第十二章 因式分解重难点检测卷-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版2024）

第十二章 因式分解重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）若能分解成两个一次因式的积，且为整数，那么不可能是（    ） A．10 B．17 C．15 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了十字相乘法分解因式．把16分解为两个整数的积的形式，等于这两个整数的和． 【详解】解：， 所以或或或或或． ∴整数k的值是或或， 观察四个选项，C选项符合题意． 故选：C． 2．（24-25七年级上·上海·期中）下列各式从左到右是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的判断，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据因式分解的定义，把一个多项式分成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，据此依次进行判断即可． 【详解】解：A、是几个整式的积的形式化为一个多项式，是整式的乘法，不符合题意； B、是把一个多项式分成几个整式的积的形式，是因式分解，符合题意； C、，分解错误，不符合题意； D、等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； 故选B． 3．（24-25七年级上·上海·期中）下列多项式能用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，熟知是解题的关键． 【详解】解：A、不能用完全平方公式分解因式，不符合题意； B、不能用完全平方公式分解因式，不符合题意； C、不能用完全平方公式分解因式，不符合题意； D、能用完全平方公式分解因式，符合题意； 故选：D． 4．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，则甲与丙相减的结果是(  ) A． B．5 C．1 D． 【答案】D 【分析】此题考查了十字相乘法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．把题中的积分解因式后，确定出各自的整式，相减即可． 【详解】解：∵甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数， ∴甲为，乙为，丙为， 则甲与丙相减的差为：； 故选：D 5．（2024七年级上·全国·专题练习）用分组分解法将分解因式，下列分组不恰当的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分组分解法，结合提公因式法，对选项一一进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A． ，故选项A分组正确，不符合题意； B． ，故选项B分组正确，不符合题意； C．无法进行分组分解，故选项C分组错误，符合题意； D． ，故选项D分组正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了分组分解法、提公因式法分解因式，解本题的关键在熟练掌握相关的分解因式的方法． 6．（23-24七年级上·四川达州·期末）在对多项式进行因式分解时，有一些多项式用提公因式法和公式法无法直接分解．将一个多项式进行重新分组后，可用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组因式分解法．例如：．下列说法： 因式分解：； 若，，是的三边长，且满足，则为等腰三角形； 若，，为实数且满足，则以，，作为三边能构成等腰三角形．其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，等腰三角形的判定，构成三角形的条件；将进行分组，再因式分解，即可判断；通过分组因式分解得，再进行下一步因式分解，即可判断；将原等式化成，再进行因式分解，由构成三角形的条件，即可判断；能根据式子的特点进行恰当的分组，灵活运用因式分解法是解题的关键． 【详解】解： ， ，故正确； ， ∵，，是的三边长， ∴， ∴， ∴，故正确； ∴，，， ∵， ∴以，，作为三边不能构成三角形，故错误， 综上可知：， 故选：． 2、 填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）在中，从左到右的变形是 ，从右到左的变形是 ． 【答案】 整式乘法 因式分解 【分析】此题主要是考查了因式分解的意义，根据因式分解的定义、整式乘法的定义和平方差公式进行求解，紧扣因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：在中，从左到右的变形是整式乘法，从右到左的变形是因式分解， 故答案为：整式乘法，因式分解． 8．（24-25七年级上·全国·单元测试）把分解因式时，提出公因式后，另一个因式是 ； 【答案】 【分析】本题考查提公因式法分解因式．将提取公因式，据此即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 9．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）若多项式因式分解后有一个因式，则 ． 【答案】 【分析】本题考考查了对整式分解因式的运用能力，掌握十字相乘法是解本题的关键．本题可利用这一公式，根据题意可设另一个因式为，可以得到，进而得出的值． 【详解】解：根据题意可设另一个因式为， ， ∴， ，． 故答案为：． 10．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如果，，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方差公式．根据平方差公式进行因式分解即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 11．（2024·江苏盐城·二模）在实数范围内因式分解的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数范围内分解因式．根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12．（2024·浙江嘉兴·一模）若多项式（为不等于0的常数）能在有理数范围内因式分解，则的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查因式分解的概念．根据题意，写出一个符合题意的值即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 13．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）已知，其中k、q均为整数，则 ． 【答案】或15 【分析】把等式右边展开，由对应相等得出，，再由k，q均为整数，求出k和q的值，即可求出答案． 本题考查因式分解—十字相乘法等，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴当时，则， ∴； 当时，则， ∴； 故答案为或15 14．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，平方差公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先提公因式法，再进行平方差公式即可因式分解． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 15．（2024·山东淄博·中考真题）若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】解：多项式能用完全平方公式因式分解， ， ， 故答案为：． 16．（24-25七年级上·全国·期末）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且．观察图形，可以得到代数式可以因式分解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解与几何图形，熟练掌握因式分解是解题的关键；因此此题可根据图形面积可进行求解． 【详解】解：由图形可知：； 故答案为． 17．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）有甲、乙、丙三种纸片若干张（数据如图，）．      （1）若用这三种纸片紧密拼接成一个边长为大正方形，则需要取乙纸片 张，丙纸片 张． （2）若取甲纸片张，乙纸片张，丙纸片张紧密拼成一个长方形，则这个长方形的长为 ，宽为 ． 【答案】 / / 【分析】（1）根据正方形的面积得出，即可求解； （2）根据题意长方形的面积为，结合题意，即可求解． 【详解】解：（1）∵ ∴需要取乙纸片张，丙纸片张 故答案为：，． （2）依题意，， ∴这个长方形的长为，宽为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了完全平方公式与图形面积，因式分解的应用，数形结合是解题的关键． 18．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）( )( )( )( )( )； （2）( )( )( )( )( )( )( )； （3）在多项式①；②；③；④中，能用分成三项一组和一项一组的方法分解因式的是（只写式子序号） ． 【答案】 3 ②，③，④ 【分析】（1）先将式子中的项进行分组，然后利用完全平方公式和平方差公式进行分解即可； （2）先将式子中的项进行分组，再提取公因式和平方差公式进行因式分解即可； （3）对每个式子进行因式分解，判定即可． 【详解】解：（1） 故答案为：、3、、、 （2） 故答案为：、、、、、、 （3）①，不能用分成三项一组和一项一组的方法进行分解因式，不符合题意； ②，能用分成三项一组和一项一组的方法进行分解因式，符合题意； ③，能用分成三项一组和一项一组的方法进行分解因式，符合题意； ④，能用分成三项一组和一项一组的方法进行分解因式，符合题意； 故答案为：②，③，④ 【点睛】此题考查了因式分解的方法，涉及了分组分解法、公式法、提取公因式法，熟练掌握因式分解的有关方法是解题的关键． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（24-25七年级上·福建泉州·期中）把下列多项式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因数2，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（23-24七年级上·全国·课堂例题）下列各式从左边到右边的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ （1）；（2）； （3）；（4）； （5）（6）． 【答案】（3）（6）是因式分解，（1）（2）（4）（5）不是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，据此求解即可． 【详解】（1）左边不是多项式，不是因式分解； （2）从左到右的变形属于整式乘法，不是因式分解； （3）从左到右的变形符合因式分解的定义，是因式分解； （4）从左到右的变形不是化成整式积的形式，不是因式分解； （5）从左到右的变形不是化成整式积的形式，不是因式分解； （6）从左到右的变形符合因式分解的定义，是因式分解． ∴（3）（6）是因式分解，（1）（2）（4）（5）不是因式分解 21．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）在分解因式时，小明看错了b，分解结果为；小张看错了a，分解结果为，求a，b的值． 【答案】， 【分析】根据题意甲看错了b，分解结果为，可得a系数是正确的，乙看错了a，分解结果为，b系数是正确的，在利用因式分解是等式变形，可计算的参数a、b的值． 【详解】解：∵，小明看错了b， ∴， ∵，小张看错了a， ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查因式分解的系数计算，解题的关键在于弄清哪个系数是正确的． 22．（2024七年级上·上海·专题练习）因式分解： 解：原式 请根据以上材料中的方法，解决下列问题： (1)因式分解：___________； (2)运用拆项法因式分解：； (3)化简，并求该式的最小值． 【答案】(1) (2) (3)，最小值为 【分析】本题考查了因式分解，分式的化简，解题的关键是理解题意，掌握相关的运算法则． （1）根据例1的思路计算即可； （2）根据例2的思路计算即可； （3）根据题意对分子进行因式分解，然后再约分化简，最后利用材料中的方法进行配方即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ， 故答案为：； （2） ， ， ， （3）， ， ， ， ， ， ， 当时，最小值为． 23．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）“试根法”是一种常见的数学方法可以应用于分解因式、多项式的除法等运算，其算法如下：对于多项式，令时，，则必有一个因式是，且可以分解为，对于多项式，令时，，则必有一个因式是，且可以分解为 (1)分解因式：（当时，原式为0）（方法任意）； (2)已知多项式既能被整除，又能被整除，求m、n的值（方法任意） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解的意义，因式分解的应用，整式的除法； （1）根据当时，，得多项式必有一个因式，设，然后比较同类项的系数，进而可得出答案； （2）根据多项式既能被整除，又能被整除，得当或时，，将代入整理得①，将代入整理得②，再由①②解出，的值即可． 【详解】（1）解： 当时，， 多项式必有一个因式， 设， ， 比较同类项的系数得：，， 由，解得：， 由，解得：， ； （2）解：多项式既能被整除，又能被整除， 多项式必有因式和， 当或时，， 当时，， 整理得：①， 当时，， 整理得：②， ①②，得：， ， 将代入②，得：． ，． 24．（24-25七年级上·云南昆明·期中）整体思想是数学解题中常用的一种思想方法： 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：令 原式    第一步         第二步         第三步         第四步 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是______． A．提取公因式    B．公式法 (2)请你类比以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】(1)B (2) 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据完全平方公式即可得到答案； （2）根据题意所给方法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：根据完全平方公式可知，第二步到第三步运用了因式分解的方法是公式法， 故选B； （2）解：令， 原式 ． 25．（24-25七年级上·上海·期中）如图，将一张大长方形纸板分成9块，其中有2块是边长为cm的大正方形，2块是边长为cm的小正方形，且，5块是形状大小完全相同的小长方形． (1)观察图形，可以写出一个因式分解的等式为 ； (2)若图形中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为． ①求的值； ②求图中空白部分的面积． 【答案】(1) (2)空白部分的面积为． 【分析】本题考查了因式分解的应用、完全平方公式等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键 （1）先用两种方式图形的面积，然后写成等式即可解答． （2）①先根据长方形的周长公式列出关于的方程，然后整体求解即可；②由图可得空白部分的面积是，几何第一步中求出的的值以及阴影部分的面积，即可求得空白部分的面积． 【详解】（1）解：通过观察图形可以得出图形的面积是：， 长方形的长是，宽是， 由此可得：， 故答案为：； （2）解：①根据长方形的周长为，可得： ，整列得： ，解得：． 答：的值为5； ②由图形可知：空白部分的面积为， 根据②得：， ∵阴影部分的面积为，且阴影部分的面积表示为， ∴， ∵， ∴，解：， ∴． 答：空白部分的面积为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十二章 因式分解重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）若能分解成两个一次因式的积，且为整数，那么不可能是（    ） A．10 B．17 C．15 D．8 2．（24-25七年级上·上海·期中）下列各式从左到右是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·上海·期中）下列多项式能用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，则甲与丙相减的结果是(  ) A． B．5 C．1 D． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）用分组分解法将分解因式，下列分组不恰当的是（　　） A． B． C． D． 6．（23-24七年级上·四川达州·期末）在对多项式进行因式分解时，有一些多项式用提公因式法和公式法无法直接分解．将一个多项式进行重新分组后，可用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组因式分解法．例如：．下列说法： 因式分解：； 若，，是的三边长，且满足，则为等腰三角形； 若，，为实数且满足，则以，，作为三边能构成等腰三角形．其中正确的是（    ） A． B． C． D． 2、 填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）在中，从左到右的变形是 ，从右到左的变形是 ． 8．（24-25七年级上·全国·单元测试）把分解因式时，提出公因式后，另一个因式是 ； 9．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）若多项式因式分解后有一个因式，则 ． 10．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如果，，那么 ． 11．（2024·江苏盐城·二模）在实数范围内因式分解的结果为 ． 12．（2024·浙江嘉兴·一模）若多项式（为不等于0的常数）能在有理数范围内因式分解，则的值可以是 ．（写出一个即可） 13．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）已知，其中k、q均为整数，则 ． 14．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 15．（2024·山东淄博·中考真题）若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是 ． 16．（24-25七年级上·全国·期末）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且．观察图形，可以得到代数式可以因式分解为 ． 17．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）有甲、乙、丙三种纸片若干张（数据如图，）．      （1）若用这三种纸片紧密拼接成一个边长为大正方形，则需要取乙纸片 张，丙纸片 张． （2）若取甲纸片张，乙纸片张，丙纸片张紧密拼成一个长方形，则这个长方形的长为 ，宽为 ． 18．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）( )( )( )( )( )； （2）( )( )( )( )( )( )( )； （3）在多项式①；②；③；④中，能用分成三项一组和一项一组的方法分解因式的是（只写式子序号） ． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（24-25七年级上·福建泉州·期中）把下列多项式分解因式： (1)； (2)． 20．（23-24七年级上·全国·课堂例题）下列各式从左边到右边的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ （1）；（2）； （3）；（4）； （5）（6）． 21．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）在分解因式时，小明看错了b，分解结果为；小张看错了a，分解结果为，求a，b的值． 22．（2024七年级上·上海·专题练习）因式分解： 解：原式 请根据以上材料中的方法，解决下列问题： (1)因式分解：___________； (2)运用拆项法因式分解：； (3)化简，并求该式的最小值． 23．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）“试根法”是一种常见的数学方法可以应用于分解因式、多项式的除法等运算，其算法如下：对于多项式，令时，，则必有一个因式是，且可以分解为，对于多项式，令时，，则必有一个因式是，且可以分解为 (1)分解因式：（当时，原式为0）（方法任意）； (2)已知多项式既能被整除，又能被整除，求m、n的值（方法任意） 24．（24-25七年级上·云南昆明·期中）整体思想是数学解题中常用的一种思想方法： 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：令 原式    第一步         第二步         第三步         第四步 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是______． A．提取公因式    B．公式法 (2)请你类比以上方法尝试对多项式进行因式分解． 25．（24-25七年级上·上海·期中）如图，将一张大长方形纸板分成9块，其中有2块是边长为cm的大正方形，2块是边长为cm的小正方形，且，5块是形状大小完全相同的小长方形． (1)观察图形，可以写出一个因式分解的等式为 ； (2)若图形中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为． ①求的值； ②求图中空白部分的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$