专题15 中点模型之平行线夹中点模型、中垂线模型、三线合一模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版）

专题15 中点模型之平行线夹中点模型、中垂线模型、三线合一模型 中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。 常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的前三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 2 模型1.垂直平分线模型 2 模型2.等腰三角形的“三线合一”模型 20 模型3.“平行线+中点+对顶角”构造全等模型 39 62 模型1.垂直平分线模型 定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 条件：如图，在三角形ABC中，DE⊥BC，且D为BC中点，结论：BE=EC。 证明：∵DE⊥BC，∴∠BDE=∠CDE=90°，∵D为BC中点，∴BD=CD， ∵DE=DE，∴，∴BE=CE. 模型运用条件：当遇到三角形一边垂线过这边中点时，可以考虑用垂直平分线的性质。 例1．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图， 线段的垂直平分线相交于点 O， 若， 则的度数是 ． 例2．（2023上·江西南昌·八年级校考阶段练习）如图，已知，以A，B两点为圆心的长为半径画圆弧，两弧相交于点M，N，则的周长为（　　） A．8 B． C． D． 例3．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，面积是，的垂直平分线分别交，边于、点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则的最小值为 ． 例4．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图．在中，，，分别垂直平分，交线段于，，的延长线交于点，设为中点，连接．(1)求的度数；(2)证明：；(3)连接，的周长为，的周长为，求的长． 例5．（2023上·河南开封·八年级校考期中）如图，在中，，平分，垂直平分，交的延长线于点，于点，求证：． 模型2.等腰三角形的“三线合一”模型 定理：等腰三角形底边上的中线、高线、顶角的角平分线“三线合一”。 条件：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，结论：①AD为BC边上的中线（即BD=CD）；②AD为∠BAC 的角平分线（即∠BAD =∠CAD）；③AD为BC边上的高线（即AD⊥BC）。 证明：我们不妨以①为结论证明，其他情况证明也是类似的证明全等即可。 由题意知：AB=AC，BD=CD，∵AD=AD，∴，∴∠BAD =∠CAD，AD⊥BC。 注意：其中三个结论已知其一便可证明其他两个结论。 模型运用条件：等腰三角形中有底边上的中点时，常作底边的中线。 例1．（2023·河南驻马店·校考三模）如图，在中，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点D，交于点E，连接．则下列结论不一定正确的是(    )    A． B． C． D． 例2．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，D是上的一点，，E，F分别是的中点，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 例3．（2023上·重庆渝中·八年级校考期中）如图，在等腰中，，延长至点，使得．，过点作，垂足为，延长至点，连接，若，则 ． 例4．（2023上·福建莆田·八年级校联考期中）如图，在中，，于点，，若，求的度数．    模型3.“平行线+中点+对顶角”构造全等模型 我们把这种情况叫做平行线间夹中点.处理这种情况的一般方法是：延长过中点的线段和平行线相交，即“延长中线交平行”构造全等；当然有时候也需要自己构造平行线的辅助线求解。 条件：如图，AB//CD，点E是BC的中点，可延长DE交AB于点F。结论：。 证明：∵AB//CD，∴∠C=∠FBE，∠D=∠BFE， ∵点E是BC的中点，∴BE=CE，∴（AAS）。 模型运用条件：构造8字型全等（平行线夹中点）。 例1．（2023·成都市八年级课时练习）如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点作于点，为延长线上一点，取，连接，交于点，则的长为（    ）    A． B． C．1 D．2 例2．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，已知，点是的中点，且，求证：． 例3．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，于点A，于点B，点E是的中点，连按，已知知，，，则 的长为 ． 例4．（2023下·辽宁沈阳·七年级校考期中）在数学综合实践课上，老师给出了下列问题． (1)探究结论：在图1中，，点P是两平行线之间的一点，则，，之间的关系是_______． (2)应用结论在图2中，，PB平分，，若为等腰三角形，求的度数_． (3)拓展延伸：在图3中，，点P是的中点，．试判断AB，AC，BD之间有什么关系，并说明理由． 1．（2023上·安徽阜阳·八年级统考阶段练习）如图，在中，，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，交于点E，连接，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2023上·天津滨海新·八年级校考阶段练习）如图所示，已知，点在边上，，点在边上，，若，则的长为（   ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 3．（2023上·湖北恩施·八年级统考期末）如图，在中，，，，，垂直平分BC，若为直线EF上的任意一点，则的最小值是（） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2023上·重庆沙坪坝·八年级校考期中）中，，点是边的中点，则的度数为 ． 5．（2023上·广东惠州·八年级校考期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于D、E两点，并且相交于点F，且，则的度数是 ． 6．（2023上·江苏常州·八年级校考期中）如图，在中，，，的角平分线与的垂直平分线交于点．，，垂足分别为，．则 ． 7．（2023上·河南周口·八年级校考期中）如图所示，点在的内部，点，分别是点关于直线，的对称点，线段分别交，于点，，若的周长是20，则线段的长是 ． 8．（2023·江苏南京·统考一模）如图，在中，的垂直平分线相交于点O，若等于，则 ． 9．（2023·辽宁鞍山·统考三模）在中，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于，两点，直线与交于点，连接，若为等腰三角形，则的度数为 ． 10．（2023上·辽宁大连·八年级统考阶段练习）如图，中，，，点是斜边的中点，点在射线上运动，点在射线上运动，且，若，，则的长为 ． 11．（24-25八年级上·上海·期中）如图，已知，平分，点E为中点，如果，，那么 ． 12．（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，，点E是边上的点，平分平分有下列结论：①，②E为中点，③，④，其中正确的有 ． 13．（23-24八年级上·上海·期中）如图，在中，D是的中点，过D的直线交于E，交的延长线于F，且．求证：． 14．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）四边形中，点为线段的中点． (1)，平分．①如图1，若，，则_______； ②如图2，若，求证：平分；(2)和不平行时，，求证：． 15．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)【模型呈现】如图，AD为的中线，交AD的延长线于点E，求证：． (2)【模型应用】如图，在四边形ABCD中，，E是BC中点，连接AE，DE，AE平分，求证：DE平分． (3)【拓展探索】如图，在中，，于点D，过点B作交的平分线于点E，过点E作交BC于点F，若，求证：． 16．（2023·江西·八年级校考阶段练习）在中，，，，点在的延长线上，点在边上，且，若，求的长．（提示：过点作，垂足为．） 17．（2023上·吉林白山·八年级校联考期中）如图，在中，，，平分，D为的中点，且，E为BC延长线上一点，且． (1)求ME的长；(2)求证：是等腰三角形． 18．（2023上·浙江绍兴·八年级统考期中）[方法呈现] （1）如图①，△ABC中，AD为中线，已知AB＝3，AC＝5，求中线AD长的取值范围． 解决此问题可以用如下方法： 延长AD至点E，使DE＝AD，连结CE，则易证△DEC≌△DAB，得到EC＝AB＝3，则可得AC﹣CE＜AE＜AC+CE，从而可得中线AD长的取值范围是　 　． [探究应用]（2）如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系，并写出完整的证明过程． （3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论． 19．（2023上·湖北宜昌·八年级校联考期中）已知：如图，在中，，于点D，E是上的一动点，点F在直线上，且． (1)求证：；(2)如图1，求证：；(3)如图2，如果，，当正好平分时，直接写出的长为_____．（用含m的代数式表示） 20．（2023·吉林长春·八年级期末）教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第页的部分内容． 线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连接，将线段沿直线对折，我们发现与完全重合，由此即有线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端钓距离相等． 已知：如图，，垂足点为，点是直线的任意一点． 请写出完整的证明过程 求证：． 分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证明． 定理证明：请根据教材中的分析，结合下图，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用：（1）如下图，在中，直线分别是边的垂直平分线，直线交于点，过点作于点．求证：． （2）如下图，在中，，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．若，则的长为_________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 中点模型之平行线夹中点模型、中垂线模型、三线合一模型 中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。 常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的前三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 2 模型1.垂直平分线模型 2 模型2.等腰三角形的“三线合一”模型 20 模型3.“平行线+中点+对顶角”构造全等模型 39 62 模型1.垂直平分线模型 定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 条件：如图，在三角形ABC中，DE⊥BC，且D为BC中点，结论：BE=EC。 证明：∵DE⊥BC，∴∠BDE=∠CDE=90°，∵D为BC中点，∴BD=CD， ∵DE=DE，∴，∴BE=CE. 模型运用条件：当遇到三角形一边垂线过这边中点时，可以考虑用垂直平分线的性质。 例1．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图， 线段的垂直平分线相交于点 O， 若， 则的度数是 ． 【答案】/80度 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，多边形内角和定理，三角形外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．连接，并延长到P，根据线段的垂直平分线的性质得，，根据四边形的内角和为得，根据外角的性质得，相加可得结论． 【详解】解：连接，并延长到P，∵线段、的垂直平分线、相交于点， ∴，，∴， ∵，∴，∵，∴，， ∵，， ∴；故答案为：． 例2．（2023上·江西南昌·八年级校考阶段练习）如图，已知，以A，B两点为圆心的长为半径画圆弧，两弧相交于点M，N，则的周长为（　　） A．8 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作垂线，垂直平分线的性质．熟练掌握作垂线，垂直平分线的性质是解题的关键． 由作图可知，垂直平分，则，根据的周长为，计算求解即可． 【详解】解：由作图可知，垂直平分，∴， 例3．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，面积是，的垂直平分线分别交，边于、点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路线问题、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质；连接，由，点是边的中点可得 ，再根据三角形的面积公式求出的长，再判断出点在上时，最小，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，， ，点是边的中点，， ，解得， 是线段的垂直平分线，， 当点在上时，最小，最小值为的长， 的最小值为．故答案为：． 例4．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图．在中，，，分别垂直平分，交线段于，，的延长线交于点，设为中点，连接．(1)求的度数；(2)证明：；(3)连接，的周长为，的周长为，求的长． 【答案】(1)(2)见详解(3) 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一的性质、三角形三边关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．（1）根据线段垂直平分线的性质得出，从而得出角相等，再结合三角形内角和定理得出，即可求解；（2）连接，根据线段垂直平分线的性质得出，证出，再根据点为中点，即可求解； （3）根据线段垂直平分线的性质得出，，根据和的周长得，，再根据，，即可求解． 【详解】（1）解：，分别垂直平分， ，， ，，， 又，； （2）连接， ，分别垂直平分，， ，点F在线段的垂直平分线上，又点为中点，； （3），分别垂直平分，，， 的周长为，，的周长为，， ，，，． 例5．（2023上·河南开封·八年级校考期中）如图，在中，，平分，垂直平分，交的延长线于点，于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，能综合运用性质进行推理是解此题的关键． 根据线段垂直平分线求出，根据角平分线性质求出，证出． 【详解】证明：连接和，是的垂直平分线，， 平分，，，， 在和中，，，． 模型2.等腰三角形的“三线合一”模型 定理：等腰三角形底边上的中线、高线、顶角的角平分线“三线合一”。 条件：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，结论：①AD为BC边上的中线（即BD=CD）；②AD为∠BAC 的角平分线（即∠BAD =∠CAD）；③AD为BC边上的高线（即AD⊥BC）。 证明：我们不妨以①为结论证明，其他情况证明也是类似的证明全等即可。 由题意知：AB=AC，BD=CD，∵AD=AD，∴，∴∠BAD =∠CAD，AD⊥BC。 注意：其中三个结论已知其一便可证明其他两个结论。 模型运用条件：等腰三角形中有底边上的中点时，常作底边的中线。 例1．（2023·河南驻马店·校考三模）如图，在中，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点D，交于点E，连接．则下列结论不一定正确的是(    )    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用线段的垂直平分线的性质判断即可． 【详解】由作图可知，垂直平分线段，∴，，， ∴，（等腰三角形“三线合一”）故选项B，C，D正确，故选：A． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形“三线合一”性质，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． 例2．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，D是上的一点，，E，F分别是的中点，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．利用等腰三角形三线合一的性质得出是解题的关键．连接．由，F是的中点，根据等腰三角形三线合一的性质得出．再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得，即． 【详解】解：如图，连接．∵，F是的中点，∴． 在中，∵，E是的中点，，∴．故选：D． 例3．（2023上·重庆渝中·八年级校考期中）如图，在等腰中，，延长至点，使得．，过点作，垂足为，延长至点，连接，若，则 ． 【答案】24 【分析】过点A作于点G，过点B作于点H，设，根据三角形内角和定理求出的度数，的度数，于是求出的度数，根据即可求出的度数，根据周角的定义求出，于是可求出的度数，从而得出是等腰三角形，再证和全等得出，根据的面积求出的长，于是得出的长，再根据等腰三角形三线合一即可求出的长． 【详解】解：如图，过点A作于点G，过点B作于点H， ∵，∴，设， ∵，∴， ∵，∴，又∵，∴， ∴ ∵，∴ ∴， 在中，， ∴，∴，即是等腰三角形， 由等腰三角形三线合一的性质得 ∵，，，∴， 在和中，，，， ∴，∴， ∵，，∴∴，∴， ∵是等腰三角形，，∴，故答案为：24． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，三角形面积公式等知识，熟练掌握这些图形的性质是解题的关键． 例4．（2023上·福建莆田·八年级校联考期中）如图，在中，，于点，，若，求的度数．    【答案】16度 【分析】由等腰三角形三线合一的性质得出，由等边对等角得出，再进行角的和差运算即可． 【详解】∵，，，∴，， ∵，∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟知三线合一和等边对等角是解题的关键． 模型3.“平行线+中点+对顶角”构造全等模型 我们把这种情况叫做平行线间夹中点.处理这种情况的一般方法是：延长过中点的线段和平行线相交，即“延长中线交平行”构造全等；当然有时候也需要自己构造平行线的辅助线求解。 条件：如图，AB//CD，点E是BC的中点，可延长DE交AB于点F。结论：。 证明：∵AB//CD，∴∠C=∠FBE，∠D=∠BFE， ∵点E是BC的中点，∴BE=CE，∴（AAS）。 模型运用条件：构造8字型全等（平行线夹中点）。 例1．（2023·成都市八年级课时练习）如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点作于点，为延长线上一点，取，连接，交于点，则的长为（    ）    A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】过P作交于F，得出等边三角形，推出，根据等腰三角形性质求出，证，推出，推出即可． 【详解】解：过P作交于F，如图所示： ∵，是等边三角形， ∴，，，， ∴是等边三角形，∴， ∵，∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，故选：B．    【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用；添加恰当辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 例2．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，已知，点是的中点，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】延长AE、BC交于点M，利用AAS证出△ADE≌△MCE，从而得出AD=MC，AE=ME，结合已知条件即可证出BM=AB，再利用SSS即可证出△BAE≌△BME，从而得出∠BEA=∠BEM，根据垂直定义即可证出结论． 【详解】解：延长AE、BC交于点M，如下图所示 ∵点是的中点，∴DE=CE，∵∴∠1=∠M 在△ADE和△MCE中∴△ADE≌△MCE∴AD=MC，AE=ME ∵∴MC＋BC=AB∴BM=AB 在△BAE和△BME中∴△BAE≌△BME∴∠BEA=∠BEM ∵∠BEA＋∠BEM=180°∴∠BEA=∠BEM=90°∴ 【点睛】此题考的是全等三角形的判定及性质、平行线的性质和垂直的定义，掌握全等三角形的判定及性质、平行线的性质和垂直的定义是解题关键． 例3．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，于点A，于点B，点E是的中点，连按，已知知，，，则 的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明全等三角形是本题的关键． 延长交于F，由“”可证，可得 ，由勾股定理可求的长，即可求的长． 【详解】解：延长交于F，如图，∵点E是的中点∴， ∵，，∴∴，∴， ∵，∴，∴，， ∴，∴在中，， ∴，故答案为：． 例4．（2023下·辽宁沈阳·七年级校考期中）在数学综合实践课上，老师给出了下列问题． (1)探究结论：在图1中，，点P是两平行线之间的一点，则，，之间的关系是_______． (2)应用结论在图2中，，PB平分，，若为等腰三角形，求的度数_． (3)拓展延伸：在图3中，，点P是的中点，．试判断AB，AC，BD之间有什么关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)的度数为或(3)，理由见解析 【分析】(1)作，根据平行线的判定与性质可得出． (2)分①当时，②当时，③当时三种情况讨论即可． (3)延长交直线于F点，证明即可求解． 【详解】（1）作，如图1， ∵，∴，∴，(两直线平行，内错角相等)， ∵，∴； （2）∵PB平分，如图2， ∴, 设，∵为等腰三角形，∴分三种情况讨论， ①当时，,∴, ∵由(1)知，且， ∴，解得：；∴； ②当时，，∴,无解，此情况舍去， ③当时，，∴，解得：，∴． 综上可知：的度数为或． （3）的关系为，延长交直线于F点，如图3， 由(1)得，∵，∴，， ∵点P是的中点，∴，∴,∴, ∵,,故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质以及等腰三角形的性质，学会添加常用辅助线构造平行线是解题关键． 1．（2023上·安徽阜阳·八年级统考阶段练习）如图，在中，，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，交于点E，连接，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，角直角三角形的性质等知识，解题的关键先根据是线段的垂直平分线得到，然后根据角直角三角形的性质得到． 【详解】根据题意，得是线段的垂直平分线，∴，∴， 又∵，，∴，∴， ∴，∴，解得：，故选C． 2．（2023上·天津滨海新·八年级校考阶段练习）如图所示，已知，点在边上，，点在边上，，若，则的长为（   ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】D 【分析】此题主要考查了含直角三角形的性质，等腰三角形的性质，首先过点P作于点D，利用直角三角形中所对边等于斜边的一半得出的长，再利用等腰三角形的性质求出的长，最后相加得出的长． 【详解】解：过点P作于点D，如下图： ∵,，∴∴ ∵∴，∴．故选∶D． 3．（2023上·湖北恩施·八年级统考期末）如图，在中，，，，，垂直平分BC，若为直线EF上的任意一点，则的最小值是（） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题的应用，明确点、、在一条直线上时，有最小值是解题的关键． 根据题意知点关于直线的对称点为点，故当点在上时，有最小值． 【详解】解：连接． ∵是的垂直平分线，∴．∴． ∴当点在一条直线上时，有最小值，最小值．故选：B． 4．（2023上·重庆沙坪坝·八年级校考期中）中，，点是边的中点，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，两角相等可得出是等腰三角形及，由等腰三角形“三线合一”即可求解． 【详解】解：，，，即是等腰三角形， 点是边的中点，是的角平分线，． 5．（2023上·广东惠州·八年级校考期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于D、E两点，并且相交于点F，且，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，根据四边形内角和为求出，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，，进而得到，，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：的垂直平分线相交于点， ∴，∴， ∵的垂直平分线分别交于两点，∴， ∴，∴， ∴，故答案为：． 6．（2023上·江苏常州·八年级校考期中）如图，在中，，，的角平分线与的垂直平分线交于点．，，垂足分别为，．则 ． 【答案】 【分析】本题主要是全等三角形的判定与性质、角平分线与垂直平分线的性质问题； 连接，，证明推出，，证明，推出，可得结论．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【详解】解：如图，连接，， 是的平分线，，， ，， 在和中，， ，，， 是的垂直平分线，． 在和中，，， ，． ，，．故答案为：． 7．（2023上·河南周口·八年级校考期中）如图所示，点在的内部，点，分别是点关于直线，的对称点，线段分别交，于点，，若的周长是20，则线段的长是 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、轴对称的性质等知识，熟练掌握垂直平分线的性质是解题关键cm．根据题意，可得和分别是线段和线段的垂直平分线，然后根据“垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，即可得到，，结合“的周长是20”，由，即可获得答案. 【详解】解：∵、关于对称，、关于对称， ∴和分别是线段和线段的垂直平分线，∴，， 又∵的周长是20，即， ∴．故答案为：20． 8．（2023·江苏南京·统考一模）如图，在中，的垂直平分线相交于点O，若等于，则 ． 【答案】8 【分析】连接，根据三角形内角和定理可得，根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：连接，    ∵等于，∴， ∵的垂直平分线交于点O，∴，∴， ∴，∴，故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质是解题的关键． 9．（2023·辽宁鞍山·统考三模）在中，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于，两点，直线与交于点，连接，若为等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】根据题意，由尺规作图知是的中垂线，再结合等腰三角形性质，设，得到，从而分类讨论，结合三角形外角性质及内角和定理列方程求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，尺规作图为中垂线，即是的中垂线，，， 在中，，则，设，， 若为等腰三角形，则分三种情况讨论： ①在中，，则， 是的一个外角，， 由三角形内角和定理可知，，解得，即； ②在中，，则，是的一个外角，， 由三角形内角和定理可知，，解得，即； ③在中，，则， 是的一个外角，， 与互相矛盾，故此种情况不存在； 综上所述，的度数为或．故答案为：或． 【点睛】本题考查尺规作图及等腰三角形性质与判定，读懂题意，根据等腰三角形性质分类讨论是解决问题的关键． 10．（2023上·辽宁大连·八年级统考阶段练习）如图，中，，，点是斜边的中点，点在射线上运动，点在射线上运动，且，若，，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定；分两种情况讨论，当点在线段上时，当点在的延长线上时，证明，得出，结合图形，即可求解． 【详解】解：当点在线段上时，如图所示，连接， ∵中，，，点是斜边的中点， ∴，，又∵，∴， ∵∴，∴， ∴∴，∵，，∴； 当点在的延长线上时，如图所示 同理可得，则∴故答案为：或． 11．（24-25八年级上·上海·期中）如图，已知，平分，点E为中点，如果，，那么 ． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等角对等边，延长交于点F，证明可得，然后根据平行线的性质和等角对等边得到． 【详解】解：如图，延长交于点F， ∵， ∴， ∵点E为中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：4． 12．（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，，点E是边上的点，平分平分有下列结论：①，②E为中点，③，④，其中正确的有 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的“三线合一”等知识点，根据、即可判断④；延长交延长线于，可推出是等腰三角形，证即可判断②③；根据即可判断①； 【详解】解：∵平分平分 ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴，故④正确； 如图，延长交延长线于， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ (ASA)， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴，即点E为的中点，故②正确； ∵， ∴，故①错误； 故答案为：②③④ 13．（23-24八年级上·上海·期中）如图，在中，D是的中点，过D的直线交于E，交的延长线于F，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】过点C作交于G，利用“角边角”证明，则，推出，再根据等角对等边可得． 【详解】证明：过点C作交于G， ∴， D是的中点， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 14．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）四边形中，点为线段的中点． (1)，平分． ①如图1，若，，则_______； ②如图2，若，求证：平分； (2)和不平行时，，求证：． 【答案】(1)①；②证明见解析； (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）①根据平行线的性质，证明，得到，，再根据等边对等角的性质以及角平分线的定义，得出，即可求出的度数； ②延长交的延长线于点，证明，，根据等边对等角的性质以及角平分线的定义，得到，进而得到，再结合等腰三角形三线合一的性质证明即可； （2）延长至点，使得，证明，得到，再根据垂直平分线的性质，得到，最后利用三角形的三边关系证明即可． 【详解】（1）解：①， ，，， ， ， 点为线段的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：； ② 如图，延长交的延长线于点， ， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， ， ， 是的中点， 平分； （2）证明：如图，延长至点，使得， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ． 15．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)【模型呈现】如图，AD为的中线，交AD的延长线于点E，求证：． (2)【模型应用】如图，在四边形ABCD中，，E是BC中点，连接AE，DE，AE平分，求证：DE平分． (3)【拓展探索】如图，在中，，于点D，过点B作交的平分线于点E，过点E作交BC于点F，若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】(1)根据平行线的性质可得，根据AD为的中线，可得，据此即可证得，即可证得结论； (2)过点E分别作于点F，于点G，交DC的延长线于点H，首先由角平分线的性质可得，再根据垂直的定义及平行线的性质，可证得，，据此即可证得，即可证得结论； (3)延长AB交FE延长线于点G，过点G作交CB的延长线于点H，首先由，AE平分，可得，可求得，据此即可证得，可得，，可证得，，据此可证得，，，再根据斜边直角边定理，可证得，据此即可证得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∵AD为的中线， ∴， 在和中，          ∴， ∴． （2）证明：如图，过点E分别作于点F，于点G，交DC的延长线于点H． 又∵AE平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴ 在和中，      ∴， ∴， ∴， ∴DE平分； （3）证明：如图，延长AB交FE延长线于点G，过点G作交CB的延长线于点H． ∵，AE平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中，          ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中，      ∴， ∴，， 在和中，         ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义、判定及性质，作出辅助线是解决本题的关键． 16．（2023·江西·八年级校考阶段练习）在中，，，，点在的延长线上，点在边上，且，若，求的长．（提示：过点作，垂足为．） 【答案】2 【分析】本题考查等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，过点作，垂足为，先根据含30度角的直角三角形的性质求得，进而求得，然后利用等腰三角形的三线合一性质得即可求解．添加辅助线是解答的关键． 【详解】解：过点作，垂足为， ，，又，， ，，， ，，，． 17．（2023上·吉林白山·八年级校联考期中）如图，在中，，，平分，D为的中点，且，E为BC延长线上一点，且． (1)求ME的长；(2)求证：是等腰三角形． 【答案】(1)6(2)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，再根据线段的和差即可解答； （2）根据等腰三角形的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，过点D作，则有；再说明D在线段的垂直平分线上即可解答． 【详解】（1）解：∵，AM平分， ∴，∴． （2）证明：∵，平分，∴， ∵D为的中点，∴，过点D作，则有， 又∵，∴，∴D在线段的垂直平分线上， ∴，即是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、垂直平分线的性质等知识点，掌握等腰三角形三线合一以及直角三角形斜边上的中线是斜边的一半成为解题的关键． 18．（2023上·浙江绍兴·八年级统考期中）[方法呈现] （1）如图①，△ABC中，AD为中线，已知AB＝3，AC＝5，求中线AD长的取值范围． 解决此问题可以用如下方法： 延长AD至点E，使DE＝AD，连结CE，则易证△DEC≌△DAB，得到EC＝AB＝3，则可得AC﹣CE＜AE＜AC+CE，从而可得中线AD长的取值范围是　 　． [探究应用]（2）如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系，并写出完整的证明过程． （3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）1＜AD＜4；（2）DC+AB＝AD，证明见解析；（3）AF+CF＝AB，理由见解析 【分析】（1）由已知得出AC﹣CE＜AE＜AC+CE，即5﹣3＜AE＜5+3，据此可得答案； （2）如图②，延长AE，DC交于点F，先证△ABE≌△FEC得CF＝AB，再由AE是∠BAD的平分线知∠BAF＝∠FAD，从而得∠FAD＝∠F，据此知AD＝DF，结合DC+CF＝DF可得答案；（3）如图③，延长AE，DF交于点G，同（2）可得：AF＝FG，△ABE≌△GEC，据此知AB＝CG，继而得出答案． 【详解】（1）由题意知AC﹣CE＜AE＜AC+CE，即5﹣3＜AE＜5+3， ∴1＜AD＜4，故答案为：1＜AD＜4； （2）如图②，延长AE，DC交于点F， ∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠F，在△ABE和△FCE中CE＝BE，∠BAF＝∠F，∠AEB＝∠FEC， ∴△ABE≌△FEC（AAS），∴CF＝AB， ∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAF＝∠FAD，∴∠FAD＝∠F，∴AD＝DF， ∵DC+CF＝DF，∴DC+AB＝AD． （3）如图③，延长AE，DF交于点G， 同（2）可得：AF＝FG，△ABE≌△GEC，∴AB＝CG，∴AF+CF＝AB． 【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点． 19．（2023上·湖北宜昌·八年级校联考期中）已知：如图，在中，，于点D，E是上的一动点，点F在直线上，且． (1)求证：；(2)如图1，求证：；(3)如图2，如果，，当正好平分时，直接写出的长为_____．（用含m的代数式表示） 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，等边对等角以及三角形的外角性质得出，即可证明结论；（2）根据已知条件先证明，得出，证明，根据，得出，得出，即可证明结论；（3）垂直平分线性质结合角平分线定义先证明，得出，根据即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，设与交与点G， ，于点D，， ，，， ； （2）如图，连接，，，，垂直平分， ，，，， ，，，； （3）如图，连接，，，，垂直平分， ，，平分，， ，，，， ，，故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，线段的垂直平分线． 20．（2023·吉林长春·八年级期末）教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第页的部分内容． 线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连接，将线段沿直线对折，我们发现与完全重合，由此即有线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端钓距离相等． 已知：如图，，垂足点为，点是直线的任意一点． 请写出完整的证明过程 求证：． 分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证明． 定理证明：请根据教材中的分析，结合下图，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用：（1）如下图，在中，直线分别是边的垂直平分线，直线交于点，过点作于点．求证：． （2）如下图，在中，，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．若，则的长为_________． 【答案】定理证明：见解析；定理应用：（）证明见解析；（）． 【分析】定理证明：先证明，然后再运用三角形全等的性质进行解答即可； （）连结、、利用线段的垂直平分线的判定和性质即可解答； （）连接，，证明是等边三角形即可解答； 本题考查了线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，掌握并灵活运用数学基本知识是解题的关键． 【详解】解：定理证明：∵，∴， 又∵，，∴，∴； 定理应用：（）如图，连结、、， ∵直线是边的垂直平分线，∴， ∵直线是边的垂直平分线，∴，∴， ∵，∴是的垂直平分线，∴； （）如图中，连接，， ∵，，∴， ∵边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点E， ∴，，∴，， ∴，， ∴是等边三角形，∴， ∵，∴，故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$