专题05 圆中的重要模型之圆中的外接圆和内切圆模型-2024-2025学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版）

专题05 圆中的重要模型之圆中的外接圆和内切圆模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位。内切圆、外接圆模型常以选填题的形式考查，而内切圆与外接圆模型结合多以综合题的形式呈现，出题灵活多变，是中考的常考题型。本专题就圆的内切圆和外接圆模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 2 模型1.内切圆模型 2 模型2.多边形的外接圆模型 8 19 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 模型1.内切圆模型 内切圆：平面上的多边形的每条边都能与其内部的一个圆形相切，该圆就是该多边形的内切圆。它亦是该多边形内部最大的圆形。内切圆的圆心被称为该多边形的内心。 三角形内切圆圆心：在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相等。正多边形必然有内切圆，而且其内切圆的圆心和外接圆的圆心重合，都在正多边形的中心。 图1 图2 图3 1）三角形的内切圆模型 条件：如图1，⊙O为三角形ABC的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。 结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=。 证明：∵O为三角形ABC的内心，∴OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线， ∵O为内心，切点为D、E、F，∴OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥AC，∵OD=OE=OF=r， ∴点O到三角形ABC的三边距离相等；∵OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线， ∴∠BAO=∠CAO=，∠BCO=∠ACO=，∠ABO=∠CBO=， ∴∠BOC=180°-（∠CBO-∠BCO）=180°-（-）=180°- =180°-=90°+， ∴ 即r= 2）直角三角形的内切圆模型 条件：如图2，⊙O为Rt的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。 结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=； 证明：①②证明同模型1）的证明， ∵⊙O为Rt的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F， ∴AD=AF，BD=AE，CE=CF，OE⊥BC、OF⊥AC，∴四边形OECF为正方形， ∴CE=CF=OF=OE=r，∴AC+BC-AB=AF+CF+CE+BE-AD-BD=CE+CF=2r，即r=； 3）四边形的内切圆模型 条件：如图3，⊙O是四边形ABCD的内切圆。 结论：。 证明：∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH， ∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，∴。 例1．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，已知是的内切圆，分别交于点和．的周长是12，面积是，，则扇形的面积是 ．    【答案】 【分析】连接与切点，利用三角形内角和定理求出，根据切线定理找到角之间的等量关系，进一步求出，利用等面积法求出圆的半径，再利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：连接与切点，则，，，    ，， ∵，∴， ，，设， ，，解得：； 扇形，故答案为：． 【点睛】本题考查了求扇形的面积，三角形的内切圆，切线的性质定理，三角形内角和定理，解题的关键是求出内切圆的半径及． 例2．（2023·浙江金华·九年级统考期中）如图，截三边所得的弦长相等，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用截的三条边所得的弦长相等，得出即是的内心，由三角形内角和定理可得出答案． 【详解】解：截的三条边所得的弦长相等， 到三角形三条边的距离相等，即是的内心，，， ，， ，故选：C． 【点睛】本题考查的是内心的性质，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 例3．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，中，，，，则的内切圆半径为（　　） A．2 B．4 C．1.5 D．2.5 【答案】A 【分析】此题重点考查三角形内切圆的定义、切线的性质定理、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法．设与、、分别相切于点、、，连接，则，由勾股定理求得，连接、、，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设与、、分别相切于点、、，连接，则， ，，，，连接、、， ，，，，，，， ，解得，故选：A． 例4．（2023秋·浙江九年级课时练习）已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】设内切圆的半径为r，根据公式：，列出方程即可求出该三角形内切圆的半径． 【详解】解：设内切圆的半径为r解得：r=1故选D． 【点睛】此题考查的是根据三角形的周长和面积，求内切圆的半径，掌握公式：是解决此题的关键． 例5．（2023·成都市九年级期中）如图，是的内切圆，、、为切点，，，，切交于，交于，则的周长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用切线长定理得到等边，再利用给出的三条边长，设未知数列方程组，计算出边长，再利用等边换边得到的周长． 【详解】是的内切圆,、、 是的切线， 又切于点K，、、、、，    的周长为： 设，，， 则、、， 解得，的周长为：．故选D． 【点睛】本题考查切线长定理及边长的计算，需要理清目标和条件，正确且有条理的计算是解题的关键． 例6．（2023·黑龙江鸡西·校考三模）如图，在直角坐标系中，一直线经过点，与轴、轴分别交于、两点，且，若是的内切圆，与、、轴分别相切，与、、轴分别相切，……按此规律，则的半径 ． 【答案】 【分析】连接、、，作于，于，于，将三角形分解成三个三角形，再根据三个三角形的面积之和等于的面积，即可得出半径的值，再根据题意依次列出，…的半径大小，找出规律即可． 【详解】解：如图所示，连接、、，作于，于，于， 则，过点作轴于，∴轴， ∵，，即点是的中点，∴点是的中点，是的中位线， ∴，，∴，，， ∴，，，， ∵，∴， 同理可得：，，…，∴， 依此类推可得：的半径，故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的内切圆，勾股定理，三角形的中位线，规律型．根据题意列出等式，适当地对图形进行分解，总结出规律是解题的关键． 例7．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，，，为的内切圆，过O作分别交、于D、E，则的长为（    ） A． B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】如图，为的内切圆，切点分别为，连接，，，过作于，利用内切圆的性质求解，，再利用相似三角形的性质解得即可． 【详解】解：如图，为的内切圆，切点分别为，连接，，，过作于，∴，， ∵，∴，∴四边形为矩形，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，故选:B 【点睛】本题考查的是三角形的内切圆的性质，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 模型2.多边形的外接圆模型 外接圆：与多边形各顶点都相交的圆叫做多边形的外接圆，通常是针对一个凸多边形来说的，如三角形，若一个圆恰好过三个顶点，这个圆就叫作三角形的外接圆，此时圆正好把三角形包围。 三角形外接圆圆心：即做三角形三条边的垂直平分线（两条也可，两线相交确定一点）。 图1 图2 图3 1）三角形的外接圆模型 条件：如图1，⊙O为三角形ABC的外接圆（即O为三角形ABC的外心）。 结论：①OA=OB=OC；②。 证明：∵O为三角形ABC的外心，∴OA=OB=OC；∴∠BAO=∠ABO，∠CAO=∠ACO， ∴∠BOD=∠BAO+∠ABO=2∠BAO，∠COD=∠CAO+∠ACO=2∠CAO， ∴∠BOD+∠COD=2∠BAO+2∠CAO=2∠BAC 2）等边三角形的外接圆模型 条件：如图2，点P为等边三角形ABC外接圆劣弧BC上一点。 结论：①，PM平分；②PA=PB+PC；③； 证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°， ∵点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点，∴四边形ABPC是圆的内接四边形 ∴∠BPC+∠BAC=180°，∴∠BPC=120°，∵弧BA=弧BA，弧AC=弧AC ∴∠APB=∠ACB=60°，∠APC=∠ABC=60°，∴PM平分；在PA上截取PD=PC，连结CD． ∵∠ABC=∠APC=60°，∴△PCD为等边三角形，∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD， ∴∠PCD-∠DCM=∠ACB-∠DCM，即∠ACD=∠BCP， 在△ACD和△BCP中，，∴△ACD≌△BCP，∴AD=PB， ∵PA=AD+DP，DP=PC，∴PA=PB+PC；∵∠APB=∠ACB=60°（已证），∠BMP=∠AMC（对顶角）。 ∴△BMP≌△AMC，∴，同理：。 ∴，∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC，∴。 3）四边形的外接圆模型 条件：如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形。 结论：①；；②。 证明：连结OA、OC，设∠AOC=，∵圆周角等于所对的圆心角的一半，∴∠ADC=， 同理：∠ABC=，∴；同理：； ∵，∴。 例1．（2023·湖北武汉·九年级阶段练习）如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB=AC=4，BC=8，则⊙O的半径为 . 【答案】5cm 【分析】作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得BD=CD=BC=4，再利用三角形外心的定义得到△ABC的外接圆的圆心在AD上，连结OB，设⊙O的半径为r，利用勾股定理，在Rt△ABD中计算出AD=8，然后在Rt△OBD中得到42+（8-r）2=r2，再解关于r的方程即可； 【详解】解： 如图1，作AD⊥BC于D，∵AB=AC， ∴BD=CD=BC=4，∴△ABC的外接圆的圆心在AD上， 连结OB，设⊙O的半径为r，在Rt△ABD中，∵AB=4，BD=4，∴AD= =8， 在Rt△OBD中，OD=AD-OA=8-r，OB=r，BD=4，∴42+（8-r）2=r2，解得r=5， 即△ABC的外接圆的半径为5； 【点睛】本题考查三角形的外接圆和外心，解题关键证明等腰三角形底边上的高经过三角形外接圆的圆心. 例2．（2024·四川南充·一模）如图，点是外接圆的圆心．点是的内心．连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 连接，由点是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】如图，连接， ∵点是的内心，∴平分，∵，∴， ∵点是外接圆的圆心，∴， ∵，∴，故选：C． 例3．（2023·广东广州·九年级校考期末）如图，在中，，．，I是的内心，则线段的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，连接，延长交于H，连接．在中，根据勾股定理求出，再根据面积相等，求出即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，延长交于H，连接，作出的内接圆，确定圆心I，连接， ∵，∴，∴， ∵，∴， 设，在中，∵， ∴，∴，∴， ∴，∴， ∴，故选D． 【点睛】本题考查的是三角形的内心和外心、勾股定理等知识，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键． 例4．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，中，，，内心为I，连接并延长交的外接圆于D，若，则  （    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】设的外接圆的圆心为O，连接，，，，根据圆周角定理证得是等边三角形，再根据垂径定理可得，，再根据三角形内心证得，进而解决问题． 【详解】解：如图，设的外接圆的圆心为O，连接，，，， 在中，，，内心为I，∴平分， ∴，∴， ∵，∴是等边三角形，∴， ∵，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∵，，∵I是的内心，∴， ∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴．故选：D． 【点睛】本题考查三角形内切圆与内心、三角形外接圆与外心、垂径定理、圆周角定理、等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质，证得是等边三角形是解题的关键． 例5．（2024·江苏镇江·一模）如图，等腰三角形内接于，，点是的内心，连接并延长交于点，点在的延长线上，满足．试证明：(1)所在的直线经过点I；(2)点D是的中点． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】此题重点考查圆周角定理、圆的内接三角形的定义、三角形的内心的定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等角的余角相等、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．（1）连接、、、，可证明，得，则平分，再由点是的内心，证明平分，所以与在同一条直线上，即可证明所在的直线经过点；（2）连接，推导出，则，再证明，则，再推导出，则，由，，证明，则，所以，即可证明点是的中点． 【详解】（1）证明：连接、、、， ，，，，，平分， 点是的内心，平分，与在同一条直线上，所在的直线经过点． （2）证明：连接，则，， ，，，， ，，，， ，， ，，， ，，点是的中点． 例6．（2023重庆九年级上期中）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠BPC=60°，过点A作⊙O的切线交BP的延长线于点D．（1）求证：△ADP∽△BDA；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若AD=2，PD=1，求线段BC的长． 【答案】（1）证明详见解析；（2） PA+PB=PC，证明详见解析；（3）． 【详解】试题分析：（1）首先作⊙O的直径AE，连接PE，利用切线的性质以及圆周角定理得出∠PAD=∠PBA进而得出答案；（2）首先在线段PC上截取PF=PB，连接BF，进而得出△BPA≌△BFC（AAS），即可得出PA+PB=PF+FC=PC；（3）利用△ADP∽△BDA，得出，求出BP的长，进而得出△ADP∽△CAP，则，则AP2=CP•PD求出AP的长，即可得出答案． 试题解析：（1）证明：作⊙O的直径AE，连接PE， ∵AE是⊙O的直径，AD是⊙O的切线， ∴∠DAE=∠APE=90°，∴∠PAD+∠PAE=∠PAE+∠E=90°， ∴∠PAD=∠E，∵∠PBA=∠E，∴∠PAD=∠PBA， ∵∠PAD=∠PBA，∠ADP=∠BDA，∴△ADP∽△BDA； （2）PA+PB=PC，证明：在线段PC上截取PF=PB，连接BF， ∵PF=PB，∠BPC=60°，∴△PBF是等边三角形， ∴PB=BF，∠BFP=60°，∴∠BFC=180°﹣∠PFB=120°， ∵∠BPA=∠APC+∠BPC=120°，∴∠BPA=∠BFC， 在△BPA和△BFC中，， ∴△BPA≌△BFC（AAS），∴PA=FC，AB=BC，∴PA+PB=PF+FC=PC； （3）解：∵△ADP∽△BDA，∴==， ∵AD=2，PD=1∴BD=4，AB=2AP，∴BP=BD﹣DP=3， ∵∠APD=180°﹣∠BPA=60°，∴∠APD=∠APC， ∵∠PAD=∠E，∠PCA=∠E，∴PAD=∠PCA，∴△ADP∽△CAP，∴=， ∴AP2=CP•PD，∴AP2=（3+AP）•1， 解得：AP=或AP=（舍去），∴BC=AB=2AP=1+． 考点：切线的性质；圆周角定理；全等三角形的判定和性质；相似三角形的判定和性质． 例7．（2023·浙江·模拟预测）如图，点O是的内心，的延长线交的外接圆于点D，交于E，设．(1)求证：；(2)探究的值与a之间的数量关系； (3)若，E为的一个三等分点，求的外接圆的半径． 【答案】(1)见解析(2)(3)的外接圆的半径为或 【分析】（1）利用三角形的内心的性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质和相似三角形的判定定理解答即可；（2）利用三角形的内心的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的性质和比例的性质解答即可；（3）利用分类讨论的思想方法分两种情形同理解答：①当时，利用已知条件与勾股定理的逆定理和直角三角形的外接圆的性质解答即可；②当时，作出的外心，连接并延长交于点，连接，过点作于点，设，则，利用勾股定理求得值，再利用相似三角形的判定与性质求得直径，则半径可求． 【详解】（1）证明：点是的内心，为的平分线，， ，．，； （2）解：的值与之间的数量关系为：． 理由：连接，如图，点是的内心，为的平分线，． ，，， ，．由（1）知：，，， 平分，点E到的距离相等，设该距离为，， 以为底边的高相同，设该高为，， ，，，， ，，，，； （3）解：若为的一个三等分点，则或，或，或． ①当时，，，， ，，， 为直角三角形，为外接圆的直径，的外接圆的半径为； ②当时，，．作出的外心，连接并延长交于点，连接，过点作于点，如图，设，则， ，，， ，．． 为直径，，． ，，，，． 的外接圆的半径为．综上，的外接圆的半径为或． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，三角形的内切圆的性质，三角形的内心与外心，相似三角形的判定与性质直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质，比例的性质，熟练掌握三角形的内心的性质是解题的关键． 1．（2023·陕西宝鸡·统考一模）如图所示，内接于，点M为的内心，若，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角形内角和定理求出根据点M为的内心可得由三角形外角的性质得出根据同弧所对的圆周角相等可得最后根据三角形内角和定理可得出． 【详解】解：∵且， ∴ ∵点M为的内心，∴ ∴∴ ∵且 ∴，故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 2．（2023·江苏南通·统考一模）如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，点E是边AD上一点，连结CE，将△CDE绕点C旋转，当CD落到对角线AC上时，点E恰与圆心O重合，已知AE＝6，则下列结论不正确的是（　　） A．BC+DE＝AC B．⊙O 的半径是2 C．∠ACB＝2∠DCE D．AE＝CE 【答案】D 【分析】⊙O是△ABC的内切圆，设半径为r，切点分别为F、G、H，连接OG、OH，则四边形BGOH是正方形，得出OG＝OG＝BG＝BH＝r，由旋转的性质得：OF＝DE＝r，CF＝CD，∠FCO＝∠DCE，得出∠ACB＝2∠DCE，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程得出r＝2，BC＝8，AC＝10，选项A、B、C正确；由勾股定理得：CE＝，选项D不正确． 【详解】解：⊙O是△ABC的内切圆，设半径为r，切点分别为F、G、H，连接OG、OH，如图：则四边形BGOH是正方形，∴OG＝OG＝BG＝BH＝r， 由旋转的性质得：OF＝DE＝r，CF＝CD，∠FCO＝∠DCE，∴∠ACB＝2∠DCE， ∵BC＝AD，∴AB＝CD＝CF＝AE＝6， 由切线长定理得：CH＝CF＝CD＝6，∠ACO＝∠BCO，AF＝AG＝6﹣r，∴AC＝AF+CF＝12﹣r， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：62+（6+r）2＝（12﹣r）2，解得：r＝2，∴BC＝8，AC＝10， ∴BC+DE＝AC，⊙O 的半径是2，所以选项A、B、C正确； 由勾股定理得：，选项D不正确；故选D． 【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心、矩形的性质、旋转的性质、切线长定理、勾股定理等知识；熟练掌握切线长定理和旋转的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键． 3．（2023春·河北石家庄·九年级校考开学考试）已知点P是△ABC的内心，若∠BAP＝50°，则∠BPC的度数为(   ) A．100° B．110° C．140° D．130° 【答案】C 【分析】由点P是△ABC的内心，∠BAP＝50°，得到∠BAC＝2∠BAP＝100°，根据三角形的内角和得到∠ABC+∠ACB＝80°，根据角平分线的定义得到∠PBC+∠PCB＝×80°＝40°，于是得到结论． 【详解】∵点P是△ABC的内心，∠BAP＝50°， ∴∠BAC＝2∠BAP＝100°，∴∠ABC+∠ACB＝80°， ∴∠PBC+∠PCB＝×80°＝40°，∴∠BPC＝180°﹣40°＝140°，故选C． 【点睛】此题主要考查了三角形的内切圆和内心，正确理解∠PBC+∠PCB＝(∠ABC+∠ACB)是关键． 4．（2023·河北张家口·统考一模）如图，点点为的内心，且于点，若，，则的度数为（    ） A．163 B．164 C．165 D．166 【答案】C 【分析】根据三角形的内角和定理求出∠C =86°，过点E作ED⊥AC于D，得到∠CDE=∠CFE=90°，由此求出∠AED=90°-19°=71°，∠DEF=180°-∠C=94°，即可求出答案. 【详解】∵，，∴∠C=180°-∠BAC-∠B=86°， 过点E作ED⊥AC于D，∵，∴∠CDE=∠CFE=90°， ∵点点为的内心，∴∠CAE=∠BAC=19°， ∴∠AED=90°-19°=71°，∠DEF=180°-∠C=94°，∴∠AEF=∠AED+∠DEF=165°，故选：C. 【点睛】此题考查三角形的内角和定理，三角形内心定义，熟记三角形的内心定义是解题的关键. 5．（2023·河北邢台·九年级校考阶段练习）如图，的内切圆（圆心为点O）与各边分别相切于点D，E，F，连接，．以点B为圆心，以适当长为半径作弧分别交于G，H两点；分别以点G，H为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧在的内部交于点P；作射线．给出下列结论：①射线一定过点O；②点O是三条中线的交点；③点O是三条边的垂直平分线的交点；④点O是三条边的垂直平分线的交点．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】由作图知，射线是的角平分线，由内切圆圆心是三角形三内角平分线的交点知，可判定①正确，③错误；是的外接圆，则其三边垂直平分线的交点是圆心O，故可判定④正确，②错误；从而可作出选择． 【详解】解：由作图知，射线是的角平分线， ∵的内切圆圆心是三内角角平分线的交点，∴射线一定过点O，故①正确，③错误； ∵是的外接圆，而三角形三边垂直平分线的交点是三角形外接圆的圆心， 故④正确，②错误；∴正确的是有2个，是①与④正确；故选：C． 【点睛】本题考查了尺规作图：作角平分线，三角形的外接圆与内切圆的知识，掌握这些知识是解题的基础与关键． 6．（2023春·浙江九年级课时练习）如图，在△ABC中，∠BOC＝140°，I是内心，O是外心，则∠BIC＝（    ）度 A．70 B．135 C．55 D．125 【答案】D 【分析】根据圆周角定理求出，求出度数，根据三角形内角和定理求出，根据三角形的内心得出，，求出的度数，再求出答案即可． 【详解】解：在中，，是外心， ，，， 为的内心，，， ，，故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆和三角形的外接圆，圆周角定理，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 7．（2023·山东枣庄·校考模拟预测）如图，内接于，所对弧的度数为．的角平分线分别交于于点D、E，相交于点F．以下四个结论：①；②；③；④．其中结论一定正确的序号数是(    ) A．①和② B．①和③ C．②和③ D．③和④ 【答案】B 【分析】由，可得出．再根据的角平分线分别是，即得出，从而可求出，故①正确；由题意可知，．若成立，则应有，即，从而可解出，进而得出，而题意没有条件可以说明是，故②错误；作，由三角形内心的性质可知，，从而得出，即证明，得出，故③正确；由于点F是内心而不是各边中线交点，故不一定成立，因此④不正确． 【详解】解：∵，∴． ∵的角平分线分别是， ∴，∴，故①正确； ∵，， 又∵若成立，则应有， ∴，∴，∴， 而根据题意，没有条件可以说明是，故②错误； 如图作， ∵点F是内心， ∴，， ∴，∴，∴，故③正确； 由于点F是内心而不是各边中线的交点，故不一定成立，因此④不正确． 故本题正确的结论为①③．故选B． 【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理，求角的余弦值，等腰三角形的性质，三角形内心的性质，三角形全等的判定和性质等知识．熟练掌握上述知识并利用数形结合的思想是解题关键． 8．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）如图，为直径，C为圆上一点，I为内心，交于D，于I，若，则为（   ）    A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】如图，连接，，由题意知，平分，平分，则，，，，由，可得，由垂径定理得，则，由勾股定理得，，如图，连接交于，则，设，则，由勾股定理得，，即，解得，进而可得，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接，，    由题意知，平分，平分， ∴，，∴，， ∵，∴， ∵，∴，由勾股定理得，， 如图，连接交于，则，设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，∴，， 由勾股定理得，，故选：A． 【点睛】本题考查了内心，勾股定理，垂径定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，等腰三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 9．（2024·江苏南京·九年级校考阶段练习）如图，已知是的直径，是的切线，D，B为切点，交于点E，的延长线交BC于点F，连接 ，给出以下四个结论：①；②E为的内心；③，其中正确的结论是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】如图所示，连接，先证明，得到，再由圆周角定理得到即可判断①；根据切线的性质和三角形内角和定理得到，进而推出则是的角平分线，同理可证得是的平分线，即可判断②；若若，则应有，应，进而推出而的度数不一定是60度，即可判断③． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的切线，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴，故①正确； ∵是的切线，∴，∴， ∵，∴∴ ， ∵，∴，即是的角平分线，同理可证得是的平分线， ∴E为的内心，故②正确； 若，则应有，应有， ∴，∴ 而的度数不一定是60度，故③不正确；因此正确的结论有：①②．故选：A． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，内心的概念，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 10．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC相切于点D，E，F，已知AB＝6，AC＝5，BC＝7，则DE的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接、、，交于，作交BC于点G，利用 ，求出，进一步可得，求出，设⊙的半径为，利用，求出，求出，进一求出，再证明OB垂直平分，利用面积法可得，求得HE长即可求得答案． 【详解】解：连接、、，交于，作交BC于点G，如图， ∵AB＝6，AC＝5，BC＝7， ∴，即，解得：， ∴，∴， 设内切圆的半径为r，则，解得：， 的内切圆⊙与，，分别相切于点，，，∴∠ODB=∠OEB=90°， 又∵OD=OE， OB=OB， ∴， ∴BD=BE， 同理， CE=CF，AD=AF，∵BE+CE=BC=7， ∴BD+BE+CE+CF=14， ∴2AD=(6+5+7)-14=4，即AD=2，∴，∴， ，，垂直平分，，， ，，，故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，面积法等，正确添加辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键． 11．（2023·山东潍坊·九年级统考期中）如图，点是的内心，连接并延长交于点，交的外接圆于点，连接．以下结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据三角形的内心的性质和圆周角定理判断即可． 【详解】∵点E是△ABC的内心，∴AE平分∠BAC，故①正确； ∴∠BAD＝∠DAC，∴，故②正确；∴∠DBC＝∠BAD，故③正确； ∵∠D＝∠D，∠DBC＝∠BAD，∴△DFB∽△DBA，故④正确；故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，关键是根据相似三角形的判定解答． 12．（2022秋·江苏·九年级校考周测）如图，内接于，若为的内心，连结并延长交于点，为、交点，连结、，以下结论：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）若，则． 以上结论正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】根据内心是三角形三条角平分线的交点，利用圆周角定理和外角的性质，得到，从而推出即可说明（1）的正误；再证明，得到即可证得（2）的正误；再证明，得到即可说明（3）；如图，过点作的平行线与的延长线交于点，利用平行线分线段成比例定理即可证得（4）；如图所示，在线段截取，过点作于点，连接，利用三角形全等、圆周角定理以及余弦函数即可求证（5）的正误． 【详解】解：∵点是的内心∴， ∵，∴，∴ ∵，∴，∴，故（1）错误； ∵∴， ∵，∴，∴ ， ∴，∴；故（2）正确； ∵，∴， ∴，∴；故（3）错误； 如图，过点作的平行线与的延长线交于点， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，故（4）正确； 如图所示，在线段截取，过点作于点，连接 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∴在中，，∴， ∴， 故（5）错误，∴（2）（4）说法正确，故选：A 【点睛】本题考查三角形的内心，圆周角定理以及相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理．熟练掌握三角形的内心是三条角平分线的交点，以及等弧所对的圆周角相等，证明三角形相似是解题的关键． 13．（2023·成都市·九年级专题练习）如图，是的内心，的延长线与的外接圆相交于点，与交于点，连接、、、．下列说法：①，②，③；④点是的外心；正确的有 ．（填写正确说法的序号） 【答案】①③④ 【分析】利用三角形内心的性质得到，根据旋转的性质可对①进行判断；利用三角形内心的性质可对②进行判断；利用，和三角形内角和定理得，可对③判断；通过证明，可得，在证明，可对④进行判断． 【详解】∵是的内心，∴AD平分，即， ∴绕点A顺时针旋转一定的角度一定能和重合，∴①正确； ∵是的内心，∴点I到三角形三边距离相等，∴②错误； ∵BI平分，CI平分，∴，， ∵∴③正确； ∵，，∴， ∴，∴，∵，∴，∴，∴， ∴点B、I、C在以点D为圆心，DB为半径的圆上，即点是的外心， ∴④正确．故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心的性质，以及旋转的性质和三角形外心，熟练掌握三角形内切圆以及内心的性质是解答本题的关键． 14．（2023·湖南岳阳·校考模拟预测）如图，为外接圆的直径，点M为的内心，连接并延长交于点D，①若，的直径为4，则扇形的面积为 ；②若，，则 ． 【答案】 / / 【分析】①首先根据圆周角定理得到，然后利用扇形面积公式求解即可； ②作交于点E，作交于点F，根据三角形内心的性质求出，进而得到，然后利用勾股定理和等腰直角三角形的性质得到，进而求解即可． 【详解】①∵，，∴ ∵的直径为4，∴的半径为2，∴扇形的面积为； ②如图所示，作交于点E，作交于点F， ∵，， ∴∴ ∵点M为的内心，∴是内切圆的半径，∴， ∵点M为的内心，∴是的角平分线，∴，， ∵∴∴是等腰直角三角形 ∵∴∵∴ ∴∴∴ ∴ ∴．故答案为：，． 【点睛】此题考查了圆周角定理，三角形内心的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 15．（2020·贵州遵义·统考中考真题）如图，是的外接圆，，于点，延长交于点，若，，则的长是 ． 【答案】 【分析】连结OB，OC，OA，过O点作OF⊥BC于F，作OG⊥AE于G，根据圆周角定理可得∠BOC＝90°，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可得DG，AG，可求AD，再根据相似三角形的判定和性质可求DE． 【详解】解：连结OB，OC，OA，过O点作OF⊥BC于F，作OG⊥AE于G， ∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，∴∠BOC＝90°， ∵BD＝4，CD＝1，∴BC＝4＋1＝5，∴OB＝OC＝， ∴OA＝，OF＝BF＝，∴DF＝BD−BF＝，∴OG＝，GD＝， 在Rt△AGO中，AG＝，∴AD＝AG＋GD＝， ∵连接BE,AD与BE相交于D，∴∠BED=∠ACD，∠BDE=∠ADC，∴△BDE∽△ADC， ∴．故答案为：． 【点睛】考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的难点是求出AD的长． 16．（2023·湖北武汉·统考一模）如图，在△ABC中，∠A＝62°，⊙O截△ABC三边所得的弦长相等，则∠BOC的度数是 ． 【答案】121° 【分析】先利用⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，得出即O是△ABC的内心，从而，∠1=∠2，∠3=∠4，进一步求出∠BOC的度数． 【详解】∵△ABC中∠A=70°，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等， ∴O到三角形三条边的距离相等，即O是△ABC的内心， ∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠3=（180°-∠A）=（180°-62°）=59°， ∴∠BOC=180°-（∠1+∠3）=180°-59°=121°．故答案是：121°． 【点睛】此题考查三角形的内心，三角形内角和定理，解题关键在于掌握其性质定义． 17．（2023春·四川达州·九年级校考阶段练习）如图，四边形为的内接四边形，，平分，，，则的内心与外心之间的距离为 . 【答案】 【分析】作DF⊥BA于F，连接AD，DC．只要证明△DFA≌△DEC（ASA），推出AF=CE，Rt△BDF≌Rt△BDE（HL），推出AF=BE得到四边形BEDF是正方形，BD是对角线，作△ABC的内切圆，圆心为M，N为切点，连接MN，OM．由切线长定理可知：AN=4，推出ON=5-4=1，由面积法可知内切圆半径为2，在Rt△OMN中，理由勾股定理即可解决问题． 【详解】作DF⊥BA于F，连接AD，DC． ∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥BA，∴DF=DE，∠DFB=∠DEB=90°， ∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠EDF=180°，∴∠ADC=∠EDF，∴∠FDA=∠CDE， ∵∠DFA=∠DEC=90°，∴△DFA≌△DEC（ASA），∴AF=CE， ∵BD=BD，DF=DE，∴Rt△BDF≌Rt△BDE（HL），∴BF=BE， ∴四边形BEDF是正方形，BD是对角线，∵BD=7，∴正方形BEDF的边长为7， 由（2）可知：BC=2BE-AB=8，∴AC==10， 作△ABC的内切圆，圆心为M，N为切点，连接MN，OM． 由切线长定理可知：AN==4，∴ON=5-4=1，由面积法可知内切圆半径为2， 在Rt△OMN中，OM=．∴△ABC的内心与外心之间的距离为，故答案为． 【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正方形的判定和性质等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题. 18．（2023广东九年级上期中）已知中，，则它的外接圆半径为 ，内切圆半径为 ． 【答案】 5 2 【分析】由勾股定理的逆定理可得，为直角三角形，即可求得外接圆的半径；设内切圆半径为，利用切线长定理求得内切圆半径． 【详解】解：∵， ∴∴为直角三角形，， ∴外接圆的圆心为斜边的中点，半径为 设内切圆的半径为，如下图，    由题意可得：∴四边形为矩形， 又∵∴矩形为正方形，∴ ∴， 由切线长定理可得：， 则：，解得故答案为：5，2 【点睛】此题考查了圆的性质，正方形的判定与性质，勾股定理的逆定理，切线长定理等性质，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． 19．（2023·北京·九年级专题练习）如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠B＝90°． (1)若AB＝4，BC＝3，①求Rt△ABC外接圆的半径；②求Rt△ABC内切圆的半径； (2)连接AO并延长交BC于点D，若AB＝6，tan∠CAD＝，求此⊙O的半径． 【答案】(1) ①; ②1(2) 【分析】（1）①先求得线段AC的长度，然后取AC的中点H，得到AH的长即为△ABC的外接圆半径； ②过点O作于点E，于点F，于点G，然后可得四边形OEBF是正方形，设半径为1，结合点O是的内心可得AF，CE的长度，然后由切线长定理得到，，进而得到，最后利用勾股定理求得r的值；（2）设半径为r，得到，，由内心的定义可知，然后利用正切值求得的大小，即为结果． 【详解】（1）解：（1）①如图1，取AC的中点H， ∵，∴点H是的外接圆圆心． ∵，，，∴A ，∴的外接圆半径为； ②如图2，过点O作于点E，于点F，于点G， 则．，∴四边形OEBF是正方形， 设半径为r，则，是的内切圆，，， ∴，，∴.， 在中，，， 解得或(不符合题意舍去)，内切圆的半径为l； （2）解：如图2，设半径为r，则，． 是的内切圆，. ，, ，解得，的半径为． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆和内切圆的性质、解直角三角形，熟知圆的切线长定理是解题关键． 20．（2023·山西·九年级专题练习）阅读以下材料，并按要求完成相应地任务： 莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则. 如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切分于点F，设⊙O的半径为R，⊙I的半径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI＝d，则有d2＝R2﹣2Rr． 下面是该定理的证明过程（部分）： 延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN. ∵∠D=∠N，∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等)， ∴△MDI∽△ANI， ∴， ∴①， 如图2，在图1(隐去MD，AN)的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF， ∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE=90°， ∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI=90°， ∴∠DBE=∠IFA， ∵∠BAD=∠E(同弧所对圆周角相等)， ∴△AIF∽△EDB， ∴，∴②， 任务：(1)观察发现：， (用含R，d的代数式表示)； (2)请判断BD和ID的数量关系，并说明理由； (3)请观察式子①和式子②，并利用任务(1)，(2)的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分； (4)应用：若△ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为 cm.    【答案】(1)R-d；(2)BD=ID，理由见解析；(3)见解析；(4). 【分析】(1)直接观察可得；(2)由三角形内心的性质可得∠BAD=∠CAD，∠CBI=∠ABI，由圆周角定理可得∠DBC=∠CAD，再根据三角形外角的性质即可求得∠BID=∠DBI，继而可证得BD=ID； (3)应用(1)(2)结论即可；(4)直接代入结论进行计算即可． 【详解】(1)∵O、I、N三点共线， ∴OI+IN＝ON，∴IN＝ON﹣OI＝R﹣d，故答案为R﹣d； (2)BD=ID，理由如下：∵点I是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∠CBI=∠ABI， ∵∠DBC=∠CAD，∠BID=∠BAD+∠ABI，∠DBI=∠DBC+∠CBI，∴∠BID=∠DBI，∴BD=ID； (3)由(2)知：BD=ID，又，， ∴DE·IF=IM·IN，∴，∴∴； (4)由(3)知：，把R=5，r=2代入得：， ∵d>0，∴，故答案为. 【点睛】本题是圆综合题，主要考查了三角形外接圆、外心和内切圆、内心，圆周角性质，角平分线定义，三角形外角性质等，综合性较强，熟练掌握相关知识是解题的关键. 21．（2023·湖北荆门·中考模拟）已知锐角的外接圆圆心为，半径为． （1）求证：；（2）若中，求的长及的值． 【答案】（1）见解析；（2）BC= ,sinC=； 【分析】（1）如图1，连接并延长交于，连接，于是得到，根据三角函数的定义即可得到结论； （2）由，同理可得：，于是得到，即可得到，如图2，过作于，解直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）如图1，连接并延长交于，连接， 则， ，； （2），同理可得：， ，，如图2，过作于， ，， 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 22．（2023山东德州九年级期中）如图，等边三角形ABC内接于圆O，点P是劣弧BC上任意一点（不与C重合），连接，求证：． 【初步探索】小明同学思考如下：如图1，将绕点A顺时针旋转到，使点C与点B重合，可得P、B、Q三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题： (1)根据小明的思路，请你完成证明； (2)若圆的半径为4，则的最大值为__________； (3)【类比迁移】如图2，等腰内接于圆O，，点P是弧BC上任一点（不与B、C重合），连接，若圆的半径为4，试求周长的最大值． 【答案】(1)见解析(2)8(3) 【分析】（1）可证得P、B、Q三点在同一条直线上，进而证得是等边三角形，进一步得出结论； （2）当是的直径时，的值最大，即最大，进而求得结果； （3）将绕点A顺时针旋转90°到，使点C与点B重合，P、B、Q三点在同一条直线上，进而证明是等腰直角三角形，类比（2）可得出结果． 【详解】（1）证明：由旋转得，，，， ，， 、、三点在同一条直线上，， 是等边三角形，， ，是等边三角形，，； （2）解：是的弦，且的半径为4， 当经过圆心，即是的直径时，，此时的值最大，的最大值是8； （3）解：如图2，，， ∵BC是的直径，且圆心在BC上，∴，， 将绕点顺时针旋转到，使点与点重合， 则，，， ，， 、、三点在同一条直线上，， ， 当经过圆心，即是的直径时，，此时的值最大， ，的最大值是， ，周长的最大值是． 【点睛】本题考查了等边三角形性质，旋转性质，圆内接四边形性质等知识，解决问题的关键是类比证明和计算． 23.（2023·山东滨州·统考中考真题）如图，点是的内心，的延长线与边相交于点，与的外接圆相交于点．    (1)求证：；(2)求证：；(3)求证：； (4)猜想：线段三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．） 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4) 【分析】（1）过点F作，垂足分别为，则，进而表示出两个三角形的面积，即可求解；（2）过点A作于点，表示出两三角形的面积，即可求解； （3）连接，证明得出，证明，得出，即可，恒等式变形即可求解； （4）连接，证明，得出，证明，得出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，过点F作，垂足分别为， ∵点是的内心，∴是的角平分线， ∵，∴， ∵，∴； （2）证明：如图所示，过点A作于点，    ∵，∴， 由（1）可得，∴； （3）证明：连接，    ∵∴ ∴∴，∴∵，∴， 又，∴，∴，∴； ∴，∴， （4）解：如图所示，连接，    ∵点是的内心，∴是的角平分线，∴， ∵， ∴，∴，∴， ∵， ， ∴，∴，∴． 【点睛】本题考查了三角形内心的定义，同弧所对的圆周角相等，角平分线的性质与定义，相似三角形的性质与判定，三角形的外角性质，三角形的面积公式等知识，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 24．（2023·天津北辰·九年级校考阶段练习）（1）尺规作图，如图作出△ABC 的外接圆⊙O； （2）若AB=AC=10,BC=12,则△ABC 的外接圆半径R= ,△ABC 的内切圆半径r= ． 【答案】（1）见详解；（2）；3． 【分析】（1）分别作BC和AC的垂直平分线，两垂直平分线相交于点O，然后以点O为圆心，OC为半径作圆即可； （2）过A作AD⊥BC于D，连接OB，可知O在直线AD上，然后在Rt△OBD中，利用勾股定理即可求出外接圆半径R；过A作AM⊥BC于M，由条件可知内心P在直线AM上，过P作PN⊥AB于N，利用△ANP∽△AMB，对应边成比例即可求出△ABC 的内切圆半径． 【详解】解：（1）如图所示，⊙O为所作， （2）如图，过A作AD⊥BC于D， 由AB=AC=10可知，AD垂直平分BC，BD=CD=BC=6， 又∵圆心O在BC的垂直平分线上，∴O在直线AD上， 在Rt△ABD中，， 连接OB，设OA=OB=R，则OD=8-R，在Rt△OBD中，∵OD2+BD2=OB2， ∴（8-R）2+62=R2，解得，即△ABC外接圆的半径为； 如下图，过A作AM⊥BC于M， 由于AB=AC=10，BC=12，∴BM=CM=6，AM为∠BAC的角平分线上， ∴△ABC的内心在直线AM上，取点P为△ABC的内心，过P作PN⊥AB于N， 可知，PN=PM，在Rt△ABM中，， 设PN=PM =r，则AP=8-r，∵∠AMB=∠ANP=90°，∠NAP=∠MAB，∴△ANP∽△AMB， ∴，即，∴即△ABC内切圆的半径为3；答案为：；3． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．也考查了三角形的外心和内心，题目比较综合． 25．（2023·江苏扬州·九年级统考期中）问题提出： 苏科版九年级（上册）教材在探究圆内接四边形对角的数量关系时提出了两个问题： 1．如图（1），在的内接四边形中，是的直径．与、与有怎样的数量关系？ 2．如图（2），若圆心不在的内接四边形的对角线上，问题（1）中发现的结论是否仍然成立？ （1）小明发现问题1中的与、与都满足互补关系，请帮助他完善问题1的证明： ∵是的直径，∴__________________，∴， ∵四边形内角和等于，∴__________________． （2）请回答问题2，并说明理由．深入探究：如图3，的内接四边形恰有一个内切圆，切点分别是点、、、，连接，． （1）直接写出四边形边满足的数量关系_________；（2）探究、满足的位置关系； （3）如图4，若，，，请直接写出图中阴影部分的面积． 【答案】问题提出：（1），；（2）见解析；深入探究：（1）（2）；（3） 【分析】问题提出： （1）根据直径所对的圆周角为直角可得，再结合四边形内角和等于即可得到答案； （2）连接，根据圆周角定理可得，，结合可得，再根据四边形内角和等于即可得到答案； 深入探究：（1）根据切线定理可得，可推算出； （2）连接，根据切线的性质可得切角为直角，结合四边形内角和知识推算出，再根据圆周角定理得到，最终推算出，从而得到答案；（3）先根据切线的性质证明四边形是正方形，且边长为，再证明，，先计算出，再根据计算出圆I的半径，从而计算出圆I的面积，最终得到阴影部分的面积=． 【详解】问题提出：（1）∵是的直径， ∴，∴， ∵四边形内角和等于， ∴．故答案为：；； （2）如下图所示，连接，      ∵，， ∴， ∵，∴， ∵四边形内角和等于，∴； 深入探究：（1）∵点、、、是的切点，∴， ∴∴； （2），证明:如下图所示，连接,设交于点M， ∵点、、、是的切点，∴， ∴，， ∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∴； （3）解：如下图所示，连接 设半径为， ∵点、、、是的切点，∴， ∵，∴， ∴四边形是正方形，且边长为，∴，， ∵∴，， ∴， ∵， ∴，∴，∴，∴阴影部分的面积=． 【点睛】本题考查圆、四边形的性质，解题的关键是掌握并灵活运用圆周角定理、切线定理． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！48 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 圆中的重要模型之圆中的外接圆和内切圆模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位。内切圆、外接圆模型常以选填题的形式考查，而内切圆与外接圆模型结合多以综合题的形式呈现，出题灵活多变，是中考的常考题型。本专题就圆的内切圆和外接圆模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 2 模型1.内切圆模型 2 模型2.多边形的外接圆模型 8 19 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 模型1.内切圆模型 内切圆：平面上的多边形的每条边都能与其内部的一个圆形相切，该圆就是该多边形的内切圆。它亦是该多边形内部最大的圆形。内切圆的圆心被称为该多边形的内心。 三角形内切圆圆心：在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相等。正多边形必然有内切圆，而且其内切圆的圆心和外接圆的圆心重合，都在正多边形的中心。 图1 图2 图3 1）三角形的内切圆模型 条件：如图1，⊙O为三角形ABC的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。 结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=。 证明：∵O为三角形ABC的内心，∴OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线， ∵O为内心，切点为D、E、F，∴OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥AC，∵OD=OE=OF=r， ∴点O到三角形ABC的三边距离相等；∵OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线， ∴∠BAO=∠CAO=，∠BCO=∠ACO=，∠ABO=∠CBO=， ∴∠BOC=180°-（∠CBO-∠BCO）=180°-（-）=180°- =180°-=90°+， ∴ 即r= 2）直角三角形的内切圆模型 条件：如图2，⊙O为Rt的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。 结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=； 证明：①②证明同模型1）的证明， ∵⊙O为Rt的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F， ∴AD=AF，BD=AE，CE=CF，OE⊥BC、OF⊥AC，∴四边形OECF为正方形， ∴CE=CF=OF=OE=r，∴AC+BC-AB=AF+CF+CE+BE-AD-BD=CE+CF=2r，即r=； 3）四边形的内切圆模型 条件：如图3，⊙O是四边形ABCD的内切圆。 结论：。 证明：∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH， ∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，∴。 例1．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，已知是的内切圆，分别交于点和．的周长是12，面积是，，则扇形的面积是 ．    例2．（2023·浙江金华·九年级统考期中）如图，截三边所得的弦长相等，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例3．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，中，，，，则的内切圆半径为（　　） A．2 B．4 C．1.5 D．2.5 例4．（2023秋·浙江九年级课时练习）已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 例5．（2023·成都市九年级期中）如图，是的内切圆，、、为切点，，，，切交于，交于，则的周长为（    ）    A． B． C． D． 例6．（2023·黑龙江鸡西·校考三模）如图，在直角坐标系中，一直线经过点，与轴、轴分别交于、两点，且，若是的内切圆，与、、轴分别相切，与、、轴分别相切，……按此规律，则的半径 ． 例7．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，，，为的内切圆，过O作分别交、于D、E，则的长为（    ） A． B．4 C．5 D． 模型2.多边形的外接圆模型 外接圆：与多边形各顶点都相交的圆叫做多边形的外接圆，通常是针对一个凸多边形来说的，如三角形，若一个圆恰好过三个顶点，这个圆就叫作三角形的外接圆，此时圆正好把三角形包围。 三角形外接圆圆心：即做三角形三条边的垂直平分线（两条也可，两线相交确定一点）。 图1 图2 图3 1）三角形的外接圆模型 条件：如图1，⊙O为三角形ABC的外接圆（即O为三角形ABC的外心）。 结论：①OA=OB=OC；②。 证明：∵O为三角形ABC的外心，∴OA=OB=OC；∴∠BAO=∠ABO，∠CAO=∠ACO， ∴∠BOD=∠BAO+∠ABO=2∠BAO，∠COD=∠CAO+∠ACO=2∠CAO， ∴∠BOD+∠COD=2∠BAO+2∠CAO=2∠BAC 2）等边三角形的外接圆模型 条件：如图2，点P为等边三角形ABC外接圆劣弧BC上一点。 结论：①，PM平分；②PA=PB+PC；③； 证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°， ∵点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点，∴四边形ABPC是圆的内接四边形 ∴∠BPC+∠BAC=180°，∴∠BPC=120°，∵弧BA=弧BA，弧AC=弧AC ∴∠APB=∠ACB=60°，∠APC=∠ABC=60°，∴PM平分；在PA上截取PD=PC，连结CD． ∵∠ABC=∠APC=60°，∴△PCD为等边三角形，∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD， ∴∠PCD-∠DCM=∠ACB-∠DCM，即∠ACD=∠BCP， 在△ACD和△BCP中，，∴△ACD≌△BCP，∴AD=PB， ∵PA=AD+DP，DP=PC，∴PA=PB+PC；∵∠APB=∠ACB=60°（已证），∠BMP=∠AMC（对顶角）。 ∴△BMP≌△AMC，∴，同理：。 ∴，∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC，∴。 3）四边形的外接圆模型 条件：如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形。 结论：①；；②。 证明：连结OA、OC，设∠AOC=，∵圆周角等于所对的圆心角的一半，∴∠ADC=， 同理：∠ABC=，∴；同理：； ∵，∴。 例1．（2023·湖北武汉·九年级阶段练习）如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB=AC=4，BC=8，则⊙O的半径为 . 例2．（2024·四川南充·一模）如图，点是外接圆的圆心．点是的内心．连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 例3．（2023·广东广州·九年级校考期末）如图，在中，，．，I是的内心，则线段的值为（    ） A．1 B． C． D． 例4．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，中，，，内心为I，连接并延长交的外接圆于D，若，则  （    ） A． B．1 C． D． 例5．（2024·江苏镇江·一模）如图，等腰三角形内接于，，点是的内心，连接并延长交于点，点在的延长线上，满足．试证明：(1)所在的直线经过点I；(2)点D是的中点． 例6．（2023重庆九年级上期中）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠BPC=60°，过点A作⊙O的切线交BP的延长线于点D．（1）求证：△ADP∽△BDA；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若AD=2，PD=1，求线段BC的长． 例7．（2023·浙江·模拟预测）如图，点O是的内心，的延长线交的外接圆于点D，交于E，设．(1)求证：；(2)探究的值与a之间的数量关系； (3)若，E为的一个三等分点，求的外接圆的半径． 1．（2023·陕西宝鸡·统考一模）如图所示，内接于，点M为的内心，若，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 2．（2023·江苏南通·统考一模）如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，点E是边AD上一点，连结CE，将△CDE绕点C旋转，当CD落到对角线AC上时，点E恰与圆心O重合，已知AE＝6，则下列结论不正确的是（　　） A．BC+DE＝AC B．⊙O 的半径是2 C．∠ACB＝2∠DCE D．AE＝CE 3．（2023春·河北石家庄·九年级校考开学考试）已知点P是△ABC的内心，若∠BAP＝50°，则∠BPC的度数为(   ) A．100° B．110° C．140° D．130° 4．（2023·河北张家口·统考一模）如图，点点为的内心，且于点，若，，则的度数为（    ） A．163 B．164 C．165 D．166 5．（2023·河北邢台·九年级校考阶段练习）如图，的内切圆（圆心为点O）与各边分别相切于点D，E，F，连接，．以点B为圆心，以适当长为半径作弧分别交于G，H两点；分别以点G，H为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧在的内部交于点P；作射线．给出下列结论：①射线一定过点O；②点O是三条中线的交点；③点O是三条边的垂直平分线的交点；④点O是三条边的垂直平分线的交点．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（2023春·浙江九年级课时练习）如图，在△ABC中，∠BOC＝140°，I是内心，O是外心，则∠BIC＝（    ）度 A．70 B．135 C．55 D．125 7．（2023·山东枣庄·校考模拟预测）如图，内接于，所对弧的度数为．的角平分线分别交于于点D、E，相交于点F．以下四个结论：①；②；③；④．其中结论一定正确的序号数是(    ) A．①和② B．①和③ C．②和③ D．③和④ 8．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）如图，为直径，C为圆上一点，I为内心，交于D，于I，若，则为（   ）    A． B． C． D．5 9．（2024·江苏南京·九年级校考阶段练习）如图，已知是的直径，是的切线，D，B为切点，交于点E，的延长线交BC于点F，连接 ，给出以下四个结论：①；②E为的内心；③，其中正确的结论是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 10．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC相切于点D，E，F，已知AB＝6，AC＝5，BC＝7，则DE的长是（    ） A． B． C． D． 11．（2023·山东潍坊·九年级统考期中）如图，点是的内心，连接并延长交于点，交的外接圆于点，连接．以下结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（2022秋·江苏·九年级校考周测）如图，内接于，若为的内心，连结并延长交于点，为、交点，连结、，以下结论：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）若，则． 以上结论正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 13．（2023·成都市·九年级专题练习）如图，是的内心，的延长线与的外接圆相交于点，与交于点，连接、、、．下列说法：①，②，③；④点是的外心；正确的有 ．（填写正确说法的序号） 14．（2023·湖南岳阳·校考模拟预测）如图，为外接圆的直径，点M为的内心，连接并延长交于点D，①若，的直径为4，则扇形的面积为 ；②若，，则 ． 15．（2020·贵州遵义·统考中考真题）如图，是的外接圆，，于点，延长交于点，若，，则的长是 ． 16．（2023·湖北武汉·统考一模）如图，在△ABC中，∠A＝62°，⊙O截△ABC三边所得的弦长相等，则∠BOC的度数是 ． 17．（2023春·四川达州·九年级校考阶段练习）如图，四边形为的内接四边形，，平分，，，则的内心与外心之间的距离为 . 18．（2023广东九年级上期中）已知中，，则它的外接圆半径为 ，内切圆半径为 ． 19．（2023·北京·九年级专题练习）如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠B＝90°． (1)若AB＝4，BC＝3，①求Rt△ABC外接圆的半径；②求Rt△ABC内切圆的半径； (2)连接AO并延长交BC于点D，若AB＝6，tan∠CAD＝，求此⊙O的半径． 20．（2023·山西·九年级专题练习）阅读以下材料，并按要求完成相应地任务：莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则. 如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切分于点F，设⊙O的半径为R，⊙I的半径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI＝d，则有d2＝R2﹣2Rr．下面是该定理的证明过程（部分）： 延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN. ∵∠D=∠N，∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等)， ∴△MDI∽△ANI，∴，∴①， 如图2，在图1(隐去MD，AN)的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF， ∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE=90°， ∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI=90°，∴∠DBE=∠IFA， ∵∠BAD=∠E(同弧所对圆周角相等)，∴△AIF∽△EDB， ∴，∴②， 任务：(1)观察发现：， (用含R，d的代数式表示)；(2)请判断BD和ID的数量关系，并说明理由；(3)请观察式子①和式子②，并利用任务(1)，(2)的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；(4)应用：若△ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为 cm.    21．（2023·湖北荆门·中考模拟）已知锐角的外接圆圆心为，半径为． （1）求证：；（2）若中，求的长及的值． 22．（2023山东德州九年级期中）如图，等边三角形ABC内接于圆O，点P是劣弧BC上任意一点（不与C重合），连接，求证：． 【初步探索】小明同学思考如下：如图1，将绕点A顺时针旋转到，使点C与点B重合，可得P、B、Q三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题： (1)根据小明的思路，请你完成证明；(2)若圆的半径为4，则的最大值为__________； (3)【类比迁移】如图2，等腰内接于圆O，，点P是弧BC上任一点（不与B、C重合），连接，若圆的半径为4，试求周长的最大值． 23.（2023·山东滨州·统考中考真题）如图，点是的内心，的延长线与边相交于点，与的外接圆相交于点．    (1)求证：；(2)求证：；(3)求证：； (4)猜想：线段三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．） 24．（2023·天津北辰·九年级校考阶段练习）（1）尺规作图，如图作出△ABC 的外接圆⊙O； （2）若AB=AC=10,BC=12,则△ABC 的外接圆半径R= ,△ABC 的内切圆半径r= ． 25．（2023·江苏扬州·九年级统考期中）问题提出： 苏科版九年级（上册）教材在探究圆内接四边形对角的数量关系时提出了两个问题： 1．如图（1），在的内接四边形中，是的直径．与、与有怎样的数量关系？ 2．如图（2），若圆心不在的内接四边形的对角线上，问题（1）中发现的结论是否仍然成立？ （1）小明发现问题1中的与、与都满足互补关系，请帮助他完善问题1的证明： ∵是的直径，∴__________________，∴， ∵四边形内角和等于，∴__________________． （2）请回答问题2，并说明理由．深入探究：如图3，的内接四边形恰有一个内切圆，切点分别是点、、、，连接，． （1）直接写出四边形边满足的数量关系_________；（2）探究、满足的位置关系； （3）如图4，若，，，请直接写出图中阴影部分的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$