），用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子不超过20只，且材料恰好用完，则制作两种箱子共 只. 19．（22-23六年级下·上海浦东新·期末）甲、乙两个学校乐团，决定向某服装厂购买同样的演出服，下是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1~39套（含39套） 40~69套（含69套） 70套及以上 每套服装的价格 80元 70元 60元 经调查：两个乐团共88人（甲乐团人数不少于49人），如果分别各自购买演出服，两个乐团共需花费6500元．请回答以下问题： （1）如果甲、乙两个乐团联合起来购买服装，那么比各自购买服装最多可以节省多少元？ （2）甲、乙两个乐团各有多少名学生？ （3）现从甲乐团抽调人，从乙乐团抽调人（要求从每个乐团抽调的人数不少于5人），去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”；甲乐团每位成员负责5位小朋友，乙乐团每位成员负责4位小朋友，这样恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖，请写出所有的抽调方案，并说明理由． 20．（22-23七年级下·福建福州·期中）王老师在某商店购买两种商品共三次，其中有一次两种商品同时打相同折扣，其余两次按原价购买，三次购买商品的数量和总费用如下表： 购买商品的数量/个 购买商品的数量/个 购买总费用/元 第一次购物 3 2 560 第二次购物 5 1 840 第三次购物 6 2 832 （1）观察表格中的数据，可知王老师以折扣价购买商品是第______次； （2）求出商品的原价； （3）若王老师第四次去购买这两种商品，都按之前的折扣共花费了1440元，其中购买商品的数量是购买商品的数量的正整数倍，试推算王老师购买方案有几种． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.4 方案问题——二元一次方程组 · 典例分析 【典例1】某商店分两次购进A、B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A、B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨，． 购进的台数 购进所需要的费用（元） A型 B型 第一次 10 20 3000 第二次 15 10 4500 （1）求第一次购进A、B型两种台灯每台进价分别是多少元？ （2）A、B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元． ①求A、B型两种台灯每台售价分别是多少元？ ②若按照第二次购进A、B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为1000元，求有哪几种购进方案？ 【思路点拨】 （1）根据等量关系式：第一次购买台A型台灯的费用第一次购买台B型台灯的费用元，第二次购买台A型台灯的费用第二次购买台B型台灯的费用元，列出方程组，接可求解； （2）①根据等量关系式：第一次的台A型台灯的利润第一次的台B型台灯的利润元，第二次的台A型台灯的利润第二次购买台B型台灯的利润元，列出方程组，接可求解； ②设再购进A型台灯a台，B型台灯台，由按第二次购买的价格购买，a台A型台灯售出获得利润 台B型台灯售出获得利润元，列方程即可求解． 【解题过程】 （1）解：设第一次购进A型台灯每台进价为x元，B型台灯每台进价为y元， 由题意得：， 解得：， 答：第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元． （2）解：①设A型台灯每台售价为m元，B型台灯每台售价为n元， 由题意得：， 解得，， 答：A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元； ②第二次购进的A型台灯的价格为：（元），B型台灯的价格为：（元）， 设购进A型台灯a台，B型台灯台， 由题意得：， 整理得：， ∴ a、b为自然数， 或或或， 有4种购进方案： ①购进A型台灯2台，B型台灯14台；②购进A型台灯5台，B型台灯10台；③购进A型台灯8台，B型台灯6台；④购进A型台灯11台，B型台灯2台． · 学霸必刷 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）某电脑公司有A，B，C三种型号的电脑，其相应的价格如表： 型号 A B C 单价/元 6 000 4 000 2 500 已知某中学现有资金100 500元，计划全部用于从该电脑公司购进36台两种不同型号的电脑．请设计出几种不同的购买方案供该校选择． 【思路点拨】 此题考查了二元一次方程组解决方案问题的运用，在解答时要考虑三种情况及题中的整数性，结合等量关系：单价×数量=总价．列方程组求解． 分三种情况进行计算：一是购买，A的单价×数量+B的单价×数量；二是购买，A的单价×数量+C的单价×数量；三是购买，B的单价×数量+C的单价×数量．求出三种情况的解就可以求出结论． 【解题过程】 解：设从该电脑公司购进A型电脑x台，B型电脑y台，C型电脑z台，则可分以下三种情况考虑： （1）只购进A型电脑和B型电脑， 则 解得 (不符合题意，舍去) （2）只购进A型电脑和C型电脑， 则，解得， （3）只购进B型电脑和C型电脑， 则解得 答：有两种方案供该校选择，第一种方案是购进A型电脑3台和C型电脑33台；第二种方案是购进B型电脑7台和C型电脑29台． 2．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）疫情期间，小李家购买防护用品的收据如表，有部分数据因污染无法识别，根据表格，解决下列问题： 商品名 单价（元） 数量（件） 金额（元） 温度计 190 1 190 消毒水 2 100 酒精喷剂 30       消毒纸巾 20 5    医用口罩 50       合计 14 650 （1）小李家此次购买的酒精喷剂和医用口罩各多少件？ （2）随着疫情的发展，小李家准备用260元购买消毒纸巾和医用口罩，在260元刚好用完的条件下，有哪些购买方案？ 【思路点拨】 （1）设小李家此次购买酒精喷剂x件，医用口罩y件，根据总价单价数量结合表格中的数据，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设可以购买消毒纸巾罩a件，医用口罩b件，根据总价单价数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为整数即可得出购买方案． 【解题过程】 （1）解：小李家此次购买的酒精喷剂x件，医用口罩y件，根据表格可得： ， 解得 ， 答：小李家此次购买的酒精喷剂2件，医用口罩4件； （2）设购买消毒纸巾a件，医用口罩b件， ，整理得， ∵a，b都是非负整数， 或或（不符合题意）， ∴一共有2种方案：①购买消毒纸巾3件，医用口罩4件；②购买消毒纸巾8件，医用口罩2件． 3．（23-24八年级上·广东茂名·期末）某药店出售、两种的口罩，已知该店进货4个种口罩和3个种口罩共需27元，进货2个种口罩所需费用比进货1个种口罩所需费用多1元． （1）请分别求出、两种口罩的进价是多少元？ （2）已知药店将种口罩每个提价1元出售，种口罩每个提价出售，小雅在该药店购买、两种口罩（两种口罩均要购买）共花费36元，小雅有哪几种购买方案？ 【思路点拨】 本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用， （1）设A种口罩的进价是x元，B种口罩的进价是y元，根据“该店进货4个种口罩和3个种口罩共需27元，进货2个种口罩所需费用比进货1个种口罩所需费用多1元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买A种口罩m个，B种口罩n个，利用总价单价数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，再结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案． 【解题过程】 （1）解：设种口罩的进价是元，种口罩的进价是元， 依题意得：，解得：， 答：种口罩的进价是3元，种口罩的进价是5元； （2）解：设购买种口罩个，种口罩个，依题意得： ，即， 解得：， 又，均为正整数， 或 小雅共有2种购买方案， 方案1：购买种口罩6个，种口罩2个； 方案2：购买种口罩3个，种口罩4个． 4．（23-24八年级上·广东深圳·期末）为了预防甲型流感病毒的扩散，学校准备购买一批医用口罩和洗手液用于日常防护，若医用口罩买600个，洗手液买50瓶，则需1850元；若医用口罩买800个，洗手液买25瓶，则需1425元． （1）求医用口罩和洗手液的单价． （2）学校本次采购准备了500元，除购买医用口罩和洗手液外，还需增加购买单价为3元的N95口罩a个，医用口罩和N95口罩共250个，购买洗手液b瓶，钱恰好全部用完且，学校一共有几种购买方案？写出所有采购方案． 【思路点拨】 本题主要考查二元一次方程组的应用以及一元一次方程组的应用： （1）设医用口罩的单价为x元，洗手液的单价为y元，根据若医用口罩买600个，洗手液买50瓶，则需1550元；若医用口罩买800个，洗手液买30瓶，则需1150元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）利用总价=单价×数量，列出关于a、b的二元一次方程，求出正整数解，即可得出答案． 【解题过程】 （1）设医用口罩的单价为x元，洗手液的单价为y元， 根据题意得：， 解得：， 答：医用口罩的单价为1元，洗手液的单价为25元； （2）由题意可得：， 整理得：， ∴， ∵ ∴a、b均为正整数， ∴或或或， ∴学校一共有4种购买方案： ①购买口罩100个，医用口罩150个，洗手液2瓶； ②购买口罩75个，医用口罩175个，洗手液4瓶； ③购买口罩50个，医用口罩200个，洗手液6瓶； ④购买口罩25个，医用口罩225个，洗手液8瓶． 5．（23-24八年级上·辽宁朝阳·期末）已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆一次运完，且恰好每辆车都装满货物． （1）1辆A型车和B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ （2）请你帮该物流公司设计方案； （3）若A型车租金每辆100元/次，B型车每辆租金120元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【思路点拨】 本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的整数解；熟练根据题意列出相对应的方程是解题的关键． （1）根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）根据题意列出二元一次方程，求其正整数解即可； （3）根据（2）的方案分别计算租车费，然后比较大小即可得出答案． 【解题过程】 （1）解：设一辆A型车装满货物可运货吨，一辆型车装满货物可运货吨； 由题意可得：， 解得： 答：一辆A型车装满货物可运货吨，一辆B型车装满货物可运货吨； （2）解：由题意得：， ∵、b均为正整数， ∴或或 ∴该物流公司共有以下三种租车方案； 方案一：租A型车辆，B型车辆； 方案二：租A型车辆，B型车辆； 方案三：租A型车辆，B型车辆； （3）解：方案一费用：（元） 方案二费用：（元） 方案三费用：（元） ∵ ∴方案一：租A型车辆，型车辆，最省钱，最少租车费为元． 6．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）为了弘扬爱国主义精神，某中学组织八年级学生到郑州市二七纪念塔展览，现有两种车型可供选择．已知2辆型车和1辆型车可以载学生100名；1辆型车和2辆型车可以载学生110人，该学校八年级共有320名学生，根据题目提供的信息，解决下列问题： （1）型车每辆可分别载学生多少人？ （2）若租一辆型车需要1000元，租一辆型车需要1200元，请你设计租车方案，使得恰好运送完学生并且租车费用最少． 【思路点拨】 本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设每辆A型车可载学生x人，每辆B型车可载学生y人，根据“2辆A型车和1辆B型车可以载学生100人；1辆A型车和2辆B型车可以载学生110人”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租A型车m辆，租B型车n辆，根据总人数租用A型车的数量租用B型车的数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数即可得出各租车方案，利用总钱数每辆车的租车费用租车数量可得出函数解析式，用函数的性质得出结论． 【解题过程】 （1）解：设每辆型车可载学生人，每辆型车可载学生人， 依题意，得：， 解得：． 答：每辆型车可载学生30人，每辆型车可载学生40人； （2）解：设租型车辆，租型车辆， 依题意，得：， 解得：． 均为非负整数， 或或， 当时，租车费用为（元）； 当时，租车费用为（元）； 当时，租车费用为（元）． ， 不租型车、8辆型车． 7．（22-23七年级下·湖南怀化·期中）目前，近几年来，新能源汽车在中国已然成为汽车工业发展的主流趋势，某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装360辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：2名熟练工和1名新工人每月可安装10辆电动汽车；3名熟练工和4名新工人每月可安装20辆电动汽车． （1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ （2）如果工厂抽调名熟练工，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ 【思路点拨】 （1）设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，每名新工人每月可以安装y辆电动汽车，根据“2名熟练工和1名新工人每月可安装10辆电动汽车；3名熟练工和4名新工人每月可安装20辆电动汽车”，再建立方程组即可得到答案； （2）设招聘y名新工人，根据：招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，再建立二元一次方程解题即可． 【解题过程】 （1）解：设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，每名新工人每月可以安装y辆电动汽车， 解得：， ∴每名熟练工和新工人每月分别可以安装4辆，2辆电动汽车 （2）设招聘y名新工人， 依题意得：， ∴． ∵，且n，y均为正整数， ∴或或或 ∴工厂有4种新工人的招聘方案， 方案1：招聘13名新员工，抽调1名熟练工； 方案2：招聘11名新员工，抽调2名熟练工； 方案3：招聘9名新员工，抽调3名熟练工； 方案4：招聘7名新员工，抽调4名熟练工． 8．（23-24七年级下·全国·课后作业）甲、乙两个玩具的成本共300元，商店老板为获取利润，并快速出售玩具，决定将甲玩具按的利润率标价出售，乙玩具按的利润率标价出售，在实际出售时，应顾客要求，两个玩具均按标价的九折出售，这样，商店共获利114元． （1）若甲玩具的成本为元，则甲玩具的标价是________元，甲玩具的售价是________元，若乙玩具的成本是元，则乙玩具的标价是________元，乙玩具的售价是________元；（用含的式子填空） （2）在（1）的条件下，求甲、乙两个玩具的成本各是多少元； （3）在（1）的条件下，商店老板决定投入1 000元购进这两种玩具，且为了吸引顾客，每种玩具至少购进1个，那么可以怎样安排进货？ 【思路点拨】 本题考查了二元一次方程组的应用、列代数式以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x，y的代数式表示出各量；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）利用标价=成本价×（1+利润率）及售价=标价×折扣率，即可用含x，y的代数式表示出甲、乙玩具的标价及售价； （2）根据“甲、乙两个玩具的成本共300元，两个玩具打折销售后共获利114元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设购进m个甲玩具，n个乙玩具，利用总价=单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各进货方案． 【解题过程】 （1）解：∵甲玩具的成本为x元，乙玩具的成本是y元，甲玩具按的利润率标价出售，乙玩具按的利润率标价出售， ∴甲玩具的标价为 (元)，乙玩具的标价为 (元)． 又∵在实际出售时，应顾客要求，两个玩具均按标价的九折出售， ∴甲玩具的售价为 (元)，乙玩具的售价为 (元)． （2）解：依题意，得 解得 答：甲玩具的成本是100元，乙玩具的成本是200元． （3）解：设购进m个甲玩具，n个乙玩具， 依题意，得，化简得． 又∵m，n均为正整数， ∴或或或 ∴共有4种进货方案，方案1：购进8个甲玩具，1个乙玩具；方案2：购进6个甲玩具，2个乙玩具；方案3：购进4个甲玩具，3个乙玩具；方案4：购进2个甲玩具，4个乙玩具． 9．（22-23七年级下·江苏南通·阶段练习）某市政府筹集了抗旱必需物资100吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 4 6 9 汽车运费（元/辆） 300 400 500 （1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费6900元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ （2）为了节约运费，该市政府计划调用甲、乙、丙三种车型都参与运送，已知它们的总辆数为18辆，则需要的最省总运费是多少元？ 【思路点拨】 （1）设需甲车x辆，乙车y辆，根据运费6900元，总吨数是100，列出方程组，再进行求解即可； （2）设甲车有辆，乙车有 辆，则丙车有辆，列出等式，再根据车辆数均为正整数，求出，的值，从而得出答案． 【解题过程】 （1）解：设需甲车x辆，乙车y辆，根据题意得， ， 解得， 答：甲车7辆，乙车12辆； （2）解：设甲车有a辆，乙车有b辆，则丙车有辆，由题意得， ， 化简得， 即， ∵a，b，均为正整数， ∴当，从而，，或当，从而，， ∴当甲车10辆，乙车5辆，丙车3辆时， 总运费为（元）， 当甲车7辆，乙车9辆，丙车2辆时， 总运费为（元）， ∵ ∴需要的最省总运费是6600元． 10．（2023九年级·河南驻马店·学业考试）某文具经销商计划用4500元从厂家购进签字笔若干盒，每盒100支，已知该厂家生产A、B、C三种规格的签字笔，进价分别是A种每支1.5元，B种每支2元，C种每支2.5元． （1）若经销商同时购进两种不同规格的签字笔共20盒，并将4500元恰好用完，请你帮助经销商计算一下不同规格的签字笔各购进多少盒？ （2）若经销商准备用4500元同时购进A、B、C三种规格的签字笔共20盒（整盒购进），每种规格都要买，且将4500元恰好用完，请你设计进货方案． 【思路点拨】 （1）设A种签字笔购买x盒，B种签字笔购买y盒，C种签字笔购买z盒，然后根据题意可分类讨论求解； （2）设A种签字笔购买a盒，B种签字笔购买b盒，C种签字笔购买c盒，则有，然后可得，进而问题可求解． 【解题过程】 （1）解：设A种签字笔购买x盒，B种签字笔购买y盒，C种签字笔购买z盒． ①若购进A、B两种签字笔，根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）； ②若购进A、C两种签字笔，根据题意得：， 解得：； ③若购进B、C两种签字笔，根据题意得：， 解得：； 所以，有两种购买方案： ①购进A种签字笔5盒，C种签字笔15盒；②购进B种签字笔10盒，C种签字笔10盒． （2）解：设A种签字笔购买a盒，B种签字笔购买b盒，C种签字笔购买c盒． 由题意得：；则 ，即， ∴， ∵a、b、c都是正整数 ∴共有以下4种购买方案，具体如下： 方案1：A种4盒，B种2盒，C种14盒； 方案2：A种3盒，B种4盒，C种13盒； 方案3：A种2盒，B种6盒，C种12盒； 方案4：A种1盒，B种8盒，C种11盒． 11．（22-23七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）“重百”、“沃尔玛”两家超市出售同样的保温壶和水杯，保温壶和水杯在两家超市的售价分别一样．已知买1个保温壶和1个水杯要花费60元，买2个保温壶和3个水杯要花费130元． （1）请问：一个保温壶与一个水杯售价各是多少元？（列方程组求解） （2）为了迎接“端午节”，两家超市都在搞促销活动，“重百”超市规定：这两种商品都打九折；“沃尔玛”超市规定：买一个保温壶赠送一个水杯．若某单位想要买4个保温壶和15个水杯，如果只能在一家超市购买，请问选择哪家超市购买更合算？请说明理由． （3）在最省钱的超市用所省的钱（与不优惠时比较所省的钱），买2元一小包和5元一小包的茶叶（两种都买），有多少种购买方案？（直接写出答案） 【思路点拨】 此题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解；利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键； （1）设一个保温壶售价为元，一个水杯售价为元，根据买1个保温壶和1个水杯要花费60元，买2个保温壶和3个水杯要花费130元，列出方程组，求解即可． （2）根据题意先分别计算出在“重百”超市购买所需费用和在“沃尔玛”超市购买所需费用，然后进行比较即可得出答案． （3）设买2元一小包的茶叶a包，和5元一小包的茶叶b包，根据题意列出二元一次方程，根据为正整数求解即可； 【解题过程】 （1）设一个保温壶售价为元，一个水杯售价为元． 由题意，得：． 解得：． 答：一个保温壶售价为50元，一个水杯售价为10元． （2）选择在“沃尔玛”超市购买更合算． 理由：在“重百”超市购买所需费用为： (元)， 在“沃尔玛”超市购买所需费用为： (元)， ∵， ∴选择在“沃尔玛”超市购买更合算． （3）设买2元一小包的茶叶a包，和5元一小包的茶叶b包， 则， 即， 整理得：， 为正整数， 或或， 故有三个方案：方案一：买2元一小包的茶叶15包，和5元一小包的茶叶2包； 方案二：买2元一小包的茶叶10包，和5元一小包的茶叶4包； 方案三：买2元一小包的茶叶5包，和5元一小包的茶叶6包． 12．（23-24七年级上·重庆北碚·期末）某城市计划修建一段公路，现有甲乙两个工程队，如果甲乙合作，每天可以修140米；如果先由甲单独做5天，再由乙单独做3天，可以修540米． （1）甲，乙工程队每天分别可以修路多少米？ （2）甲乙工程队都需要租A，B，C三种车（各队每种车至少租1辆）来运输修路产生的建筑垃圾．每辆A车，B车，C车每天运输的建筑垃圾重量分别为1吨，2吨，3吨．甲和乙工程队都分别租了7辆车，其中两队租用B车的数量一样，两队租用A车，C车的数量刚好互换，甲队每天运输的垃圾总重量是乙队每天运输的垃圾总重量的．已知每辆A车，B车，C车每天的租金分别为120元，200元，240元．请问甲工程队有哪几种租车方案？其中哪种方案甲队每天的租车费用最低，最低费用为多少？ 【思路点拨】 此题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找出等量关系并列出方程是解题关键． （1）设甲，乙工程队每天分别可以修路x米和y米，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设甲队租了m辆A车，n辆B车，则租了辆C车，然后表示出乙工程队租A，B，C三种车的数量，然后根据题意列出方程，整理得到，然后得到，，然后分别求出两种方案的租出费用，进而求解即可． 【解题过程】 （1）设甲，乙工程队每天分别可以修路x米和y米， 根据题意得， 解得 ∴甲，乙工程队每天分别可以修路80米和60米； （2）设甲队租了m辆A车，n辆B车，则租了辆C车， ∴乙队租了辆A车，n辆B车，租了m辆C车， ∵甲队每天运输的垃圾总重量是乙队每天运输的垃圾总重量的 ∴ 整理得， ∵各队每种车至少租1辆 ∴，， ∴， ∴（不符合题意，舍去），（不符合题意，舍去），， ∴当，时， 甲队租了3辆A车，3辆B车，则租了1辆C车， ∴甲队每天的租车费用为（元）， ∴当，时， 甲队租了4辆A车，1辆B车，则租了2辆C车， ∴甲队每天的租车费用为（元）， ∵ ∴甲工程队有两种租车方案：①租3辆A车，3辆B车，则租了1辆C车；②租4辆A车，1辆B车，则租了2辆C车，第①种租车费用最低，最低为1160元． 13．（22-23八年级上·陕西咸阳·阶段练习）某服装店欲购进一批A款和B款两种新款服装，若购买2件A款衣服和3件B款衣服共需226元，购买5件A款衣服和1件B款衣服共需292元．求： （1）每件A款衣服和每件B款衣服的价格分别是多少？ （2）若该店王老板准备了4600元，探究：王老板有几种进货方案，请你一一列举出来； （3）若A款衣服每件售价80元，B款衣服每件收件60元，王老板怎样进货可以获得最大收益？ 【思路点拨】 本题考查的是列代数式，代数式的值，二元一次方程的整数解的应用，二元一次方程的应用，理解题意，选择合适的方法解题是关键； （1）设A款衣服的单价为元，B款衣服的单价为元，利用“购买2件A款衣服和3件B款衣服共需226元，购买5件A款衣服和1件B款衣服共需292元”，再建立方程组解题即可； （2）设A款衣服进货件，B款衣服进货件，则，再利用方程的非负数解解决问题即可； （3）设A款衣服进货件，B款衣服进货件，则利润为元，再结合（2）的结论与代数式的特点可得答案． 【解题过程】 （1）解：设A款衣服的单价为元，B款衣服的单价为元， 依题意，得：， 解得：． 答：A款衣服的单价为50元，B款衣服的单价为42元． （2）设A款衣服进货件，B款衣服进货件，则 ， 整理得：， ∵，为非负整数， ∴，，，，； ∴进货方案为：①A款衣服进货件，B款衣服进货件， ②A款衣服进货件，B款衣服进货件， ③A款衣服进货件，B款衣服进货件， ④A款衣服进货件，B款衣服进货件， ⑤A款衣服进货件，B款衣服进货件． （3）∵A款衣服每件利润元，B款衣服每件利润元， 设A款衣服进货件，B款衣服进货件，则利润为元， ∵， ∴利润为， 由代数式的特点可得：取最小值时，利润最大， 最大利润为：元． 14．（22-23七年级下·福建泉州·期中）某医药公司销售甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，其中成本、售价如表： 甲 乙 成本 1.2元/只 0.4元/只 售价 1.8元/只 0.6元/只 （1）直接填空：若该公司销售甲种型号的口罩万只，则总销售额为______万元．（用含的代数式表示） （2）当所有口罩全部销售时，该公司可获利润8.8万元，求该公司销售甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？ （3）小明有16.2元的零花钱，打算购买甲和乙两种口罩（两种都要买），正好赶上口罩价格调整，其中甲型口罩售价上涨50%，乙型口罩按原价出售，则小明有多少种不同的购买方案可以使钱正好花完？请设计出这些方案． 【思路点拨】 （1）根据题意直接列出代数式即可； （2）设该公司三月份生产甲种型号的防疫口罩万只，乙种型号的防疫口罩万只，根据该公司三月份生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只且全部售出后获得的总利润为8.8万元，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该同学购买只甲型口罩，只乙型口罩，利用总价单价数量，可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各购买方案． 【解题过程】 （1）由题意可得：若该公司销售甲种型号的口罩万只，则总销售额为（万元）， 故答案为：； （2）设甲型号口罩生产x万只，乙型口罩生产了y万只， 由题意可得： ， 解得：， 答：甲型号口罩生产12万只，乙型口罩生产了8万只； （3）设该同学购买只甲型口罩，只乙型口罩， 根据题意得：， ． 又，均为正整数， 或， 该同学共有2种购买方案， 方案1：购买4个甲型口罩，9个乙型口罩； 方案2：购买2个甲型口罩，18个乙型口罩． 15．（22-23七年级下·浙江温州·期中）商场为庆祝母亲节，为了促进消费，推出赠送“优惠券”活动，其中优惠券分为三种类型．如下表： A型 B型 C型 满368减100 满168减68 满50减20 在此次活动中，小温领到了三种不同类型的“优惠券”若干张，准备给妈妈买礼物． （1）若小温同时使用三种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了520元，已知她用了1张A型“优惠券”，4张C型“优惠券”，则她用了______张B型“优惠券”． （2）若小温同时使用了5张A，B型“优惠券”，共优惠了404元，那么他使用了A，B“优惠券”各几张？ （3）若小温共领到三种不同类型的“优惠券”各16张（部分未使用），他同时使用A，B，C型中的两种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了708元，请问有哪几种优惠券使用方案？（请写出具体解题过程） 【思路点拨】 （1）根据“小温同时使用三种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了520元”求解即可； （2）设他使用了A型“优惠券”x张，B型“优惠券”y张，根据“同时使用了5张A， B型‘优惠券’，共优惠了404元”列二元一次方程组，求解即可； （3）设小温使用了A型“优惠券”a张， B型“优惠券”b张， C型“优惠券”c张，根据题意，分三种情况∶①若使用了A， B两种类型的优惠券，②使用了B， C两种类型的优惠券，③使用了A， C两种类型的优惠券，分别列方程，求解即可确定使用方案． 【解题过程】 （1）解∶根据题意，得 (张)， 故答案为∶5； （2）解：设他使用了A型x张，B型y张． 根据题意可得解得 答：他使用了A型2张，B型3张． （3）解：设小温使用A型a张，B型b张，C型c张． 根据题意可得三种情形： ①若小温使用了A，B型优惠券，则有 化简为： ∵a，b都为整数，且， ∴， ②若小温使用了B，C型优惠券，则有 化简为： ∵b，c都为整数，且， ∴， ③若小温使用了A，C型优惠券，则有 化简为： ∵a，c都为整数，且， ∴本小题无解． 综上所述，有两种优惠券使用方案：①A型3张，B型6张．②B型6张，C型15张． 16．（22-23七年级下·河南南阳·期中）随着康养医疗社会需求的进一步增大，某康养中心正在扩大规模，准备装修一批新房舍若甲、乙两个装修公司合作，需周完成，共需装修费为万元；若甲公司单独做周后，剩下的由乙公司来做，还需周才能完成，共需装修费万元，康养中心研究后决定只选一个公司单独完成工作总量为． （1）设甲公司每周的工作效率为，乙公司每周的工作效率为，则可列出方程为______ ； （2）如果从节约时间的角度考虑，你帮康养中心确定一下，应选哪家公司？请说明理由； （3）如果从节约开支的角度考虑呢？请说明理由． 【思路点拨】 （1）设甲公司每周的工作效率为，乙公司每周的工作效率为，利用工作总量工作效率工作时间，结合“甲、乙两个装修公司合作，需周完成；若甲公司单独做周后，剩下的由乙公司来做，还需周才能完成”，即可列出关于，的二元一次方程组； （2）如果从节约时间的角度考虑，康养中心应选甲公司，解中的方程组可得出，的值，利用工作时间工作总量工作效率，可求出甲、乙两公司单独完成所需时间，比较后即可得出结论； （3）如果从节约开支的角度考虑，康养中心应选乙公司，设选择甲公司每周需支付装修费万元，选择乙公司每周需支付装修费万元，根据“甲、乙两个装修公司合作周，共需装修费为万元；若甲公司单独做周后，乙公司单独做周，共需装修费万元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的值，再将其代入，中，比较后即可得出结论． 【解题过程】 （1）设甲公司每周的工作效率为，乙公司每周的工作效率为， 根据题意得：． 故答案为：； （2）如果从节约时间的角度考虑，康养中心应选甲公司，理由如下： 解方程组得：， ，， 甲公司单独完成所需时间为周，乙公司单独完成所需时间为周， 又， 如果从节约时间的角度考虑，康养中心应选甲公司； （3）如果从节约开支的角度考虑，康养中心应选乙公司，理由如下： 设选择甲公司每周需支付装修费万元，选择乙公司每周需支付装修费万元， 根据题意得：， 解得：， ，， 选择甲公司共需支付装修费万元，选择乙公司共需支付装修费万元， 又， 如果从节约开支的角度考虑，康养中心应选乙公司． 17．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计65万元；3辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计45万元． （1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）“五一劳动节”前夕，该公司用不超过105万元购进A、B两型汽车各若干辆，其中A型汽车数量是B型数量的2倍，请你通过计算设计共有哪几种购买方案． （3）在（2）条件下，选择购车数量最多购车方案，公司决定把A型汽车的进价提高40%作为定价，把B型汽车的进价提高20%作为定价，并决定从5月1号到5月3号三天小长假期间，对A、B两型汽车进行打折促销，以定价为基础，A型车打m折销售，每辆B型车降价万元销售．除了汽车进价，销售A、B两型汽车每天还需要支出1万元的其他费用．经过促销，三天假期结束时，该公司销售完“五一节”前夕购进的A、B两型汽车，共获利19.8万元，求m的值． 【思路点拨】 （1）设A型汽车每辆进价为x万元，B型汽车每辆进价为y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计65万元；3辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计45万元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m辆A型汽车，n辆B型汽车，利用总价=单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案； （3）设“五一劳动节”前夕，该公司购进a辆B型汽车，则购进2a辆A型汽车，利用总价=单价×数量，可得出关于a的一元一次方程，解之可求出购进B型汽车的数量，将其代入2a中，可求出购进A型汽车的数量，再利用总利润=每辆的销售利润×销售数量-每天需支出的其他费用×3，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值． 【解题过程】 （1）解：设A型汽车每辆进价为x万元，B型汽车每辆进价为y万元， 根据题意得：， 解得：． 答：A型汽车每辆进价为10万元，B型汽车每辆进价为15万元； （2）解：设购进m辆A型汽车，n辆B型汽车， 依题意得：，， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴或或， ∴该公司共有3种购买方案， 方案1：购进2辆A型汽车，1辆B型汽车； 方案2：购进4辆A型汽车，2辆B型汽车； 方案3：购进6辆A型汽车，3辆B型汽车． （3）设“五一劳动节”前夕，该公司购进a辆B型汽车，则购进2a辆A型汽车， 根据题意得：， 解得：， ∴． ∵三天假期结束时，该公司销售完“五一节”前夕购进的A、B两型汽车，共获利19.8万元， ∴， 整理得：， 解得：． 答：m的值为9.5． 18．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）某工厂准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子.    （1）若该工厂仓库里现有A型板材600张，B型板材1150张，用这批板材制作两种类型的箱子，问制作竖式和横式两种箱子各多少只，恰好将库存的板材用完？ （2）该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板50张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸箱，且，已知一个竖式纸箱成本300元，一个横式纸箱成本200元，试求在这一天加工两种纸箱时，a的所有可能值中，总成本最低多少元？ （3）若该工厂新购得65张规格为的C型正方形板材，将其全部切割成A型或B型板材（不计损耗），用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子不超过20只，且材料恰好用完，则制作两种箱子共 只. 【思路点拨】 （1）设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，根据题意即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板50张、长方形纸板a张，即可得出关于m、n的二元一次方程组，解之即可用含a的代数式表示出n值，再根据n、a为正整数结合即可求出a的值，此题得解； （3）设裁剪出B型板材p张，则可裁A型板材张，进而得出方程组求出符合题意的答案． 【解题过程】 （1）解：设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个， 根据题意得：， 解得：， 答：加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个； （2）解：设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个， 根据题意得：， 解得：， ∵n、a为正整数， ∴a为5的倍数， 又∵， ∴满足条件的a为：，，； 当时，，，成本费为：（元）； 当时，，，成本费为：（元）； 当时，，，成本费为：（元）； ∵， ∴a的所有可能值中，成本最低花费9400元； （3）解：设裁剪出B型板材p张，则可裁A型板材张，由题意得： ， 整理得，，． ∵竖式箱子不少于20只， ∴或22， 这时，或，． 则能制作两种箱子共：或． 故答案为：47或49． 19．（22-23六年级下·上海浦东新·期末）甲、乙两个学校乐团，决定向某服装厂购买同样的演出服，下是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1~39套（含39套） 40~69套（含69套） 70套及以上 每套服装的价格 80元 70元 60元 经调查：两个乐团共88人（甲乐团人数不少于49人），如果分别各自购买演出服，两个乐团共需花费6500元．请回答以下问题： （1）如果甲、乙两个乐团联合起来购买服装，那么比各自购买服装最多可以节省多少元？ （2）甲、乙两个乐团各有多少名学生？ （3）现从甲乐团抽调人，从乙乐团抽调人（要求从每个乐团抽调的人数不少于5人），去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”；甲乐团每位成员负责5位小朋友，乙乐团每位成员负责4位小朋友，这样恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖，请写出所有的抽调方案，并说明理由． 【思路点拨】 （1）若甲、乙两个乐团合起来购买服装88套，则每套是60元，计算出总价，即可求得比各自购买服装共可以节省多少钱； （2）设甲乐团有人，乙乐团有人，分当甲乐团的人数小于69人时和当甲乐团的人数大于等于70人时，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （3）根据题意列出二元一次方程，由从每个乐团抽调的人数不少于5人且为正整数，即可求得的值，从而得到答案． 【解题过程】 （1）解：根据题意可得： 买88套所花费为：（元）， 最多可节省：（元）， 答：最多可节省1220元； （2）解：当甲乐团的人数小于69人时， 设甲乐团有人，乙乐团有人， 根据题意可得： ， 解得：， 甲乐团有54人，乙乐团有34人， 当甲乐团的人数大于等于70人时， 设甲乐团有人，乙乐团有人， 根据题意可得： ， 解得：，不符合题意，舍去， 甲乐团有54人，乙乐团有34人， （3）解：根据题意可得： ， 变形得：， 从每个乐团抽调的人数不少于5人且为正整数， 或， 共有两种方案：从甲乐团抽调9人，从乙乐团抽调5人，或者从甲乐团抽调5人，从乙乐团抽调10人． 20．（22-23七年级下·福建福州·期中）王老师在某商店购买两种商品共三次，其中有一次两种商品同时打相同折扣，其余两次按原价购买，三次购买商品的数量和总费用如下表： 购买商品的数量/个 购买商品的数量/个 购买总费用/元 第一次购物 3 2 560 第二次购物 5 1 840 第三次购物 6 2 832 （1）观察表格中的数据，可知王老师以折扣价购买商品是第______次； （2）求出商品的原价； （3）若王老师第四次去购买这两种商品，都按之前的折扣共花费了1440元，其中购买商品的数量是购买商品的数量的正整数倍，试推算王老师购买方案有几种． 【思路点拨】 （1）比较第二、三次购物，由第三次购买数量多总费用反而少，可得出王老师折扣价购买商品是第三次； （2）设商品的原价为元，商品的原价为元，利用总价单价数量，结合第一、二两次购物购买数量及总费用，可得出关于的二元一次方程，解之即可得出结论； （3）设购买商品件，则购买商品件，利用总价单价数量折扣率，可得出关于的二元一次方程，结合均为正整数，且是的正整数倍，即可得出各购买方案． 【解题过程】 （1）解：第三次购物购买的两种商品比第二次购物购买的都多，而第三次购物购买总费用比第二次购物购买总费用低， 王老师以折扣价购买商品是第三次， 故答案为：三； （2）解：设商品的原价为元，商品的原价为元， 依题意可得： ， 解得：， 商品的原价为160元，商品的原价为40元； （3）解：可知第三次购买原价为：（元）， ， 第三次购买打8折， 设购买商品件，则购买商品件， 可得， 化简得：， ， 均为正整数，且是的正整数倍， 或或， 可知王老师有三种购买方案， ①购买商品9件，则购买商品9件， ②购买商品10件，则购买商品5件， ③购买商品11件，则购买商品1件． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$