第14讲 平行线（6个知识点+7种题型+过关检测）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（华师大版2024）

第14讲 平行线（6个知识点+7种题型+过关检测） 知识点1．平行线 在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． （1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． 记作：a∥b； 读作：直线a平行于直线b． （2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意： ①前提是在同一平面内； ②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线． 知识点2．平行公理及推论 （1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． （2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思． （3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． （4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用． 知识点3．平行线的判定 （1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． （2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行． （3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行． （4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． （5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 知识点4．平行线的性质 1、平行线性质定理 定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等． 定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 2、两条平行线之间的距离处处相等． 知识点5．平行线的判定与性质 （1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （3）平行线的判定与性质的联系与区别 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． （4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角． 知识点6．平行线之间的距离 （1）平行线之间的距离 从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离． （2）平行线间的距离处处相等． 题型一、平面内两直线的位置关系 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）在同一平面内，不重合的两条直线位置关系是 ． 【答案】平行或相交 【知识点】平面内两直线的位置关系 【解析】略 2．（24-25·内蒙古巴彦淖尔·开学考试）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系可能是（　　） A．相交或平行 B．相交或垂直 C．平行或垂直 D．不能确定 【答案】A 【知识点】平面内两直线的位置关系 【分析】本题考查平面内两条直线的位置关系，注意垂直是相交的特殊情况，包括在相交里．根据同一平面内，两条直线的位置关系即可得到结论． 【详解】解：在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：相交或平行， 故选：A． 3．（2021七年级上·全国·专题练习）两条不同的直线，要么有一个公共点，要么没有公共点，不能有两个公共点．这是为什么?画图说明． 【答案】见解析 【知识点】平面内两直线的位置关系 【分析】根据两条直线的位置关系解答即可． 【详解】解： ∵过两点有且只有一条直线．（或两点确定一条直线．） ∴两条不同的直线，要么有一个公共点，如图（1）；要么没有公共点，如图（2）；不能有两个公共点． 【点睛】本题主要考查了两条直线的位置关系，平面内两条直线的位置关系有两种：平行、相交．当两条直线平行时，它们没有交点；当两条直线相交时，它们只有一个交点． 题型二、平行公理的应用 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）平行线的基本事实：过 与这条直线平行． 【答案】直线外一点有且只有一条直线 【知识点】平行公理的应用 【分析】本题考查了平行线的基本事实，根据平行线的基本事实解答即可，熟练掌握此知识点是解此题的关键． 【详解】解：平行线的基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行， 故答案为：直线外一点有且只有一条直线． 5．（22-23七年级上·福建泉州·期末）如图，点P是直线AB外一点，过点P分别作，，则点C、P、D三个点必在同一条直线上，其依据是（　　） A．两点确定一条直线 B．同位角相等，两直线平行 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】C 【知识点】平行公理的应用 【分析】根据过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行即可． 【详解】解：因为， ∴． 所以则点C、P、D三个点必在同一条直线上，理由：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 故选：C． 【点睛】本题考查过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，熟练掌握性质定理解答此题的关键． 6．（22-23·全国·课后作业）如图，一组直线a，b，c，d是否都互相平行？ 【答案】直线a，b，c，d都互相平行，理由见解析 【知识点】平行公理的应用 【分析】根据平行公理证明即可． 【详解】解：直线a，b，c，d都互相平行，理由如下： ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行公理，熟知平行于同一直线的两条直线平行是解题的关键． 题型三、同位角相等两直线平行 7．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，下列条件；；；； 中，能判断的是（   ） A．只有 B．只有 C．只有 D．只有 【答案】C 【知识点】同旁内角互补两直线平行、内错角相等两直线平行、同位角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定． 根据平行线的判定定理解答即可． 【详解】解：不能判定； ；与是和被所截的同位角，所以能判定； ，这两个角在同一个三角形中，不能判定 ，与是和被所截的内错角，所以能判定； 中，与是和被所截的同旁内角，所以能判定； 故选：C． 8．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，填空： （1）若，则 ，理由： ． （2）若，则 ，理由： ． 【答案】 同位角相等，两直线平行 同位角相等，两直线平行 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定． （1）根据同位角相等，两直线平行进行判定解答即可； （2）根据同位角相等，两直线平行进行判定解答即可． 【详解】解：如图， （1）若，则，理由：同位角相等，两直线平行． （2）若，则，理由：同位角相等，两直线平行． 故答案为：，，同位角相等，两直线平行；，，同位角相等，两直线平行． 9．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在三角形中，，点分别在边的延长线上，作射线，如果平分，那么与平行吗？为什么？ 【答案】，见解析 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定．根据角平分线得到，对顶角相等得到，利用等量代换得到，即可证明． 【详解】解：． 证明：∵平分， ∴． 又∵， ∴． 又∵， ∴． ∴ 题型四、垂直于同一直线的两直线平行 10．（2023·山东临沂·中考真题）在同一平面内，过直线外一点作的垂线，再过作的垂线，则直线与的位置关系是（    ） A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．不能确定 【答案】C 【知识点】垂直于同一直线的两直线平行 【分析】根据“在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行”即可作出判断． 【详解】解：∵在同一平面内，过直线外一点作的垂线，即， 又∵过作的垂线，即， ∴， ∴直线与的位置关系是平行， 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的判定．掌握平行线判定的方法是解题的关键． 11．（20-21七年级上·北京海淀·期末）在同一平面内有2021条直线a1，a2，a3，…，a2021，如果a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5，…，那么a1与a5的位置关系是 ；a1与a2021的位置关系是 ． 【答案】 平行 平行 【知识点】平行公理推论的应用、垂直于同一直线的两直线平行 【分析】根据平行线的性质和规律得到：4条直线的位置关系为一个循环． 【详解】如图，a1⊥a2，a2∥a3， ∴a1⊥a3， ∵a3⊥a4， ∴a1∥a4， ∵a4∥a5， ∴a1∥a5， …， 依此类推，a1⊥a6，a1⊥a7，a1∥a8，a1∥a9，连续4条直线的位置关系为一个循环． ∴2021＝505×4+1， ∴a1∥a2021． 故答案是：平行；平行． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是找到直线位置关系的规律． 12．（2020·湖北武汉·二模）在四边形ABCD中，CF⊥BD于点F，过点A作AG⊥BD，分别交BD，BC于点E，G，若∠DAG＝∠BCF，求证：AD∥BC． 【答案】见解析 【知识点】内错角相等两直线平行、垂直于同一直线的两直线平行 【分析】根据垂直于同一直线的两直线平行得出，CF∥AG，得出∠BGA=∠BCF，等量代换得到∠BGA=∠DAG，即可判定AD∥BC． 【详解】证明：∵CF⊥BD，AG⊥BD， ∴CF∥AG， ∴∠BGA=∠BCF， ∵∠DAG=∠BCF， ∴∠BGA=∠DAG， ∴AD∥BC． 【点睛】本题考查了平行线的判定，熟记“垂直于同一直线的两直线平行”及“内错角相等，两直线平行”是解题的关键． 题型五、两直线平行内错角相等 13．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，直线，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两直线平行内错角相等 【分析】本题主要考查了平行线的性质“两直线平行，内错角相等”．根据平行线的性质，得出，再根据求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 14．（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，由，可以得到 （只需填出一对角的关系）． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】两直线平行内错角相等 【分析】本题考查了平行线的性质；结合图形，根据平行线的性质，考虑内错角相等或同旁内角互补． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：（答案不唯一）． 15．（23-24七年级上·海南海口·期末）如图，点P在的边上． (1)按下列要求画出相应的图形． ①过点P画直线； ②过点P分别画，，垂足分别为点D、P； ③用刻度尺找出线段的中点F，连接． (2)在（1）所画的图形中，按要求完成下列问题． ①点P到直线的距离是线段 的长，约等于 mm；（精确到1mm） ②试写出所有与相等的角． 【答案】(1)①见解析  ②见解析  ③见解析 (2)①，2  ②， 【知识点】点到直线的距离、画垂线、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查作图−复杂作图，点到直线的距离，等角的余角相等，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意正确作出图形． （1）根据要求画出图形； （2）①根据点到直线的距离的定义判断即可，利用测量法测量的长度；②利用等角的余角相等，平行线的性质证明即可． 【详解】（1）解：图形如图所示： （2）解：①点P到直线的距离是线段的长，约等于2mm． 故答案为：，2； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴与相等的角有：，． 题型六、平行线的性质在生活中的应用 16．（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，与在原来的方向的垂直方向前进，那么两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次左拐，第二次右拐 B．第一次左拐，第二次左拐 C．第一次右拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次右拐 【答案】C 【知识点】平行线的性质在生活中的应用 【分析】本题考查了平行线的性质，能根据平行线的性质找到两次拐弯后的方向是解题的关键． 【详解】解：A.两次拐弯后方向与原方向相同，故不符合题意； B.两次拐弯后方向与原方向相反，故不符合题意； C.两次拐弯后，相当于在原方向向左拐，方向与原方向垂直，故符合题意； D.两次拐弯后，相当于在原方向向右拐，方向与原方向的反方向夹角，故不符合题意； 故选：C． 17．（20-21七年级·广东广州·期末）探照灯、汽车灯等很多灯具的光线都与平行线有关，如图所示是一探照灯碗的剖面，从位于点的灯泡发出的两束光线，，经灯碗反射以后平行射出，其中，，则的度数是 【答案】116 【知识点】平行线的性质在生活中的应用 【分析】过O点作OE∥AB，则OE∥CD，利用平行线的性质，得内错角相等，从而求解． 【详解】解：过O点作OE∥AB，则OE∥CD， ∴∠EOB=∠ABO，∠EOC=∠DCO， ∵∠ABO=38°，∠DCO=78°， ∴∠EOB=38°，∠EOC=78°， 即∠BOC=∠BOE+∠EOC=38°+78°=116°． 故答案为：116． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解题的关键． 18．（20-21七年级上·湖南长沙·期末）梅溪湖公园某处湖道两岸所在直线（AB∥CD）如图所示，在湖道两岸安装探照灯P和Q，若灯P射线自PA逆时针旋转至PB便立即回转，灯Q射线自QD逆时针旋转至OC便立即回转，每天晚间两灯同时开启不停交叉照射巡视．设灯 P转动的速度是10度/秒，灯Q转动的速度是4度/秒，湖面上点M是音乐喷泉的中心． （1）若把灯P自PA转至PB，或者灯Q自QD转至QC称为照射一次，请求出P、Q两灯照射一次各需要的时间； （2）12秒时，两光束恰好在M点汇聚，求∠PMQ； （3）在两灯同时开启后的35秒内，请问开启多长时间后，两灯的光束互相垂直？ 【答案】（1）P、Q两灯照射一次各需要的时间分别为18秒、45秒；（2） ；（3）当开启15s或s或s后，两灯的光束互相垂直． 【知识点】平行线的性质在生活中的应用、根据平行线判定与性质求角度 【分析】（1）直接利用180除以两灯的速度即可求得结果； （2）过点作，利用平行线的相关性质求解即可； （3）分三种情况：①当两灯开启时间小于18秒时，②当两灯开启时间大于18秒，小于36秒时，返回时，第一次与相遇，③当两灯开启时间大于18秒，小于35秒时，返回时，第二次与相遇，分别根据两灯的光束互相垂直，利用平行线的相关性质，找准等量关系，列出方程求解即可． 【详解】解：（1）∵灯P转动的速度是10度/秒，灯Q转动的速度是4度/秒， ∴P灯照射一次需要的时间是：（秒） Q灯照射一次需要的时间是：（秒）； （2）∵转动12秒时，两光束恰好在M点汇聚， ∴, ， 如下图示，过点作， 则有 ∴， ， ∴， ∴； （3）①当两灯开启时间小于18秒时， 如图1所示， 过点作， 则有 ∵，， ∴， ∵两灯的光束互相垂直， ∴依题意可得： 解之得：； ②当两灯开启时间大于18秒，小于35秒时， 返回时，第一次与相遇，则如图2所示， 过点作， 则有 ∴， ， ∵两灯的光束互相垂直， ∴依题意可得： 解之得：； ③当两灯开启时间大于18秒，小于35秒时， 返回时，第二次与相遇，则如图3所示， 过点作， 则有 ∵，， ∴， ∵两灯的光束互相垂直， ∴依题意可得： 解之得：； 综上所述，当开启15s或s或s后，两灯的光束互相垂直． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，熟悉相关性质是解题的关键． 题型七、根据平行线判定与性质证明 19．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，已知，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理是解题的关键．根据，得出，根据平行线的性质定理可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故②④符合题意； 由不能判定，，故①③不符合题意； 综上可得：符合条件的有2个． 故选：B． 20．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，，，则图中平行的直线有 ． 【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定． 根据平行线的判定定理进行解题． 【详解】解：如图，①∵， ∴（内错角相等，两直线平行）； ②∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）； ③∵，， ∴． 综上所述，图中互相平行的直线有：． 21．（24-25七年级上·四川成都·期中）如图，在四边形中，，于点D，于点F，试说明．请补全证明过程，即在横线处填上结论或理由． 解：∵（已知）， ∴______，（_____________________）， ∴______，（_____________________）， ∵，（已知）， ∴______， ∴______，（_____________________）， ∴______ 【答案】；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；垂直于同一直线的两条直线互相平行；；两直线平行，同位角相等；；等量代换 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等．根据平行线的判定和性质进行解答即可． 【详解】解：∵（已知）， ∴，（同旁内角互补，两直线平行）， ∴，（两直线平行，内错角相等）， ∵，（已知）， ∴，（垂直于同一直线的两条直线互相平行）， ∴，（两直线平行，同位角相等）， ∴，（等量代换）． 故答案为：；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；垂直于同一直线的两条直线互相平行；；两直线平行，同位角相等；；等量代换． 一、单选题 1．如图，课本上用直尺和三角尺画平行线的方法，其依据是（    ）    A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．内错角相等，两直线平行 【答案】B 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】根据图形可判断与为同位角．且，据此可求得答案． 【详解】解：如图所示，与为同位角．    由作法可得 ， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故选：B． 【点睛】本题主要考查平行线的判定定理（同位角相等，两直线平行），牢记平行线的判定定理是解题的关键． 2．下列说法正确的是（    ） A．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 B．锐角的补角一定是钝角 C．两直线被第三条直线所截，同位角相等 D．在同一平面内，如果，，则 【答案】B 【知识点】垂直于同一直线的两直线平行、两直线平行同位角相等、求一个角的补角、点到直线的距离 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，补角的定义，点到直线的距离，根据点到直线的距离的定义可判断A；根据度数之和为180度两个角互补即可判断B；根据平行线的性质与判定定理即可判断C、D． 【详解】解：A、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，原说法错误，不符合题意； B、锐角的补角一定是钝角，原说法正确，符合题意； C、两平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原说法错误，不符合题意； D、在同一平面内，如果，，则，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 3．如图，，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】根据平行线的性质和判定求解即可． 【详解】如图所示，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定定理． 4．如图，直线a，b被直线m，n所截，且，则下列结论正确的是（    ） A．∠1＝∠2 B．∠2＋∠3＝180° C．∠3＝∠4 D．∠1＋∠4＝180° 【答案】D 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】根据平行线的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：如图， A．无法判断∠1和∠2的大小，故本选项错误，不符合题意； B．因为，所以∠2=∠3，故本选项错误，不符合题意； C．无法判断∠1和∠2的大小，故本选项错误，不符合题意； D．因为，所以∠1+∠5=180°，因为∠4=∠5，所以∠1＋∠4＝180°，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 5．如图，中，点D在的内部，平分，， ，点E在上，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】延长到点F，根据，得到，结合，计算即可． 【详解】如图，延长到点F，    ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，垂直的意义，角的平分线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 6．如图，木条、、通过、两处螺丝固定在一起，且，，将木条、木条、木条看作是在同一平面内的三条直线、、，若使直线、直线达到平行的位置关系，则下列描述正确的是（    ）    A．木条、固定不动，木条绕点顺时针旋转 B．木条、固定不动，木条绕点逆时针旋转 C．木条、固定不动，木条绕点逆时针旋转 D．木条、固定不动，木条绕点顺时针旋转 【答案】C 【知识点】同旁内角互补两直线平行、内错角相等两直线平行 【分析】要使直线、直线达到平行的位置关系，则要使（二者是内错角）或（二者是同旁内角），据此逐一判断即可 【详解】解：A、木条、固定不动，木条绕点顺时针旋转，则此时，则与不平行，不符合题意； B、木条、固定不动，木条绕点逆时针旋转， 则此时，即，则与不平行，不符合题意； C、木条、固定不动，木条绕点逆时针旋转，则，则与平行，符合题意； D、木条、固定不动，木条绕点顺时针旋转，则，即，则与不平行，符不合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟知内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行是解题的关键． 7．如图，，，平分，则的度数为（    ） A．130° B．150° C．155° D．125° 【答案】C 【知识点】两直线平行同位角相等、两直线平行同旁内角互补 【分析】根据，，可得 ， ，再由平分，得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， ， ∵平分， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键． 8．如图，直线，于点C，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、垂线的定义理解 【分析】根据垂线的性质可得，进而得出与互余，再根据平行线的性质可得答案． 【详解】解：于点C， ， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 9．如图，将线段平移至，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】两直线平行同旁内角互补 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补计算即可． 【详解】∵， ∴+， ∵， ∴=50°， 故选D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 10．如图，一艘快艇向正东方向行驶至点时，接到指令向右转，航行到处，再向左转，航行到处，再向右转继续航行，此时这艘快艇的航行方向为（    ） A．北偏西 B．北偏西 C．南偏东 D．南偏东 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、与方向角有关的计算题 【分析】只需要根据平行线的性质求出∠PCQ的度数即可得到答案． 【详解】解：由题意得，∠BAF=70°， ∵， ∴∠EBH=∠BAF=70°， ∵∠CBE=100°， ∴∠CBH=30°， ∵， ∴∠PCG=∠CBH=30°， 又∵∠GCQ=45°， ∴∠PCQ=15°， ∴此时的航行方向为南偏东75°， 故选C． 【点睛】本题主要考查了与方位角有关的计算，平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键． 二、填空题 11．如图，要使，请添上一个前提条件 ，根据是 ．    【答案】 内错角相等，两直线平行 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行 【分析】根据平行线的判定填空即可． 【详解】解：填，根据是内错角相等，两直线平行； 填，根据是同角相等，两直线平行； 故答案为：，内错角相等，两直线平行； 答案不唯一． 【点睛】本题考查了平行线的判定，解题关键是熟记平行线的判定，准确填空． 12．如图所示，直角三角板的60°角压在一组平行线上，，，则 度． 【答案】20 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】如图（见详解），过点E作， 先证明，再由平行线的性质定理得到，，结合已知条件即可得到． 【详解】解：由题意可得：． 如图，过点E作， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即：． 故答案为：20． 【点睛】本题重点考查了平行线的性质定理的运用．从“基本图形”的角度看，本题可以看作是“M”型的简单运用．解法不唯一，也可延长BE交CD于点G，结合三角形的外角定理来解决；或连结BD，结合三角形内角和定理来解决． 13．如图，a∥b，直角三角板直角顶点在直线b上．已知∠1=50°，则∠2的度数为 度． 【答案】40 【知识点】两直线平行同位角相等 【分析】先由余角的定义求出∠3的度数，再根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：如图， ∵∠1+∠3=90°， ∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣50°=40°， ∵a∥b， ∴∠2=∠3=40°， 故答案为：40． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等． 14．如图所示，点B，A，D在一条直线上，AFBC，则图中与∠DAF相等的角是 ． 【答案】∠B 【知识点】两直线平行同位角相等 【分析】根据平行线的性质，即可求解； 【详解】解:∵AFBC ∴∠DAF=∠B（两直线平行，同位角相等） 故答案为：∠B 【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 15．如图，已知在音符中，，若，则的度数为 ． 【答案】/88度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出．由平行线的性质推出，而，即可求出． 【详解】解：， ， ， ． 故选： 16．如图，已知，，平分，则为 ． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义以及平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 17．如图，在平行四边形中，甲的面积是46平方厘米，乙的面积是73平方厘米，则丙的面积是 平方厘米．    【答案】27 【知识点】利用平行线间距离解决问题 【分析】连接，因为面积＝面积（同底等高），可得面积＝面积,同理面积＝的面积，再根据甲、乙的面积即可求出丙的面积． 【详解】解：如图，连接，    在平行四边形中，, 根据同底等高可得， ， ， 同理，， 因为甲的面积是46平方厘米，乙的面积是73平方厘米， 所以丙的面积（平方厘米）； 故答案为：27． 【点睛】解答此题的关键是两直线平行时三角形同底等高时面积相等的性质，进行分析，进而解决问题． 18．已知：直线，点A，B分别是a，b上的点，是a，b之间的一条折线段，且，Q是a，b之间且在折线段左侧的一点，如图，若的一边与的夹角为，另一边与平行，请直接写出，，之间满足的数量关系是 ． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，先过点Q作，得出，再结合，得出，即可作答． 【详解】解：如图：过点Q作 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 三、解答题 19．如图，已知，被直线所截，，平分，． 求的度数．    【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等 【分析】先根据两直线平行内错角相等求出，再根据角平分线的定义求出，最后根据邻补角的定义求解即可． 【详解】∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练运用两直线平行内错角相等，角平分线的定义性质和邻补角的定义是解题的关键． 20．潜江市城区交通便利，四通八达，其中东荆大道是市西外环主干道，章华南路是进入市区中心的主干道，这两道路近似平行，两条道路之间有潜阳西路和潜阳中路连通，这些道路都近似笔直的，地图示意图如图1所示，现将其抽象成数学图形如图2所示，为东荆大道，为潜阳西路，为潜阳中路，为章华南路，张老师开车从点A处出发去章华南路上的点E处办事，行驶至路口B处向右拐约到潜阳西路上，又在路口C处右拐约到潜阳中路上，那么张老师在路口D处怎样走可到达目的地？ 【答案】张老师在路口D处应该向右拐到达目的地 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，如图所示，过点C作，利用平行线的性质求出的度数，进而求出的度数，进一步求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作， 由题意得，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴张老师在路口处右拐约后可到达目的地． 21．如图，若，试说明，请补全下面的解答过程，括号内填写依据．    解：， （              ） （              ） （              ） （              ） 【答案】见解析 【知识点】两直线平行同位角相等、两直线平行同旁内角互补 【分析】用平行线的性质可得，，即可求证． 【详解】证明：， (两直线平行，同位角相等)， (已知)， (两直线平行，同旁内角互补)， (等量代换)． 【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握性质是解题的关键． 22．如图，，试问、、有什么关系． (1)请你将解题过程补充完整： 解：． 过点C作， 则 （              ） 又∵，， ∴ （              ） （请补充完成下边解题过程） (2)应用：如图a是我们常用的折叠式小刀，图b中刀柄外形是一个长方形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图b所示，经测量，则的度数是 度． 【答案】(1)见解析 (2)55 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了由平行线的性质和判定探究角的关系；掌握平行线的性质是解题关键． （1）根据平行线的性质得到，，进而求解即可； （2）设刀柄左下角顶点为A，过A作直线l平行于刀片边缘线，根据两直线平行内错角相等；再计算角的差即可． 【详解】（1）解：． 过点C作， 则（两直线平行，内错角相等） 又∵，， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴ ∴． （2）如图设刀柄左下角顶点为A，过A作直线l平行于刀片边缘线，l与垂直方向夹角为，l与水平方向夹角为， ∵l平行于刀片边缘线， ∴，， ∵刀片外形是长方形 ∴， ∴， ∴． 23．如图1是一盖可折叠台灯．图2、图3是其平面示意图，支架、为固定支撑杆，支架可绕点旋转调节．已知灯体顶角，顶角平分线始终与垂直． (1)如图2，当支架旋转至水平位置时，恰好与平行，求支架与水平方向的夹角的度数； (2)若将图2中的绕点顺时针旋转到如图3的位置，求此时与水平方向的夹角的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了平行线性质等，熟练掌握平行线性质是解题关键． （1）利用角平分线定义可得，由垂直定义可得，得出，再运用平行线性质即可得出答案； （2）过点作，过点作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图2，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即； （2）如图，过点C作， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 24．如图1为北斗七星的位置图，将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G，大致位置如图2所示，将A，B，C，D，E，F首尾顺次连接，若恰好经过点G，且B，G，C在一条直线上，若，，． (1)求的度数； (2)连接，若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】同旁内角互补两直线平行、根据平行线判定与性质证明、两直线平行内错角相等 【分析】本题主要考查了平行线．添加平行线，熟练掌握平行线的判定和性质，是解题的关键． （1）过点C作，根据平行线性质得到，，得到，结合，即得； （2）根据，，，得到，得到，即得． 【详解】（1）解：如图：过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明： ∵，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 25．完成下面的证明． 已知：如图，点为上的点，为上的点，，． 求证：．（请完成它成立的理由） 证明：与是对顶角，与是对顶角（已知）， （ ） 又（已知）， （ ） （ ） （ 　　　 ） 又（已知） （ ） 　　 （_______） 【答案】对顶角相等；等量代换；（或）；（或）；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；等量代换；；同旁内角互补，两直线平行 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】求出，根据平行线的判定推出，根据平行线的性质得出，从而得到，最后根据平行线的判定推出即可． 【详解】解：与是对顶角，与是对顶角（已知）， （对顶角相等） 又（已知）， （等量代换） （内错角相等，两直线平行） （两直线平行，同旁内角互补） 又（已知） （等量代换） （同旁内角互补，两直线平行） 故答案为：对顶角相等；等量代换；（或）；（或）；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；等量代换；；同旁内角互补，两直线平行． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，能运用性质和判定定理进行推理是解题的关键，难度适中． 26．课题学习：平行线问题中的转化思想． 【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁．当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”，这体现了转化思想．有这样一道典型问题： 例题：如图1．已知，点E在直线、之间，探究与、之间的关系． 解：过点E作． ，， ， ，， ， ． 【学以致用】 (1)如图1，当，时，_______； (2)①如图2，已知，若，，求出的度数． ②如图3，在①的条件下，若、分别平分和，求的度数． 【答案】(1) (2)①；②． 【知识点】平行公理的应用、角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是过拐点，构造平行线． （1）根据，计算即可； （2）①过点E作，根据平行线的判定和性质，进行求解即可；②先利用角平分线的定义求出，的度数，进而利用（1）中的结论，进行计算即可． 【详解】（1）解：由题可知， ，， ； 故答案为：． （2）①过点E作，如图：   ，， ， ，， 又，， ， ， ． ②，平分， ， ，平分， ， 由（1）可知：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 平行线（6个知识点+7种题型+过关检测） 知识点1．平行线 在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． （1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． 记作：a∥b； 读作：直线a平行于直线b． （2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意： ①前提是在同一平面内； ②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线． 知识点2．平行公理及推论 （1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． （2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思． （3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． （4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用． 知识点3．平行线的判定 （1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． （2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行． （3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行． （4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． （5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 知识点4．平行线的性质 1、平行线性质定理 定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等． 定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 2、两条平行线之间的距离处处相等． 知识点5．平行线的判定与性质 （1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （3）平行线的判定与性质的联系与区别 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． （4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角． 知识点6．平行线之间的距离 （1）平行线之间的距离 从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离． （2）平行线间的距离处处相等． 题型一、平面内两直线的位置关系 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）在同一平面内，不重合的两条直线位置关系是 ． 2．（24-25·内蒙古巴彦淖尔·开学考试）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系可能是（　　） A．相交或平行 B．相交或垂直 C．平行或垂直 D．不能确定 3．（2021七年级上·全国·专题练习）两条不同的直线，要么有一个公共点，要么没有公共点，不能有两个公共点．这是为什么?画图说明． 题型二、平行公理的应用 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）平行线的基本事实：过 与这条直线平行． 5．（22-23七年级上·福建泉州·期末）如图，点P是直线AB外一点，过点P分别作，，则点C、P、D三个点必在同一条直线上，其依据是（　　） A．两点确定一条直线 B．同位角相等，两直线平行 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 6．（22-23·全国·课后作业）如图，一组直线a，b，c，d是否都互相平行？ 题型三、同位角相等两直线平行 7．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，下列条件；；；； 中，能判断的是（   ） A．只有 B．只有 C．只有 D．只有 8．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，填空： （1）若，则 ，理由： ． （2）若，则 ，理由： ． 9．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在三角形中，，点分别在边的延长线上，作射线，如果平分，那么与平行吗？为什么？ 题型四、垂直于同一直线的两直线平行 10．（2023·山东临沂·中考真题）在同一平面内，过直线外一点作的垂线，再过作的垂线，则直线与的位置关系是（    ） A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．不能确定 11．（20-21七年级上·北京海淀·期末）在同一平面内有2021条直线a1，a2，a3，…，a2021，如果a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5，…，那么a1与a5的位置关系是 ；a1与a2021的位置关系是 ． 12．（2020·湖北武汉·二模）在四边形ABCD中，CF⊥BD于点F，过点A作AG⊥BD，分别交BD，BC于点E，G，若∠DAG＝∠BCF，求证：AD∥BC． 题型五、两直线平行内错角相等 13．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，直线，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 14．（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，由，可以得到 （只需填出一对角的关系）． 15．（23-24七年级上·海南海口·期末）如图，点P在的边上． (1)按下列要求画出相应的图形． ①过点P画直线； ②过点P分别画，，垂足分别为点D、P； ③用刻度尺找出线段的中点F，连接． (2)在（1）所画的图形中，按要求完成下列问题． ①点P到直线的距离是线段 的长，约等于 mm；（精确到1mm） ②试写出所有与相等的角． 题型六、平行线的性质在生活中的应用 16．（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，与在原来的方向的垂直方向前进，那么两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次左拐，第二次右拐 B．第一次左拐，第二次左拐 C．第一次右拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次右拐 17．（20-21七年级·广东广州·期末）探照灯、汽车灯等很多灯具的光线都与平行线有关，如图所示是一探照灯碗的剖面，从位于点的灯泡发出的两束光线，，经灯碗反射以后平行射出，其中，，则的度数是 18．（20-21七年级上·湖南长沙·期末）梅溪湖公园某处湖道两岸所在直线（AB∥CD）如图所示，在湖道两岸安装探照灯P和Q，若灯P射线自PA逆时针旋转至PB便立即回转，灯Q射线自QD逆时针旋转至OC便立即回转，每天晚间两灯同时开启不停交叉照射巡视．设灯 P转动的速度是10度/秒，灯Q转动的速度是4度/秒，湖面上点M是音乐喷泉的中心． （1）若把灯P自PA转至PB，或者灯Q自QD转至QC称为照射一次，请求出P、Q两灯照射一次各需要的时间； （2）12秒时，两光束恰好在M点汇聚，求∠PMQ； （3）在两灯同时开启后的35秒内，请问开启多长时间后，两灯的光束互相垂直？ 题型七、根据平行线判定与性质证明 19．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，已知，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，，，则图中平行的直线有 ． 21．（24-25七年级上·四川成都·期中）如图，在四边形中，，于点D，于点F，试说明．请补全证明过程，即在横线处填上结论或理由． 解：∵（已知）， ∴______，（_____________________）， ∴______，（_____________________）， ∵，（已知）， ∴______， ∴______，（_____________________）， ∴______ 一、单选题 1．如图，课本上用直尺和三角尺画平行线的方法，其依据是（    ）    A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．内错角相等，两直线平行 2．下列说法正确的是（    ） A．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 B．锐角的补角一定是钝角 C．两直线被第三条直线所截，同位角相等 D．在同一平面内，如果，，则 3．如图，，，则（   ）    A． B． C． D． 4．如图，直线a，b被直线m，n所截，且，则下列结论正确的是（    ） A．∠1＝∠2 B．∠2＋∠3＝180° C．∠3＝∠4 D．∠1＋∠4＝180° 5．如图，中，点D在的内部，平分，， ，点E在上，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 6．如图，木条、、通过、两处螺丝固定在一起，且，，将木条、木条、木条看作是在同一平面内的三条直线、、，若使直线、直线达到平行的位置关系，则下列描述正确的是（    ）    A．木条、固定不动，木条绕点顺时针旋转 B．木条、固定不动，木条绕点逆时针旋转 C．木条、固定不动，木条绕点逆时针旋转 D．木条、固定不动，木条绕点顺时针旋转 7．如图，，，平分，则的度数为（    ） A．130° B．150° C．155° D．125° 8．如图，直线，于点C，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 9．如图，将线段平移至，若，则等于（    ） A． B． C． D． 10．如图，一艘快艇向正东方向行驶至点时，接到指令向右转，航行到处，再向左转，航行到处，再向右转继续航行，此时这艘快艇的航行方向为（    ） A．北偏西 B．北偏西 C．南偏东 D．南偏东 二、填空题 11．如图，要使，请添上一个前提条件 ，根据是 ．    12．如图所示，直角三角板的60°角压在一组平行线上，，，则 度． 13．如图，a∥b，直角三角板直角顶点在直线b上．已知∠1=50°，则∠2的度数为 度． 14．如图所示，点B，A，D在一条直线上，AFBC，则图中与∠DAF相等的角是 ． 15．如图，已知在音符中，，若，则的度数为 ． 16．如图，已知，，平分，则为 ． 17．如图，在平行四边形中，甲的面积是46平方厘米，乙的面积是73平方厘米，则丙的面积是 平方厘米．    18．已知：直线，点A，B分别是a，b上的点，是a，b之间的一条折线段，且，Q是a，b之间且在折线段左侧的一点，如图，若的一边与的夹角为，另一边与平行，请直接写出，，之间满足的数量关系是 ． 三、解答题 19．如图，已知，被直线所截，，平分，． 求的度数．    20．潜江市城区交通便利，四通八达，其中东荆大道是市西外环主干道，章华南路是进入市区中心的主干道，这两道路近似平行，两条道路之间有潜阳西路和潜阳中路连通，这些道路都近似笔直的，地图示意图如图1所示，现将其抽象成数学图形如图2所示，为东荆大道，为潜阳西路，为潜阳中路，为章华南路，张老师开车从点A处出发去章华南路上的点E处办事，行驶至路口B处向右拐约到潜阳西路上，又在路口C处右拐约到潜阳中路上，那么张老师在路口D处怎样走可到达目的地？ 21．如图，若，试说明，请补全下面的解答过程，括号内填写依据．    解：， （              ） （              ） （              ） （              ） 22．如图，，试问、、有什么关系． (1)请你将解题过程补充完整： 解：． 过点C作， 则 （              ） 又∵，， ∴ （              ） （请补充完成下边解题过程） (2)应用：如图a是我们常用的折叠式小刀，图b中刀柄外形是一个长方形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图b所示，经测量，则的度数是 度． 23．如图1是一盖可折叠台灯．图2、图3是其平面示意图，支架、为固定支撑杆，支架可绕点旋转调节．已知灯体顶角，顶角平分线始终与垂直． (1)如图2，当支架旋转至水平位置时，恰好与平行，求支架与水平方向的夹角的度数； (2)若将图2中的绕点顺时针旋转到如图3的位置，求此时与水平方向的夹角的度数． 24．如图1为北斗七星的位置图，将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G，大致位置如图2所示，将A，B，C，D，E，F首尾顺次连接，若恰好经过点G，且B，G，C在一条直线上，若，，． (1)求的度数； (2)连接，若，求证：． 25．完成下面的证明． 已知：如图，点为上的点，为上的点，，． 求证：．（请完成它成立的理由） 证明：与是对顶角，与是对顶角（已知）， （ ） 又（已知）， （ ） （ ） （ 　　　 ） 又（已知） （ ） 　　 （_______） 26．课题学习：平行线问题中的转化思想． 【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁．当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”，这体现了转化思想．有这样一道典型问题： 例题：如图1．已知，点E在直线、之间，探究与、之间的关系． 解：过点E作． ，， ， ，， ， ． 【学以致用】 (1)如图1，当，时，_______； (2)①如图2，已知，若，，求出的度数． ②如图3，在①的条件下，若、分别平分和，求的度数. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$