专题05 圆中的重要模型之圆中的翻折模型-2024-2025学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版）

专题05 圆中的重要模型之圆中的翻折模型 圆中的翻折模型是将一个圆形的纸片沿着一条直线翻折，使得纸片的边缘与直线重合，从而形成新的圆形或圆环。翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分。这种模型可以用于创建各种不同的图形和图案，是一种非常有趣的几何模型。 1 模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰） 2 19 【知识储备】 1、翻折变换的性质：翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分； 2、圆的性质：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧、弦相等；同弧或等弧所对的圆周角相等； 3、等圆相交：如图，圆O和圆G为两个相等的圆，圆O和圆G相交，相交形成的弦为AB，则弦AB为整个图形的对称轴，圆心O和圆心G关于AB对称，弧ACB和弧ADB为等弧，且关于AB对称； 4、弧翻折（即等圆相交）：如图，以弦BC为对称轴，将弧BC翻折后交弦AB于点D，那么弧CDB所在的圆圆G与圆O是相等的圆，且两个圆关于BC对称，故圆心O、G也关于BC对称。 模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰） 1）条件：如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，结论：CD=CA 2）条件：特别地，弧BC折叠后过圆心，结论：CD=CA，∠CAB=60° 1）证明：如图，设折叠后的所在的圆心是G，连接AC，CD. 由题意得（折叠）：，即：，∴∠CAB=∠DCB+∠CBD， ∵∠CDA=∠DCB+∠CBD，∴∠CAB=∠CDA，∴CD=CA。 2）证明：如图，连接AC，CD，CO；由1）中证明知：CO=CA， ∵OA=OC，∴CO=CA=OA，∴△OAC为等边三角形，∴∠CAB=60°。 例1．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连结．若点与圆心不重合，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先连接，由是直径，可求得，则可求得的度数，然后由翻折的性质可得，所对的圆周角为，所对的圆周角为，继而求得答案． 【详解】解：连接， 是直径，，，， 根据翻折的性质，所对的圆周角为，所对的圆周角为，， 又 ，，．故选：C． 【点睛】本题考查圆的基本性质与折叠的性质，掌握圆周角定理及其推论以及折叠的性质是解题的关键． 例2．（23-24九年级下·浙江金华·阶段练习）如图，是的内接三角形，将劣弧沿折叠后刚好经过弦的中点D．若，，则的半径长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设折叠后的所在的圆心是，连接，，进而得出，设的半径是r，作，根据勾股定理得出，在另一个图中作， 设，表示，，然后根据直角三角形的性质得出，即可求出的值，进而得出和，再根据勾股定理求出，结合可得答案． 【详解】如图，设折叠后的所在的圆心是，连接，， ∴，连接，，同理，，∴． ∵和是等圆，∴．设的半径是r，过点O作于点G． ∵，，∴，， ∴，∴．过点A作于点M， ∵，设，则． ∵D是的中点，∴，∴． ∵，，∴．在中，， ∴，解得，∴，． 在中，．∵，∴．故选：D． 【点睛】本题是一道关于圆的综合问题，难度较大，考查了等腰三角形的性质，勾股定理，含直角三角形的性质等，勾股定理是求线段长的常用方法． 例3．（2023·山东青岛·一模）如图，在中，，，以为直径的交于点D，弧沿直线翻折后经过点O，那么阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】过点O作于点M，交折叠前的弧于点N，连接，证明四边形是菱形，且都是等边三角形，得到，于是， 根据计算即可． 【详解】如图，过点O作于点M，交折叠前的弧于点N，连接，∵为直径的交于点D，弧沿直线翻折后经过点O，∴， ∴四边形是菱形，且都是等边三角形， ∴，∴，∴， ∴， ∵四边形是菱形，且都是等边三角形，∴， ∵，，∴，∴， ∴．故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形背景下与圆生成的阴影面积，熟练掌握圆的性质，扇形的面积公式，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 例4．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E．若，AB＝4，则的长度为 ． 【答案】 【分析】由同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等可得，因此．结合AB是的直径，可得所对的圆心角的度数．再利用弧长公式计算的长即可． 【详解】∵、、、所在的圆是等圆 又∵、、所对的圆周角都是∴==      又∵=∴===    又∵ +++=∴=∴ 又∵AB是的直径∴所对的圆心角为      ∴的长=故答案为 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，弧长的计算，翻折变换．求所对的圆心角的度数是解题的关键． 例5．（2024·安徽·校联考模拟预测）如图，是的直径，且，点是上一点，连接，过点作于点，将沿直线翻折．若翻折后的圆弧恰好经过点，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，连接OC，BC．证明△OBC是等边三角形，利用分割法求解即可． 【详解】解：如图，连接OC，BC．可得OB=OC=4， ∵∠CAO=∠CAB，∴，∴OC=BC=OB，∴∠COB=60°，∴∠AOC=180°-60°=120°， ∵，∴∠COD=60°，∴， ∴，故选：A． 【点睛】本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题． 例6．（2023·江苏·统考一模）如图，将⊙O沿弦AB折叠，使折叠后的弧恰好经过圆心O，点P是优弧上的一个动点（与A、B两点不重合），若⊙O的半径是2cm，则△APB面积的最大值是 cm2 【答案】 【分析】过点P作于点T，过点O作于点H，交于点K，连接AO，AK，PO，解直角三角形求出AB，求出PT的最大值，可得结论． 【详解】解：如图，过点P作于点T，过点O作于点H，交于点K，连接AO，AK，PO． 由题意得AB垂直平分线段OK，∴． ∵，∴，∴． ∴，∴． ∵，∴，∴． ∵，∴ ，∴PT的最大值为3， ∴的面积的最大值为．故答案为：． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，三角形的面积，垂线段最短等知识，解题关键是求出PT的最大值． 例7．（23-24九年级上·浙江金华·期中）在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点D，连接．(1)如图1，若点D与圆心O重合，，求的半径r； (2)如图2，若点D与圆心O不重合，，请求出的度数． (3)如图2，如果，，求的长． 【答案】(1)1(2)(3) 【分析】（1）设点D关于弦的对称点为F，连接，交于点E，则，根据勾股定理，得计算即可．（2）设点D关于弦的对称点为F，连接，，得，因为为直径，所以，利用计算． （3）连接，，过点C作于点G，确定，，从而得到所以，计算，，． 【详解】（1）设点D关于弦的对称点为F，连接，交于点E，则， 因为，所以，设，则， 根据勾股定理，得，解得，故圆的半径r为1． （2）设点D关于弦的对称点为F，连接，， 根据题意，得，，所以，所以； 因为为直径，所以， 所以． （3）如图，连接，，过点C作于点G，根据（2）得到，所以， 因为，，所以，， 所以，所以，， 所以，， 所以． 【点睛】本题考查了圆的性质，勾股定理，垂径定理，等腰三角形三线合一性质，熟练掌握圆的性质，勾股定理是解题的关键． 例8．（2023·广西南宁·统考三模）综合实践：在数学综合实践课上，第一小组同学展示了如下的操作及问题：如图1，同学们先画出半径为的，将圆形纸片沿着弦折叠，使对折后劣弧恰好过圆心，同学们用尺子度量折痕的长约为，并且同学们用学过的知识验证度量的结果是正确的． 验证如下：如图1，过点作于点，并延长交虚线劣弧于点，∴， 由折叠知，，连接，在中，， 根据勾股定理得，， ∴， 通过计算：，同学们用尺子度量折痕的长约为是正确的． 请同学们进一步研究以下问题： (1)如图2，的半径为，为的弦，，垂足为点，劣弧沿弦折叠后经过的中点，求弦的长（结果保留根号）；(2)如图3，在中劣弧沿弦折叠后与直径相交于点，若，，求弦的长（结果保留根号）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，延长交于点，求出，再根据勾股定理可得出结论； （2）作点关于弦的对称点，连接并延长与的延长线相交于，连接，先证明，可得，， 再证明，根据相似三角形的性质求出，利用勾股定理可得出结论． 【详解】（1）解：连接，延长交于点，由题意可知， ∵是的中点，∴，∴， ∵，∴，， ∴，∴； （2）解：作点关于弦的对称点，连接并延长与的延长线相交于，连接， ，，， 有折叠性质可知：，，，∴， ∴，，∴，． ∵四边形是圆内接四边形，∴， ，∴， ∵，∴，∴， 即．则， 又∵，∴，∴． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，构造出直角三角形是解本题的关键． 1．（2023·广西南宁·统考二模）如图，AB是的直径，点C是上一点，将劣弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，连接CD，若，则下列式子正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连，由AB是的直径，可知，由折叠，和所在的圆为等圆，可推得，再利用正弦定义求解即可． 【详解】解：连，    ∵是的直径，∴，由折叠，和所在的圆为等圆， 又∵，∴和所对的圆周角相等，∴，∴， 在中，，故选：B． 【点睛】本题考查圆周角定理和圆心角、弦、弧之间的关系以及正弦、余弦定义，解答关键是通过折叠找到公共的圆周角推出等弦． 2．（2023·江苏扬州·九年级统考期中）如图，已知MN是⊙O的直径，点Q在⊙O上，将劣弧沿弦MQ翻折交MN于点P，连接PQ，若∠PMQ＝16°，则∠PQM的度数为（　　） A．32° B．48° C．58° D．74° 【答案】C 【分析】首先连接NQ，由MN是直径，可求得∠MQN=90°，则可求得∠MNQ的度数，然后由翻折的性质可得，所对的圆周角为∠MNQ，所对的圆周角为∠MPQ，继而求得答案． 【详解】解：连接NQ， ∵MN是直径，∴∠MQN＝90°，∵∠PMQ＝16°， ∴∠MNQ＝90°﹣∠PMQ＝90°﹣16°＝74°， 根据翻折的性质，所对的圆周角为∠MNQ，所对的圆周角为∠MPQ， ∴∠MPQ+∠MNQ＝180°，∴∠MNQ＝∠QPN＝74°， ∴∠PQM＝∠MNQ﹣∠PMQ＝74°﹣16°＝58°．故选：C． 【点睛】此题考查了圆周角定理以及折叠的性质．注意掌握辅助线的作法，能得到∠MNQ=∠QPN是解此题的关键． 3．（2023·江苏镇江·九年级统考期中）如图，AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，∠BAC＝20°，将劣弧沿弦AC所在的直线翻折，交AB于点D，则弧的度数等于（　　） A．40° B．50 C．80° D．100 【答案】D 【分析】连接BC，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB，根据直角三角形两锐角互余求出∠B，再根据优弧所对的圆周角为∠ADC，得到∠ADC+∠B＝180°，然后根据∠DCA＝∠CDB﹣∠A，计算求得∠DCA的度数，即可求得弧的度数． 【详解】解：如图，连接BC， ∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝20°，∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣20°＝70°． 根据翻折的性质，所对的圆周角为∠B，优弧所对的圆周角为∠ADC， ∴∠ADC+∠B＝180°，∴∠B＝∠CDB＝70°，∴∠DCA＝∠CDB﹣∠A＝70°﹣20°＝50°， ∴弧的度数为100°故选D． 【点睛】本题考查的是翻折变换，圆周角定理，圆内接四边形的性质．根据题意作出直径所对的圆周角，构造出直角三角形是解答此题的关键．难点是理解∠ADC+∠B＝180°. 4．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）如图，、为的两条弦，，，将折叠后刚好过弦的中点D，则的半径为（    ）          A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】连接，作于，连接、、、，过点O作于F，可由推出，进而利用勾股定理求得，，然后证明四边形是矩形，可得，，再利用勾股定理构建方程求出，然后可求半径． 【详解】解：如图，连接，作于，连接、、、，          ，，，， 在中，，，， 过点O作于F，∵点D是中点，∴， ∴，∴四边形是矩形，∴，， 又∵，，且，∴， ∴，解得：，∴， ∴，故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，求出，． 5．（2022秋·福建莆田·九年级校考期末）如图，在中，点在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的中点．若的半径为5，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接AC、OB、OD、CD，作于点F，作于点E，由垂径定理可知于点D，由勾股定理可知OD的值，再利用折叠性质判断AC=DC，利用等腰三角形性质得出，再证明四边形ODFE为正方形，得到△CFB为等腰三角形，计算出弧AC所对圆周角度数，进而得弧AC所对圆周角度数，再代入弧长公式可得弧长． 【详解】解：连接AC、OB、OD、CD，作于点F，作于点E， 由垂径定理可知于点D， 又 CA、CD所对的圆周角为、，且 ，△CAD为等腰三角形 又四边形ODFE为矩形且OD=DF=四边形ODFE为正方形 故△CFB为等腰三角形，所对的圆心角为故选A． 【点睛】本题考查了弧长的计算、圆的折叠的性质、圆周角定理和垂径定理，熟练掌握性质定理和弧长公式是解题的关键． 6．（23-24九年级下·福建福州·阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E．若，则∠BCD的度数是（    ） A．22.5° B．30° C．45° D．60° 【答案】C 【分析】连接，，，设，证明，利用三角形内角和定理求出，可得结论； 【详解】解：如图，连接，，，设， ，，， ，，， ，∵是直径，， ，，，，故选：C． 【点睛】本题考查翻折变换，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 7．（2024·广东珠海·校考一模）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC＝8，将弧AB沿弦AB翻折后恰好经过弦AC的中点D，则弦BC的长为 ，⊙O的半径为 ． 【答案】 / 【分析】连接BD，设点D关于AB的对称点为点E，连接AE，BE，得到BD=BE，∠BAD=∠BAE，得到BC=BE，BC=BD，得到∠C=∠BDC，根据AB=AC，得到∠C=∠ABC，推出∠ABC=∠BDC，得到△ABC∽△BDC，推出，根据AC=8，,得到；连接BO，过点A作AF⊥BC，得到，得到AF过圆心O，，设圆的半径为R，得到OB=R，OF=AF-AO=-R，根据,得到，得到 【详解】设点D关于AB的对称点为点E，连接AE，BE，BD， 则△ABD≌△ABE，BD=BE，∠BAD=∠BAE，∴BC=BE，  ∴BC=BD，∴∠C=∠BDC， ∵AB=AC，∴∠C=∠ABC，∴∠ABC=∠BDC，∴△ABC∽△BDC，∴， ∵D是AC的中点，AC=8，∴,∴，∴ 连接BO，过点A作AF⊥BC，则， ∴AF过圆心O，， 设圆的半径为R，则OB=R，OF=AF-AO=-R， ∵,∴，∴ 【点睛】本题考查了圆弧折叠，圆周角定理，等腰三角形，全等三角形，相似三角形，勾股定理，熟练掌握折叠图形的全等性，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，是解决此类问题的关键 8．（2023·山东济宁·九年级统考期末）如图，将沿弦折叠交直径于圆心O，则 度．    【答案】120 【分析】过O点作交于D，交于E，连接，．根据折叠可得，，根据三角形中位线定理可得，再根据等边三角形的判定和性质，以及邻补角的定义即可求解． 【详解】解：过O点作交于D，交于E，连接，．    由折叠可得：，，则为的中位线， ∵是直径，∴，，则， 又∵，∴是等边三角形，∴， ∴．故答案为：120． 【点睛】考查了翻折变换（折叠问题），圆周角定理，三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质，以及邻补角的定义，综合性较强，构造辅助线是是解决问题的关键． 9．（2023·浙江金华·三模）在综合实践课上，小慧将图①中圆形纸片沿直径向上对折得到图②，再沿弦向下翻折得到图③，最后沿弦向上翻折得到图④． （1）若点E是弧的中点，则 ； （2）若，则 ．（用关于n的代数式表示） 【答案】 / 【分析】本题考查弧、弦、圆心角之间的关系，平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）利用弧、弦、圆心角之间的关系得到，进而求出，然后根据圆周角定理即可得到答案； （2）连接，，，，作，交于点F，根据平行线分线段成比例得到，然后根据得到，然后利用正弦的定义解题即可． 【详解】解：（1）如图： 连接，，，，，，，可得：， ∴，∴， ∵，∴，∴．故答案为：． （2）如图： 连接，，，，作，交于点F，由题意，，∴， ∵，∴，∴，， ∵，∴，∴，， ∴．故答案为：． 10．（23-24九年级上·山东威海·期末）将的劣弧沿弦折叠、刚好落在半径的中点C处，已知，则 ． 【答案】 【分析】设折叠后的所在圆的圆心为，的直径为，连接，，过点B作于F，先求出，，则，再根据折叠，得出与是等圆，根据圆周角定理，得出，从而得出，再根据等腰三角形的性质求出，从而求得，然后利用勾股定理求出长，即可求解． 【详解】解：如图，设折叠后的所在圆的圆心为，的直径为，连接，，过点B作于F， ∵C是半径的中点，，∴，，∴ ∵将的劣弧BD沿弦BD折叠，∴与是等圆，∵∴∴ ∵∴，，∴， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得，，故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，折叠的性质，等腰三角形的性质，弦、弧的关系，勾股定理．正确作出辅助线和证明是解题的关键． 11．（2023·广东惠州·校考二模）如图，，是的弦（不是直径），将沿翻折交于点，若，．若，则 ．    【答案】 【分析】连接、，因为和都是所对的弧，得到，由，推出，，因为，可得出，求出，从而，解的值即可． 【详解】解：如图，连接、，    和都是所对的弧，，，，，， ，，，，，， ，， ，，， 解得：或（舍去）．故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的性质及应用，等弧所对圆周角相等，涉及翻折变换，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，一元二次方程等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理，证明． 12．（2023·福建泉州·统考一模）如图，是的弦（不是直径），将沿翻折交于点．若，，则＝ ． 【答案】 【分析】设翻折前点的对应点是点，连接、、、、，易证四边形是菱形，得到，推出，证明，得到，进而得到进行求解即可． 【详解】解：设翻折前点的对应点是点，连接、、、、，如图： 则： ∴， ∵，∴∴， ∴四边形是菱形，∴， ∴ ，∴，∴， ∴， ∵ ∴，∴，∴， ∵，∴，∴，即： ∴，∴ ∵，∴，∴；故答案为：． 【点睛】本题考查弧，弦，角之间的关系，同弧所对的圆周角相等，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 13．（2022秋·广西南宁·九年级统考期中）如图，AB是的直径，BC是的弦，先将弧BC沿BC翻折交AB于点D，再将弧BD沿AB翻折交BC于点E，若，设，则为 °． 【答案】22.5 【分析】根据同圆中等弧对的圆周角相等，可得，进而根据题意可得，，根据直径所对的圆周角等于90度，即可求解． 【详解】解：连接，如图， AB是的直径，故答案为：． 【点睛】本题考查同圆中等弧对的圆周角相等，直径所对的圆周角等于90度，理解等弧的意义是解题关键． 14．（2024·河南南阳·二模）如图，在扇形中，，半径 ，点C是上一点，连接，沿将扇形折叠，使得点 A落在的延长线上的点D处，连接，则图中阴影部分面积为 (结果保留π) ． 【答案】 【分析】过点B作交与点E，垂足为E，作点O关于的对称点，连接，，由折叠的性质可得出，根据，由等边对等角得出，由对称的性质可得出，由直角三角形的性质可得出，解直角三角形可得出，再证明是等腰直角三角形，求出，再根据即可求出答案． 【详解】解：过点B作交与点E，垂足为E，作点O关于的对称点，连接，，如图∶ ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵∴，∴，， ∵∴是等腰直角三角形，∴， ∴，∴， ∴故答案为： 【点睛】本题考查扇形面积的计算，直角三角形的性质，轴对称折叠的性质，解直角三角形的相关计算等知识点，构造直角三角形以及对称图形是解题的关键． 15．（2023·河北·九年级校联考专题练习）已知⊙O的直径AB=4，点C在⊙O上，连接AC，沿AC折叠劣弧，记折叠后的劣弧为．（1）如图1，当经过圆心O时，求的长．（2）如图2，当与AB相切于A时．①画出所在的圆的圆心P．②求出阴影部分弓形的面积．       【答案】（1）的长=；（2）①P点为所求，见解析； ②S阴=π-2． 【分析】（1）只要证明△EAO是等边三角形即可解决问题； （2）①过A点作AP⊥AB，再截取AP=2，则P点为所求，如图2； ②只要证明四边形AOCP是正方形即可解决问题； 【详解】（1）作半径OE⊥AC于F，连接AE，如图1， ∵沿AC折叠劣弧，记折叠后的劣弧为，∴OF=OE=OF， ∵OE⊥AC，∴AE=AO，∵OA=OE，∴AE=AO=OE， ∴△AOE是等边三角形，∴∠AEO=60°，∴的长=． （2）①过A点作AP⊥AB，再截取AP=2，则P点为所求，如图2，    ②连接PC、OC，∵AP=OA=OC=PC=2，∴四边形PAOC为菱形，而∠PAO=90°， ∴四边形PAOC为正方形，∴S阴=×2×2=π-2． 【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和切线的性质；会利用勾股定理和相似比进行几何计算；理解折叠的性质和正方形的判定与性质. 16．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，为⊙O的直径，且，与为圆内的一组平行弦，弦交于点H．点A在上，点B在上，．    (1)求证：．(2)求证：．(3)在⊙O中，沿弦所在的直线作劣弧的轴对称图形，使其交直径于点G．若，求的长． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【分析】（1）证明即可；（2）连接，交于点，根据平行线的性质和已知条件证明垂直平分即可；（3）利用对称的性质作辅助线，根据已知条件，转化为解直角三角形问题即可． 【详解】（1）和是所对的圆周角，， ，∴，∴，∴． （2）连接，交于点，       与为一组平行弦，即：，，，， ，， ，，是的垂直平分线，． （3）连接、，过点作，垂足为，设点的对称点，连接、， ，，∴，，，是等腰三角形， ，，，， 为直径，，， ，，，， 在中，，，，， 在中，，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的综合问题，同弧所对圆周角相等、构建合适的辅助线是解题的关键；熟练掌握相似三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、熟悉锐角三角函数解决直角三角形． 勾股定理，作垂线，矩形的判定与性质等知识．解题的关键在灵活运用知识进行求解． 17．（2023·江苏·九年级校考阶段练习）在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连结．（1）如图，若点与圆心重合，，求的半径； （2）如图，若点与圆心不重合，，求的度数； （3）如图，若点与圆心不重合，，，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）过点作于，可得到AE的长，根据勾股定理计算即可； （2）连接，根据翻折的性质，弧所对的圆周角为，弧所对的圆周角为，在根据角度求解即可；（3）过作于，连接、，可求得半径的长度，根据计算得，根据勾股定理计算即可； 【详解】（1）如图1，过点作于，则， ∵翻折后点与圆心重合，∴， 在中，，即，解得； （2）如图2，连接，∵是直径，∴， ∵，∴， 根据翻折的性质，弧所对的圆周角为，弧所对的圆周角为， ∴，∴，∴． （3）如图3，过作于，连接、， ∵，，∴的半径为6，由（2）知：， ∵，∴，∴，∴， 中， 中，，则的长为． 【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，结合勾股定理计算是解题的关键． 18．（2023·浙江·模拟预测）如图，点，，在上，将沿折叠后，与交于点． （1）若，则________°；（2）如图1，点恰好是翻折所得的中点， ①若，求的度数；②若，求的值； （3）如图2，若，求的值． 【答案】（1）40；（2）①36°；②；（3） 【分析】（1）将弧MN还原后点B的对应点为B'，连接B'M、B'N，则∠B'=∠MBN，∠B'+∠MAN=180°，求出∠MBN=∠B'=110°，由三角形的外角性质即可得出答案； （2）①由（1）得∠MBN=∠B'，证出BM=BN，由等腰三角形的性质得出∠BMN=∠BNM，∠MAN=∠ANM，设∠BMN=∠BNM=x，则∠MAN=∠ANM=∠ABN=2x，在△AMN中，由三角形内角和定理得出方程，解方程即可；②作NH⊥AB于H，设AH=BH=x，由三角函数定义得NH=AH=x由勾股定理得BM=BN=3x，则MH=BM+BH=4x，由三角函数定义即可得出答案； （3）过点N作NH⊥MA于点H，由勾股定理得MN2=MH2+NH2，BN2=BH2+NH2，则MN2-BN2=MB•MA，证出AB2=MB•MA，则点B为MA的黄金分割点，即可得出结论． 【详解】解：（1）将弧MN还原后点B的对应点为B'，连接B'M、B'N，如图1所示： 则∠B'=∠MBN，∠B'+∠MAN=180°，∴∠MBN=∠B'=180°-70°=110°， ∴∠ANB=∠MBN-∠MAN=110°-70°=40°；故答案为：40； （2）①由（1）得∠MBN=∠B'， ∵∠MBN+∠ABN=180°，∠B'+∠MAN=180°，∴∠ABN=∠MAN， ∵点B是翻折所得弧MN的中点，∴弧BM=弧BN，∴BM=BN，∴∠BMN=∠BNM， ∵MA=MN，∴∠MAN=∠ANM，设∠AMN=∠BNM=x，则∠MAN=∠ANM=∠ABN=2x， 在△AMN中，由三角形内角和定理得：x+2x+2x=180°，解得 x=36°，即∠AMN=36°； ②作NH⊥AB于H，如图1-1所示： 同①得：BM=BN，∠ABN=∠MAN，∴AN=BN， ∵NH⊥AB，∴AH=BH，设AH=BH=x， ∵tan∠MAN==，∴NH=AH=x，∴BM=BN==3x， ∴MH=BM+BH=4x，∴tan∠AMN===， （3）如图2，过点N作NH⊥MA于点H， 由勾股定理得：MN2=MH2+NH2，BN2=BH2+NH2， ∴MN2-BN2=MH2-BH2=（MB+BH）2-BH2=MB2+2MB•BH=MB（MB+2BH）=MB•MA， ∵AB2+BN2=MN2，∴MN2-BN2=AB2，∴AB2=MB•MA， ∴点B为MA的黄金分割点，则=． 【点睛】本题是圆的综合题目，考查了圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦之间的关系，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，三角函数定义，勾股定理以及黄金分割等知识；本题综合性强，熟练掌握圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 圆中的重要模型之圆中的翻折模型 圆中的翻折模型是将一个圆形的纸片沿着一条直线翻折，使得纸片的边缘与直线重合，从而形成新的圆形或圆环。翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分。这种模型可以用于创建各种不同的图形和图案，是一种非常有趣的几何模型。 1 模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰） 2 19 【知识储备】 1、翻折变换的性质：翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分； 2、圆的性质：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧、弦相等；同弧或等弧所对的圆周角相等； 3、等圆相交：如图，圆O和圆G为两个相等的圆，圆O和圆G相交，相交形成的弦为AB，则弦AB为整个图形的对称轴，圆心O和圆心G关于AB对称，弧ACB和弧ADB为等弧，且关于AB对称； 4、弧翻折（即等圆相交）：如图，以弦BC为对称轴，将弧BC翻折后交弦AB于点D，那么弧CDB所在的圆圆G与圆O是相等的圆，且两个圆关于BC对称，故圆心O、G也关于BC对称。 模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰） 1）条件：如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，结论：CD=CA 2）条件：特别地，弧BC折叠后过圆心，结论：CD=CA，∠CAB=60° 1）证明：如图，设折叠后的所在的圆心是G，连接AC，CD. 由题意得（折叠）：，即：，∴∠CAB=∠DCB+∠CBD， ∵∠CDA=∠DCB+∠CBD，∴∠CAB=∠CDA，∴CD=CA。 2）证明：如图，连接AC，CD，CO；由1）中证明知：CO=CA， ∵OA=OC，∴CO=CA=OA，∴△OAC为等边三角形，∴∠CAB=60°。 例1．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连结．若点与圆心不重合，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例2．（23-24九年级下·浙江金华·阶段练习）如图，是的内接三角形，将劣弧沿折叠后刚好经过弦的中点D．若，，则的半径长为（　　） A． B． C． D． 例3．（2023·山东青岛·一模）如图，在中，，，以为直径的交于点D，弧沿直线翻折后经过点O，那么阴影部分的面积为 ． 例4．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E．若，AB＝4，则的长度为 ． 例5．（2024·安徽·校联考模拟预测）如图，是的直径，且，点是上一点，连接，过点作于点，将沿直线翻折．若翻折后的圆弧恰好经过点，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 例6．（2023·江苏·统考一模）如图，将⊙O沿弦AB折叠，使折叠后的弧恰好经过圆心O，点P是优弧上的一个动点（与A、B两点不重合），若⊙O的半径是2cm，则△APB面积的最大值是 cm2 例7．（23-24九年级上·浙江金华·期中）在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点D，连接．(1)如图1，若点D与圆心O重合，，求的半径r； (2)如图2，若点D与圆心O不重合，，请求出的度数． (3)如图2，如果，，求的长． 例8．（2023·广西南宁·统考三模）综合实践：在数学综合实践课上，第一小组同学展示了如下的操作及问题：如图1，同学们先画出半径为的，将圆形纸片沿着弦折叠，使对折后劣弧恰好过圆心，同学们用尺子度量折痕的长约为，并且同学们用学过的知识验证度量的结果是正确的． 验证如下：如图1，过点作于点，并延长交虚线劣弧于点，∴， 由折叠知，，连接，在中，， 根据勾股定理得，， ∴， 通过计算：，同学们用尺子度量折痕的长约为是正确的． 请同学们进一步研究以下问题： (1)如图2，的半径为，为的弦，，垂足为点，劣弧沿弦折叠后经过的中点，求弦的长（结果保留根号）；(2)如图3，在中劣弧沿弦折叠后与直径相交于点，若，，求弦的长（结果保留根号）． 1．（2023·广西南宁·统考二模）如图，AB是的直径，点C是上一点，将劣弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，连接CD，若，则下列式子正确的是（    ）    A． B． C． D． 2．（2023·江苏扬州·九年级统考期中）如图，已知MN是⊙O的直径，点Q在⊙O上，将劣弧沿弦MQ翻折交MN于点P，连接PQ，若∠PMQ＝16°，则∠PQM的度数为（　　） A．32° B．48° C．58° D．74° 3．（2023·江苏镇江·九年级统考期中）如图，AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，∠BAC＝20°，将劣弧沿弦AC所在的直线翻折，交AB于点D，则弧的度数等于（　　） A．40° B．50 C．80° D．100 4．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）如图，、为的两条弦，，，将折叠后刚好过弦的中点D，则的半径为（    ）          A． B． C．5 D． 5．（2022秋·福建莆田·九年级校考期末）如图，在中，点在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的中点．若的半径为5，，则的长是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级下·福建福州·阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E．若，则∠BCD的度数是（    ） A．22.5° B．30° C．45° D．60° 7．（2024·广东珠海·校考一模）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC＝8，将弧AB沿弦AB翻折后恰好经过弦AC的中点D，则弦BC的长为 ，⊙O的半径为 ． 8．（2023·山东济宁·九年级统考期末）如图，将沿弦折叠交直径于圆心O，则 度．    9．（2023·浙江金华·三模）在综合实践课上，小慧将图①中圆形纸片沿直径向上对折得到图②，再沿弦向下翻折得到图③，最后沿弦向上翻折得到图④． （1）若点E是弧的中点，则 ； （2）若，则 ．（用关于n的代数式表示） 10．（23-24九年级上·山东威海·期末）将的劣弧沿弦折叠、刚好落在半径的中点C处，已知，则 ． 11．（2023·广东惠州·校考二模）如图，，是的弦（不是直径），将沿翻折交于点，若，．若，则 ．    12．（2023·福建泉州·统考一模）如图，是的弦（不是直径），将沿翻折交于点．若，，则＝ ． 13．（2022秋·广西南宁·九年级统考期中）如图，AB是的直径，BC是的弦，先将弧BC沿BC翻折交AB于点D，再将弧BD沿AB翻折交BC于点E，若，设，则为 °． 14．（2024·河南南阳·二模）如图，在扇形中，，半径 ，点C是上一点，连接，沿将扇形折叠，使得点 A落在的延长线上的点D处，连接，则图中阴影部分面积为 (结果保留π) ． 15．（2023·河北·九年级校联考专题练习）已知⊙O的直径AB=4，点C在⊙O上，连接AC，沿AC折叠劣弧，记折叠后的劣弧为．（1）如图1，当经过圆心O时，求的长．（2）如图2，当与AB相切于A时．①画出所在的圆的圆心P．②求出阴影部分弓形的面积．       16．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，为⊙O的直径，且，与为圆内的一组平行弦，弦交于点H．点A在上，点B在上，． (1)求证：．(2)求证：．(3)在⊙O中，沿弦所在的直线作劣弧的轴对称图形，使其交直径于点G．若，求的长．    17．（2023·江苏·九年级校考阶段练习）在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连结．（1）如图，若点与圆心重合，，求的半径； （2）如图，若点与圆心不重合，，求的度数； （3）如图，若点与圆心不重合，，，求的长． 18．（2023·浙江·模拟预测）如图，点，，在上，将沿折叠后，与交于点． （1）若，则________°；（2）如图1，点恰好是翻折所得的中点， ①若，求的度数；②若，求的值； （3）如图2，若，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$