第02讲： 等差数列的概念【7大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第二册)

第02讲 等差数列的概念 【考点梳理】 · 题型一：利用定义法求等差数列的通项公式 · 题型二：等差数列的通项公式基本量的计算 · 题型三：等差中项及应用 · 题型四：等差数列性质的应用 · 题型五：等差数列的应用 · 题型六：等差数列的最大（小）项 · 题型七：等差数列的判定与证明 【考点梳理】 知识点一：等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，公差可正可负可为零． 知识点二：等差中项的概念 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项且2A＝a＋b. 知识点三：等差数列的通项公式 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d. 知识点四：从函数角度认识等差数列 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)． (1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1－d ； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d. 知识点五：等差数列的性质 考点一：等差数列通项公式的变形及推广 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 ①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，③d＝(m，n∈N*，且m≠n)．其中，①的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上． ②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1. ③可用来由等差数列任两项求公差． 考点二：等差数列的性质 1．若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为kd的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) 2.下标性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. 特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝2ap. 3．在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列． 4．等差数列{an}的公差为d，则d>0⇔{an}为递增数列；d<0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列． 【题型归纳】 题型一：利用定义法求等差数列的通项公式 1．（24-25高二·上海）已知数列满足，，则的值为（    ） A．1000 B．1013 C．1011 D．1012 2．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知数列中，，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）在数列中，，，则（    ） A． B． C． D．100 题型二：等差数列的通项公式基本量的计算 4．（23-24高二上·新疆喀什）在等差数列中， (1)已知，公差，求； (2)已知公差，，求； 5．（24-25高二上·全国）在等差数列中， (1)已知，，求和d； (2)已知，公差，，求n； (3)已知，，求的通项公式． 6．（23-24高二上·上海）在等差数列中， (1)已知，，，求； (2)已知，，，求； (3)已知，，求； (4)已知，，求． 题型三：等差中项及应用 7．（21-22高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，，则、的等差中项为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·全国·课前预习）已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（    ） A．8 B．6 C．4.5 D．3 9．（23-24高二上·湖北武汉·期中）在等差数列中，若，是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 题型四：等差数列性质的应用 10．（24-25高二上·广西南宁·期中）在等差数列中，若，则的值为（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 11．（23-24高二下·四川自贡·期中）在等差数列中，若，则的值为（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 12．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知等差数列满足，则的值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 题型五：等差数列的应用 13．（21-22高二上·陕西汉中·期中）《周髀算经》中有这样一个问题：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满，芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，若立春当日日影长为尺，立夏当日日影长为尺，则春分当日日影长为（    ） A．尺 B．5尺 C．尺 D．尺 14．（20-21高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）“孙子定理”是中国古代求解整除问题的方法，是数论中一个重要定理，又称“中国剩余定理”．现有如下一个整除问题：将1至2021这2021个数中，能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列共有（    ） A．133项 B．134项 C．135项 D．136项 15．（20-21高二·全国·课后作业）设，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为（    ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 题型六：等差数列的最大（小）项 16．（2021·黑龙江哈尔滨·三模）习近平总书记提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．为鼓励返乡创业，黑龙江对青山镇镇政府决定投入创业资金和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员．预计该镇政府每年投入的创业资金构成一个等差数列（单位万元，），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金的倍，已知．则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为（    ） A．72万元 B．96万元 C．120万元 D．144万元 17．（24-25高二上·全国）已知数列为等差数列，且，则的最小值为 ． 18．（21-22高二上·全国）已知等差数列，，，…的前n项和为，是否存在最大（小）值？如果存在，求出取得最值时n的值． 题型七：等差数列的判定与证明 19．（24-25高二上·全国）已知数列满足，证明：数列为等差数列． 20．（23-24高二上·安徽合肥·阶段练习）已知数列满足. (1)求证：是等差数列. (2)求数列的通项公式. 21．（24-25高二上·全国）已知正项数列满足，且． (1)判断数列是否为等差数列，并说明理由； (2)求数列的通项公式． 【高分达标】 一、单选题 22．（24-25高二上·福建龙岩·期中）公差不为0的等差数列中，，则的值不可能是（   ） A．9 B．16 C．22 D．25 23．（24-25高二下·全国·期末）等差数列的首项，且，则（   ） A．4044 B．4045 C．4046 D．4047 24．（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）在等差数列中，，则的值为（    ） A．7 B．14 C．21 D．28 25．（24-25高二上·上海松江）已知数列是等差数列，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．7 B． C．4 D． 26．（24-25高二上·甘肃金昌·阶段练习）如图所示，已知某梯子共有5级，从上往下数，第1级的宽为37厘米，第5级的宽为45厘米，且各级的宽度从小到大构成等差数列，则第2级的宽度是（    ）    A．41厘米 B．40厘米 C．39厘米 D．38厘米 27．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高二上·全国）已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 29．（2024高二·全国·专题练习）在等差数列中，已知，，则数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 30．（24-25高三上·湖北·阶段练习）长江被称为黄金水道，而三峡大坝则是长江上防洪发电的国之重器.三峡大坝坝前正常蓄水位为海拔175米，而坝下通航最低水位为海拔62米.为了改善船舶的通航条件，常常会通过修建阶梯船闸来实现，船只只需要像爬楼梯一样，以实现上升或者下降.假设每个闸室之间的水位差均可控制在15 至 25米之间，则要保证全年通航，那么三峡大坝船闸至少需要修建闸室的个数为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 二、多选题 31．（23-24高二上·甘肃兰州·期中）（多选）下列关于等差数列单调性的结论正确的是（    ） A．若数列是递增数列，则公差 B．若公差，则数列一定是递增数列或者递减数列 C．若，则数列是递减数列 D．若，则数列是递增数列 32．（23-24高二上·湖北十堰·期末）已知等差数列的公差为，且，则（    ） A． B． C． D． 33．（23-24高二上·河北唐山·期末）数列满足：，，则（    ） A． B． C．为单调递减数列 D．为等差数列 34．（23-24高二上·重庆·阶段练习）对于数列，若，，（），则下列说法正确的是（    ） A． B．数列是单调递增数列 C．数列是等差数列 D．数列是等差数列 35．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知数列的首项，则（    ） A．为等差数列 B． C．为递增数列 D．的前20项和为10 三、填空题 36．（24-25高二上·福建漳州·期中）等差数列中，，，则 ． 37．（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知，，则 . 38．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知数列满足：，且，则数列的通项公式是 39．（24-25高二上·甘肃庆阳·阶段练习）在等差数列中，若，则的值为 . 40．（24-25高二上·全国）某校举行元旦晚会，高一年级所表演的节目为大合唱，共站六排，且每排人数遵循等差数列，已知第一、三、五排的人数之和为36人，第四排比第二排多4人，则第六排有 人． 41．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知数列满足，，设，则 ；的最小值为 . 四、解答题 42．（24-25高二上·全国·课后作业）某景区迎来高峰期，为保证游客的人身安全，景区安排了60人平均分为甲、乙、丙3组依次从早上九点至晚上八点轮流进行组织管理，第一组管理2小时后，交接第二组（忽略交接时间），以此类推. (1)若监察人员督查时，正巧甲组在给乙组交接工作，求此时时间； (2)一天工作结束后，丙组管理了多长时间， 43．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知数列的前n项和是n的二次函数，且，，. (1)求的表达式； (2)求数列的通项公式并证明数列是等差数列. 44．（23-24高二上·广东中山·期中）数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)是否存在正整数使得成等差数列？说明理由. 45．（23-24高二上·江苏常州·期末）设是正项数列的前项和，且，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 46．（22-23高二下·全国）数列{an}满足，是常数． (1)当时，求及的值； (2)是否存在实数使数列为等差数列？若存在，求出及数列的通项公式；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 等差数列的概念 【考点梳理】 · 题型一：利用定义法求等差数列的通项公式 · 题型二：等差数列的通项公式基本量的计算 · 题型三：等差中项及应用 · 题型四：等差数列性质的应用 · 题型五：等差数列的应用 · 题型六：等差数列的最大（小）项 · 题型七：等差数列的判定与证明 【考点梳理】 知识点一：等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，公差可正可负可为零． 知识点二：等差中项的概念 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项且2A＝a＋b. 知识点三：等差数列的通项公式 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d. 知识点四：从函数角度认识等差数列 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)． (1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1－d ； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d. 知识点五：等差数列的性质 考点一：等差数列通项公式的变形及推广 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 ①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，③d＝(m，n∈N*，且m≠n)．其中，①的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上． ②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1. ③可用来由等差数列任两项求公差． 考点二：等差数列的性质 1．若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为kd的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) 2.下标性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. 特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝2ap. 3．在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列． 4．等差数列{an}的公差为d，则d>0⇔{an}为递增数列；d<0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列． 【题型归纳】 题型一：利用定义法求等差数列的通项公式 1．（24-25高二·上海）已知数列满足，，则的值为（    ） A．1000 B．1013 C．1011 D．1012 【答案】D 【分析】由递推式变形知是等差数列，然后根据等差数列的通项公式求解即可. 【详解】由， 得， 所以是等差数列，首项，公差， 所以， 所以. 故选：D. 2．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知数列中，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以条件可知为等差数列，求得通项公式后，进一步计算即可. 【详解】因为，且， 所以是以1为首项，为公差的等差数列， 故， 则， 故， 故选：B. 3．（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）在数列中，，，则（    ） A． B． C． D．100 【答案】C 【分析】将两边取倒数，即可得到，从而求出的通项公式，即可得解. 【详解】因为，，所以， 即， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，则， 所以. 故选：C 题型二：等差数列的通项公式基本量的计算 4．（23-24高二上·新疆喀什）在等差数列中， (1)已知，公差，求； (2)已知公差，，求； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的基本量求解即可； （2）根据等差数列的项与首项之间的关系求解即可得. 【详解】（1）在等差数列中，，公差， 则； （2）在等差数列中，公差，，， 则，故. 5．（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中， (1)已知，，求和d； (2)已知，公差，，求n； (3)已知，，求的通项公式． 【答案】(1)，． (2) (3)． 【分析】（1）由，结合，求出公差，再利用，把代入求出； （2）由，把，公差，，代入求出； （3）由，把，，代入得到关于的方程组，求解即可得到的通项公式. 【详解】（1）因为，所以公差． 由，所以， 故，． （2）由，，公差，，得， 解得． （3）由已知可得，解得 所以． 6．（23-24高二上·上海·课后作业）在等差数列中， (1)已知，，，求； (2)已知，，，求； (3)已知，，求； (4)已知，，求． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）根据等差数列通项公式计算可得. 【详解】（1）由，，，则． （2）由，，，则，解得． （3）由，，则． （4）由，，则． 题型三：等差中项及应用 7．（21-22高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，，则、的等差中项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差中项的定义可求得结果. 【详解】、的等差中项为. 故选：B. 8．（24-25高二上·全国·课前预习）已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（    ） A．8 B．6 C．4.5 D．3 【答案】D 【分析】运用等差中项概念及性质可解. 【详解】，， ，， 和的等差中项是. 故选：D. 9．（23-24高二上·湖北武汉·期中）在等差数列中，若，是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用韦达定理，结合等差数列的性质求解即可. 【详解】，是方程的两根，， 是等差数列，. 故选：D. 题型四：等差数列性质的应用 10．（24-25高二上·广西南宁·期中）在等差数列中，若，则的值为（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】D 【分析】由等差数列下标和的性质求得，进而可得目标式的值. 【详解】由题设， 所以. 故选：D 11．（23-24高二下·四川自贡·期中）在等差数列中，若，则的值为（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 【答案】C 【分析】直接由等差数列的性质即可求解. 【详解】由题意. 故选：C. 12．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知等差数列满足，则的值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质直接得出结果. 【详解】在等差数列中，由得， 所以. 故选：C 题型五：等差数列的应用 13．（21-22高二上·陕西汉中·期中）《周髀算经》中有这样一个问题：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满，芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，若立春当日日影长为尺，立夏当日日影长为尺，则春分当日日影长为（    ） A．尺 B．5尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【分析】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，利用等差数列的性质即可求解. 【详解】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，则立春当日日影长为，立夏当日日影长为，所以春分当日日影长为. 故选：D 14．（20-21高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）“孙子定理”是中国古代求解整除问题的方法，是数论中一个重要定理，又称“中国剩余定理”．现有如下一个整除问题：将1至2021这2021个数中，能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列共有（    ） A．133项 B．134项 C．135项 D．136项 【答案】C 【分析】利用已知条件分析出能被3除余1且被5除余1的数就只能是被15除余1的数， 可得，利用，即可得出结果. 【详解】能被3除余1且被5除余1的数就只能是被15除余1的数， 故， 由， 得，又， 故此数列共有135项， 故选：C． 15．（20-21高二·全国·课后作业）设，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为（    ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 【答案】A 【分析】结合等差数列的性质得到，解不等式组即可求出结果. 【详解】由，即，解得，因为,故. 故选：A. 题型六：等差数列的最大（小）项 16．（2021·黑龙江哈尔滨·三模）习近平总书记提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．为鼓励返乡创业，黑龙江对青山镇镇政府决定投入创业资金和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员．预计该镇政府每年投入的创业资金构成一个等差数列（单位万元，），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金的倍，已知．则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为（    ） A．72万元 B．96万元 C．120万元 D．144万元 【答案】C 【分析】本题可设等差数列的公差为，然后根据题意得出五年累计总投入资金为，最后通过基本不等式即可求出最值. 【详解】设等差数列的公差为， 由题意可知，五年累计总投入资金为： ， 因为， 所以， 当且仅当时取等号， 故预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为120万元， 故选：C. 17．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列为等差数列，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先求得数列的公差，进而求得其通项公式，从而求得，利用二次函数的知识求得最小值. 【详解】设数列的公差为，则， 故， 故， 根据二次函数的性质可知：当或4时，取得最小值． 故答案为： 18．（21-22高二上·全国）已知等差数列，，，…的前n项和为，是否存在最大（小）值？如果存在，求出取得最值时n的值． 【答案】存在最小值， 【分析】由已知可求得数列的通项公式，令，可知且，可知数列的前9项都是负数，第10项为正数，即值存在最小值. 【详解】由已知可知等差数列的首项，公差 则数列的通项公式为 令，即，又，且 即数列的前9项都是负数，第10项为正数， 故当时，存在最小值. 题型七：等差数列的判定与证明 19．（24-25高二上·全国）已知数列满足，证明：数列为等差数列． 【答案】证明见解析 【分析】由题意变形可得，可得结论. 【详解】由，得， 所以，所以数列是以为公差的等差数列． 20．（23-24高二上·安徽合肥·阶段练习）已知数列满足. (1)求证：是等差数列. (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等差数列的定义即可求证， （2）根据等差数列的通项即可求解. 【详解】（1）为常数， 所以为公差为的等差数列， （2）由于为公差为的等差数列，且首项为， 所以，所以 21．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项数列满足，且． (1)判断数列是否为等差数列，并说明理由； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，化简得到，即可证得数列是等差数列； （2）由（1）可得，结合累加法，求得，即可求解. 【详解】（1）由正项数列满足， 可得，即， 即， 又由，可得， 故数列是首项为，公差为2的等差数列． （2）由（1）可得． 所以， 将以上式子累加，可得， 可得，所以． 【高分达标】 一、单选题 22．（24-25高二上·福建龙岩·期中）公差不为0的等差数列中，，则的值不可能是（   ） A．9 B．16 C．22 D．25 【答案】C 【分析】由等差数列的性质可得，即可得，的所有可能取值，即可求解. 【详解】因为，所以， 又，， 所以或或或或或或或或， 所以的值可能是，，，，. 故选：. 23．（24-25高二下·全国·期末）等差数列的首项，且，则（   ） A．4044 B．4045 C．4046 D．4047 【答案】B 【分析】利用等差数列通项公式，把转化成d的等式解出d，然后求出. 【详解】因为是等差数列， 所以, 又， 所以，解得, 所以， 故选:B. 24．（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）在等差数列中，，则的值为（    ） A．7 B．14 C．21 D．28 【答案】B 【分析】由等差中项的性质计算即可； 【详解】因为在等差数列中，， 所以， 所以， 故选：B. 25．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）已知数列是等差数列，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．7 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】先根据根与系数之间的关系得到两根的和，再根据等差中项的概念可得到结果. 【详解】∵是方程的两个实数根， ∴， ∵是的等差中项， ∴， 故选：A. 26．（24-25高二上·甘肃金昌·阶段练习）如图所示，已知某梯子共有5级，从上往下数，第1级的宽为37厘米，第5级的宽为45厘米，且各级的宽度从小到大构成等差数列，则第2级的宽度是（    ）    A．41厘米 B．40厘米 C．39厘米 D．38厘米 【答案】C 【分析】应用等差数列基本量运算求解可得. 【详解】设从第级开始，各级的宽度从小到大构成等差数列，公差为， 由题意可得，则，解得. . 故选：C. 27．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到数列是公差为等差数列，求得，进而求得的值，得到答案. 【详解】因为数列满足，且， 可得数列为等差数列，且公差为3， 所以，即，所以. 故选：D. 28．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知化简得出，再应用等差数列的通项公式计算得出通项即可. 【详解】由题得， 即，则数列是以5为首项，2为公差的等差数列， 所以，即，则． 故选：A. 29．（2024高二·全国·专题练习）在等差数列中，已知，，则数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一，设出首项，公差为d，代入已知条件即可求解；方法二，根据等差数列性质可求出，代入到已知可求出公差为d，即可求解；方法三，根据韦达定理可求出，是方程的两根，再根据等差数列可求出通项公式. 【详解】方法一（基本量法）设的首项为，公差为d， 则由，得，∴． 代入，整理得，解得． 当时，，； 当时，，． 方法二（等差数列的性质）∵，∴． ， ∴，∴． 当时，； 当时，． 方法三（方程思想）∵，∴， ∴，（由和与积，联想到根与系数的关系） ∴，是方程的两根，∴或 由，，得，∴． 同理，由，，得． 故选： 30．（24-25高三上·湖北·阶段练习）长江被称为黄金水道，而三峡大坝则是长江上防洪发电的国之重器.三峡大坝坝前正常蓄水位为海拔175米，而坝下通航最低水位为海拔62米.为了改善船舶的通航条件，常常会通过修建阶梯船闸来实现，船只只需要像爬楼梯一样，以实现上升或者下降.假设每个闸室之间的水位差均可控制在15 至 25米之间，则要保证全年通航，那么三峡大坝船闸至少需要修建闸室的个数为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】由已知，水位差为米，每个闸室之间的水位差均可控制在15 至 25米之间，由，可知船闸至少需要修建闸室5个. 【详解】因为三峡大坝坝前正常蓄水位为海拔175米，而坝下通航最低水位为海拔62米, 所以水位差为米， 又每个闸室之间的水位差均可控制在15 至 25米之间， 则， 所以船闸至少需要修建闸室5个. 故选：B. 二、多选题 31．（23-24高二上·甘肃兰州·期中）（多选）下列关于等差数列单调性的结论正确的是（    ） A．若数列是递增数列，则公差 B．若公差，则数列一定是递增数列或者递减数列 C．若，则数列是递减数列 D．若，则数列是递增数列 【答案】ABD 【分析】由已知结合等差数列的单调性即可逐项判断. 【详解】对于A，若数列是递增数列，则，即公差，故A正确； 对于B，若公差，则或， 当时，有，则是递增数列； 当时，有，则是递减数列，故B正确； 对于C，若，因为数列是等差数列， 则，所以数列是递增数列，故C错误； 对于D，若，因为数列是等差数列， 则，即，所以数列是递增数列，故D正确. 故选：ABD 32．（23-24高二上·湖北十堰·期末）已知等差数列的公差为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意可利用公式法求出数列的通项公式，从而可求解 【详解】由题知数列为等差数列， 所以可知得，解得， 所以，故A、D正确. 故选：AD. 33．（23-24高二上·河北唐山·期末）数列满足：，，则（    ） A． B． C．为单调递减数列 D．为等差数列 【答案】ACD 【分析】根据递推关系可证明为等差数列，且公差为1，即可利用等差数列的通项求解，结合选项即可逐一求解. 【详解】由可得，因此为等差数列，且公差为1，故D正确， 由于为等差数列，且公差为1，所以，故， 故为单调递减数列，C正确， ，故，A正确， ，，B错误， 故选：ACD 34．（23-24高二上·重庆·阶段练习）对于数列，若，，（），则下列说法正确的是（    ） A． B．数列是单调递增数列 C．数列是等差数列 D．数列是等差数列 【答案】ACD 【分析】对A，根据，分析即可；对B，根据判断即可；对CD，根据等差数列的定义判断即可. 【详解】对A，由题意，，故，故A正确； 对B，因为，，，故B错误； 对C，，故数列是等差数列，故C正确； 对D，，故数列是等差数列，故D正确. 故选：ACD 35．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知数列的首项，则（    ） A．为等差数列 B． C．为递增数列 D．的前20项和为10 【答案】AD 【分析】A选项，变形得到，得到为等差数列；B选项，在A选项基础上得到，得到；C选项，计算出，C错误；D选项，分为奇数和为偶数，得到通项公式，得到前20项和. 【详解】A选项，因为，所以， 所以为公差为1的等差数列，A正确； B选项，因为，所以，故，故， 则，B错误； C选项，，，为递减数列，C错误； D选项，当为奇数时，，当为偶数时，， 所以的前20项和为 ，D正确. 故选：AD． 三、填空题 36．（24-25高二上·福建漳州·期中）等差数列中，，，则 ． 【答案】0 【分析】先求公差，然后根据等差数列基本量的计算即可得解. 【详解】由题意设公差为，则，所以. 故答案为：0. 37．（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知，，则 . 【答案】/0.1 【分析】把递推公式变形并判断数列是等差数列，然后求出通项即可求得 【详解】由，得， 又，则， 所以数列首项为1，公差为1的等差数列，所以， 又可得，又，所以，得， 所以， 故答案为： 38．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知数列满足：，且，则数列的通项公式是 【答案】 【分析】由题意可构造数列，得到该数列为等差数列并求出通项公式后，利用累乘法即可得解. 【详解】由，则， 即，又，则， 故数列是以为首项，为公差的等差数列， 即， 则有，，，，且， 故，即，显然均满足. 故答案为：. 39．（24-25高二上·甘肃庆阳·阶段练习）在等差数列中，若，则的值为 . 【答案】27 【分析】由等差数列通项公式结合题目信息可得答案. 【详解】设等差数列公差为d，注意到， 则. 故答案为：27 40．（24-25高二上·全国·课后作业）某校举行元旦晚会，高一年级所表演的节目为大合唱，共站六排，且每排人数遵循等差数列，已知第一、三、五排的人数之和为36人，第四排比第二排多4人，则第六排有 人． 【答案】18 【分析】根据题意结合等差数列的定义和通项公式求，即可得结果. 【详解】设六排人数依次为，公差为， 因为，可得， 且，即，则， 所以． 故答案为：18. 41．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知数列满足，，设，则 ；的最小值为 . 【答案】 【分析】根据给定的递推公式，结合等差数列求出，进而求出及其的最小值. 【详解】由，得，而，则， 因此数列是首项为，公差为2的等差数列，， ，所以当时，取得最小值. 故答案为：； 四、解答题 42．（24-25高二上·全国·课后作业）某景区迎来高峰期，为保证游客的人身安全，景区安排了60人平均分为甲、乙、丙3组依次从早上九点至晚上八点轮流进行组织管理，第一组管理2小时后，交接第二组（忽略交接时间），以此类推. (1)若监察人员督查时，正巧甲组在给乙组交接工作，求此时时间； (2)一天工作结束后，丙组管理了多长时间， 【答案】(1)11点和17点 (2)3小时 【分析】（1）根据题意结合等差数列求交接工作时间点，即可得结果； （2）根据交接工作时间点求管理时间即可. 【详解】（1）由题可得交接工作的时间构成首项为9，公差为2的等差数列， 依次分别为9，11，13，15，17，19点，值班组依次为甲，乙，丙，甲，乙，丙， 故甲、乙组交接工作的时间为11点和17点． （2）由（1）可知：丙组的工作时间段为点和点，故丙组管理了3小时． 43．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知数列的前n项和是n的二次函数，且，，. (1)求的表达式； (2)求数列的通项公式并证明数列是等差数列. 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）根据题意，由待定系数法列出方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由与的关系，代入计算，即可得到数列的通项公式，再由等差数列的定义，即可证明. 【详解】（1）设. ∵，，. ∴解得 ∴. （2）∵，当时， . 当时，也成立.∴， 当时，， 从而. 所以数列是一个等差数列. 44．（23-24高二上·广东中山·期中）数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)是否存在正整数使得成等差数列？说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据已知和求通项可得结果； （2）假设存在正整数使得成等差数列，推出矛盾可得结果. 【详解】（1）当时， 当时， 经检验，当时符合 故数列的通项公式为：. （2）若成等差数列，则，， 这与为正整数且矛盾， 所以不存在正整数使得成等差数列. 45．（23-24高二上·江苏常州·期末）设是正项数列的前项和，且，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题中的递推公式可得，从而可求解. （2）由（1）可得，当时，求得，再验证，从而可求解. 【详解】（1）因为，， 所以，， 所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列． （2），且，所以． 当时，，． 时，不满足上式， 所以． 46．（22-23高二下·全国·课后作业）数列{an}满足，是常数． (1)当时，求及的值； (2)是否存在实数使数列为等差数列？若存在，求出及数列的通项公式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在使是等差数列，理由见解析 【分析】（1）根据条件，利用递推关系即可求出结果； （2）先假设存在，利用递推关系得出，从而建立关系式，得到，进而得到，，与等差数列定义不符合，从而得出结论.. 【详解】（1）由于，且， 所以当时，得，故， 从而. （2）数列不可能为等差数列，理由如下： 由， 得，， 若存在，使为等差数列，则， 即，解得， 于是，， 这与为等差数列矛盾．所以，不存在使是等差数列． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$