14.3.1 提公因式法（分层作业）-【上好课】八年级数学上册同步高效课堂（人教版）

14.3.1 提公因式法 分层作业 基础训练 1．（23-24八年级下·辽宁朝阳·期末）下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·山东威海·期末）在多项式中，各项的公因式是(    ) A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·山东济宁·期末）下列各组中的两个代数式，没有公因式的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）下列代数式中，不能用提公因式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）如图，长方形的长和宽分别是x，y，它的周长为14，面积为10．则的值为（    ） A．140 B．70 C．14 D．10 6．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）若一个多项式因式分解的结果是，则这个多项式为（   ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·山东淄博·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·山东济南·期末）利用因式分解计算 A．1 B．2023 C．2024 D． 9．（2022八年级上·全国·专题练习）已知，，则的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 10．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）因式分解： ． 11．（22-23七年级下·湖南永州·期中）已知，则代数式的值等于 ． 12．（23-24八年级下·广东梅州·期末）已知a，b，c为的三边， 且满足则是 三角形． 13．（22-23八年级上·广西南宁·期末）如图，把三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，时，的值为 ． 14．（22-23七年级下·湖南邵阳·期末）若，，则多项式的值是 ． 15．（23-24八年级下·全国·期末）分解因式： (1) (2) 16．（22-23八年级上·重庆巴南·期末）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 17．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）先因式分解，再计算求值：，其中； 18．（21-22八年级上·福建福州·期末）先化简，再求值：，其中． 19．（23-24八年级上·河北保定·期末）现有甲、乙、丙三种长方形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示（）．某同学分别用这些卡片拼出了两个长方形（不重叠无缝隙），如图2和图3，其面积分别为，． (1)请用含的式子分别表示，； (2)比较与的大小，并说明理由． 能力提升 20．（23-24八年级上·山东烟台·期末）一定能被下面哪个数整除（    ） A．7 B．8 C．10 D．11 21．（23-24八年级上·重庆北碚·期中）已知实数a，b，x，y满足，，则 . 22．（23-24八年级上·北京东城·期末）“回文诗”，是能够回还往复，正读倒读皆成章句的诗篇，是我国古典文学作品中的一种有趣的特殊体裁．如“遥望四边云接水，碧峰千点数鸿轻”，倒过来读，便是“轻鸿数点千峰碧，水接云边四望遥”．在数学中也有这样一类正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”例如11，343等． （1）在所有三位数中，“回文数”共有 个； （2）任意一个四位数的“回文数”一定是 的倍数(1除外)． 23．（2023·广东珠海·二模）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证．观察图1，．接下来，观察图2，通过类比思考，因式分解 = ． 24．（22-23八年级上·甘肃平凉·期末）你能很快算出吗 为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为的自然数的平方，任意一个个位数为的自然数都可以写成（为自然数），即求的值，试分析，，，……这些简单情形，从中探索规律，并归纳猜想出的结论（在下面空格上填上你探索结果）． (1)通过计算，探索规律 可以写成； 可以写成； 可以写成； 可以写成；…… ，可以写成， ，可以写成 (2)从（1）题的结果，猜想，归纳，得 ，并利用整式运算的知识给予说明： (3)根据上面的归纳猜想，计算出 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 14.3.1 提公因式法 分层作业 基础训练 1．（23-24八年级下·辽宁朝阳·期末）下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的定义：把一个多项式在一个范围（如实数范围内分解，即所有项均为实数）化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解．据此即可求解． 【详解】解：A选项符合因式分解的定义，符合题意； B选项是整式的乘法运算，不符合题意； C选项等号右边不是几个整式的积的形式，不符合题意； D选项等号右边的因式里面包含分式，不符合题意； 故选：A． 2．（23-24八年级上·山东威海·期末）在多项式中，各项的公因式是(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式的公因式，根据多项式的公因式定义来进行求解． 【详解】解：在多项式中，各项的公因式是， 故选：A． 3．（23-24八年级上·山东济宁·期末）下列各组中的两个代数式，没有公因式的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了公因式的概念，正确理解公因式是解题的关键． 根据公因式的概念逐一判断选项即可． 【详解】A、和的公因式是，不符合题意； B、和，没有公因式，符合题意；     C、和的公因式是，不符合题意； D、和的公因式是5，不符合题意； 故选B． 4．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）下列代数式中，不能用提公因式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，根据提公因式法逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、，故能用提公因式法因式分解，不符合题意； B、，故能用提公因式法因式分解，不符合题意； C、，不能用提公因式法因式分解，符合题意； D、，故能用提公因式法因式分解，不符合题意； 故选：C． 5．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）如图，长方形的长和宽分别是x，y，它的周长为14，面积为10．则的值为（    ） A．140 B．70 C．14 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，先根据题意得出，，再将进行因式分解，最后代入求值即可． 【详解】解：∵该长方形的周长为14，面积为10， ∴，则， ∴， 故选：B． 6．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）若一个多项式因式分解的结果是，则这个多项式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用单项式乘多项式运算法则，进而得出答案． 此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：一个多项式因式分解的结果是， 这个多项式为：． 故选：． 7．（23-24八年级上·山东淄博·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分解因式，同底数幂乘法的逆运算，先把原式变形为，再分解因式得到，据此可得答案． 【详解】解： ， 故选：A． 8．（23-24八年级上·山东济南·期末）利用因式分解计算 A．1 B．2023 C．2024 D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解计算，涉及提公因式因式分解，根据题意，提公因式即可简化运算求值，熟练掌握因式分解方法是解决问题的关键． 【详解】解： ， 故选：B． 9．（2022八年级上·全国·专题练习）已知，，则的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】先利用完全平方公式和提公因式法进行变形，再代入进行计算即可． 【详解】解：原式， 把，代入得： 原式． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了求分式的值．能够正确利用完全平方公式和提公因式法进行变形解题的关键． 10．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式进行分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 11．（22-23七年级下·湖南永州·期中）已知，则代数式的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解——提公因式法，代数式求值，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．由可得，再利用提公因式法将所求式子变形后代入值计算即可． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 12．（23-24八年级下·广东梅州·期末）已知a，b，c为的三边， 且满足则是 三角形． 【答案】等腰 【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，根据已知等式因式分解，得出或，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， 即， 解得：或， ∴是是等腰三角形， 故答案为：等腰． 13．（22-23八年级上·广西南宁·期末）如图，把三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据题目特点可用提公因式的方法进行因式分解．用提公因式法把因式分解为，再进行计算求值． 【详解】解： ． 故答案为：． 14．（22-23七年级下·湖南邵阳·期末）若，，则多项式的值是 ． 【答案】 【分析】先对多项式因式分解，再代入计算即可得到答案． 【详解】解： ， ，， 原式， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解、代数式求值，利用整体代入的思想，熟练掌握提公因式法分解因式是解题关键． 15．（23-24八年级下·全国·期末）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分解因式； （1）直接提公因式分解因式即可； （2）直接提公因式分解因式即可． 【详解】（1）； （2）． 16．（22-23八年级上·重庆巴南·期末）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)61 (2)1980 【分析】（1）利用完全平方公式变形，再代入求值； （2）先利用因式分解和完全平方公式变形，再代入求值． 【详解】（1）解：∵，∴， 即； 又∵，∴， ∴； （2）解：∵， 又∵， 由（1），得． ∴． ∴． 【点睛】本题考查因式分解和完全平方公式的灵活变形，熟练提公因式和完全平方公式变形是解题的关键． 17．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）先因式分解，再计算求值：，其中； 【答案】； 【分析】本题主要考查了因式分解，先将原式运用提公因式法分解后，再代入求值即可 【详解】解： ； 把代入得，原式． 18．（21-22八年级上·福建福州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先去括号，再合并同类项，然后把代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 19．（23-24八年级上·河北保定·期末）现有甲、乙、丙三种长方形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示（）．某同学分别用这些卡片拼出了两个长方形（不重叠无缝隙），如图2和图3，其面积分别为，． (1)请用含的式子分别表示，； (2)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)，； (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了列代数式，因式分解的应用： （1）根据图1中每个图形的边的长度列式求解即可； （2）利用作差法得到，再由，得到，则，即． 【详解】（1）解；由题意得，， ； （2）解：，理由如下： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 能力提升 20．（23-24八年级上·山东烟台·期末）一定能被下面哪个数整除（    ） A．7 B．8 C．10 D．11 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，巧妙的运用因式分解解答问题．可提取公因式进行因式分解． 【详解】解：， 一定能被7整除． 故选：A． 21．（23-24八年级上·重庆北碚·期中）已知实数a，b，x，y满足，，则 . 【答案】20 【分析】本题考查因式分解的应用、整式的乘法、代数式求值，解答的关键利用整体思想求解．先求得，再将所求代数式因式分解，转化为求的值即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ， 故答案为：20． 22．（23-24八年级上·北京东城·期末）“回文诗”，是能够回还往复，正读倒读皆成章句的诗篇，是我国古典文学作品中的一种有趣的特殊体裁．如“遥望四边云接水，碧峰千点数鸿轻”，倒过来读，便是“轻鸿数点千峰碧，水接云边四望遥”．在数学中也有这样一类正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”例如11，343等． （1）在所有三位数中，“回文数”共有 个； （2）任意一个四位数的“回文数”一定是 的倍数(1除外)． 【答案】 90 11 【分析】本题考查整式的加减，分解因式， （1）百位数字和个位数字相同时，三位数是回文数，据此可得答案； （2）由“回文数”定义，数字与数的关系求得任意四位数的“回文数”是11的倍数； 【详解】解：（1）解：当百位数字和个位数字相同时，三位数是回文数，当百位数字为1时，有10个回文数，同理百位数字为2时，有10个回文数， 三位数的回文数共有90个； 故答案为：90； （2）设任意四位数的“回文数”千位，百位，十位和个位上的数字分别为、、、，则有： ， 是11的倍数； 故答案为：11 23．（2023·广东珠海·二模）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证．观察图1，．接下来，观察图2，通过类比思考，因式分解 = ． 【答案】 【分析】把图2可有两种计算方法：①三个长方体相加；②大正方体减去小正方体，按要求列出式子，即可解答． 【详解】解：将图2看作三个长方体相加时，可得式子： ； 原式两边提取，可得原式． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了整式的乘法，因式分解，观察图形的体积如何计算是解题的关键． 24．（22-23八年级上·甘肃平凉·期末）你能很快算出吗 为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为的自然数的平方，任意一个个位数为的自然数都可以写成（为自然数），即求的值，试分析，，，……这些简单情形，从中探索规律，并归纳猜想出的结论（在下面空格上填上你探索结果）． (1)通过计算，探索规律 可以写成； 可以写成； 可以写成； 可以写成；…… ，可以写成， ，可以写成 (2)从（1）题的结果，猜想，归纳，得 ，并利用整式运算的知识给予说明： (3)根据上面的归纳猜想，计算出 【答案】(1)； (2)；说明见解析 (3) 【分析】（1）认真阅读，总结规律：十位数（十位数），然后按规律改写和即可； （2）根据规律：十位数（十位数），改写即可；根据完全平方公式，展开，提取前两项公因式即可证明； （3）根据（2）的结果：，计算即可． 【详解】（1）解：总结规律：十位数（十位数）， ；； 故答案为：；； （2）解：根据规律：十位数（十位数），； 说明过程： ； 故答案为：； （3）解：根据（2）的结果：， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式运算、提取公因式法、找规律相关知识，通过观察发现变和不变的部分，从而找到固定的规律是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$