第十二章 概率初步重难点检测卷 -2024-2025学年高二数学重难点专题提升精讲精练 （沪教版2020必修第三册）

第十二章 概率初步重难点检测卷 学校：________姓名：________班级：________考号：________ 注意事项： 本试卷满分150分，试题共21题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第 7~12题每题5分) 1．（24-25高二上·上海·期中）掷一枚质地均匀的骰子，点数是3的倍数的概率为 . 【答案】 【分析】利用列举法结合古典概型运算求解即可. 【详解】由题意可知：样本空间，即， 设点数是3的倍数为事件A，可得，即， 所以. 故答案为：. 2．（24-25高二·上海·课堂例题）一个家庭中两个孩子性别的样本空间 （年龄大的孩子写左边，年龄小的孩子写右边）． 【答案】{男男，男女，女男，女女} 【分析】利用样本空间的定义求解即可. 【详解】依据题意，共有男男，男女，女男，女女4种基本事件，构成全部样本空间. 故答案为：{男男，男女，女男，女女} 3．（25-26高二上·上海·单元测试）在一个装有红球、蓝球和白球的口袋中摸出一个，若摸到红球、蓝球的概率分别为和．从中摸出一个放回去再摸出一球，则恰好两次都摸到白球的概率是 ． 【答案】 【分析】先求摸到白球的概率，根据独立事件再求恰好两次都摸到白球的概率. 【详解】摸到白球的概率为， 恰好两次都摸到白球的概率是， 故答案为：. 4．（24-25高二上·上海·课后作业）①若事件与事件是对立事件，则事件与事件互斥；②若事件与事件互斥，则事件与事件是对立事件；③若事件与事件是对立事件，则事件为必然事件；④若事件为必然事件，则事件与事件互斥． 上述命题中真命题有 ． 【答案】①③ 【分析】根据互斥事件与对立事件的概念分别判断. 【详解】对于①，对立事件首先互斥，故①为真命题； 对于②，两事件互斥不一定是对立事件，如将一枚硬市拋掷两次，共出现（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）四种结果，事件“两次出现正面”与事件“只有一次出现反面”互斥，但不是对立事件，故②为假命题； 对于③，事件，为对立事件，则在一次试验中，一定有一个发生，故③为真命题； 对于④，事件表示事件，至少有一个要发生，，不一定互斥，故④为假命题； 故答案为：①③. 5．（23-24高二上·上海青浦·阶段练习）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字，现从盒子中随机抽取卡片，若第一次抽取一张卡片，放回后再抽取1张卡片，则两次抽取的卡片数字之和不大于6的概率是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率即可. 【详解】两次抽取的试验的样本空间，共16个， 两次抽取的卡片数字之和大于6的事件，共3个， 所以两次抽取的卡片数字之和大于6的概率是， 则不大于6的概率为. 故答案为：. 6．（24-25高二·上海·课堂例题）有下列事件：①度量四边形的内角和为；②抛掷一块石子，下落；③袋中有2个黄球，3个绿球，共5个球，随机摸出一个球是红球；④抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上；⑤若为实数，则；⑥若，则；⑦从分别标有号数的5张标签中任取一张，得到3号签.其中所有不确定的事件序号为 ． 【答案】④⑦ 【分析】根据不确定事件的定义逐一判断即可. 【详解】对于①，四边形的内角和为， 所以度量四边形的内角和为为不可能事件； 对于②，抛掷一块石子，下落，是必然事件； 对于③，由题意，随机摸出一个球是红球是不可能事件； 对于④，抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上，为不确定事件； 对于⑤，若为实数，则为必然事件； 对于⑥，若，则是不可能事件； 对于⑦，从分别标有号数的5张标签中任取一张，得到3号签为不确定事件. 故答案为：④⑦. 7．（24-25高二·上海·课堂例题）设样本空间为，事件A、B：①；②；③；④；⑤．以上结论中正确的个数为 个． 【答案】3 【分析】根据概率的性质可得答案. 【详解】根据概率的性质， 对于①，，故错误； 对于②，，故正确； 对于③，，故正确； 对于④，，故错误； 对于⑤，，故正确． 以上结论中正确的个数为3个． 故答案为：3. 8．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）从存放号码分别为的卡片的盒子里，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到次数 15 10 5 7 6 9 18 9 12 9 取到号码为奇数的频率为 . 【答案】 【分析】根据数表求出取到奇数号码的次数即可计算作答. 【详解】由数表知，取到奇数号码的次数是：， 所以取到号码为奇数的频率为. 故答案为：0.56 9．（24-25高二·上海·课堂例题）已知下列各组事件： ①抛掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M：出现的点数为奇数，事件N：出现的点数为偶数； ②袋中有除颜色外完全相同的5个白球5个黄球，依次不放回地摸两次，事件M：第1次摸到白球，事件N：第2次摸到白球； ③分别抛掷2枚相同的硬币，事件M：第1枚为正面朝上，事件N：两枚朝上的结果相同； ④一枚硬币抛掷两次，事件M：第一次为正面朝上，事件N：第二次为反面朝上． 其中M、N是独立事件的序号为 ． 【答案】③④ 【分析】根据独立事件的概念与性质逐一分析即可. 【详解】①：， ，故事件不是独立事件； ②：事件的发生对事件有影响，故事件不是独立事件； ③：， ，故事件是独立事件； ④：第一次的结果对第二次的结果不影响，故事件是独立事件. 故答案为：③④. 10．（23-24高二上·上海·期中）现有甲、乙、丙三位同学合作在一个正二十面体（如图）的各面写上0~9这10个数字（相对的两个面上的数字相同），这样就得到一个产生0~9的随机数的骰子.依次投掷这个骰子，并逐个记下朝上一面的数字，就能按顺序排成一个随机数表，若甲、乙、丙依次投掷一次，按顺序记下三个数，三个数恰好构成等差数列的概率为 .      【答案】/ 【分析】根据题意，得到甲乙丙个投掷一次，得到数字有种情况，结合题意，利用列举法，得到公差分别为和公差为的等差数列的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解. 【详解】甲投1次，记下数字有10种可能，乙投1次也有10种可能，丙投1次也有10种可能， 所以甲乙丙一次投掷1次，记下数字有种情况， 这10个数字中选出3个，能构成等差数列的情况如下： 公差为0的等差数列有：；；；；，共有9种情况； 公差为1的等差数列有：；；；；，共有8种情况； 公差为2的等差数列有：；；；；，共有6种情况； 公差为3的等差数列有：；；；；，共有6种情况； 公差为4的等差数列有：；，共有2种情况； 其中，公差为的等差数列中第1项和第3项的数字交换， 分别构成公差为的等差数列， 所以构成等差数列的可能情况有：种， 所以甲乙丙一次投掷一次，三个数恰好构成等差数列的概率为. 故答案为：. 11．（23-24高二上·上海·期末）设、为两个随机事件，给出以下命题： （1）若、为互斥事件，且，，则； （2）若，，，则、为相互独立事件； （3）若，，，则、为相互独立事件； （4）若，，，则、为互斥事件； 其中正确命题的个数为 . 【答案】3 【分析】根据互斥事件的加法公式，易判断（1）的正误；根据相互对立事件的概率和为1，结合相互独立事件，的概率满足，可判断（2）、（3）的正误；根据独立事件与互斥事件的性质，可判断（4）的正误.． 【详解】若，为互斥事件，且，， 则，故（1）错误； 若，，，则， 则由相互独立事件乘法公式知，为相互独立事件，故（2）正确； 若，，所以， 又，则， 由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知，为相互独立事件，故（3）正确； 若，， 又，所以， 则事件，不能同时发生，故事件，为互斥事件，故（4）正确； 综上，正确命题的个数为3 . 故答案为：3. 12．（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）A与B二人进行“抽鬼牌”游戏，游戏开始时，A手中有3张两两不同的牌，B手上有4张牌，其中3张牌与A手中的牌相同，另一张为“鬼牌”，与其他所有牌都不同．游戏规则为： （ⅰ）双方交替从对方手中抽取一张牌，A先从B手中抽取； （ⅱ）若某位玩家抽到对方的牌与自己手中的某张牌一致，则将两张牌丢弃； （ⅲ）最后剩一张牌（鬼牌）时，持有鬼牌的玩家为输家； 假设每一次抽牌从对方手上抽到任一张牌的概率都相同，则A获胜的概率为 ． 【答案】/ 【分析】A获胜分为3种情况，利用概率的加法公式求解即可. 【详解】记初始手上张牌时， 胜的概率为， ①当手上有张牌，手上张牌，包含张“鬼牌”时，获胜的概率为 若抽中的不是“鬼牌”时，则甲获胜，其概率为， 若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的也是“鬼牌”，甲想要获胜的概率为， 若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的不是“鬼牌”， 甲不可能获胜，此情况不存在， 所以，解得, ②当手上有张牌，手上张牌，包含张“鬼牌”时，获胜的概率为 若抽中的不是“鬼牌”时，则甲获胜，其概率为， 若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的也是“鬼牌”，甲想要获胜的概率为， 若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的不是“鬼牌”， 甲不可能获胜，此情况不存在， 所以，解得, ③当手上有张牌，手上张牌，包含张“鬼牌”时，获胜的概率为 若抽中的不是“鬼牌”时，则甲获胜的概率为， 若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的也是“鬼牌”，甲想要获胜的概率为， 若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的不是“鬼牌”，此轮结束后有3张牌，包含一张“鬼牌”， 有2张牌，当再抽一次时，有2张牌，包含一张“鬼牌”， 有1张牌， 有2张牌，包含一张“鬼牌”， 有1张牌，此时胜的对立事件为当有1张牌， 有2张牌，包含一张“鬼牌”，此时胜， 则若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的不是“鬼牌”， 胜的概率为， 所以，解得, 故答案为：. 【点睛】关键点睛：当遇到某个事件的概率不好求的时候，可以考虑求其对立事件的概率，利用该事件发生的概率与其对立事件发生的概率和为来求解，例如题目中，若有2张牌，包含一张“鬼牌”， 有1张牌，此时胜的概率就可以转化为求其对立事件当有1张牌， 有2张牌，包含一张“鬼牌”， 此时胜的概率. 二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每題5分） 13．（24-25高二·上海·课堂例题）用1、2、3、4、5组成没有重复数字的三位数，其中是奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件确定三位数的个数，再确定三位奇数的个数，利用古典概型概率公式求解. 【详解】根据题意知用1、2、3、4、5组成没有重复数字的三位数，有种方法， 其中奇数的个数为，所以. 故选：C 14．（25-26高二上·上海·期末）从1、2、…、9中任取两数，其中： ①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；③至少有一个是奇数和两个数都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数． 在上述事件中，是对立事件的是（    ） A．①； B．②④； C．③； D．①③． 【答案】C 【分析】根据题意，分析从1，2，3，，9中任取两数，其中可能的情况即基本事件，进而依次分析四个事件，看其中包含的事件是否对立，即可得答案． 【详解】根据题意，从1，2，3，，9中任取两数，其中可能的情况有“两个奇数”，“两个偶数”，“一个奇数与一个偶数”三种情况；依次分析所给的4个事件可得， ①恰有一个偶数和恰有一个奇数都是“一个奇数与一个偶数”一种情况，不是对立事件； ②至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，与两个都是奇数不是对立事件； ③至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，和“两个都是偶数”是对立事件； ④至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，至少有一个偶数包括“两个偶数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，不是对立事件. 故选：C． 15．（24-25高二·上海·课堂例题）有以下5个命题： ①在样本空间确定之后，随机事件可以看作样本空间的一个子集； ②基本事件就是随机事件； ③样本空间中的两个基本事件可能会同时发生； ④对于同一个随机现象，由于观察结果的角度不同，样本空间也不同； ⑤随机事件通常是用文字叙述的，故随机事件对应于子集是把文字数学化． 其中真命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据随机事件，基本事件，样本空间的定义进行判断，得到答案. 【详解】①因为随机事件是样本空间中满足一定条件的部分元素组成的集合， 所以在样本空间确定之后，随机事件可以看作样本空间的一个子集，①正确； ②基本事件是样本空间中不可再分的最简单的事件，而随机事件是由基本事件组合而成的，②错误； ③由基本事件的定义可知，样本空间中的两个基本事件不会同时发生，③错误； ④对于同一个随机现象，由于观察结果的角度不同，会导致对样本空间的划分不同，样本空间也不同；④正确； ⑤通过将随机事件对应到样本空间的子集，实现了从文字叙述到数学表达的转化，⑤正确． 故选：D 16．（24-25高二·上海·课堂例题）某知识问答竞赛需要三人组队参加，比赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段，每个阶段比赛中，如果一支队伍中至少有一人通过，则这支队伍通过此阶段.已知甲、乙、丙三人组队参加，若甲通过每个阶段比赛的概率均为，乙通过每个阶段比赛的概率均为，丙通过每个阶段比赛的概率均为，且三人每次通过与否互不影响，则这支队伍进入决赛的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】队伍进入决赛是指通过初赛和复赛阶段，又每个阶段至少一人通过则队伍通过，三人均未通过则该阶段队伍未通过.结合对立事件的概率与相互独立事件的乘法公式求解即可. 【详解】设某个阶段甲、乙、丙三人通过比赛分别记为事件， 由题意知，， 设队伍通过某个阶段为事件， 至少一人通过该阶段比赛则队伍通过，则其对立事件为三人均未通过该阶段比赛， 即，且三人每次通过与否互不影响， 则 . 设这支队伍进入决赛为事件，则队伍在初赛和复赛两个阶段都通过， 由题意知，队伍通过每个阶段的概率都相等， 则. 故选：B. 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分) 17．（24-25高二·上海·课堂例题）连续抛掷3枚硬币，观察朝上的面． (1)写出这一随机试验的样本空间； (2)写出“恰有两枚正面向上”这一事件相应的样本空间的子集． 【答案】(1){（正，正，正），（正，反，正），（正，正，反），（正，反，反），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（反，反，反）} (2){（正，反，正），（正，正，反），（反，正，正）} 【分析】（1）用表示结果，其中分别表示第1枚，第2枚，第3枚硬币出现的结果，然后利用列举法求解即可； （2）利用（1）直接求解. 【详解】（1）用表示结果，其中分别表示第1枚，第2枚，第3枚硬币出现的结果， 则试验的样本空间为：{（正，正，正），（正，反，正），（正，正，反），（正，反，反）， （反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（反，反，反）}； （2）由（1）可知“恰有两枚正面向上”这一事件相应的样本空间的子集为 {（正，反，正），（正，正，反），（反，正，正）}. 18．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个与Ⅰ同心的圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ及Ⅲ的概率分别为，及．求不命中靶的概率．    【答案】 【分析】利用概率的加法公式和对立事件的概率公式即可求解. 【详解】设射手命中圆面I为事件，命中圆环Ⅱ为事件，命中圆环Ⅲ为事件，不中靶为事件， 则，，，且、、两两互斥， 所以射手中靶的概率为． 因为中靶和不中靶是对立事件， 所以不命中靶的概率. 19．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，若分别从集合中随机抽取一个数和，二次函数.记事件为“是二次函数的单调递增区间”，事件为“是二次函数的单调递减区间”. (1)分别求事件、事件的概率； (2)求事件、事件至少一个发生的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得出数对的样本空间，结合二次函数的性质得出事件包含的基本事件，利用古典概型的概率公式求出事件、事件的概率； （2）利用互斥事件的概率公式求解. 【详解】（1）由题意可得，，数对的样本空间为 ，样本点共个. 若是二次函数的单调递增区间， 则且二次函数的对称轴， ∴事件包含的基本事件为，共个， 因为总的基本事件个数为个， 所以； 若是二次函数的单调递减区间， 则且二次函数的对称轴， ∴事件包含的基本事件为，共个， 因为总的基本事件个数为个， 所以； （2）记“事件、事件至少一个发生”为事件， 因为与互斥，所以. 20．（24-25高二上·上海·课堂例题）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中共计1000吨生活垃圾．经分拣以后数据统计如下表（单位：t）： “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60 根据样本估计本市生活垃圾投放情况． (1)厨余垃圾投放正确的经验概率是多少？ (2)居民生活垃圾投放错误的经验概率是多少？ (3)该市哪类垃圾箱中投放正确的经验概率最高？ 【答案】(1) (2) (3)“厨余垃圾”箱． 【分析】（1）根据表中数据，利用古典概型的概率求解； （2）根据表中数据，利用古典概型的概率先求得居民生活垃圾投放正确的概率，再利用对立事件的概率求解； （3）利用古典概型的概率分别求得“厨余垃圾”箱中投放正确的经验概率， “可回收物”箱中投放正确的经验概率和“其他垃圾”箱中投放正确的经验概率，再比较即可. 【详解】（1）厨余垃圾投放正确的经验概率为． （2）设“居民生活垃圾投放错误”为事件A，则事件表示“居民生活垃圾投放正确”， ，所以． （3）因为“厨余垃圾”箱中投放正确的经验概率为， “可回收物”箱中投放正确的经验概率为， “其他垃圾”箱中投放正确的经验概率为． ，所以该市三类垃圾箱中投放正确的经验概率最高的是“厨余垃圾”箱． 21．（23-24高二上·上海杨浦·开学考试）将连续正整数1，2，3，，从小到大排列构成一个，为这个数的位数．例如：当时，此时为123456789101112，共有15个数字，则．现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率． (1)求； (2)当时，求得表达式； (3)令为这个数中数字0的个数，为这个数中数字9的个数，，，求当时，的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）计算，数字0的个数为11，得到概率. （2）考虑，，，四种情况，依次计算得到答案. （3）考虑时，当时，当时三种情况，得到和的解析式，得到，再计算概率的最值得到答案. 【详解】（1）当时，， 即这个数中共有192个数字，其中数字0的个数为11， 则恰好取到0的概率为； （2）当时，这个数有1位数组成，； 当时，这个数有9个1位数组成，个两位数组成，则； 当时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，个三位数组成，； 当时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，900个三位数组成个四位数组成，； 综上所述：， （3）时，， 当时，； 当时，，即， 同理有， 由，可知， 所以当时，， 当时，，当时，， 当时，， 由关于k单调递增， 故当时，有的最大值为， 又，所以当时，的最大值为． 【点睛】关键点点睛：函数的解析式，概率的计算，最值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中分类讨论的思想是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十二章 概率初步重难点检测卷 学校：________姓名：________班级：________考号：________ 注意事项： 本试卷满分150分，试题共21题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第 7~12题每题5分) 1．（24-25高二上·上海·期中）掷一枚质地均匀的骰子，点数是3的倍数的概率为 . 2．（24-25高二·上海·课堂例题）一个家庭中两个孩子性别的样本空间 （年龄大的孩子写左边，年龄小的孩子写右边）． 3．（25-26高二上·上海·单元测试）在一个装有红球、蓝球和白球的口袋中摸出一个，若摸到红球、蓝球的概率分别为和．从中摸出一个放回去再摸出一球，则恰好两次都摸到白球的概率是 ． 4．（24-25高二上·上海·课后作业）①若事件与事件是对立事件，则事件与事件互斥；②若事件与事件互斥，则事件与事件是对立事件；③若事件与事件是对立事件，则事件为必然事件；④若事件为必然事件，则事件与事件互斥． 上述命题中真命题有 ． 5．（23-24高二上·上海青浦·阶段练习）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字，现从盒子中随机抽取卡片，若第一次抽取一张卡片，放回后再抽取1张卡片，则两次抽取的卡片数字之和不大于6的概率是 . 6．（24-25高二·上海·课堂例题）有下列事件：①度量四边形的内角和为；②抛掷一块石子，下落；③袋中有2个黄球，3个绿球，共5个球，随机摸出一个球是红球；④抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上；⑤若为实数，则；⑥若，则；⑦从分别标有号数的5张标签中任取一张，得到3号签.其中所有不确定的事件序号为 ． 7．（24-25高二·上海·课堂例题）设样本空间为，事件A、B：①；②；③；④；⑤．以上结论中正确的个数为 个． 8．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）从存放号码分别为的卡片的盒子里，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到次数 15 10 5 7 6 9 18 9 12 9 取到号码为奇数的频率为 . 9．（24-25高二·上海·课堂例题）已知下列各组事件： ①抛掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M：出现的点数为奇数，事件N：出现的点数为偶数； ②袋中有除颜色外完全相同的5个白球5个黄球，依次不放回地摸两次，事件M：第1次摸到白球，事件N：第2次摸到白球； ③分别抛掷2枚相同的硬币，事件M：第1枚为正面朝上，事件N：两枚朝上的结果相同； ④一枚硬币抛掷两次，事件M：第一次为正面朝上，事件N：第二次为反面朝上． 其中M、N是独立事件的序号为 ． 10．（23-24高二上·上海·期中）现有甲、乙、丙三位同学合作在一个正二十面体（如图）的各面写上0~9这10个数字（相对的两个面上的数字相同），这样就得到一个产生0~9的随机数的骰子.依次投掷这个骰子，并逐个记下朝上一面的数字，就能按顺序排成一个随机数表，若甲、乙、丙依次投掷一次，按顺序记下三个数，三个数恰好构成等差数列的概率为 .      11．（23-24高二上·上海·期末）设、为两个随机事件，给出以下命题： （1）若、为互斥事件，且，，则； （2）若，，，则、为相互独立事件； （3）若，，，则、为相互独立事件； （4）若，，，则、为互斥事件； 其中正确命题的个数为 . 12．（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）A与B二人进行“抽鬼牌”游戏，游戏开始时，A手中有3张两两不同的牌，B手上有4张牌，其中3张牌与A手中的牌相同，另一张为“鬼牌”，与其他所有牌都不同．游戏规则为： （ⅰ）双方交替从对方手中抽取一张牌，A先从B手中抽取； （ⅱ）若某位玩家抽到对方的牌与自己手中的某张牌一致，则将两张牌丢弃； （ⅲ）最后剩一张牌（鬼牌）时，持有鬼牌的玩家为输家； 假设每一次抽牌从对方手上抽到任一张牌的概率都相同，则A获胜的概率为 ． 二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每題5分） 13．（24-25高二·上海·课堂例题）用1、2、3、4、5组成没有重复数字的三位数，其中是奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·上海·期末）从1、2、…、9中任取两数，其中： ①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；③至少有一个是奇数和两个数都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数． 在上述事件中，是对立事件的是（    ） A．①； B．②④； C．③； D．①③． 15．（24-25高二·上海·课堂例题）有以下5个命题： ①在样本空间确定之后，随机事件可以看作样本空间的一个子集； ②基本事件就是随机事件； ③样本空间中的两个基本事件可能会同时发生； ④对于同一个随机现象，由于观察结果的角度不同，样本空间也不同； ⑤随机事件通常是用文字叙述的，故随机事件对应于子集是把文字数学化． 其中真命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 16．（24-25高二·上海·课堂例题）某知识问答竞赛需要三人组队参加，比赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段，每个阶段比赛中，如果一支队伍中至少有一人通过，则这支队伍通过此阶段.已知甲、乙、丙三人组队参加，若甲通过每个阶段比赛的概率均为，乙通过每个阶段比赛的概率均为，丙通过每个阶段比赛的概率均为，且三人每次通过与否互不影响，则这支队伍进入决赛的概率为（    ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分) 17．（24-25高二·上海·课堂例题）连续抛掷3枚硬币，观察朝上的面． (1)写出这一随机试验的样本空间； (2)写出“恰有两枚正面向上”这一事件相应的样本空间的子集． 18．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个与Ⅰ同心的圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ及Ⅲ的概率分别为，及．求不命中靶的概率．    19．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，若分别从集合中随机抽取一个数和，二次函数.记事件为“是二次函数的单调递增区间”，事件为“是二次函数的单调递减区间”. (1)分别求事件、事件的概率； (2)求事件、事件至少一个发生的概率. 20．（24-25高二上·上海·课堂例题）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中共计1000吨生活垃圾．经分拣以后数据统计如下表（单位：t）： “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60 根据样本估计本市生活垃圾投放情况． (1)厨余垃圾投放正确的经验概率是多少？ (2)居民生活垃圾投放错误的经验概率是多少？ (3)该市哪类垃圾箱中投放正确的经验概率最高？ 21．（23-24高二上·上海杨浦·开学考试）将连续正整数1，2，3，，从小到大排列构成一个，为这个数的位数．例如：当时，此时为123456789101112，共有15个数字，则．现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率． (1)求； (2)当时，求得表达式； (3)令为这个数中数字0的个数，为这个数中数字9的个数，，，求当时，的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $$